факториал какой класс школы
Класс: 5
Презентация к уроку
Тип урока – изучение нового материала с элементами закрепления.
Оборудование – презентация к уроку.
Этапы урока
Деятельность учителя
Деятельность учащихся
Быль: «Однажды на экзамене…»
Преподаватель: Прочитайте выражение:
Студент: Единица, деленная на два-а-а. Плюс единица, деленная на три-и-и. Плюс единица, деленная на четы-ы-ыре.
Преподаватель: Постойте, постойте…Почему вы кричите?
Студент: Но там же написаны восклицательные знаки.
Давайте узнаем, что обозначает символ восклицательного знака в математике.
Факториалом числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n:
(n! читается: «эн факториал»).
Записывают определение в тетрадь.
,
, 
, 
.3. Приведи к несократимому виду дроби:
, 
, 
, 
, 
, 
.4. Приведи дроби к наименьшему общему знаменателю:
, 
, 
, 
.5. Найди значение разностей:
, 
, 
, 
.Запиши следующие две разности и найди их значение. Чему равна разность 
?
Решают примеры, опираясь на введенное определение.
с использованием факториала числа.
Использованная литература:
Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г. Математика. 5 класс. Часть 2.- М.: Издательство «Ювента», 2007.
Факториал
Факториал: определение
Факториал числа n — это произведение натуральных чисел от 1 до n. Обозначается n, произносится «эн-факториал».
Факториал определен для целых неотрицательных чисел. Это значит, что вот так нельзя:
Число должно быть целое и положительное:
Вычисляется факториал по формуле: путем умножения всех чисел от одного до значения самого числа под факториалом. Факторизация — это разложение функции на множители.
Мы видим, что 4! — это 3!*4
5! — это 4!*5
6! — это 5!*6
Формулы и свойства факториала
Чтобы узнать, как вычислять факториалы быстро — воспользуемся табличкой. Сохраняйте себе и решайте раньше остальных.
| 1! = 1 |
| 2! = 2 |
| 3! = 6 |
| 4! = 24 |
| 5! = 120 |
| 6! = 720 |
| 7! = 5040 |
| 8! = 40320 |
| 9! = 362880 |
| 10! = 3628800 |
| 11! = 39916800 |
| 12! = 479001600 |
| 13! = 6227020800 |
| 14! = 87178291200 |
| 15! = 1307674368000 |
| 16! = 20922789888000 |
| 17! = 355687428096000 |
| 18! = 6402373705728000 |
| 19! = 121645100408832000 |
| 20! = 2432902008176640000 |
| 21! = 51090942171709440000 |
| 22! = 1124000727777607680000 |
| 23! = 25852016738884976640000 |
| 24! = 620448401733239439360000 |
| 25! = 15511210043330985984000000 |
Факториалов в математике 9 класса — полно. Чтобы всегда быть готовым решить пример, запомните основные формулы:
С помощью формулы Стирлинга можно вычислить факториал многоразрядных чисел.
Такая формула дает результат с небольшой погрешностью.
 |
Рекуррентная формула
 |
Для решения примеров обращайтесь к таблице.
Примеры умножения факториалов:
Примеры решений
Давайте поупражняемся и решим пару примеров.
1. Сократите дробь:
Далее сокращаем по принципу сокращения обыкновенных дробей.
2. Вычислите значение выражения с факториалом: 8! + 5!
Можно для решения факториалов воспользоваться таблицей и вычислить быстрее.
А можно потренироваться и разложить их:
8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 7!*8 = 5040 * 8 = 40320
5! = 1*2*3*4*5 = 4!*5 = 120
40320 + 120 = 40440
8! + 5! = 40440
3. Вычислите значение выражения:
7! = 1*2*3*4*5*6*7 = 5! * 6 *7
Далее сокращаем все, что можем сократить (3*2=6, сокращаем числа 6) и получаем ответ.
4. Вычислите значение выражение:
Вы уже знаете, как найти факториал — раскладываем 70 и 49:
70! = 1*2*3*. *69 = 69! * 70
49! = 1*2*3*. 49! * 48
Далее сокращаем все одинаковые множители.
5. Сократите дробь:
Проводим разложение на множители при помощи формул сокращенного умножения (x+1)x(x-1) и сокращаем все одинаковые множители (x-1)!.
Если вы все еще считаете, что факториал бесполезен и не может помочь вам в жизни, то это не так. Он помогает легко вычислять вероятности (а это бывает нужно чаще, чем кажется). К тому же, комбинаторика необходима тем, кто собирается работать в IT. Поэтому решайте побольше задачек на факториалы, в мире будущего без них — никуда.
Факториал, 6 класс
Тип урока: урок изучения нового материала.
1) сформировать понятие факториала, способность к чтению и записи выражений, содержащих факториалы, а также способность к его практическому использованию;
2) повторить и закрепить смысл умножения натуральных чисел, степени числа.
а) 4! + 5! в) 5! · 4! д) 5! : 4!
а) 8! = 4! · 2! в) 9! : 8! = 9
б) 10! = 10 · 9! г) 6! : 2! = 3!
Докажите, что: 5! + 6! = 7 · 5! Что больше?
а) 7! + 8! или 9! в) 4! · 4! или 8!
б) 5! + 8! или 6! + 7! г) 1! + 2! + 3! + … + 9! или 10!
Какой наименьший факториал делится: а) на 5; б) на 7; в) на 12? Дана последовательность чисел:
1! 1! + 2! 1! + 2! + 3! 1! + 2! + 3! + 4! …
Какой цифрой оканчивается число, стоящее в этой последовательности под номером 1995?
3. Докажите, что: 5! + 6! = 7 · 5!
Решение: 5!(1 + 6) = 7· 5!
Решение : а) 7! + 8! ‹ 9! в) 4! · 4! ‹ 8!
7! (1 + 8) ‹ 9! 4! ∙ 24 ‹ 4! · 1680
б) 5! + 8! › 6! + 7! г) 1! + 2! + 3! + … + 9! = 10!
5. Какой наименьший факториал делится: а) на 5; б) на 7; в) на 12?
6. Дана последовательность чисел:
1! 1! + 2! 1! + 2! + 3! 1! + 2! + 3! + 4! …
Какой цифрой оканчивается число, стоящее в этой последовательности под номером 1995?
I. Орг. момент (включение в учебную деятельность на личностно-значимом уровне).
II. Актуализация знаний (организуется повторение используемых способов действий, правил, свойств – с фиксацией соответствующих эталонов).
— Найдите значения выражений. (45, 50, 55, 60)
— Чем интересен полученный ряд чисел? (Все числа кратны 5, увеличиваются на 5).
— Какие из чисел полученного ряда можно представить в виде суммы двух одинаковых слагаемых? (25 + 25 = 50, 30 + 30 = 60); трех одинаковых слагаемых (15 + 15 + 15 = 45, 20 + 20 + 20 = 60); пяти одинаковых слагаемых (10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 50, 11 + 11 + 11 + 11 + 11= 55).
— Как короче можно записать сумму 1000 слагаемых, каждое из которых равно 7? (7 · 1000).
— А сумму п слагаемых, каждое из которых равно а? (а · п).
Плакат № 1 (поизведение одинаковых слагаемых)
2. – Зачеркните в таблице крестиком числа данного ряда и соедините полученные точки замкнутой ломаной линией без самопересечений. Какая фигура получилась? (Квадрат).
— Какие свойства квадрата вы знаете?
— Найдите площадь квадрата со стороной 4 см.
3. – Что интересного в данном ряду выражений? (слайд № 2) (Это произведения, содержащие один и тот же множитель 4, количество множителей в каждом следующем выражении увеличиваются на 1).
— Сколько множителей содержит выражение, стоящее на 5-ом месте, 10-ом, 1000-ом?
— Как короче можно записать произведение одинаковых п-множителей, каждое из которых равно а?
Плакат № 2 (степень числа)
III. Изучение нового материала (постановка учебной задачи, построение детьми нового способа действий и формирование способности к его выполнению; решение типовых заданий на новый способ действий; проговаривание способа решения в громкой речи).
— Рассмотрим еще один ряд выражений (слайд № 3). Что интересного в данном ряду? (Это произведения нескольких первых натуральных чисел).
— Запишите выражение, которое стоит в данном ряду на сотом месте!
— В математике есть специальное обозначение для краткой записи произведения нескольких первых натуральных чисел.
Плакат № 3 (факториал)
— Найдем значения некоторых факториалов (слайд № 4).
— Обратите внимание на то, что факториалы быстро становятся очень большими (слайд № 5). Может быть, именно поэтому восхищенный изобретатель этого выражения употребил восклицательный знак.
IY. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону (учащиеся самостоятельно выполняют задания на новый способ действий, сами проверяют их, пошагово сравнивая с образцом, и убеждаются, что новый способ действий ими освоен).
Y. Итог урока (рефлексия и самооценка учениками деятельности на уроке).
ray_binko
ray_binkoБез году 40 или три по тринадцать
Армию из тысячи человек собрать легко, трудно найти генерала
Вообще-то эта история еще на прошлой неделе случилась, но явно не устарела, поэтому сегодня перескажу. Очередная история из серии «Учимся мы с сыном в 5-м классе».
Прихожу вечером домой с работы и собираюсь традиционно у сына уроки проверять. И тут выясняется, что в домашнем задании по математике у него есть задача, которую не может решить никто. Ни он, ни мама, ни бабушка, ни дедушка… У меня глаза, понятно, загорелись – сейчас папа даст мастер-класс решения нерешаемых школьных задач и повысит свой рейтинг в глазах сына пунктов на 150.
Папа берет учебник математики за 5-й класс и читает задачу № 807: «Аня, Даша, Лена, Марина и Женя пришли к зубному врачу. Сколькими способами они могут встать в очередь?». Уп-с.
Папа помнит, что на третьем курсе универа на «Теории Вероятности» его учили решать такие задачи через факториалы. И это называется то ли «число сочетаний», то ли «число размещений» и решается как-то очень просто – факториал от пяти, что-ли…
Но папа понимает, что это задача взята из учебника для 5-го класса, где факториалов вроде как не должно быть в принципе. Значит, должно быть, какое-то другое решение – простое и понятное пятикласснику. Но все попытки найти это решение к результату не приводят. 5 девочек, 5 мест в очереди – но не 5 х 5 = 25, же, правда?
Папа начинает листать учебник, чтобы понять какую вообще дети проходят тему, что к ней такие задачи дают. Тема называется «Степени числа: квадрат, куб». Причём тут девочки в очереди и степени числа непонятно в принципе. Папа открывает ответы в конце учебника, но там нет ответа именно на эту задачу!
Папа лезет в Интернет в надежде найти какой-нибудь сайт, посвященный решениям задач по математике для пятиклассников. Зря смеетесь – папа находит и скачивает PDF-файл с ответами к задачам вроде бы этого учебника (по крайней мере, двое из четырех авторов совпадают), но выясняется, что учебник всё же другой и ответ на задачу 807 не имеет ничего общего с девочками и зубными врачами.
Папа впадает в прострацию. Но тут является счастливый сын и объявляет, что он, кажется, перепутал (!?) – им задали задачу № 801, а он написал «1» похожую на «7» (!!), вот и вышло № 807. 801-я задача, к счастью, действительно связана с квадратами и кубами, и папа с сыном легко и быстро её решают.
Но неприятный осадок, то остался! На следующее утро папа обращается к знакомым математикам и те объясняют, что это реально задача на факториалы, это действительно число сочетаний, которое считается как 5! (факториал пяти) и равно 5*4*3*2*1=120. Других вариантов решения этой задачи – для пятого класса – математики предложить не могут.
Или факториалы сейчас это реально тема пятого класса? Нет, понятно, что папа учился в школе еще при Царе Горохе, но неужели умственная акселерация нового поколения зашла так далеко? Мне всегда казалось, что там в другую сторону всё движется.
И снова не могу не процитировать Пушкина: «О сколько нам открытий чудных готовит просвещенья дух…». И это только пятый класс, ребята…
Презентация по математике на тему «Факториал»(5 класс)
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Описание презентации по отдельным слайдам:
ЦЕЛЬ : решать задачи из раздела «Комбинаторика». Объект исследования: раздел математики – «Комбинаторика».
задачи исследования: 1) определить одну из областей применения формул комбинаторики; 2) провести перебор вариантов ; 3) посмотреть методы решения задач комбинаторики.
Комбинаторика – раздел математики, в котором изучают вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям можно составить из данных объёктов. Выбором объектов и расположением их в том или ином порядке приходиться заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности. Комбинаторика нужна для изучения раздела математики «Теория вероятностей», который будет являться обязательным при изучении школьного курса математики.
С аналогичными задачами, получившими название комбинаторных, люди столкнулись в глубокой древности. В Китае увлекались составлением магических квадратов, в Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слогов стихотворных размеров. Комбинаторные задачи возникли в связи с такими играми, как шашки, шахматы, карты, кости и др. Чтобы их решить, нужно было уметь подсчитывать число различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям.
С помощью таблицы 12 вариантов! Плюшка Бутерброд Пряник Кекс Кофе Сок Кефир
Дерево возможных вариантов * БББ, ББК, БКБ, КБК, ККБ, ККК
В данных примерах был осуществлен способ перебора возможных вариантов (возможных комбинаций). Решения данных задач основывается на общем правиле умножения.
«Правило умножения» Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В
С помощью графов По окончанию деловой встречи 4 специалиста обменялись визитными карточками (каждый вручил свою карточку каждому). Сколько визитных карточек было роздано? Решение. Ответ. 12 визиток 1 2 4 3 1
Посчитаем число перестановок для 4 элементов: 1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321.
Для числа перестановок n элементов есть обозначение: n! Например, 4! = 1 · 2 · 3 · 4= 24
Свойство факториала (n + 1)! = (n + 1) * n!. п = 3, (3 + 1)!=(3 + 1) * 3!
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Номер материала: ДБ-179092
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
С 2019 года закрыто более 50 детских лагерей
Время чтения: 1 минута
Заболеваемость ковидом среди студентов и преподавателей снизилась на 33%
Время чтения: 4 минуты
На Госуслугах ввели запись детей на кружки и секции
Время чтения: 2 минуты
Мишустин поручил проводить международную олимпиаду по философии
Время чтения: 0 минут
СК предложил обучать педагогов выявлять деструктивное поведение учащихся
Время чтения: 1 минута
Путин попросил привлекать родителей к капремонту школ на всех этапах
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.