факториал в каком классе изучают по математике

Класс: 5

Презентация к уроку

Тип урока – изучение нового материала с элементами закрепления.

Оборудование – презентация к уроку.

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся1. Организационый моментПроверяется готовность учеников к уроку.2. Объяснение (слайды 1-4).Сегодня у нас с вами очень интересная тема «Факториал числа».

Быль: «Однажды на экзамене…»

Преподаватель: Прочитайте выражение:

Студент: Единица, деленная на два-а-а. Плюс единица, деленная на три-и-и. Плюс единица, деленная на четы-ы-ыре.

Преподаватель: Постойте, постойте…Почему вы кричите?

Студент: Но там же написаны восклицательные знаки.

Давайте узнаем, что обозначает символ восклицательного знака в математике.
Факториалом числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n:

(n! читается: «эн факториал»).Записывают тему урока в тетрадь.

Записывают определение в тетрадь.3. Закрепление (слайды 5-9).Давайте решим следующие примеры:

, , .

3. Приведи к несократимому виду дроби:

, , , , , .

4. Приведи дроби к наименьшему общему знаменателю:

, , , .

5. Найди значение разностей:

, , , .

Запиши следующие две разности и найди их значение. Чему равна разность ?

Решают примеры, опираясь на введенное определение.4. ИтогИтак, что такое факториал числа?Отвечают на поставленный вопрос.5. Постановка домашнего задания.Придумайте 5 примеров
с использованием факториала числа.Записывают домашнее задание.

Использованная литература:

Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г. Математика. 5 класс. Часть 2.- М.: Издательство «Ювента», 2007.

Источник

Факториал

Факториал: определение

Факториал числа n — это произведение натуральных чисел от 1 до n. Обозначается n, произносится «эн-факториал».

Факториал определен для целых неотрицательных чисел. Это значит, что вот так нельзя:

Число должно быть целое и положительное:

Вычисляется факториал по формуле: путем умножения всех чисел от одного до значения самого числа под факториалом. Факторизация — это разложение функции на множители.

Мы видим, что 4! — это 3!*4
5! — это 4!*5
6! — это 5!*6

Формулы и свойства факториала

Чтобы узнать, как вычислять факториалы быстро — воспользуемся табличкой. Сохраняйте себе и решайте раньше остальных.

Факториалов в математике 9 класса — полно. Чтобы всегда быть готовым решить пример, запомните основные формулы:

С помощью формулы Стирлинга можно вычислить факториал многоразрядных чисел.

Такая формула дает результат с небольшой погрешностью.

Рекуррентная формула

Для решения примеров обращайтесь к таблице.

Примеры умножения факториалов:

Примеры решений

Давайте поупражняемся и решим пару примеров.

1. Сократите дробь:

Далее сокращаем по принципу сокращения обыкновенных дробей.

2. Вычислите значение выражения с факториалом: 8! + 5!

Можно для решения факториалов воспользоваться таблицей и вычислить быстрее.

А можно потренироваться и разложить их:

8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 7!*8 = 5040 * 8 = 40320
5! = 1*2*3*4*5 = 4!*5 = 120
40320 + 120 = 40440
8! + 5! = 40440

3. Вычислите значение выражения:

7! = 1*2*3*4*5*6*7 = 5! * 6 *7

Далее сокращаем все, что можем сократить (3*2=6, сокращаем числа 6) и получаем ответ.

4. Вычислите значение выражение:

Вы уже знаете, как найти факториал — раскладываем 70 и 49:
70! = 1*2*3*. *69 = 69! * 70
49! = 1*2*3*. 49! * 48

Далее сокращаем все одинаковые множители.

5. Сократите дробь:

Проводим разложение на множители при помощи формул сокращенного умножения (x+1)x(x-1) и сокращаем все одинаковые множители (x-1)!.

Если вы все еще считаете, что факториал бесполезен и не может помочь вам в жизни, то это не так. Он помогает легко вычислять вероятности (а это бывает нужно чаще, чем кажется). К тому же, комбинаторика необходима тем, кто собирается работать в IT. Поэтому решайте побольше задачек на факториалы, в мире будущего без них — никуда.

Источник

Факториал, 6 класс

Тип урока: урок изучения нового материала.

1) сформировать понятие факториала, способность к чтению и записи выражений, содержащих факториалы, а также способность к его практическому использованию;

2) повторить и закрепить смысл умножения натуральных чисел, степени числа.

а) 4! + 5! в) 5! · 4! д) 5! : 4!

а) 8! = 4! · 2! в) 9! : 8! = 9

б) 10! = 10 · 9! г) 6! : 2! = 3!

Докажите, что: 5! + 6! = 7 · 5! Что больше?

а) 7! + 8! или 9! в) 4! · 4! или 8!

б) 5! + 8! или 6! + 7! г) 1! + 2! + 3! + … + 9! или 10!

Какой наименьший факториал делится: а) на 5; б) на 7; в) на 12? Дана последовательность чисел:

1! 1! + 2! 1! + 2! + 3! 1! + 2! + 3! + 4! …

Какой цифрой оканчивается число, стоящее в этой последовательности под номером 1995?

3. Докажите, что: 5! + 6! = 7 · 5!

Решение: 5!(1 + 6) = 7· 5!

Решение : а) 7! + 8! ‹ 9! в) 4! · 4! ‹ 8!

7! (1 + 8) ‹ 9! 4! ∙ 24 ‹ 4! · 1680

б) 5! + 8! › 6! + 7! г) 1! + 2! + 3! + … + 9! = 10!

5. Какой наименьший факториал делится: а) на 5; б) на 7; в) на 12?

6. Дана последовательность чисел:

1! 1! + 2! 1! + 2! + 3! 1! + 2! + 3! + 4! …

Какой цифрой оканчивается число, стоящее в этой последовательности под номером 1995?

I. Орг. момент (включение в учебную деятельность на личностно-значимом уровне).

II. Актуализация знаний (организуется повторение используемых способов действий, правил, свойств – с фиксацией соответствующих эталонов).

— Найдите значения выражений. (45, 50, 55, 60)

— Чем интересен полученный ряд чисел? (Все числа кратны 5, увеличиваются на 5).

— Какие из чисел полученного ряда можно представить в виде суммы двух одинаковых слагаемых? (25 + 25 = 50, 30 + 30 = 60); трех одинаковых слагаемых (15 + 15 + 15 = 45, 20 + 20 + 20 = 60); пяти одинаковых слагаемых (10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 50, 11 + 11 + 11 + 11 + 11= 55).

— Как короче можно записать сумму 1000 слагаемых, каждое из которых равно 7? (7 · 1000).

— А сумму п слагаемых, каждое из которых равно а? (а · п).

Плакат № 1 (поизведение одинаковых слагаемых)

2. – Зачеркните в таблице крестиком числа данного ряда и соедините полученные точки замкнутой ломаной линией без самопересечений. Какая фигура получилась? (Квадрат).

— Какие свойства квадрата вы знаете?

— Найдите площадь квадрата со стороной 4 см.

3. – Что интересного в данном ряду выражений? (слайд № 2) (Это произведения, содержащие один и тот же множитель 4, количество множителей в каждом следующем выражении увеличиваются на 1).

— Сколько множителей содержит выражение, стоящее на 5-ом месте, 10-ом, 1000-ом?

— Как короче можно записать произведение одинаковых п-множителей, каждое из которых равно а?

Плакат № 2 (степень числа)

III. Изучение нового материала (постановка учебной задачи, построение детьми нового способа действий и формирование способности к его выполнению; решение типовых заданий на новый способ действий; проговаривание способа решения в громкой речи).

— Рассмотрим еще один ряд выражений (слайд № 3). Что интересного в данном ряду? (Это произведения нескольких первых натуральных чисел).

— Запишите выражение, которое стоит в данном ряду на сотом месте!

— В математике есть специальное обозначение для краткой записи произведения нескольких первых натуральных чисел.

Плакат № 3 (факториал)

— Найдем значения некоторых факториалов (слайд № 4).

— Обратите внимание на то, что факториалы быстро становятся очень большими (слайд № 5). Может быть, именно поэтому восхищенный изобретатель этого выражения употребил восклицательный знак.

IY. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону (учащиеся самостоятельно выполняют задания на новый способ действий, сами проверяют их, пошагово сравнивая с образцом, и убеждаются, что новый способ действий ими освоен).

Y. Итог урока (рефлексия и самооценка учениками деятельности на уроке).

Источник

Конспект урока по алгебре «КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ. ФАКТОРИАЛ.» (9 класс)

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

УМК- Алгебра 9 класс, автор А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. М.Мнемозина, 2010г

Уровень обучения – базовый.

Тема. Комбинаторные задачи. Факториал.

Тип урока: изучение нового материала и его первичное закрепление.

Цели урока: дальнейшее изучение комбинаторного правила умножения

( факториал); формировать умения решать комбинаторные задачи с помощью правила умножения, развивать логическое мышление и математическую речь.

Задачи : Закрепить знания учащихся производить вычисления с выражениями, содержащими факториал, по построению «дерева возможных вариантов», перестановкам. Р азвитие навыков комбинаторного мышления учащихся; воспитание творческого подхода к решению задач; развитие математических компетенций.

Планируемые результаты: учащиеся научаться решать комбинаторные задачи применяя определение факториала и используя изученную теорему о перестановках.

1.При встрече три друга обменялись рукопожатиями. Сколько рукопожатий было сделано? (3.)

3. Сколькими способами Петя и Вова могут занять 2 места за одной двухместной партой? (2.)

4. Сколько подарочных наборов можно составить:

1) из одного предмета; (1.)

2) из двух предметов, если в наличии имеются одна ваза и одна ветка сирени? (3.)

III. Объяснение нового материала.

Определение. Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают п ! и называют « эн факториал» т.е. п != 1234… (п -1)  п .

Название происходит от английского слова factor – «множитель».

Рассмотрим как факториал применяется для решения различных математических задач

Решение: Упрощаем левую часть, используя определение факто риала:

п=2 и п=3 ( они натуральные, удовлетворяют условию задачи )

На уроках информатики прошли язык программирования Паскаль, циклы до, пока, для. Удобно вычислить факториалы с помощью программ с циклами. (АЛБЕРТ).

№ 18.14 ( а и б – решают в парах и после решения комментируют свои решения)

Решите уравнение в натуральных числах

V .Первичная проверка понимания

Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Где применяют комбинаторные задачи?

Какой из способов решения комбинаторных задач вам больше всего понравился?

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Номер материала: ДБ-331756

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

В Башкирии школьные каникулы продлили до 14 ноября

Время чтения: 1 минута

Путин попросил привлекать родителей к капремонту школ на всех этапах

Время чтения: 1 минута

Школьники Свердловской области с 8 ноября перейдут на дистанционку

Время чтения: 0 минут

Минпросвещения разработало проект новых правил русского языка

Время чтения: 2 минуты

Заболеваемость ковидом среди студентов и преподавателей снизилась на 33%

Время чтения: 4 минуты

СК предложил обучать педагогов выявлять деструктивное поведение учащихся

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Конспект урока по теме «Элементы комбинаторики. Перестановки. Факториал. Урок2» (9 класс)

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

9 класс (ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ)

Урок № 2. Перестановки. Факториал

 познакомить учащихся с понятием перестановки, числа перестановок;

 ввести понятие факториала.

1. Сформулируйте комбинаторное правило умножения.

2. В коридоре висит 3 лампочки, каждая из которых может гореть или не гореть независимо друг от друга. Сколько имеется способов освещения коридора? (Следует обратить внимание учащихся на случай, когда ни одна из лампочек не горит, это тоже способ освещения коридора.) [8]

3. Одновременно бросают 3 монеты. Сколько равновозможных исходов у этого эксперимента? [8]

Объяснение нового материала

Займемся теперь подсчетом числа способов, которыми можно расположить в ряд несколько различных элементов. Такие расположения называются перестановками и играют важную роль в комбинаторике.

Сколькими способами можно выложить в ряд красный, синий и зеленый шарики?

Сначала можно выбрать любой из трех шариков, затем — любой из двух оставшихся, а в конце — последний, оставшийся шарик. По правилу произведения получаем, что шарики можно выложить в ряд 3 · 2 · 1 = 6 способами.

Если бы было восемь разноцветных шариков, то выложить их в ряд можно

8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40 320 способами.

Число перестановок из n элементов обозначают символом P _n

В данных примерах P ₃ = 6, P ₈ = 40 320.

Рассуждая тем же способом, легко понять, что n различных элементов можно выложить в ряд n · ( n – 1) · ( n – 2) · … · 2 · 1 способами.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n называется факториалом натурального числа n .

Таким образом, перестановкой из n элементов называется способ расположения их в ряд (способ их нумерации).

Договорились считать 0! = 1, 1! = 1

Приведем таблицу факториалов от 0 до 10:

Пример 2. Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?

P ₄ – P ₃ = 4! – 3! = 24 – 6 = 18. ( P ₄ – всего перестановок из 4 цифр, P ₃ – число перестановок начинающихся с 0).

Закрепление изученного материала

№ № 732, 734, 735, 736, 742, 743, 748

 Дать определение перестановки.

 Чему равно число различных перестановок из n элементов?

 Что такое факториал натурального числа?

 Чему равен факториал нуля?

2. №№ 733, 737, 749, 752(б)

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Номер материала: ДБ-228984

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Систему ЕГЭ сделают независимой от Microsoft

Время чтения: 1 минута

С 2019 года закрыто более 50 детских лагерей

Время чтения: 1 минута

Заболеваемость ковидом среди студентов и преподавателей снизилась на 33%

Время чтения: 4 минуты

Путин попросил привлекать родителей к капремонту школ на всех этапах

Время чтения: 1 минута

В Башкирии школьные каникулы продлили до 14 ноября

Время чтения: 1 минута

СК предложил обучать педагогов выявлять деструктивное поведение учащихся

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник