Что изучает актуарная математика

Содержание статьи

Широкое применение актуарная математика, как часть финансового знания, получила при расчетах, связанных с приносящими прибыль финансовых фондов. Она, благодаря применяемым методам математического моделирования, дает оценку предполагаемых рисков, с помощью современных компьютерных технологий. Сегодня актуарная математика, в основном, применяется при расчетах оформления полиса страхования жизни (зависит от средней продолжительности жизни всех слоев населения) и при расчетах пенсионного страхования. Соответственно, предметом данного вида знания является описание финансовых операций, носящих возможный характер.

Истоки научного знания

Как наука, теория актуарных расчетов была заложена в восемнадцатом веке такими учеными, как Д. Граунт, Э. Галлей Д. Додсон и др. Также принимали участие в разработке теоретических понятий такие крупные математики, как Э. Дювильяр,С. Лакруа, Л. Эйлер, В. Керсебум и др. Уже в XIX веке актуарная математика начинает развиваться как самостоятельное направление. Лучшими умами инженеров, математиков, юристов и экономистов тех лет разрабатывались научные методы системы страхования. Уже в 1898 г. в Лондоне, на Международном актуарном конгрессе были впервые заложены образцы стандартизации основных величин в актуарной математике.

Методология

Методика финансовых расчетов основывается на принципах теории вероятности, долговременных финансовых исчислений и статистических данных по демографии. Теория вероятности определяет возможность возникновения несчастного случая. Долгосрочные финансовые вычисления дают точное количество начисляемой тарифной сетки в зависимости от тех доходов, которые получает страховщик. А демографическая статистика дифференцирует тарифы по страховке, в зависимости от количества прожитых лет застрахованного клиента.

Финансовое страхование делиться на два вида страхования: краткосрочное и долгосрочное. Страхование на короткий срок заключается не более, чем на один год, при оформлении на долгосрочное страхование срок страховки должен быть не менее пяти лет. Обычно считается, что краткосрочная страховка экономит вложения, а вот при долгосрочной страховке учитывают инфляцию и применяют повышенные ставки по процентам.

Актуарии

До начала 90-х годов в России практически не применялась страховая математика. Но с активным развитием таких сфер в экономике, как деятельность банков, страховых и инвестиционных компаний, заставило привлекать в эти новые, для нас области финансовых математиков (актуариев). Актуарии – это аналитики, которые с помощью компьютерных программ выстраивают финансовые прогнозы на любой временной период, с широким применением методов по управлению рисками. Актуарий обязан иметь широкие знания не только в математике, но и в экономике, и в разрешении юридических вопросов.

Источник

Предмет актуарной математики

Цели и задачи изучения темы

В процессе изучения темы студент должен овладеть основными понятиями актуарной математики, получить представление о математических и статистических методах используемых в актуарных расчетах.

При изучении темы рассматриваются следующие вопросы:

1. Предмет актуарной математики.

2. Использование решающего правила Байеса.

3. Задача о разорении. Вероятность разорения.

4. Сложные пуассоновские процессы.

5. Неравенство Лундберга.

6. Определение вероятности окончательного разорения в экспоненциальном случае.

7. Влияние перестрахования на вероятность разорения. Задача о разорении и перестрахование.

Теория риска, иначе называемая страховой или актуарной математикой, имеет целью выработку рекомендаций, основанных на анализе статистической информации при проведении и регулировании рисковых предприятий.

В самом общем виде под актуарными расчетами понимается система математических и статистических методов, определяющая финансовые взаимоотношения двух сторон в различных видах финансовой деятельности. Актуарные расчеты базируются на теории вероятностей, демографической статистике и теории долгосрочных финансовых исчислений.

Одна из традиционных задач актуария заключается в выработке удовлетворительной тарифной системы, что в значительной мере сводится к предсказанию величины страховых выплат, ожидаемых по определенному виду, или видам, страхования, проводящимся страховой компанией.

Прогноз величины страховых выплат базируются на опыте компании, который заключается в поступившей за предшествующий период ее деятельности статистике страховых случаев. Не говоря о том, что эта статистика должна быть достоверной и достаточно полной, что составляет предмет отдельного обсуждения, качество прогноза в решающей степени зависит от того, какая методика применяется актуарием для обработки этой статистики. Другими словами, выбор методики обработки статистической информации решающим образом влияет на качество его рекомендаций руководству страховой компании.

Актуарии за рубежом традиционно играют главную роль в страховании жизни. Например, в Великобритании каждая компания по страхованию жизни обязана иметь назначенного актуария, который несет профессиональную ответственность как перед страхователями и руководством страхового надзора, так и перед советом директоров компании за состояние ее финансов. Аналогична их роль в пенсионных фондах.

Хотя актуарная математика широко использует методы теории вероятностей и математической статистики, она является самостоятельным научным направлением со своими предметом, методами и сферой применений.

Актуарное образование в мире имеет вековые традиции. Однако в нашей стране с почти 70-летним отсутствием свободных рыночных отношений актуарное образование и актуарная наука практически отсутствовали до 90-х годов XX века. В настоящее время появился огромный интерес к этой сфере деятельности, что связано с большой потребностью в специалистах-актуариях со стороны страховых компаний, число которых в России уже составляет несколько тысяч.

Самый высокий мировой стандарт профессиональной подготовки в области актуарной науки дает, по-видимому, программа Общества Актуариев (США).

Теория вероятностей, как математическая наука, позволяющая по вероятности одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким–либо образом с первыми, является естественной и общепринятой основой актуарных прогнозов и рекомендаций.

Однако все результаты этой теории имеют четко очерченные границы применимости. Поэтому перед обращением к какому–либо теоретическому результату актуарий обязан сознательно и полно проверить возможность его использования в рассматриваемой им конкретной ситуации.

Различают актуарную математику в имущественном и личном страховании. Под имущественным страхованием (non-life insurance) понимаются все виды страховой деятельности, не связанные с личным страхованием (страхование жилья, автомобилей, предприятий, банковских капиталов и т.п.). Под личным страхованием (life insurance) понимается страхование жизни, здоровья, пенсий и т.п.

Таким образом, под актуарными расчетами в широком смысле понимается система математических и статистических методов, обеспечивающих финансовую эквивалентность обязательств страхователя и страховщика.

Потребность в актуарных расчетах объективно существует не только для отдельных видов страхования жизни. В проведении актуарных расчетов нуждается медицинское страхование, имущественное, ответственности и ряд других.

Денежные суммы или величины p₁, p₂,…,p_n, которые страхуемые платят страховой компании, называются страховыми премиями (premiums).

Источник

Практическое руководство по актуарной математике

Введение

Элементы финансовой математики

Простые и сложные проценты.

Эффективная процентная ставка. Номинальная и реальная доходность.

Однако для более высоких степеней n и процентных ставок i, линеаризация недопустима. На рис. приведены значения ряда Тейлора для n=20 при различных процентных ставках.

Данный пример показывает, что на больших временных интервалах нелинейностью пренебрегать нельзя. Поэтому многие приближение, построенные на линейных приближениях, корректны только на ограниченном временном интервале.

Годовая эффективная процентная ставка. Интенсивность процентов.

Например, пусть годовая процентная ставка равна 100%. Тогда сумма в размере 1, размещенная под данную ставку будет равна 2 в конце года. В случае если в середине года можно реинвестировать сумму с начисленными процентами получим 1,5*1,5=2,25. Поэтому для того, чтобы в этом случае получить в конце года сумму равную 2 годовая процентная ставка должна быть равна 2*(√2-1)=0,82, что составляет 82%.

Номинальная и реальная доходность

Актуарный базис

Представляют систематизированный набор статистических данных о продолжительности жизни населения отдельной страны или выделенной ее группы. Группы можно выделить по полу, профессии, региону и т.д.

Существует множество способов представления таблиц смертности. Фрагмент таблицы смертности приведен в таблице.

Продолжительность жизни (х) – случайная величина (с.в.).

Обозначим вероятность прожить целое число лет

Плотность вероятностей с.в. через f(x), а функцию распределения с.в. через F(x) – распределение времени предстоящей жизни и определяет вероятность смерти с момента рождения до возраста X

В актуарной математике часто используется функция дожития S(x)=1-F(x) и определяет вероятность дожить с момента рождения до возраста X

lx – число людей, доживших до возраста х

dx – число людей умерших в интервале x и x+1 лет dx=lx-lx+1

Вероятность для лица в возрасте х, прожить еще один год равна:

вероятность умереть в течение года

вероятность прожить n лет

умереть в течение n лет

прожить n лет и умереть в возрасте n+1

Время ожидаемой продолжительности жизни

Модель Муавра (равномерное распределение жизни 1729)

Модель Гомпертца (1825)

Модель Макхейма (1860)

Ожидаемая продолжительность жизни в разных странах

Срочные ренты

Рента – последовательность из n выплат, сделанных в начале или в конце периода.

Современная стоимость ренты – сумма дисконтированных платежей

Техника функциональных уравнений для срочной ренты

Самой простой оценкой, приближающей результаты актуарного расчета является современная стоимость ренты с периодом равным ожидаемой продолжительности жизни. В данной статье предлагается более точная оценка, основанная на применении функциональных уравнений.

Функциональным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная функция связана с известными функциями посредством операции композиции. Функциональное уравнение может быть рассмотрено как разностное уравнение, являющееся дискретным аналогом дифференциального уравнения. В случае моделирования сложных систем функциональные уравнения удобны для определения возможных границ получаемых решений и степени чувствительности системы к различного рода воздействиям. В предельном случае функциональные уравнения переходят в дифференциальные уравнения.

В качестве примера рассмотрим простейшее функциональное уравнение связывающее сумму S, размещенную под процентную ставку ( r ) в моменты времени ( х ) и ( х+1).

Решение данного уравнения имеет вид:

Где значение const определяется из начальных условий.

В случае регулярной единичной выплаты уравнение сводится к виду:

И описывает обыкновенную ренту постнумерандо. Решение имеет вид:

Рассчитаем современную стоимость данной ренты. Для этого определим значение const при х=n, где n- число выплат. Очевидно, что современная стоимость будет равна сумме геометрической прогрессии с числом членов n. Проверим, определив значение функции S(x) при х=0. Выразим значение const при условии S(n)=0, const=-1/[An *(A-1)], следовательно S(0)= (1-1/ An ) / (A-1) Сумма геометрической прогрессии равна а*(1-qn)/(1-q), где знаменатель прогрессии q=1/А. В случае выплат постнумерандо первый член прогрессии а=1/A, поэтому получаем 1/A*(1-1/ An )/(1-1/A)=S(0)

В случае учета индексации пенсионных выплат решение можно построить аналогично. Например, при индексации по линейному закону уравнение преобразуется к виду: S(x+1)=A*S(х)-(1+B*x), где В является константой, определяющей степень индексации. Современная стоимость ренты в данном случае равна:

В случае индексациии по степенному закону: S(n+1)=A*S(n)-(1+B)n

Современная стоимость ренты равна:

Дифференциальное уравнение, описывающее прирост суммы S по сложному проценту имеет вид

Случай ренты подчиняется уравнению вида

где a – размер выплат.

Данный пример является очень наглядным, поскольку, как видно из рисунка при a/k S0 – возрастающая. В последнем случае уровень процентной ставки обеспечивает доход, превышающий размер выплаты. При достаточно продолжительном временном интервале или числе членов ренты, начальная сумма меняется медленно и решение сильно зависит от начальных данных, т.е. носит явно неустойчивый характер. Однако реально, на продолжительном временном интервале всегда существуют колебания, как доходности, так и размера выплат. Поэтому значительный рост или уменьшение суммы недопустимы, в силу существования корреляции между размером выплат и процентной ставкой.

При анализе влияния на величину современной стоимости ренты периода накопления и выплат, удобно пользоваться тарифными сетками. Ниже приведена тарифная сетка для процентной ставки 0%, 5% и 10%, в которой рассчитана современная стоимость ежемесячной ренты по формуле:

Таблица. Тарифная сетка. Современная стоимость отложенной ренты.

Временные интервалы в приведенном примере характерны для долгосрочных задач пенсионного обеспечения. Однако, данный метод анализа так же применим для моделирования краткосрочных финансовых операций.

На рисунке приведено аналогичное, представленному на рис. поле, в которое вносится возмущение в виде полосы с отрицательной доходностью величиной минус 10% годовых. Ширина полосы 5 лет. В остальной области норма доходности как и в предыдущем случае, равна 10% годовых. В данном случае моделируется кризис, который наступает через 20 лет и продолжается в течение 5-ти лет. В течение кризиса норма доходности принимается отрицательной. т.е. происходит частичная потеря активов. В нашем случае – это практически половина активов.

Дополнительное условие для нормы доходности имеет вид

r(T)=10 для ( T Пожизненные ренты

Выплата производится в конце периода

Выплата производится в начале периода

В случае выплат внутри года можно применять формулу Вулхауза

Техника функциональных уравнений для страхового аннуитета

Рассмотрим как применима техника функциональных уравнений для страхового аннуитета. Каждая выплата (I) может быть определена как p*I, где p- вероятность наступления события или в нашем случае вероятность дожития до возраста x, начиная с возраста y. Вероятность p можно рассчитать, зная функцию выживания sf(x)=p(X>x), которая может быть построена по таблице дожития как sf(x)=L(x)/L(0), где L(x) и L(0) – число людей доживших до возраста x и число родившихся соответственно. Сеточная функция sf(x) является гладкой и для достаточно широких интервалов может быть приближена полиномом. Для примера выберем функцию sf(x) для мужского городского населения, составленную по результатам микропереписи населения в 1993 г. Рассмотрим приближение полиномом 2-й степени функции выживания на отрезке 40-80 лет. Естественно, что увеличение степени полинома приведет к уменьшению погрешности аппроксимации, однако в этом случае аналитическое решение принимает более сложный вид. Например, полиномом 10-й степени можно достаточно точно приблизить функцию выживания в диапазоне от 0 – 100 лет, однако коэффициенты в решении получается настолько громоздкими, что проще перейти к привычным суммам, образующимся в результате решения балансового уравнения. Для менее точных оценок можно ограничить таблицу дожития выживания возрастом, соответствующим точке перегиба функции sf(x), приблизительно находящейся в возрасте 90 лет.

На рис. приведена функция, построенная методом наименьших квадратов, которая аппроксимирует функцию выживания (сплошная линия) полином Y=D0+D1*X+D2* X2 с коэффициентами : D0=1.03, D1=0.00339, D2=-0.0001855 (пунктирная линия). По оси абсцисс отложен возраст, по оси ординат число доживших до данного возраста, нормированное на общее число родившихся.

В этом случае уравнение, определяющее величину разового взноса для обеспечения срочного пенсионного страхования сводится к виду:

А решение имеет вид:

Сonst0 – определяется из начальных условий. Если выплата производится раз в год, то S(y+n)=0, следовательно Const0=[const1+const2*(y+n)+const3*(y+n)2]/ An

Const1= [ D0*(1-A)/Const+D1/Const+D2/Const*(1-2/(1-A) ]/ (1-A)2

Сравним результаты расчетов функционального уравнения с решением балансового уравнения для единичной ежегодной выплаты, нормы доходности 10 % (r=0.1), p(i) определяется по таблице смертности городского населения 1993 года для мужчин. Результаты сравнения решений, полученных по уравнению баланса и оценке и ренты при p(i)= 1 приведены на рис. По оси абсцисс отложен возраст, по оси ординат величина разового взноса, соответствующая данному возрасту, которая обеспечивает единичные выплаты постнумерандо до возраста 60 лет.

Рассмотрим ограниченный период выплат, с условием, что выплаты носят условный характер, т.е. при расчете современной стоимости учитывается дожитие. Пусть период выплат ограничен и равен, как и в предыдущем случае, 5 годам. В отличие от срочной ренты существует вероятность осуществления каждой выплаты, которая определяется вероятностью дожития до момента платежа. Вероятность прожить год с возраста x, определяется по формуле

где l60, l61 – число доживших до возраста 60 и 61 год, определяемое по таблице дожития. Рассмотрим численные значения данных вероятностей для мужчин возраста 60 лет в течение 5 лет. Выберем из таблицы 1 число доживших мужчин до возраста 60-65 лет и рассчитаем вероятности дожития в течение 5-ти лет, начиная с 60 лет. Результаты приведены в таблице.

Для определения современной стоимости предстоящих платежей в течение 5 лет необходимо дополнительно умножить каждое слагаемое суммы (дисконтный множитель) на искомую вероятность. Обе величины приведены в таблице. Окончательно получим

Как видно данная сумма меньше безусловной стоимости платежей в течение 5 лет. Так стоимость 5-ти летней ренты равна 44 518 рублей, при ежегодной разовой выплате 10 000 рублей, а стоимость условных выплат, учитывающих вероятность дожития равна 43 524 рубля.

Финансовые потоки.

Модель финансового потока

Изменение суммы S, начиная c начальной суммы S0, размещенной под процентную ставку r на время t (время нормируется на число дней в году) имеет следующий вид:

Очевидно, что величина суммы финансового потока на фиксированный момент времени определяется как:

Данное выражение легко проверяется. Рассмотрим для простоты две операции внутри периода t=t1+t2: размещение суммы S1 в начальный момент времени и извлечение суммы S2 в момент времени t1.

В этом случае последовательно определяя изменение конечной суммы на момент t получаем:

В случае, когда отдельная сумма S0 размещается с отличной от средней рыночной доходности (r°), увеличение или уменьшение величины активов можно компенсировать отрицательным фиктивным потоком Sf:

или положительным фиктивным потоком Sf

Сумма фиктивного потока Sf не должна изменить существующую величину активов, поэтому избыточная или недополученная прибыль в результате инвестирования под процентную ставку r° должна быть равна прибыли фиктивного потока, а сам поток идентифицирован специальным индикатором.

В случае переменной процентной ставки сумма потока рассчитывается аналогично (2):

только вместо постоянной процентной ставки r для каждой операции применяется эффективная процентная ставка rэфф. Максимальное значение rэфф при большом числе циклов реинвестирования и следовательно коротком периоде инвестирования определяется следующим образом:

Однако при высоком уровне доходности величина rэфф, определенная с использованием (4) оказывается сильно завышенной, поэтому в этом случае целесообразно использовать в расчетах следующие аппроксимации для эффективной доходности:

Дифференциальное уравнение, описывающее изменение денежного потока

в случае переменной доходности и дополнительных операций, связанных со взносами или выплатами, имеет вид:

Точное решение (8) приведено в [1] и выглядит следующим образом:

Расчет эффективной процентной ставки

Основными величинами, характеризующими финансовый поток, являются: количество операций, сумма и дата операции, позволяющая определить продолжительность отдельной операции. Для определения доходности финансового потока дополнительно необходимо знать абсолютную величину дохода полученного в течение исследуемого периода. В финансовых вычислениях наиболее часто используют коэффициент роста капитала, определенный в простейшем случае как отношение суммы в конце периода к начальной сумме, и коэффициент прироста капитала, который также носит название доходности:

Приведенное выше выражение в виде (2) часто встречается в методиках оценки инвестиционных проектов и представляет собой балансовое уравнение между суммой инвестированных средств S(0) при t(0)=0 и code(0)=-1, и суммы обратного дисконтированного потока платежей. Значение инвестиционной доходности в данном методе находится при помощи итераций.

Для финансового потока, в котором баланс между совершенными операциями подводится в конце периода выражение, используемое в методе (IRR) преобразуется к следующему виду:

Для решения уравнения (3), которое не допускает точного решения, применяется численный метод. В качестве примера приведем наиболее распространенный алгоритм, использующий метод Ньютона. В этом случае итерационный процесс можно представить в следующем виде:

При применении данного метода возникает вопрос единственности решения. В случае однократного чередования знака операций, например, первыми были выполнены операции взносов (перечислений), а вторыми – операции выплат (возврата), уравнение имеет единственное решение. Учитывая, что реальный финансовый поток может иметь много чередований знака операций, уравнение (3) имеет несколько решений и итерационный процесс может сходиться к различным корням, в зависимости от начального приближения, которое можно легко оценить, используя систему начисления простых процентов или иначе средневзвешенную стоимость пенсионных резервов. В этом случае уравнение (3) преобразуется к виду:

а доходность определяется по формуле:

Пример. Оценка рентабельности договоров по ОПС

Поток платежей по ОПС в виде затрат Фонда и полученной части инвестиционного дохода представляется в виде:

Приведенное выше выражение часто встречается в методиках оценки инвестиционных проектов и представляет собой балансовое уравнение между суммой инвестированных средств Sexp и суммы обратного дисконтированного потока платежей. Значение инвестиционной доходности в данном методе находится при помощи итераций.

В качестве примера приведем наиболее распространенный алгоритм, использующий метод Ньютона. В этом случае итерационный процесс можно представить в следующем виде:

В стандартных формулах Excel существует специальная формула ВСД

Основные обозначения (актуарная нотация)

© 2021 АО «Оператор систем пенсионного обеспечения и страхования»

Источник