Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем выражение 8 + 4 = 12. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 12 = 12.
Уравнением можно назвать выражение 8 + x = 12, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени, значит, такое уравнение является квадратным.
Квадратное уравнение — это ax 2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Есть три вида квадратных уравнений:
Понятие дискриминанта
Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, которое находится под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.
Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.
Чаще всего для поиска дискриминанта используют формулу:
В этом ключе универсальная формула для поиска корней квадратного уравнения выглядит так:
Эта формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.
Но есть и другие формулы — все зависит от вида уравнения. Чтобы в них не запутаться, сохраняйте табличку или распечатайте ее и храните в учебнике.
Как решать квадратные уравнения через дискриминант
В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный. Только после этого вычисляем значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.
Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:
А вот и еще одна табличка: в ней вы найдете формулы для поиска корней квадратных уравнений при помощи дискриминанта:
Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, важно практиковаться. Вперед!
Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта
Тема урока в 8-м классе: «Решение квадратных уравнений»
Разделы: Математика
Цель урока: Учащиеся должны знать формулу квадратного уравнения, знать формулу корней квадратного уравнения, уметь применять формулу, для этого должны четко знать место расположения коэффициентов, формулу дискриминанта, знать зависимость между дискриминантом и корнями. Отработать навыки применения формулы, умение анализировать решение и находить ошибки.
у = 2х – 3 (что это за функция, что является графиком, убывающая или возрастающая, сколько надо выбрать точек, чтобы построить график? Как проверить, правильно ли, построен график?)
а) Двое работают у доски №534(ж) и №534(д), двое проверяют, решая эти же задания в тетради, и готовят друг другу вопросы.
б) 4 человека работают по карточкам (карточки прилагаются к уроку).
в) В это время весь класс работает над №638(ж), №636(а), первые 4, 5 человек, вперед решившие задания, оцениваются оценкой, и кто-нибудь из них идет проверять у доски. Посла этого, проверяющие анализируют ответы, решающих у доски и задают им дополнительные вопросы по пройденному материалу, участие в проверке принимает весь класс, и если имеются ошибки, то их исправляют обосновывая. Работающих на карточках проверяет учитель – задав вопрос, комментирует поставленную оценку.
г) Проводится устная работа (повторение изученного материала).
3. Самостоятельная работа в координатных тетрадях.
(Задания взяты из экзаменационного сборника 9 класса). Задания написаны на обратной стороне доски, работа по вариантам. Выполняется работа в тетрадях для дополнительных занятий, которые сразу же сдаются.
1 вариант
2 вариант
1. Построить график функции
у = 2х – 4 и указать возрастающая или убывающая функция?
1. Построить график функции
2х 2 + 3х = 0 4а 2 – 3а = 0 х 2 – 9 = 0
— 5х 2 + 6х = 0 2у + у 2 = 0 у 2 – 4 = 0
4. Решение совместно с решением у доски.
Комментируем. № 542 (1 столбик), решающие отвечают на вопросы своих товарищей + вопрос, который добывают себе сами, срывая лепесток ромашки.
1. Что такое дискриминант? Какая функция называется линейной? Что является графиком линейной функции?
2. Перечислить все неполные квадратные уравнения.
3. Какая функция называется квадратичной? Как называется график квадратичной функции?
4. Какое уравнение называется приведённым квадратным уравнением?
6. Решаем на доске и в тетради с пояснением.
Ребята, какие виды работ вы хотели бы провести. Что еще вы не могли понять и сегодня поняли, разобрались.
Конспект урока по алгебре на тему «Дискриминант квадратного уравнения. Формула корней квадратного уравнения»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Тема: Дискриминант квадратного уравнения. Формула корней квадратного уравнения. Количество корней квадратного уравнения в зависимости от его дискриминанта.
1. Организационный момент.
Цель этапа: приветствие, проверка готовности к уроку, включение учащихся в учебную деятельность.
— Здравствуйте, ребята! Садитесь.
Урок я хочу начать притчей. Однажды молодой человек пришёл к
мудрецу и пожаловался ему: «Каждый день по 5 раз я произношу фразу «Япринимаю радость в мою жизнь, но радости в моей жизни нет».
Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил: «Назови,что ты выбираешь из них».
2. Проверка домашнего задания
Цель этапа: формирование умения организации самостоятельной работы, контроль усвоения ранее изученного.
— Открываем тетради, проверка домашнего задания. Обменяйтесь тетрадями, возьмите ручку с пастой другого цвета. Обратите внимание на слайд, проверьте работу товарища, выставите оценку в соответствии с критериями.
— Обменяйтесь вновь тетрадями. Запишите в тетради число, классная работа.
3. Актуализация знаний учащихся.
Цель этапа: Повторение пройденного материала, контроль ранее изученного.
Теоретический опрос по теме «Неполные квадратные уравнения».
— Обменяйтесь работами, возьмите ручку с пастой другого цвета. Обратите внимание на слайд, проверьте работу товарища, выставите оценку в соответствии с критериями.
— обменяйтесь тетрадями, вынесите оценку на поля.
выписаны верно все три коэффициента – 1 балл
допущена 1 и более ошибок – 0 баллов
4. Формулирование темы урока
Подводка к теме урока: прием «Составь слово»
— Работа в группах. Повторим тему «Квадратные корни». Задание «Собери слово». Работа осложнена будет тем, что на карточке есть лишние буквы.
— Во время работы, не забываем о правилах поведения в группе.
— Работа закончена. Обменяйтесь карточками между группами, проверьте работу товарищей, подсчитайте количество правильных ответов.
— Оцените работу группы в соответствии с критериями. Вынесите оценку на поля.
Уравнения — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значения неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем выражение 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.
Уравнением можно назвать выражение 3 + x = 7, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.
Квадратное уравнение — это ax2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.
Есть три вида квадратных уравнений:
Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b 2 − 4ac. А вот свойства дискриминанта:
С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.
Приведенные и неприведенные квадратные уравнения
Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.
Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.
Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент может быть любым.
Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:
В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x 2 ), а значит уравнение называется приведенным.
Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.
Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x 2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.
Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:
В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.
Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято назвать неполным.
Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.
Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.
Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.
Решение неполных квадратных уравнений
Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:
Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.
Как решить уравнение ax 2 = 0
Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0.
Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.
Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.
Пример 1. Решить −6x 2 = 0.
Как решить уравнение ax 2 + с = 0
Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.
Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.
Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:
Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.
Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению ax 2 + c = 0, которое:
Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.
Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней.
Как решить уравнение ax 2 + bx = 0
Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.
Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:
Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.
Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.
Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:
Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0
0,5x = 0,125, х = 0,125/0,5
Ответ: х = 0 и х = 0,25.
Формула Виета
Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:
Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.
Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:
Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.
Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:
Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:
Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента: 2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>
Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное. 2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>
Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется: 2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>
Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:
Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:
Обратная теорема Виета
Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0.
Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x1 и x2 равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.
Пример 1. Решить при помощи теоремы Пифагора: x 2 − 6x + 8 = 0.
Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.
Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x1 + x2 = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:
Как разложить квадратное уравнение
С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:
Формула разложения квадратного трехчлена
Если x1 и x2 — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x1) (x − x2).
Дискриминант: формула корней квадратного уравнения
Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:
где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.
Эта запись означает:
Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.
Пусть перед нами есть задача решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Выполним ряд равносильных преобразований:
,
после чего уравнение примет вид
Так, мы пришли к уравнению , которое полностью равносильно исходному ax 2 + bx + c = 0.
Отсюда выводы про корни уравнения :
И еще один вывод: есть у уравнения корень или нет, зависит от знака выражения в правой части. При этом важно помнить, что знак этого выражения задается знаком числителя. Потому выражение принято называть дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.
По значению и знаку дискриминанта можно сделать вывод, есть ли действительные корни у квадратного уравнения, и сколько.
Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней
Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.
В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.
Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:
Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!
Примеры решения квадратных уравнений
Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.
Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.
Ответ: единственный корень 3,5.
Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.
Ответ: два корня 3 и — 3.
Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.
Ответ: два корня 0 и 1.
Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.
Ответ: два корня 7 и −7.
Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.
D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112
В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.
Формула корней для четных вторых коэффициентов
Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.
2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″>
Самые внимательные уже заметили, что D = 4D1, или D1= D/4. Проще говоря, D1 — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.
Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:
Упрощаем вид квадратных уравнений
Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.
Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0.
Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.
Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.
А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения
умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0.
Связь между корнями и коэффициентами
Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:
Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.
Например, можно применить формулы из теоремы Виета:
Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:
А еще найти корни квадратного уравнения можно с помощью онлайн-калькулятора. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:
у = 2х – 3 (что это за функция, что является графиком, убывающая или возрастающая, сколько надо выбрать точек, чтобы построить график? Как проверить, правильно ли, построен график?)
,
, которое полностью равносильно исходному ax 2 + bx + c = 0.
