формула герона какой класс

Формула Герона.

Формула Герона позволяет определить площадь треугольника (S) из его сторон a, b, c.

Чтобы вычислить площадь треугольника ∆ABC, если известны длины его сторон a, b и c, используют формулу Герона:

где p — полупериметр треугольника:

.

Рассмотрим нахождение площади треугольника с помощью формулы Герона:

Есть треугольник со сторонами a = 5, b = 6, c = 7. Вычислим полупериметр:

Далее подставляем данные в формулу для определения площади:

Формула Герона, доказательство.

В нем: CH — высота треугольника ABC, которая проведена из вершины C, |CH|=h, |AH|=x, |BH|=y.

Тогда c=x+y, и из теоремы Пифагора из треугольников ACH и BCH имеем:

Учитывая, что x+y=c, получаем и .

Складываем последнее равенство с равенством y+x=c, получаем:

Далее находим высоту h треугольника:

Подставляем эти выражения в определенное выражение для h 2 :

Учитываем то, что , получаем требуемое.

Источник

«Формула Герона и другие формулы для площади треугольника».

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Тема: «Формула Герона и другие формулы для площади треугольника».

Тип урока : урок открытия новых знаний.

Цели урока: обеспечить в ходе урока сознательное повторение формул для вычисления площади треугольника, которые изучаются в школьной программе. Показать необходимость знания II формулы Герона, формулы площади треугольника, заданного в прямоугольной системе координат. Обеспечить сознательное усвоение и применение этих формул при решении задач.

Развивающие: развитие логического мышления, способности самостоятельно решать учебные задачи; развитие любознательность учащихся, познавательного интереса к предмету; развитие творческого мышления, математической речи учащихся;

Воспитательные: воспитание интереса к математике; создание условий для формирования коммуникативных навыков и волевых качеств личности.

Образовательные: углубление знани й модуля действительного числа; обучить умению решать типовые задачи.

Универсальные учебные действия:

Личностные: уважение к личности и ее достоинству; устойчивый познавательный интерес; умение вести диалог на основе равноправных отношений и взаимного уважения.

Регулятивные: ставить цели деятельности на уроке; планировать пути достижения цели; принимать решения в проблемной ситуации на основе переговоров.

Познавательные: в ладеть общими приемами решения задач, выполнения заданий и вычислений; выполнять задания на основе использования свойств модуля действительного числа.

Коммуникативные: а декватно использовать речь для планирования и регуляции своей деятельности; формулировать собственное мнение.

Техническое обеспечение : компьютер, проектор, интерактивная доска.

Мотивационный этап – 2мин.

Домашняя работа – 1 мин.

Этап актуализации знаний по предложенной теме и осуществление первого пробного действия – 10 мин.

Разработка проекта, плана по выходу их создавшегося затруднения, рассмотрения множества вариантов, поиск оптимального решения – 2 мин.

Реализация выбранного плана по разрешению затруднения- 5 мин.

Самостоятельная работа и проверка по эталону – 5 мин.

Рефлексия, включающая в себя и рефлексию учебной деятельности, и самоанализ, и рефлексию чувств и эмоций – 1мин.

Здравствуйте ребята, присаживайтесь. Сегодня наш урок пройдёт по следующему плану: в ходе урока мы изучим новую тему: « Формула Герона и другие формулы для площади треугольника »; повторим те формулы, которые вы знаете; научимся применим эти формулы при решении задач. Итак, приступаем к работе.

Этап актуализации знаний по предложенной теме и осуществление первого пробного действия.

Запишите тему урока. Прежде чем приступить непосредственно к формулам, давайте вспомним какие же формулы для вычисления площади треугольника вы знаете? (учащиеся вспоминает все изученные ими формулы)

Напишите эти формулы.

Какие же формулы для вычисления площади треугольника вы знаете? (учащиеся вспоминает все изученные ими формулы)

Площадь прямоугольного треугольника. S= ab. Запишите формулу

Слайд 5. Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними.

S=½·ab·sinα. Запишите формулу.

А теперь мы изучим новые формулы для нахождения площади.

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности. S = Р r. Запишите формулу.

Площадь треугольника через R-радиус описанной окружности.

S =

2., cos γ = .

Доказательство формулы Герона. Запишите формулу.

Формула площади треугольника по трём сторонам была открыта Архимедом в III в до н.э. Однако соответствующая работа до наших дней не дошла. Эта формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I в н. э.) и названа в его честь. Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых также являются целыми. Такие треугольники носят название Героновых треугольников. Простейшим Героновым треугольником является египетский треугольник

Выявление затруднения: в чем сложность нового материала, что именно создает проблему, поиск противоречия.

Найдите площадь треугольника с данными сторонами: 4,6,8. Хватает ли сведений для решения задачи? Через какую формулу можно решить данное задание?

Разработка проекта, плана по выходу их создавшегося затруднения, рассмотрения множества вариантов, поиск оптимального решения.

Данную задачу можно решить с помощью формулы Герона. Для начало необходимо найти полупериметр треугольника, а затем полученные значения подставить в формулу.

Реализация выбранного плана по разрешению затруднения.

Решение:

S =17+65+80=162 –складываем площади треугольников. По формуле

34/r=AB; 130/r=BC; 160/r=AC

(р-а)=162-34=128 (р- c )=162-160=2

По формуле Герона S =  128/ r *2/ r *32/ r *162/ r =256*5184/ r 4 =1152/ r 2

Т.к S =162, следовательно r =  1152/162=3128/18

Ответ: AB=34 /3128/18, ВС=130/3128/18, АС=160/3128/18.

Первичное закрепление нового знания.

Найдите площадь треугольника с данными сторонами:

Самостоятельная работа и проверка по эталону.

Рефлексия, включающая в себя и рефлексию учебной деятельности, и самоанализ, и рефлексию чувств и эмоций.

Источник

Формула Герона. Геометрия 9 класс

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Описание презентации по отдельным слайдам:

Описание слайда:

Описание слайда:

ГЕРОН АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ
Герон Александрийский жил во второй половине первого века нашей эры. О Героне известно довольно мало. Однако до нас дошли некоторые его труды и копии его трудов, на основании которых Герона вполне заслуженно считают величайшим инженером. Он изобрел автоматические двери, которые производили огромное впечатление на людей, приходивших в храмы, первый торговый автомат, наливавший за монетку определенное количество святой воды, механических певчих птиц, автоматический театр, самострельный арбалет, паровую турбину и многое другое.

Описание слайда:

Как была открыта формула
Формула Герона, которая позволяет вычислить площадь треугольника по длинам его сторон, в действительности была открыта Архимедом. Однако это не умаляет того, что сделал этот человек.
Эта формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I века н. э.) и названа в его честь. Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми. Такие треугольники носят название героновых треугольников. Простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.

Описание слайда:

Описание слайда:

Докозательство:
Пусть а, b, с — длины сторон ВС, АС, АВ треугольника ABC (рисунок).

Описание слайда:

Проведем высоту CC1 и обозначим х длину отрезка АС1. Тогда ВС1=с-х. По теореме Пифагора получаем:

Описание слайда:

Решим это уравнение и найдем х:

Описание слайда:

Тогда:
Данная формула
Называется:
Формула Герона

Описание слайда:

Спасибо за внимание!

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Похожие материалы

Рабочая программа по геометрии 7 класс

Рабочая программа по геометрии 8 класс

Коррекционная карта по теме: «Площади» (8 класс)

Интерактивный рабочий лист по теме «Обобщение и систематизация знаний по теме «Четырехугольники»» (8 класс)

Интерактивный тест по теме №Теорема Пифагора» (8 класс)

Презентация по математике на тему «Осевая симметрия. Построение фигур, симметричных данным.» (8 класс)

Презентация по геометрии «Расскажи и покажи!»

Проект на тему: «Геометрия в системах автоматизированного проектирования для школьников на примере 3D моделирования робота»

Не нашли то что искали?

Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5290847 материалов.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

СК предложил обучать педагогов выявлять деструктивное поведение учащихся

Время чтения: 1 минута

В школе в Пермском крае произошла стрельба

Время чтения: 1 минута

Систему ЕГЭ сделают независимой от Microsoft

Время чтения: 1 минута

Онлайн-конференция о дизайн-мышлении в современной дошкольной педагогике

Время чтения: 2 минуты

Путин попросил привлекать родителей к капремонту школ на всех этапах

Время чтения: 1 минута

Заболеваемость ковидом среди студентов и преподавателей снизилась на 33%

Время чтения: 4 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Формула Герона для треугольника

В данной публикации мы рассмотрим формулу Герона, пользуясь которой можно найти площадь треугольника. Также разберем примеры решения задач для того, чтобы закрепить представленный материал.

Формула площади

Площадь треугольника ( S ) равняется квадратному корню из произведения его полупериметра ( p ) на разности полупериметра и каждой из его сторон ( a, b, c ).

Полупериметр ( p ) вычисляется таким образом:

Примечание: для использования формулы необходимо знать/найти длину всех сторон треугольника.

Формула получила такое название в честь греческого математика и механика Герона Александрийского, который изучал треугольники с целочисленными сторонами и площадью (героновские). К таким, например, относится прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5, который также называют египетским.

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь треугольника со сторонами 6, 8 и 10 см.

Решение
Для начала найдем полупериметр:
p = (6 + 8 + 10) / 2 = 12 см.

Задание 2
В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равняется 15 см, а одного из катетов – 9 см. Вычислите площадь фигуры.

Полупериметр треугольника равен:
p = (9 + 12 + 15) / 2 = 18 см.

Источник

Формула Герона, или Как найти по трем сторонам площадь треугольника

Треугольник является самой простой замкнутой на плоскости фигурой, состоящей всего из трех между собой соединенных отрезков. В задачах по геометрии часто необходимо определить площадь этой фигуры. Что для этого нужно знать? В статье ответим на вопрос, как по трем сторонам найти площадь треугольника.

Общая формула

Вам будет интересно: Педагогический колледж в Каменске-Уральском: талант преподавателей и энтузиазм молодежи

Этим выражением можно воспользоваться, если известны хотя бы две стороны и значение угла между ними. В этом случае высоту h несложно рассчитать с использованием тригонометрических функций, например, синуса. Но как найти по трем сторонам треугольника площадь, знает далеко не каждый.

Формула Герона

Именно эта формула является ответом на вопрос, как по трем сторонам найти площадь треугольника. Прежде чем ее записать, обозначим длины отрезков произвольной фигуры как a, b и c. Формула Герона записывается в следующем виде: S = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)).

Несмотря на кажущуюся громоздкость, приведенное выражение для площади S запомнить легко. Для этого следует сначала рассчитать полупериметр треугольника, затем вычесть из него по одной длине стороны фигуры, перемножить все полученные разницы и сам полупериметр. В конце следует взять квадратный корень от произведения.

Данная формула носит имя Герона Александрийского, жившего в начале нашей эры. Современная история полагает, что именно этот философ впервые применил указанное выражение для выполнения соответствующих вычислений. Эта формула опубликована в его труде «Метрика», который датируется 60-м годом нашей эры. Отметим, что некоторые работы Архимеда, жившего на два столетия раньше Герона, содержат признаки того, что греческому философу была уже известна формула. Кроме того, как найти площадь треугольника, зная три стороны, также знали древние китайцы.

Важно отметить, что поставленную задачу можно решить, не зная о существовании формулы Герона. Для этого следует провести в треугольнике пару высот и воспользоваться общей формулой из предыдущего пункта, составив соответствующую систему уравнений.

Выражение Герона можно использовать для вычисления площадей произвольных многоугольников, предварительно разбивая их на треугольники и вычисляя длины возникающих диагоналей.

Пример решения задачи

Зная, как по трем сторонам найти площадь треугольника, закрепим полученные знания с помощью решения следующей задачи. Пусть стороны фигуры равны 5 см, 4 см и 3 см. Нужно найти площадь.

Известны три стороны треугольника, значит, можно воспользоваться формулой Герона. Вычисляем полупериметр и необходимые разности, имеем:

Тогда получаем площадь: S = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) = √(6*1*2*3) = 6 см2.

Приведенный в условии задачи треугольник является прямоугольным, что нетрудно проверить, если воспользоваться теоремой Пифагора. Поскольку площадь такого треугольника половине произведения катетов равна, то получаем: S = 4*3/2 = 6 см2.

Полученное значение совпадает с аналогичным для формулы Герона, что подтверждает справедливость последней.

Источник