Алгебра 8 класс чему равно значение дроби

13.10.202308.07.2022 admin 0 Comments

Понятие алгебраической дроби. Основное свойство

Определение алгебраической дроби

Чтобы дать определение алгебраической дроби, необходимо повторить, что такое алгебраическое выражение (см. §1 справочника для 7 класса) и многочлен (см. §14 справочника для 7 класса).

Алгебраическая дробь – это алгебраическое выражение, числитель и знаменатель которого являются многочленами (при условии, что знаменатель не равен нулю).

Алгебраическая дробь, как и другие алгебраические выражения, может быть рациональной или иррациональной. Напомним, что в иррациональных выражениях извлекаются корня из переменных (или переменные возводятся в степень с дробным показателем). В рациональных выражениях корни и дробные степени или вообще не извлекаются или извлекаются только из чисел.

Алгебраические (рациональные) дроби

Алгебраическая дробь существует при условии, что её знаменатель не равен 0. Поэтому, если в знаменателе есть переменные («буквы»), всегда говорят о допустимых значениях этих переменных.

Основное свойство алгебраической дроби

При умножении или делении числителя и знаменателя алгебраической дроби на одно и то же алгебраическое выражение (отличное от нуля) получается равная ей дробь:

Это свойство аналогично основному свойству обычной числовой дроби: мы можем одновременно умножать или делить числитель и знаменатель на любое выражение, сокращать на общий множитель, если он существует. Например:

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Основное свойство алгебраических дробей позволяет приводить их к общему знаменателю и упрощать сложные выражения:

Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю

Шаг 2. Дополнительные множители

Перемена знака у члена дроби

Из основного свойства дроби следует, что одновременное умножение числителя и знаменателя на (-1) не изменит дробь:

Дробь также не изменится, если провести следующие перемены знаков:

Ещё несколько полезных формул, связанных с переменой знаков:

Примеры

Пример 1. Найдите допустимые значения переменных, входящих в дробь:

$ a^2-4 \neq 0 \iff (a-2)(a+2) \neq 0 \iff a \neq \pm 2$

$ 3x-1 \neq 0 \iff x \neq \frac<1><3>$

$$ x- \frac<4> \neq 0 \iff \frac \neq 0 \iff <\left\< \begin x^2-4 \neq 0 \\ x \neq 0 \end \right.> \iff x \neq <0; \pm2>$$

$ y^2-3|y| \neq 0 \iff |y|(|y|-3) \neq 0 \iff <\left\< \begin |y| \neq 0 \\ |y| \neq 3 \end \right.> \iff y \neq <0; \pm3>$

Пример 2. Сократите дроби:

Пример 3. Упростите выражение:

Пример 4. Постройте график функции:

(О графике линейной функции – см. §38 справочника для 7 класса)

Источник

Алгебраические дроби

теория по математике 📈 алгебраические выражения

Любая обыкновенная дробь называется алгебраической дробью, так как она представляет собой деление, записанное с помощью дробной черты. В алгебраической дроби могут встречаться не только числа, но и буквенные выражения.

Примеры алгебраических дробей:

Для алгебраических дробей применяются правила, аналогичные обыкновенным дробям.

Сокращение алгебраической дроби

Сократить алгебраическую дробь – это значит разделить числитель и знаменатель на одно и то же выражение, на их общий множитель (одночлен, его степень или многочлен) – применяется основное свойство дроби. Причем и числитель, и знаменатель должны содержать множители.

Пример №1. Сократим дробь:

В числителе и знаменателе дроби мы видим переменную b, на которую и разделим каждую часть дроби:

Промежуточные действия можно не записывать, а выполнять устно.

Пример №2. Сократим дробь:

Здесь содержатся степени с одинаковым основанием, поэтому, необходимо помнить еще и правило деления степеней с одинаковым основанием (основание остается прежним, а показатели степеней вычитаем). Сократим дробь на меньшую степень – на m 5 :

Пример №3. Сократим дробь:

В каждой части дроби содержатся разные многочлены, поэтому сократить пока дробь мы не можем, так как нет множителей. Значит, по возможности, мы должны найти выражение, которое можно разложить на множители, это знаменатель, так как можем вынести за скобки общий множитель х(х – у). Только потом мы можем сократить дробь на одно и то же выражение – многочлен (х – у).

Пример №4. Сократим дробь:

Здесь мы видим, что в числителе многочлен, а в знаменателе произведение одночленов и многочлена, причем многочлены различны. Значит, надо сделать так, чтобы числитель и знаменатель содержали одинаковые множители. Числитель можно разложить на множители по формуле разности квадратов, то есть m 2 – n 2 =(m–n)(m+n), затем сократить дробь на одно и то же выражение (m–n).

Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковым знаменателем

При сложении и вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями знаменатель остается прежним, а числители складывают или вычитают (из числителя первой вычитают числитель второй дроби).

Пример №5. Выполним сложение дробей:

Здесь одинаковые знаменатели, поэтому записываем его, а числители складываем: при сложении видим подобные слагаемые, которые приводим и получаем в числителе 5х.

Пример №6. Выполним вычитание дробей:

В знаменатель записываем 2х, а из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, при этом не забываем вычитаемое взять в скобки, если оно является многочленом. Затем раскрываем скобки, помня о том, что необходимо поменять знаки на противоположные, так как перед ними стоит знак «минус». Затем приводим подобные слагаемые и получаем новый числитель.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, необходимо:

Пример №7. Выполнить сложение дробей:

Чтобы найти общий знаменатель, надо найти для чисел 5 и 10 наименьшее общее кратное (наименьшее число, которое делится и на 5, и на 10), это число 10. В первом знаменателе есть еще множитель – переменная у, поэтому также берем у для общего знаменателя. Таким образом, у нас есть два множителя 10 и у, это и есть наш общий знаменатель.

Теперь находим дополнительный множитель к каждой дроби. Для этого общий знаменатель 10у делим на первый знаменатель 5у, получим 2, значит, умножаем на 2 первый числитель 2х. Для второй дроби 10у делим на 10, получаем у, умножаем на него числитель второй дроби – с. Получаем в числителе 4х+су.

Пример №8. Выполнить вычитание дробей:

Здесь знаменатели дробей различные многочлены, поэтому надо рассмотреть каждый. Первый знаменатель – это формула сокращенного умножения, по ней можно разложить на множители данный многочлен а 2 – с 2 =(а–с)(а+с). Второй знаменатель представляет собой простой многочлен, который нельзя разложить на множители. Составим новый знаменатель, состоящий из разных выражений – это (а–с)(а+с).

Находим дополнительные множители: к первой дроби дополнительного множителя нет, так как новый общий знаменатель – это полностью знаменатель первой дроби. А ко второй дроби это будет выражение (а – с). Поэтому умножаем числитель 2 на (а – с).

Приводим подобные слагаемые, а полученную дробь сокращаем на выражение (а+с).

Умножение алгебраических дробей

Чтобы перемножить алгебраические дроби, надо числитель перемножить с числителем, а знаменатель со знаменателем. При необходимости выполнить сокращение алгебраической дроби, используя правило.

Пример №9. Выполнить умножение дробей:

Здесь перемножаем числители и знаменатели, полученную дробь сокращаем на 2с.

Пример №10. Выполнить умножение дробей:

Здесь в числителях и знаменателях — многочлены. Поэтому при записи умножения обязательно заключаем их в скобки. При этом мы видим, что числитель и знаменатель содержат одинаковые множители – многочлены (х+2), поэтому можно сократить дробь на этот многочлен.

Деление алгебраических дробей

Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, надо первую дробь умножить на дробь, обратную второй (то есть умножить на дробь, у которой числитель равен знаменателю второй дроби, а знаменатель числителю второй дроби). Далее – выполнить умножение дробей по уже известному алгоритму.

Пример №11. Выполнить деление дробей:

Здесь выполним деление по алгоритму: перейдем от деления к умножению на дробь, обратную делителю. Сократим полученную дробь на выражение (a+b) и на 2.

Найдите значение выражения:

Упрощение заданного выражения нужно начать с преобразований в скобках. Здесь следует привести дроби к общему знаменателю:

теперь переходим от деления дробей к их умножению:

затем 1) сокращаем дроби на 5ab; 2) в числителе первой дроби раскладываем выражение, используя формулу сокращенного умножения для разности квадратов:

сокращаем выражение на (a–5b): Представим числовые значения для a и b в виде неправильных дробей (для удобства вычислений): Подставим полученные значения в выражение и найдем конечный результат: Ответ: 39

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите значение выражения при x = 12:

Выполним тождественные преобразования выражения, чтобы упростить его. 1-й шаг – переход от деления дробей к их умножению:

далее в знаменателе второй дроби сворачиваем выражение по формуле сокращенного умножения (используем ф-лу для квадрата суммы):

теперь сокращаем выражение (в числителе первой дроби и в знаменателе второй) и приходим к окончательно упрощенному виду:

Подставляем числовое значение для х в полученное выражение и находим результат:

Ответ: 0,6

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите значение выражения

В первую очередь в заданиях такого типа необходимо упростить выражение, а затем подставить числа. Приведем выражение к общему знаменателю — это b, для этого умножим первое слагаемое на b, после этого получим в числителе:

Приведем подобные слагаемые — это 9b² и — 9b², в числителе остается 5a. Запишем конечную дробь:

Вычислим её значение, подставив числа из условия:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите значение выражения:

Итак, в данном задании при вычитании дробей нам необходимо привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель — это 15 x y, для этого необходимо первую дробь домножить на 5 y — и числитель и знаменатель, естественно:

Далее, после того как дроби приведены к общему знаменателю, можно производить вычисления. Вычислим числитель:

5 y — (3 x + 5 y) = 5 y — 3 x — 5 y = — 3 x

Тогда дробь примет вид:

Выполнив простые сокращения числителя и знаменателя на 3 и на x, получим: — 1/5 y

Подставим значение y = 0,5: — 1 / (5 • 0,5) = — 1 / 2,5 = — 0,4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Источник

Действия с алгебраическими дробями

После полученных начальных сведений о дробях перейдем к действиям с алгебраическими дробями. С ними можно выполнять любые действия вплоть до возведения в степень. При их выполнении мы в итоге получаем алгебраическую дробь. Все пункты необходимо разбирать последовательно.

Действия с алгебраическими дробями аналогичны действиям с обыкновенными дробями. Поэтому стоит отметить, что правила являются совпадающими при любых выполняемых с ними действиями.

Сложение алгебраических дробей

Сложение может выполняться в двух случаях: при одинаковых знаменателях, при наличии разных знаменателей.

Если необходимо произвести сложение дробей с одинаковыми знаменателями, нужно сложить числители, а знаменатель оставить без изменения. Это правило позволяет воспользоваться сложением дробей и многочленов, которые находятся в числителях. Получим, что

Если имеются числители дроби с разными числителями, тогда необходимо применить правило: воспользоваться приведением к общему знаменателю, выполнить сложение полученных дробей.

Решение

Выполним сложение и получим, что

Статья о сложении и вычитании таких дробей имеет подробную информацию, где подробно описано каждое действие, производимое над дробями. При выполнении сложения возможно появление сократимой дроби.

Вычитание

Вычитание выполняется аналогично сложению. При одинаковых знаменателях действия выполняются только в числителе, знаменатель остается неизменным. При различных знаменателях выполняется приведение к общему. Только после этого можно приступать к вычислениям.

Решение

Ответ: 2

Решение

Детальная информация указана в статье о сложении и вычитании алгебраических дробей.

Умножение алгебраических дробей

С дробями можно производить умножение аналогичное умножению обыкновенных дробей: для того, чтобы умножить дроби, необходимо произвести умножение числителей и знаменателей отдельно.

Рассмотрим пример такого плана.

Теперь необходимо выполнить преобразования, то есть умножить одночлен на многочлен. Получаем, что

Предварительно следует произвести разложение дроби на многочлены для того, чтобы упростить дробь. После можно производить сокращение. Имеем, что

Подробное рассмотрение данного действия можно найти в статье умножения и деления дробей.

Деление

Рассмотрим деление с алгебраическими дробями. Применим правило: для того, чтобы разделить дроби, необходимо первую умножить на обратную вторую.

Дробь, которая обратная данной считается дробь с поменянными местами числителем и знаменателем. То есть, эта дробь называется взаимообратной.

Решение

Возведение алгебраической дроби в степень

Если имеется натуральная степень, тогда необходимо применять правило действий с возведением в натуральную степень. При таких вычислениях используем правило: при возведении в степень нужно числитель и знаменатель отдельно возводить в степени, после чего записать результат.

Детальное решение подобных примеров рассматривается в статье про возведение алгебраической дроби в степень.

При работе со степенью дроби необходимо помнить, что числитель и знаменатель отдельно возводятся в степень. Это заметно упрощает процесс решения и дальнейшего упрощения дроби. Стоит обращать внимание и на знак перед степенью. Если имеется знак «минус», то такую дробь следует переворачивать для простоты вычисления.

Источник

Конспекты по алгебре 8 класс «Алгебраические дроби»

Урок по теме « Алгебраические дроби, рациональные и дробные выражения. Допустимые значения переменных»

Образовательная: введение понятия алгебраической дроби, рациональных и дробных выражений, области допустимых значений,

Развивающая: формирование навыков критического мышления, самостоятельного поиска информации, исследовательских навыков.

Воспитательная: воспитание сознательного отношения к труду, формирование коммуникативных навыков, формирование самооценки.

1. Организационный момент:

Чтобы спорилось нужное дело,

Чтобы в жизни не знать неудач,

В алгебры мир отправимся смело,

В мир примеров и разных задач.

А девизом нашего урока буду такие слова:

И открытия нас ждут обязательно!

Сегодня в дроби я попал

Ох, и сложное же положение

Научиться выполнять деление.

Мысли путаются все

В моей умной голове.

Как же дроби сократить?

Что на что мне разделить?

Есть числитель, знаменатель

Помогите мне, друзья.

У немцев есть такая поговорка “Попасть в дробь”, что означает попасть в тупик, трудное положение. Это объясняется тем, что долгое время действия с дробными числами, которые иногда называли “ломаными”, считались по праву очень сложными.

Но сейчас принято рассматривать не только числовые, но и алгебраические дроби, чем мы сегодня и займемся.

Пусть девизом нашего урока сегодня станут следующие слова:

Успех – это не пункт назначения. Это движение

3. Актуализация опорных знаний.

— Что такое целые выражения? Из чего они составлены? Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных.

— Что значит сократить дробь?

— Что значит разложить на множители?

— Какие способы разложения вы знаете?

— Чему равен квадрат суммы (разности)?

— Чему равна разность квадратов?

4. Изучение нового материала.

В 8 классе мы познакомимся и с дробными выражениями.

Они отличаются от целых тем, что они содержат действие деление на выражение с переменной.

Если алгебраическое выражение составлено из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, возведения в степень с натуральным показателем и деления, причем используя деление на выражения с переменными, то его называют дробным выражением.

Дробные выражения не имеют смысла при тех значениях переменных, которые обращают знаменатель в нуль.

Областью допустимых значений (ОДЗ) алгебраического выражения называют множество всех допустимых совокупностей значений букв, входящих в это выражение.

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями

отдельным видом рационального выражения является рациональная дробь. Это дробь, числитель и знаменатель которой – многочлены.

Какие из выражений являются целыми, какие дробными? (или №1)

Английский физик и математик Исаак Ньютон в своей книге « Всеобщая арифметика» ввел понятие дроби следующим образом:

« Запись одной из двух величин под другой, ниже которой между ними

проведена черта, обозначает частное или же величину, возникающую при

делении верхней величины на нижнюю.

Так, означает величину, возникающую при делении 6 на2, т.е. 3.

Лев Николаевич Толстой сравнивал дробь с человеком:

» Человек есть дробь. Числитель – это сравнительно с другими – достоинства человека; знаменатель – это оценка человека самого себя. Увеличить свой числитель – свои достоинства, не во власти человека, но всякий может уменьшить свой знаменатель – свае мнение о самом себе и этим уменьшением приблизится к совершенству».

6. Закрепление нового материала.

Решить №2, 3(1), 5(1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11), 7(1).

7. Самостоятельная работа учащихся (в группах).

Решить № 3(2), 5(2, 5, 8, 12), 7(2).

Трудным ли для тебя был материал урока?

На каком из этапов урока было труднее всего, легче всего?

Что нового ты узнал на уроке? Чему научился?

Работал ли ты на уроке в полную меру сил?

Как эмоционально ты чувствовал себя на уроке?

Д/з: выучить п.1, вопросы с.7, решить № 4, 6, 8.

Каждая группа составляет синквейн к слову «дробь».

Если будешь дроби знать

Точно смысл их понимать,

Станет легкой даже трудная задача.

Урок по теме «Основное свойство рациональной дроби»

Образовательная: формирование знаний учащихся о способах сокращения дробей;

закрепление понятия алгебраической дроби, рациональных и дробных выражений, области допустимых значений,

1. Организационный момент:

Здравствуйте, друзья! Садитесь.

Мы урок наш начинаем,

Всем удачи пожелаем.

Вы друг друга поддержите

Постарайтесь, не ленитесь.

На 12 лишь трудитесь.

А дежурных прошу встать,

Кто отсутствует сказать.

Дроби всякие нужны,

Дроби разные важны.

Тогда придет к тебе удача.

Коли будешь дроби знать

Т очный смысл их понимать,

Даже трудная задача.

Математика много дает для умственного развития человека – заставляет думать, соображать, искать простые и красивые решения, помогает развивать логическое мышление, умение правильно и последовательно рассуждать, тренирует помять, внимание, закаляет характер. Надеюсь, что сегодня вы все будете работать с большим желанием узнать, что-то новое и в тоже время закрепить свои прошлые знания. Ведь как гласит народная мудрость: «Была бы охота – заладится всякая работа».

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Вам известно, что значение обыкновенной дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель одновременно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число.

(и числитель, и знаменатель мы одновременно умножили на одно и то же число 4; значение дроби не изменилось);

4. Изучение нового материала.

Рациональная дробь — это в определенном смысле обобщение обыкновенной дроби; над алгебраическими дробями можно осуществлять преобразования, аналогичные тем, которые мы только что указали для обыкновенных дробей. Эти преобразования можно описать так:

1. И числитель, и знаменатель рациональной дроби можно умножить на один и тот же многочлен (в частности, на один и тот же одночлен, на одно и то же отличное от нуля число); это — тождественное преобразование заданной алгебраической дроби.

2. И числитель, и знаменатель рациональной дроби можно разделить на один и тот же многочлен (в частности, на один и тот же одночлен, на одно и то же отличное от нуля число); это — тождественное преобразование заданной алгебраической дроби, его называют сокращением алгебраической дроби.

Сформулированные правила представляют собой основное свойство алгебраической дроби.

Пример 1. Сократите дробь:

Решение. Представим числитель и знаменатель этой дроби в виде произведений, содержащих один и тот же множитель 3у, и сократим дробь на этот множитель:

5. Закрепление нового материала.

Решить №27(устно), 29, 30, 33, 34, 36(1-3).

Во всех делах умеренность нужна,

Пусть будет главным правилом она.

Гимнастикой займись, коль мыслил долго,

Болезни чтоб прогнать и сохранить здоровье.

Гимнастика не изнуряет тела,

Но очищает организм всецело!

Закройте глаза, расслабьте тело,

Представьте – вы птицы, вы вдруг полетели!

Теперь в океане дельфином плывете,

Теперь в саду яблоки спелые рвете.

Налево, направо, вокруг посмотрели,

Открыли глаза, и снова за дело!

7. Самостоятельная работа.

Вариант II

8. Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Выучить п.2. Решить № 31, 35, 36 (4, 5, 6).

— Какую цель мы поставили в начале урока?

-Какие знания, полученные ранее, нам позволили «открыть» новое знание?

-Проанализируйте результат своей работы.

Карточка для этапа рефлексии:

1) Данная тема мне понятна.

2) Я хорошо понял правило____________________________________________

3) Я знаю, как пользоваться алгоритмом_____________________________________

4) Я сумею найти разность квадратов ________________________________________________________

5) В самостоятельной работе у меня всё получилось___________________________

6) Я понял алгоритм, но в самостоятельной работе на уроке допустил ошибки (перечислить)________________________________________

7) Я доволен своей работой на уроке________________________________________

Урок по теме «Сокращение рациональных дробей и приведение их к общему знаменателю»

Образовательная: закрепление знания учащихся о способах сокращения дробей;

закрепление понятия алгебраической дроби, рациональных и дробных выражений, области допустимых значений,

1. Организационный момент

Во всем мне хочется дойти

В работе, в поисках пути,

До сущности протекших дней,

До оснований, до корней,

Добрый день мои друзья. Я рада приветствовать вас на уроке алгебры. Сегодня, продолжая тему « Сокращения дробей », мы обсудим способ вынесения общего множителя за скобки.

Вы уже знакомились с этой операцией, но сегодня как в словах Б. Пастернака, с которых начался наш урок, мы постараемся дойти до самой сути этого способа и применить его на практике.

Эмблемой нашего урока пусть будет этот орешек знаний.

Орешек знаний тверд

Но все же, мы не привыкли отступать.

Чтоб расколоть его сегодня

Мы будем истину искать.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

1) Укажите общий множитель числителя и знаменателя и сократите дробь (6 баллов)

4. Решение упражнений на сокращение рациональных дробей и приведение их к общему знаменателю.

Пример 1. Приведите дробь к знаменателю х-2у.

Решение. Для этого числитель и знаменатель данной дроби умножим на (-1), получим:

Пример 2. Сократите дробь .

Решение. Разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим полученную дробь на общий множитель:

Решить №36(1, 3, 5, 8, 9), 37, 39, 40, 42.

Мы спокойно отдыхаем.

Сном волшебным засыпаем.

Дышится легко. ровно. глубоко.

Наши руки отдыхают.

Губы чуть приоткрываются.

Все чудесно расслабляется.

Дышится легко. ровно. глубоко.

Мы спокойно отдыхаем.

Сном волшебным засыпаем.

(Громче, быстрей, энергичней.)

Хорошо нам отдыхать!

Но пора уже вставать!

Крепче кулачки сжимаем.

Их повыше поднимаем.

6. Самостоятельная работа.

7. Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

— Что нового узнали на уроке?

— Оцените свои знания по таблице:

Знаю: (что такое основное свойство дроби)

Повторить п. 1, 2. Решить № 38. 41, 43(1-4).

Урок по теме «Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями».

Обучающая: Формирование знаний и умений правил сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Умение выполнять указанные действия. Повторить и обобщить полученные знания об обыкновенных дробях.

Развивающая: Развитие кругозора, мышления, любознательности, внимания, культуры математической речи, привитие интереса к изучению математики.

Воспитывающая: Воспитание аккуратности, чувство коллективизма, самоконтроля.

1. Организационный момент

Дроби всякие нужны,

Дроби разные важны.

Тогда придет к тебе удача.

Коли будешь дроби знать

Т очный смысл их понимать,

Даже трудная задача.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Посмотрите на доску. Кто сможет разгадать, зашифрованные надписи?

Пригадаємо відоме українське прислів’я : «Знання збираються по краплині, як вода в долині.» И соберём по капельке всё, что учили по теме:

Как называется операция, когда числитель и знаменатель дроби делят на одно и тоже число? (Сокращение)

Как называется множитель при делении общего знаменателя на знаменатель дроби? (Дополнительный множитель)

Какое число никогда не может быть знаменателем дроби? (ноль)

Как называется величина, которая показывает, насколько частей разделена одна целая? (знаменатель)

Как называется величина, которая показывает, сколько взято таких частей? (числитель)

Какую величину можно рассматривать, как частное от деления? (дробь)

4. Изучение нового материала.

— Как складывают дроби с одинаковыми знаменателями?

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают а знаменатель оставляют тот же.

— Как вычитают дроби с одинаковыми знаменателями?

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель оставляют тот же.

— Запишите правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями с помощью букв.

;

Определить, правильна ли найдена сумма и разность дробей:

а) б)

в ) г )

5. Закрепление нового материала.

Аутотренинг

Пусть задача – это крепость.
Но с нами отвага и смелость.
Бояться задачу – смех!
Мы расщёлкаем её – как орех!
На штурм идём уверенно –
Ведь время не потеряно!

Решение задач № 68, 70, 72, 74.

Быстро встали, улыбнулись

Ну-ка, плечи распрямите,

Вправо, влево повернитесь,

Рук коленями коснитесь.

Сели, встали. Сели, встали.

И на месте побежали.

7. Самостоятельная работа.

Решить № 69(1, 2), 71(1, 2), 73(1).

Что узнали для себя нового?

Что заинтересовало? Почему?

Проанализируйте свою работу на каждом этапе.

Что показалось интересным?

Что самое главное и что надо запомнить?

Выучить п.3. Решить №69(3-6), 71(3, 4), 73(2-4), 75(2).

Урок по теме «Сложение, вычитание дробей с разными знаменателями».

Обучающая: Формирование знаний и умений правил сложения и вычитания дробей с разными знаменателями. Умение выполнять указанные действия. Повторить и обобщить полученные знания об обыкновенных дробях.

Воспитывающая: Воспитание аккуратности, чувство коллективизма, самоконтроля.

1. Организационный момент

« Да, путь познания не гладок,

Но знаем мы со школьных лет,

Загадок больше, чем разгадок

И поискам предела нет»

Доброе утро, ребята! Мы продолжаем наше увлекательное путешествие по стране “Алгебраические выражения”.

— С какими “обитателями” страны мы встречались на предыдущих уроках? (С алгебраическими выражениями.)

— Что мы можем выполнять со знакомыми нам алгебраическими выражениями? (Сложение и вычитание.)

— Какая характерная особенность алгебраических дробей, которые мы уже умеем складывать и вычитать? (Мы складываем и вычитаем дроби, имеющие одинаковые знаменатели.)

— Верно. Но мы все вместе хорошо понимаем, что навыков выполнения действий с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели, недостаточно. Как вы считаете, что ещё необходимо нам научиться делать? (Выполнять действия с дробями, имеющими разные знаменатели.)

— Молодцы! Тогда продолжим наше путешествие? (Да!)

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Сформулируйте основное свойство дробей.

Какая дробь называется алгебраической?

3.Сформулируйте правило изменения знака перед дробью?

4. Когда алгебраическая дробь равна нулю?

5. Когда алгебраическая дробь не имеет смысла?

6. Что называется сокращением дроби?

7. Правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.

Решить № 76 (1, 2), 80(1).

4. Изучение нового материала.

Сложение и вычитание алгебраических дробей:

С одинаковыми знаменателями выполняется по правилу:

С разными знаменателями: Привести все дроби к общему знаменателю; если они с самого начала имели одинаковые знаменатели, то этот шаг алгоритма опускают. Выполнить сложение (вычитание) полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей: Разложить все знаменатели на множители.

Из первого знаменателя выписать произведение всех его

множителей, из остальных знаменателей приписать к этому

произведению недостающие множители. Полученное произведение

будет общим знаменателем.

Найти дополнительные множители для каждой из дробей.

Записать каждую дробь с новым числителем и общим знаменателем.

1. .

Мы с вами просто гении! Нами построен алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями. Совместными усилиями нами ликвидировано затруднение, так как перед нами теперь настоящий “путеводитель” (алгоритм) по неизведанной для нас стране “Алгебраические дроби”!

Выберете выражение, которое является суммой дробей и .

а) б)

в) г)

5. Закрепление нового материала.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решить № 98, 100(1-6), 102(1-3), 110(1-4).

Во всех делах умеренность нужна,

Пусть будет главным правилом она.

Гимнастикой займись, коль мыслил долго,

Болезни чтоб прогнать и сохранить здоровье.

Гимнастика не изнуряет тела,

Но очищает организм всецело!

Закройте глаза, расслабьте тело,

Представьте – вы птицы, вы вдруг полетели!

Теперь в океане дельфином плывете,

Теперь в саду яблоки спелые рвете.

Налево, направо, вокруг посмотрели,

Открыли глаза, и снова за дело!

7. Самостоятельная работа.

а) б) в) г)

a) б) в) г)

Выучить п.4, решить № 99, 101(1-4), 103, 111.

Карточка для этапа рефлексии.

Данная тема мне понятна.

Я знаю, как найти дополнительные множители к каждой из дробей.

Я умею находить новые числители для каждой из дробей.

В самостоятельной работе у меня всё получалось.

Я смог понять причину ошибки, которую допустил в самостоятельной работе.

Я доволен своей работой на уроке.

Урок по теме «Сложение, вычитание дробей с разными знаменателями».

Воспитывающая: Воспитание аккуратности, чувство коллективизма, самоконтроля.

1. Организационный момент

Во всем мне хочется дойти

В работе, в поисках пути,

До сущности протекших дней,

До оснований, до корней,

Добрый день мои друзья. Я рада приветствовать вас на уроке алгебры.

Эмблемой нашего урока пусть будет орешек знаний.

Орешек знаний тверд

Но все же, мы не привыкли отступать.

Чтоб расколоть его сегодня

Мы будем истину искать.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Дать определение алгебраической дроби

Что называется значением алгебраической дроби?

Какие значения букв, входящих в алгебраическую дробь называются допустимыми?

Сформулируйте основное свойство дроби

Как привести алгебраические дроби к общему знаменателю?

Как сложить или вычесть алгебраические дроби с разными знаменателями?

4. Решение упражнений на сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Решить № 803(1-3), 804(4), 805(1-3), 106(3,4), 108(1), 119(1).

Во всех делах умеренность нужна,

Пусть будет главным правилом она.

Гимнастикой займись, коль мыслил долго,

Болезни чтоб прогнать и сохранить здоровье.

Гимнастика не изнуряет тела,

Но очищает организм всецело!

Закройте глаза, расслабьте тело,

Представьте – вы птицы, вы вдруг полетели!

Теперь в океане дельфином плывете,

Теперь в саду яблоки спелые рвете.

Налево, направо, вокруг посмотрели,

Открыли глаза, и снова за дело!

6. Самостоятельная работа

7. Итоги урока. Д/з. Рефлексия

Решить № 77(1), 104(4, 5), 109(1), 119(2).

Что сегодня на уроке мы повторили?

Что вы для себя усвоили?

Отметьте в оценочной карточке ваше отношение к уроку:

Я доволен уроком, мне очень понравилось.

Мне понравилось на уроке, но в моих знаниях есть пробелы.

Урок прошел для меня даром, ни чего нового я на нем не узнал. Все, это я знаю.

Я не доволен уроком, ничего не понял и как решать примеры я не знаю.

Тема урока: Обобщение и систематизация знаний по теме «Сложение и вычитание алгебраических дробей».

обобщение и систематизация знаний по теме «Сложение и вычитание алгебраических дробей»;

продолжить формирование умений и навыков сложения и вычитания алгебраических дробей;

развивать умения ориентироваться в нестандартных ситуациях

развивать самостоятельность в мышлении и в учебной деятельности

формировать познавательный интерес;

формировать умения работать в паре, группе;

развивать коммуникативные навыки.

1. Организационный момент

— Как живете? (дети отвечают жестами и движениями)

— А алгебру как знаете?

Здравствуйте, садитесь. Французский писатель 19 столетия Анатоль Франс однажды заметил: “Учиться можно только весело. Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”. Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в дальнейшей жизни.
Сегодня на уроке перед вами стоит задача – показать, как вы знаете способы разложения многочлена на множители, как умеете их применять при работе с алгебраическими дробями.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Дать определение алгебраической дроби

Что называется значением алгебраической дроби?

Какие значения букв, входящих в алгебраическую дробь называются допустимыми?

Сформулируйте основное свойство дроби

Как привести алгебраические дроби к общему знаменателю?

Как сложить или вычесть алгебраические дроби с разными знаменателями?

4. Решение упражнений по теме «Сложение и вычитание алгебраических дробей».

Найти разность алгебраических дробей

Вариант 1 Вариант2

Ответ : Ответ:

Восстановите отсутствующие знаменатели дробей и закончите сложение (вычитание)

Вариант 1 Вариант 2

Найти значения выражения

Вариант 1 Вариант 2

Ответ: Ответ:

5. Физминутка для глаз.

-Не поворачивая головы, обведите взглядом стену класса по периметру по часовой стрелке, классную доску по периметру против часовой стрелки, треугольник, изображенный на стенде по часовой стрелке и равный ему треугольник против часовой стрелки. Поверните голову налево и посмотрите на линию горизонта, а теперь на кончик своего носа. Закройте глаза, сосчитайте до 5, откройте глаза и …

Мы ладонь к глазам приставим,
Ноги крепкие расставим.
Поворачиваясь вправо,
Оглядимся величаво.
И налево надо тоже
Поглядеть из под ладошек.
И – направо! И еще
Через левое плечо!
а теперь продолжим работу.

6. Проверочная самостоятельная работа.(тесты)
1. Сократить дробь ;