Аксиомы стереометрии что это

Аксиомы стереометрии

Аксиома стереометрии — это основополагающее
утверждение в стереометрии, не требующее доказательств.

Стереометрия — раздел геометрии, изучающий
свойства и признаки фигур в пространстве.

В стереометрии существует три основные аксиомы,
из которых следует остальные не менее важные утверждения.

Свойства точек, прямых а также плоскостей выражены в аксиомах.

Первая аксиома стереометрии

Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой проходит плоскость причем только одна.

Плоскость — неограниченная,
ровная поверхность.

Плоскость обозначают тремя буквами
греческого алфавита: α (альфа), β (бета), γ (гамма).

Аксиомы стереометрии что это. ploskost alfa e1631538723539. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-ploskost alfa e1631538723539. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка ploskost alfa e1631538723539

На рисунке 1 изображена плоскость альфа.

Вторая аксиома стереометрии

Если две точки прямой лежат в плоскости,
то и все точки данной прямой лежат в этой плоскости.

Аксиомы стереометрии что это. ploskost beta 1 e1631539597572. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-ploskost beta 1 e1631539597572. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка ploskost beta 1 e1631539597572

Смотрим на рисунок 2 — точка A и точка B прямой a лежат в плоскости β, значит
все точки данной прямой лежат в плоскости β.

Третья аксиома стереометрии

Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, по которой они пересекаются.

Аксиомы стереометрии что это. tri ploskosti e1631540231120. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-tri ploskosti e1631540231120. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка tri ploskosti e1631540231120

Плоскость γ пересекается с плоскостью α (рисунок 3).

Источник

Основные понятия и аксиомы стереометрии

ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ

ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»

Учитель Математики Высшей категории

Основные понятия и аксиомы стереометрии

Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.
Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.

Простейшие фигуры в пространстве : точка, прямая, плоскость.
Плоскость.

Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.

На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит

через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко

это записывают так: А ∈ β, B ∈ β,

Аксиомы стереометрии и их следствия

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).

Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой.

Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты

НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.

Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

Источник

Содержание:

Стереометрия:

Что такое стереометрия

Схематически это выглядит так:

Аксиомы стереометрии что это. 103365. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-103365. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 103365

Фигуры, которые изучаются в стереометрии, называются геометрическими или пространственными. На рисунке 2.1 изображены некоторые пространственные фигуры: пирамида, параллелепипед, конус, цилиндр.

Аксиомы стереометрии что это. 103400. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-103400. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 103400

Напомним структуру логического построения планиметрии:

Аксиомы стереометрии что это. 103411. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-103411. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 103411

Аксиомы стереометрии что это. 103430. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-103430. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 103430

В стереометрии рассматривают более одной плоскости. Пространство состоит из бесконечного количества плоскостей, прямых и точек. Поэтому все аксиомы планиметрии имеют место и в стереометрии. Однако при этом некоторые из них приобретают другой смысл. Так, аксиома I, в планиметрии утверждает, что существуют точки вне данной прямой на плоскости, в которой лежит прямая. Именно в таком понимании эта аксиома применялась в процессе построения геометрии на плоскости. Теперь эта аксиома утверждает вообще существование точек, не лежащих на данной прямой, в пространстве. Из нее непосредственно не вытекает, что существуют точки вне данной прямой на плоскости, в которой лежит прямая. Это требует уже специального доказательства.

Аксиомы стереометрии

Формулирование некоторых аксиом планиметрии как аксиом стереометрии требует уточнения. Это касается, например, аксиом Аксиомы стереометрии что это. 103446. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-103446. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 103446.

Приведем эти уточнения.

Понятно, что с увеличением количества основных фигур появляются новые аксиомы об их свойствах:

Аксиомы стереометрии что это. 103470. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-103470. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 103470

Аксиома 1 указывает на то, что любая плоскость все пространство не исчерпывает. Существуют точки пространства, которые ей не принадлежат.

Аксиома 2 утверждает, что две прямые, пересекающиеся в пространстве, всегда определяют одну плоскость. Из аксиомы 3 следует, что если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют множество общих точек, образующих прямую, которая содержит эту точку.

Итак, используя рисунок 2.3, аксиомы можно записать:

Плоскости изображают по-разному. На рисунке 2.4 показаны некоторые примеры различных изображений плоскостей.

Аксиомы стереометрии что это. 103604. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-103604. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 103604

Далее в стереометрии мы будем использовать все определяемые понятия планиметрии, дополнять их новыми, собственно стереометрическими, формулировать и доказывать свойства пространственных фигур.
Как видим, логическое построение планиметрии и стереометрии одинаково, отличаются они лишь некоторым содержанием основных понятий, аксиом, определений, теорем.

Аксиомы стереометрии что это. 105261. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105261. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105261

Пример №1

Точки Аксиомы стереометрии что это. 105262. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105262. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105262не лежат на одной плоскости. Докажите, что прямые Аксиомы стереометрии что это. 105266. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105266. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105266и Аксиомы стереометрии что это. 105267. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105267. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105267не пересекаются.

Докажем методом от противного. Допустим, что прямые Аксиомы стереометрии что это. 105273. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105273. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105273и Аксиомы стереометрии что это. 105274. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105274. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105274пересекаются (рис. 2.5).

Аксиомы стереометрии что это. 105280. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105280. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105280

Тогда, по аксиоме II3, через них можно провести плоскость, которой принадлежат эти прямые. Это означает, что точки Аксиомы стереометрии что это. 105304. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105304. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105304также принадлежат этой плоскости, что противоречит условию. Предположение неверно. Прямые Аксиомы стереометрии что это. 105305. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105305. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105305и Аксиомы стереометрии что это. 105307. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105307. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105307не пересекаются, что и требовалось доказать.
Заметим, что школьный курс геометрии посвящен евклидовой геометрии. Несмотря на то что с течением времени геометрия Евклида была существенно дополнена и откорректирована, ее по-прежнему называют именем древнего ученого. Такое уважение вызвано широтой практического применения евклидовой геометрии. Она используется в технических науках, картографии, геодезии, астрономии и др.

Следствия из аксиом стереометрии

Проанализировав все сказанное ранее, можно утверждать, что логическое построение геометрии имеет следующий вид:

Аксиомы стереометрии что это. 105317. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105317. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105317

Важное место в геометрии занимают аксиомы. Они выражают наиболее существенные свойства основных геометрических фигур. Все остальные свойства геометрических фигур устанавливаются рассуждениями, опирающимися на аксиомы или ранее доказанные утверждения, которые опираются на аксиомы. Такие рассуждения называют доказательствами. Утверждение, истинность которого доказана и которое используют для доказательства других утверждений, называют теоремой. Простейшими из них являются утверждения для основных фигур стереометрии. Они называются следствиями из аксиом стереометрии. Рассмотрим теоремы, которые являются следствиями из аксиом стереометрии.

Теорема 1

Через прямую и точку, не принадлежащую ей, можно провести плоскость, и притом только одну.

Аксиомы стереометрии что это. 105323. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105323. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105323

Пусть Аксиомы стереометрии что это. 105320. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105320. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105320— данная прямая и Аксиомы стереометрии что это. 105326. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105326. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105326— точка, не принадлежащая ей (рис. 2.9). Через точки Аксиомы стереометрии что это. 105327 EbOsMe9. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105327 EbOsMe9. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105327 EbOsMe9и Аксиомы стереометрии что это. 105328. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105328. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105328проведем прямую Аксиомы стереометрии что это. 105331. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105331. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105331. Прямые Аксиомы стереометрии что это. 105334. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105334. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105334и Аксиомы стереометрии что это. 105331. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105331. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105331различны и пересекаются в точке Аксиомы стереометрии что это. 105328. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105328. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105328. По аксиоме II3 через них можно провести плоскость Аксиомы стереометрии что это. 105339 kUdQZJM. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105339 kUdQZJM. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105339 kUdQZJM. Докажем, что она единственная, методом от противного.

Допустим, что существует другая плоскость Аксиомы стереометрии что это. 105341. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105341. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105341, которая содержит прямую Аксиомы стереометрии что это. 105343. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105343. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105343и точку Аксиомы стереометрии что это. 105327 EbOsMe9. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105327 EbOsMe9. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105327 EbOsMe9. Тогда, согласно аксиоме II4, плоскости Аксиомы стереометрии что это. 105345. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105345. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105345и Аксиомы стереометрии что это. 105341. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105341. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105341пересекаются по общей прямой, которой принадлежат точки Аксиомы стереометрии что это. 105347. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105347. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105347что противоречит условию. Предположение неверно. Плоскость Аксиомы стереометрии что это. 105348. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105348. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105348— единственная. Теорема доказана.

Теорема 2
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вея прямая принадлежит этой плоскости.

Аксиомы стереометрии что это. 105524. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105524. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105524

Пусть заданы прямая Аксиомы стереометрии что это. 105387. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105387. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105387, плоскость Аксиомы стереометрии что это. 105484. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105484. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105484и точки А и В прямой Аксиомы стереометрии что это. 105388. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105388. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105388, принадлежащие Аксиомы стереометрии что это. 105486. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105486. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105486(рис. 2.10). Выберем точку С, которая не принадлежит прямой Аксиомы стереометрии что это. 105392. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105392. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105392. Через точку С и прямую Аксиомы стереометрии что это. 105392. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105392. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105392проведем плоскость Аксиомы стереометрии что это. 105489. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105489. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105489. Если Аксиомы стереометрии что это. 105491. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105491. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105491и Аксиомы стереометрии что это. 105489. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105489. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105489совпадут, то прямая Аксиомы стереометрии что это. 105388. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105388. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105388принадлежит плоскости Аксиомы стереометрии что это. 105486. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105486. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105486. Если же плоскости Аксиомы стереометрии что это. 105486. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105486. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105486и Аксиомы стереометрии что это. 105489. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105489. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105489различны и имеют две общие точки Аксиомы стереометрии что это. 105497. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105497. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105497и Аксиомы стереометрии что это. 105499. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105499. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105499, то они пересекаются по прямой Аксиомы стереометрии что это. 105504. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105504. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105504, содержащей эти точки. Поэтому через две точки Аксиомы стереометрии что это. 105497. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105497. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105497и Аксиомы стереометрии что это. 105499. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105499. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105499проходят две прямые Аксиомы стереометрии что это. 105507. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105507. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105507и Аксиомы стереометрии что это. 105509. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105509. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105509, что противоречит аксиоме принадлежности I2. Поэтому Аксиомы стереометрии что это. 105512. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105512. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105512и Аксиомы стереометрии что это. 105514. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105514. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105514— совпадают. Однако поскольку Аксиомы стереометрии что это. 105515. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105515. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105515, принадлежит плоскости Аксиомы стереометрии что это. 105517. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105517. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105517, то и прямая Аксиомы стереометрии что это. 105520. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105520. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105520также принадлежит Аксиомы стереометрии что это. 105522. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105522. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105522.

Теорема 3

Через три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Аксиомы стереометрии что это. 105563. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105563. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105563

Пусть Аксиомы стереометрии что это. 105530. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105530. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105530— заданные точки (рис. 2.11). Проведем через точки Аксиомы стереометрии что это. 105532. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105532. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105532и Аксиомы стереометрии что это. 105533. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105533. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105533прямую Аксиомы стереометрии что это. 105534. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105534. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105534, а через точки Аксиомы стереометрии что это. 105535. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105535. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105535и Аксиомы стереометрии что это. 105536. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105536. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105536— прямую Аксиомы стереометрии что это. 105537. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105537. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105537. Прямые Аксиомы стереометрии что это. 105539. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105539. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105539и Аксиомы стереометрии что это. 105540 RhyEhOf. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105540 RhyEhOf. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105540 RhyEhOfразличны и имеют общую точку Аксиомы стереометрии что это. 105535. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105535. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105535. Через них можно провести плоскость Аксиомы стереометрии что это. 105542. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105542. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105542. Докажем, что она единственная, методом от противного. Допустим, что существует другая плоскость Аксиомы стереометрии что это. 105543. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105543. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105543, содержащая точки Аксиомы стереометрии что это. 105547. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105547. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105547. Тогда, по теореме 2, прямые Аксиомы стереометрии что это. 105548. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105548. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105548и Аксиомы стереометрии что это. 105550. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105550. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105550принадлежат плоскости Аксиомы стереометрии что это. 105551. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105551. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105551. Поэтому плоскости Аксиомы стереометрии что это. 105552. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105552. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105552и Аксиомы стереометрии что это. 105553. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105553. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105553имеют две общие прямые Аксиомы стереометрии что это. 105554. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105554. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105554и Аксиомы стереометрии что это. 105555. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105555. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105555, которые пересекаются, что противоречит аксиоме II3. Итак, плоскость Аксиомы стереометрии что это. 105561. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105561. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105561— единственная. Теорема доказана.

Отметим, если плоскость определена тремя точками, которые не лежат на одной прямой, например Аксиомы стереометрии что это. 105565. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105565. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105565то в таком случае пользуются обозначением: (Аксиомы стереометрии что это. 105571. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105571. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105571). Читается: «плоскость, заданная точками Аксиомы стереометрии что это. 105574. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105574. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105574, Аксиомы стереометрии что это. 105579. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105579. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105579и Аксиомы стереометрии что это. 105580. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105580. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105580», или сокращенно «плоскость Аксиомы стереометрии что это. 105571. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105571. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105571».

Пример №2

Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, которая бы не лежала с ними в одной плоскости?

Аксиомы стереометрии что это. 105626. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105626. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105626

Через прямые Аксиомы стереометрии что это. 105616. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105616. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105616и Аксиомы стереометрии что это. 105619. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105619. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105619(рис. 2.12), которые имеют общую точку Аксиомы стереометрии что это. 105629. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105629. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105629, можно провести плоскость Аксиомы стереометрии что это. 105631. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105631. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105631. Возьмем точку Аксиомы стереометрии что это. 105632. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105632. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105632, которая не принадлежит Аксиомы стереометрии что это. 105635. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105635. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105635. Через точки Аксиомы стереометрии что это. 105629. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105629. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105629и Аксиомы стереометрии что это. 105632. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105632. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105632проведем прямую Аксиомы стереометрии что это. 105639. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105639. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105639. Прямая Аксиомы стереометрии что это. 105640. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105640. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105640не лежит на плоскости Аксиомы стереометрии что это. 105646. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105646. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105646, так как если бы прямая Аксиомы стереометрии что это. 105640. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105640. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105640принадлежала плоскости Аксиомы стереометрии что это. 105646. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105646. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105646, то и точка Аксиомы стереометрии что это. 105632. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105632. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105632принадлежала бы плоскости Аксиомы стереометрии что это. 105646. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105646. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105646. Поэтому через точку пересечения прямых Аксиомы стереометрии что это. 105651. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105651. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105651и Аксиомы стереометрии что это. 105652. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105652. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105652можно провести третью прямую, которая не лежит с ними в одной плоскости. Ответ. Можно.

Очевидно, что точки плоскости задают прямые, которые будут принадлежать этой самой плоскости. Если же взять точку пересечения двух прямых на плоскости и точку вне плоскости, то через любые две точки пространства можно провести прямую. Эта прямая будет иметь только одну общую точку с плоскостью, а значит, будет ее пересекать.

Пример №3

Докажите, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости.

Аксиомы стереометрии что это. 105654. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105654. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105654

Пример №4

Докажите, что если прямые Аксиомы стереометрии что это. 105685. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105685. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105685и Аксиомы стереометрии что это. 105688. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105688. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105688не лежат в одной плоскости, то прямые Аксиомы стереометрии что это. 105689. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105689. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105689и Аксиомы стереометрии что это. 105692. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105692. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105692также не лежат в одной плоскости.

Аксиомы стереометрии что это. 105696. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105696. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105696

Докажем методом от противного. Допустим, что прямые Аксиомы стереометрии что это. 105700. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105700. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105700и Аксиомы стереометрии что это. 105702. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105702. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105702лежат в одной плоскости (рис. 2.14). Тогда точки Аксиомы стереометрии что это. 105703. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105703. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105703Аксиомы стереометрии что это. 105704. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105704. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105704принадлежат этой плоскости, а следовательно, прямые Аксиомы стереометрии что это. 105707. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105707. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105707и Аксиомы стереометрии что это. 105708. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105708. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105708принадлежат этой плоскости, что противоречит условию. Предположение неверно, поэтому прямые Аксиомы стереометрии что это. 105710. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105710. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105710и Аксиомы стереометрии что это. 105711. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105711. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105711не принадлежат одной плоскости, что и требовалось доказать.

Пример №5

Сколько всего существует различных плоскостей, проходящих через прямую и точку в пространстве?

Если в пространстве даны прямая и точка, лежащая на ней, то ими определяется множество плоскостей, поскольку через прямую проходит множество различных плоскостей.
Если же точка не лежит на прямой, то по следствию из аксиом стереометрии такую плоскость можно построить только одну.

Ответ. Бесконечно много или одна.

Взяв вне этой прямой произвольную точку, мы всякий раз будем иметь другую плоскость, не совпадающую с ранее построенной. Таких плоскостей множество.
Через данную точку вне прямой можно провести либо прямую, которая пересекает данную прямую, либо прямую, параллельную данной. Оба случая задают одну плоскость.

Сечения

Анализируя окружающий мир и систематизируя его предметы по форме, мы убеждаемся, что много из них «усечены» или «склеены». Разъединив их, получим поверхность, которую называют их сечением.

С сечениями мы сталкиваемся в разнообразных ситуациях: в быту, в столярничестве, токарстве и т.д. Решением задач на сечения геометрических фигур или других тел занимаются в черчении и конструкторской практике. Сечения выполняют для пространственных геометрических фигур.

Каждая плоскость разбивает пространство на два полупространства, а концы отрезка могут лежать в различных полупространствах (рис. 2.20, а) относительно некоторой плоскости, на плоскости (рис. 2.20, б) или в одном полупространстве (рис. 2.20, в).

Аксиомы стереометрии что это. 105734. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105734. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105734

Если ни одна из двух точек не принадлежит плоскости, а отрезок, соединяющий их, имеет с этой плоскостью общую точку, то говорят, что данные точки лежат по разные стороны относительно плоскости, или отрезок пересекает плоскость. Если же как минимум две точки пространственной геометрической фигуры лежат по разные стороны плоскости, то говорят, что плоскость эту фигуру пересекает, такую плоскость называют секущей.

Фигура, которая состоит из всех общих точек геометрической фигуры и секущей плоскости, называется сечением геометрической фигуры. На рисунке 2.21 сечения изображены цветом.

Аксиомы стереометрии что это. 105748. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-105748. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 105748

Если плоскость грани многогранника и плоскость сечения имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки. Эту прямую называют линией пересечения данных плоскостей.
Плоскость сечения многогранника имеет общие прямые с плоскостями граней многогранника. Прямую, по которой плоскость сечения пересекает плоскость любой грани многогранника, называют следом плоскости сечения. Следов столько, сколько плоскостей граней пересекает плоскость сечения.

При построении сечения следует помнить:

Рассмотрим примеры построения сечения многогранника секущей плоскостью.

Пример №6

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины ребер с общей вершиной.

Построение

Аксиомы стереометрии что это. 115077. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115077. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115077

Пусть Аксиомы стереометрии что это. 115080. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115080. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115080— заданный куб (рис. 2.22). Выберем одну из вершин, например Аксиомы стереометрии что это. 115084. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115084. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115084, являющуюся общей для трех ребер Аксиомы стереометрии что это. 115087 MsKStU3. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115087 MsKStU3. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115087 MsKStU3и Аксиомы стереометрии что это. 115089. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115089. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115089. Обозначим на этих ребрах точки Аксиомы стереометрии что это. 115092. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115092. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115092и Аксиомы стереометрии что это. 115094. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115094. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115094соответственно, являющиеся их серединами. Точки Аксиомы стереометрии что это. 115092. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115092. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115092и Аксиомы стереометрии что это. 115094. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115094. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115094не лежат на одной прямой, а поэтому определяют секущую плоскость (Аксиомы стереометрии что это. 115099. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115099. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115099). Точки Аксиомы стереометрии что это. 115100. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115100. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115100и Аксиомы стереометрии что это. 115101. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115101. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115101— общие точки плоскости сечения и грани Аксиомы стереометрии что это. 115104. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115104. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115104, поэтому Аксиомы стереометрии что это. 115108. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115108. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115108Аксиомы стереометрии что это. 115109. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115109. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115109, Аксиомы стереометрии что это. 115111. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115111. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115111— сторона сечения.
Аналогично Аксиомы стереометрии что это. 115115. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115115. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115115и Аксиомы стереометрии что это. 115116. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115116. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115116, поэтому Аксиомы стереометрии что это. 115118. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115118. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115118и Аксиомы стереометрии что это. 115120. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115120. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115120— две другие стороны сечения. Таким образом, Аксиомы стереометрии что это. 115121. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115121. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115121— искомое сечение.

Пример №7

Постройте сечение пирамиды Аксиомы стереометрии что это. 115123. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115123. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115123плоскостью, которая проходит через ребро Аксиомы стереометрии что это. 115124. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115124. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115124и середину ребра Аксиомы стереометрии что это. 115126. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115126. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115126.

Построение

Аксиомы стереометрии что это. 115130. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115130. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115130

Пример №8

Постройте сечение пирамиды Аксиомы стереометрии что это. 115156. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115156. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115156плоскостью, проходящей через три точки, которые лежат соответственно на ребрах Аксиомы стереометрии что это. 115158. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115158. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115158, Аксиомы стереометрии что это. 115159. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115159. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115159.

Построение

Рассмотрим случай, когда ни одна из прямых, проходящих через эти точки, не будет параллельна сторонам граней.

Пусть Аксиомы стереометрии что это. 115162. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115162. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115162— секущая плоскость, проходящая через заданные точки Аксиомы стереометрии что это. 115164. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115164. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115164, Аксиомы стереометрии что это. 115166. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115166. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115166и Аксиомы стереометрии что это. 115167. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115167. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115167. Построим сечение, выполняя последовательно шаги:

Мы нашли две стороны фигуры сечения: отрезки Аксиомы стереометрии что это. 115177. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115177. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115177и Аксиомы стереометрии что это. 115179. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115179. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115179(рис. 2.24, а). Точка Аксиомы стереометрии что это. 115180. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115180. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115180— общая точка двух плоскостей (Аксиомы стереометрии что это. 115190. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115190. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115190) и (Аксиомы стереометрии что это. 115192. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115192. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115192). Такие плоскости (по аксиоме II4) пересекаются по прямой, проходящей через точку Аксиомы стереометрии что это. 115194. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115194. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115194. Для построения такой прямой нужна вторая точка.

3. Плоскости (Аксиомы стереометрии что это. 115196. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115196. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115196) и (Аксиомы стереометрии что это. 115197. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115197. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115197) пересекаются по прямой Аксиомы стереометрии что это. 115199. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115199. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115199. Аксиомы стереометрии что это. 115200. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115200. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115200по условию не параллельна Аксиомы стереометрии что это. 115199. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115199. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115199и Аксиомы стереометрии что это. 115203. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115203. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115203, поэтому Аксиомы стереометрии что это. 115205. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115205. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115205(рис. 2.24, б).
4. Прямая Аксиомы стереометрии что это. 115207. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115207. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115207— линия пересечения плоскостей (Аксиомы стереометрии что это. 115208. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115208. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115208) и (Аксиомы стереометрии что это. 115190. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115190. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115190). Пересечение этой прямой с ребром Аксиомы стереометрии что это. 115209. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115209. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115209дает точку Аксиомы стереометрии что это. 115210. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115210. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115210, которая является вершиной сечения. Таким образом, четырехугольник Аксиомы стереометрии что это. 115212. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115212. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115212— искомое сечение (рис. 2.24, в).

Аксиомы стереометрии что это. 115214. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115214. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115214

Пример №9

Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда Аксиомы стереометрии что это. 115217. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115217. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115217плоскостью, проходящей через середины Аксиомы стереометрии что это. 115218. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115218. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115218и Аксиомы стереометрии что это. 115219. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115219. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115219ребер Аксиомы стереометрии что это. 115220. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115220. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115220и Аксиомы стереометрии что это. . Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинкаи точку Аксиомы стереометрии что это. 115222. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115222. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115222пересечения диагоналей грани (рис. 2.25, а).

Построение

Аксиомы стереометрии что это. 115281. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115281. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115281

Обозначим секущую плоскость Аксиомы стереометрии что это. 115227. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115227. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115227. Выполним последовательно шаги, выполняя поиск фигуры, образованной плоскостью сечения.

Таким образом, пятиугольник Аксиомы стереометрии что это. 115289. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115289. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115289— искомое сечение (рис. 2.25, г).
Приведем краткие описания построения сечения куба плоскостью, проходящей через три точки.

Пример №10

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки Аксиомы стереометрии что это. 115297. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115297. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115297, Аксиомы стереометрии что это. 115298. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115298. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115298, Аксиомы стереометрии что это. 115300. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115300. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115300, которые принадлежат соответственно ребрам Аксиомы стереометрии что это. 115302. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115302. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115302.

Построение

Аксиомы стереометрии что это. 115306. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115306. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115306

Секущая плоскость Аксиомы стереометрии что это. 115307. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115307. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115307) (рис. 2.26).

Пример №11

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки К, М, Т, которые принадлежат соответственно ребрам Аксиомы стереометрии что это. 115332. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115332. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115332, Аксиомы стереометрии что это. 115333. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115333. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115333.

Аксиомы стереометрии что это. 115335. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115335. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115335

Секущая плоскость Аксиомы стереометрии что это. 115336. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115336. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115336(рис. 2.27).

Пример №12

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки Аксиомы стереометрии что это. 115384. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115384. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115384, Аксиомы стереометрии что это. 115385. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115385. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115385, Аксиомы стереометрии что это. 115387. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115387. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115387, которые принадлежат соответственно ребрам Аксиомы стереометрии что это. 115390. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115390. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115390,Аксиомы стереометрии что это. 115393. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115393. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115393, Аксиомы стереометрии что это. 115395. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115395. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115395.

Построение

Аксиомы стереометрии что это. 115399. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115399. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115399

Секущая плоскость Аксиомы стереометрии что это. 115402 CDnfTBT. Аксиомы стереометрии что это фото. Аксиомы стереометрии что это-115402 CDnfTBT. картинка Аксиомы стереометрии что это. картинка 115402 CDnfTBT(рис. 2.28).

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *