Как иначе называется равносторонний треугольник
Правильный треугольник
Связанные понятия
Полуправильные многогранники — в общем случае это различные выпуклые многогранники, которые, не являясь правильными, имеют некоторые их признаки, например: все грани равны, или все грани являются правильными многоугольниками, или имеются определённые пространственные симметрии. Определение может варьироваться и включать различные типы многогранников, но в первую очередь сюда относятся архимедовы тела.
Упоминания в литературе
Связанные понятия (продолжение)
В геометрии фигуру называют хиральной (и говорят, что она обладает хиральностью), если она не совпадает со своим зеркальным отображением, точнее, не может быть совмещена с ним только вращениями и параллельными переносами. Хиральная фигура и её зеркальный образ называют энантиоморфами. Слово хиральность происходит от др.-греч. χειρ (хеир) — «рука». Это самый известный хиральный объект. Слово энантиоморф происходит от др.-греч. εναντιος (энантиос) — «противоположный», и μορφη (морфе) — «форма». Нехиральный.
Многогранник размерности 3 и выше называется изоэдральным или гране транзитивным, если все его грани одинаковы. Точнее сказать, все грани должны быть не просто конгруэнтны, а должны быть транзитивны, то есть должны прилежать в одной и той же орбите симметрии. Другими словами, для любых граней A и B должна существовать симметрия всего тела (состоящая из вращений и отражений), которая отображает A в B. По этой причине выпуклые изоэдральные многогранники имеют формы правильных игральных костей.
Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы
Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы.
Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.
Равносторонний треугольник (понятие, определение):
Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.
Равносторонний треугольник называется также правильным или равноугольным треугольником.
По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним). Иными словами, правильный (равносторонний) треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.
Рис. 1. Равносторонний треугольник
АВ = ВС = АС – стороны треугольника, ∠ АВС = ∠ BАC = ∠ BСA = 60° – углы треугольника
Свойства равностороннего треугольника:
1. В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой.
2. В равностороннем треугольнике углы равны и составляют 60°.
3. В равностороннем треугольнике каждая медиана, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и высотой, и они равны между собой.
В равностороннем треугольнике биссектриса, проведенная к каждой стороне, является медианой и высотой, и они равны между собой.
В равностороннем треугольнике высота, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и медианой, и они равны между собой.
Рис. 2. Равносторонний треугольник
4. В равностороннем треугольнике высоты, биссектрисы, медианы и серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, которая называется центром равностороннего треугольника. Она же является центром вписанной и описанной окружностей.
Рис. 3. Равносторонний треугольник
R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности
5. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной.
6. Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, если считать от вершин.
Рис. 4. Равносторонний треугольник
AO : OK = BO : OА = CO : OD = 2 : 1
Признаки равностороннего треугольника:
– если в треугольнике три угла равны, то он равносторонний;
– если в треугольнике три стороны равны, то он равносторонний.
Формулы равностороннего треугольника:
Пусть a – длина стороны равностороннего треугольника, h – высота (l – биссектриса, m – медиана) равностороннего треугольника, проведенная к каждой стороне, α – угол равностороннего треугольника, α = 60°, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6).
Рис. 6. Равносторонний треугольник
Формула радиуса вписанной окружности (r):
.
Формула радиуса описанной окружности (R):
,
.
Формулы периметра (Р) равностороннего треугольника:
.
Формулы площади (S) равностороннего треугольника:
.
Формулы высоты (h), медианы (m) и биссектрисы (l) треугольника:
.
Правильный треугольник
Правильный (или равносторонний) треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами, первый из правильных многоугольников. Все стороны правильного треугольника равны между собой, а все углы равны 60°.
По определению, правильный треугольник также является равнобедренным.
Свойства
Пусть 
— сторона правильного треугольника, 
— радиус описанной окружности, 
— радиус вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону
.
Радиус описанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону
.
Периметр правильного треугольника равен
.
Площадь правильного треугольника рассчитывается по формулам:
.
Радиус описанной окружности равен двойному радиусу вписанной окружности:
Равносторонний треугольник используется при построении правильного 30-угольника.
Полезное
Смотреть что такое «Правильный треугольник» в других словарях:
Треугольник Рёло — Построение треугольника Рёло Треугольник Рёло[* 1] предста … Википедия
правильный — I пра/вильный ая, ое; лен, льна, льно. см. тж. правильность 1) а) Соответствующий установленным правилам, не отступающий от существующих правил, норм, порядка. П ое произношение, написание. П ое физическое развитие ребёнка. П ое распределение… … Словарь многих выражений
правильный — 1) правильный ая, ое; лен, льна, льно. 1. Основанный на правилах (см. правило в 1 знач.), происходящий по правилам, соответствующий правилам. Правильное произношение. □ Слепота не помешала правильному физическому развитию, и влияние ее на… … Малый академический словарь
Правильный тетраэдр — Тетраэдр Тип Правильный многогранник Грань Правильный треугольник Вершин … Википедия
Правильный семиугольник — Правильный семиугольник это правильный многоугольник с семью сторонами. Содержание … Википедия
Правильный шестиугольник — (гексагон) это правильный многоугольник с шестью сторонами … Википедия
Правильный девятиугольник — это правильный многоугольник с девятью сторонами. Свойства Правиль … Википедия
Правильный 17-угольник — Правильный семнадцатиугольник геометрическая фигура, принадлежащая к группе правильных многоугольников. Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности. Содержание 1… … Википедия
Правильный семнадцатиугольник — геометрическая фигура, принадлежащая к группе правильных многоугольников. Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности. Содержание … Википедия
Равносторонний треугольник
Правильный треугольник или равносторонний треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами, первый из правильных многоугольников. Все стороны правильного треугольника равны между собой, а все углы равны 60° (или π / 3 ).
В силу определения правильный треугольник также является равнобедренным.
Свойства
Радиус вписанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону
.
Радиус описанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону
.
Периметр правильного треугольника равен
.
,
Площадь правильного треугольника рассчитывается по формулам:
.
| Правильные многоугольники |
|---|
| Треугольник | Четырёхугольник | Пятиугольник | Шестиугольник | Семиугольник | Восьмиугольник | Девятиугольник | Семнадцатиугольник | 257-угольник | 65537-угольник |
| (См. также: Многоугольник, Теорема Гаусса — Ванцеля) |
Полезное
Смотреть что такое «Равносторонний треугольник» в других словарях:
РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК — РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК, плоская фигура, имеющая три стороны равной длины; три внутренних угла, образуемых сторонами, также равны и составляют 60 °С. см. также ТРЕУГОЛЬНИК … Научно-технический энциклопедический словарь
ТРЕУГОЛЬНИК — и (прост.) трёхугольник, треугольника, муж. 1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя взаимно пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла (мат.). Тупоугольный треугольник. Остроугольный треугольник. Прямоугольный треугольник.… … Толковый словарь Ушакова
Треугольник Серпинского — Треугольник Серпинского фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Серпински … Википедия
РАВНОСТОРОННИЙ — РАВНОСТОРОННИЙ, равносторонняя, равностороннее (мат.). Имеющий стороны равной длины. Равносторонний многоугольник. Равносторонний треугольник. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
Треугольник — Триединая природа вселенной: Небо, Земля, Человек; отец, мать, дитя; человек как тело, душа и дух; мистическое число три; тройка, первая из плоских фигур. Отсюда символ поверхности вообще. Поверхность состоит из треугольников (Платон).… … Словарь символов
Треугольник — У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве) это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… … Википедия
Треугольник Рёло — Построение треугольника Рёло Треугольник Рёло[* 1] предста … Википедия
треугольник — ▲ многоугольник ↑ имеющий, три, угол треугольник простейший многоугольник; задается 3 точками, не лежащими на одной прямой. треугольный. остроугольник. остроугольный. прямоугольный треугольник: катет. гипотенуза. равнобедренный треугольник. ▼… … Идеографический словарь русского языка
ТРЕУГОЛЬНИК — Этим геометрическим термином называется музыкальный инструмент, который входит в группу ударных и довольно часто применяется в симфонической и оперной музыке. По форме инструмент представляет собой равносторонний треугольник. Сделан он из… … Музыкальный словарь
РАВНОСТОРОННИЙ — РАВНОСТОРОННИЙ, яя, ее. Имеющий равные стороны. Р. треугольник. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
| Равносторонний треугольник | |
|---|---|
 | |
| Тип | Правильный многоугольник |
| Края и вершины | 3 |
| Символ Шлефли | |
| Диаграмма Кокстера |    |
| Группа симметрии | D3 |
| Площадь | 3 4 а 2 < displaystyle < tfrac < sqrt <3>> <4>> а ^ <2>>  |
| Внутренний угол (градусы) | 60° |
В геометрия, равносторонний треугольник это треугольник в котором все три стороны имеют одинаковую длину. В знакомом Евклидова геометрия, равносторонний треугольник также равносторонний; то есть все три внутренних углы являются также конгруэнтный друг к другу и каждый на 60 °. Это также правильный многоугольник, поэтому его также называют правильный треугольник.
Содержание
Основные свойства
Обозначая радиус описанной окружности как р, мы можем определить, используя тригонометрия это:
Многие из этих величин имеют простую связь с высотой («h») каждой вершины с противоположной стороны:
В равностороннем треугольнике высота, биссектриса угла, серединный перпендикуляр и медиана каждой стороны совпадают.
Характеристики
Треугольник ABC у этого есть стороны а, б, c, полупериметр s, площадь Т, Exradii ра, рб, рc (по касательной к а, б, c соответственно), а где р и р радиусы описанный круг и окружать соответственно равносторонний если и только если верно любое из утверждений в следующих девяти категориях. Таким образом, эти свойства уникальны для равносторонних треугольников, и знание того, что любое из них истинно, прямо подразумевает, что у нас есть равносторонний треугольник.
Стороны
Полупериметр
Площадь
Circumradius, inradius и exradii
Равные чевианы
Три вида чевианы совпадают и равны для (и только для) равносторонних треугольников: [8]
Совпадающие центры треугольников
Шесть треугольников, образованных разделением медианами
Для любого треугольника три медианы разделите треугольник на шесть меньших треугольников.
Очки в плоскости
Известные теоремы
Наглядное доказательство теоремы Вивиани
| 1. | Показаны ближайшие расстояния от точки P до сторон равностороннего треугольника ABC. |
| 2. | Линии DE, FG и HI, параллельные AB, BC и CA соответственно, определяют меньшие треугольники PHE, PFI и PDG. |
| 3. | Поскольку эти треугольники равносторонние, их высоту можно повернуть вертикально. |
| 4. | Поскольку PGCH представляет собой параллелограмм, треугольник PHE можно сдвинуть вверх, чтобы показать, что сумма высот равна высоте треугольника ABC. |
Теорема Морли о трехсекторах утверждает, что в любом треугольнике три точки пересечения смежных трисектора углов образуют равносторонний треугольник.
Теорема наполеона утверждает, что если равносторонние треугольники построены на сторонах любого треугольника, либо все наружу, либо все внутрь, центры этих равносторонних треугольников сами образуют равносторонний треугольник.
Версия изопериметрическое неравенство для треугольников утверждает, что треугольник наибольшего площадь среди всех тех, у кого есть данный периметр равносторонний. [12]
Теорема Вивиани утверждает, что для любой внутренней точки п в равностороннем треугольнике с расстояниями d, е, и ж со сторон и с высоты час,
независимо от местонахождения п. [13]
Теорема Помпею заявляет, что если п произвольная точка на плоскости равностороннего треугольника ABC но не на его описанный круг, то существует треугольник со сторонами длин PA, PB, и ПК. Это, PA, PB, и ПК удовлетворить неравенство треугольника что сумма любых двух из них больше третьего. Если п находится на описанной окружности, то сумма двух меньших из них равна самому длинному, а треугольник выродился в линию, этот случай известен как Теорема Ван Шутена.
Другие свойства
От Неравенство Эйлера, равносторонний треугольник имеет наименьшее отношение р/р радиуса описанной окружности к внутреннему радиусу любого треугольника: в частности, р/р = 2. [14] : стр.198
Треугольник наибольшей площади из всех вписанных в данный круг является равносторонним; и треугольник наименьшей площади из всех описанных вокруг данного круга является равносторонним. [15]
Если сегмент разделяет равносторонний треугольник на две области с одинаковым периметром и площадью А1 и А2, тогда [11] : стр.151, # J26
Учитывая точку п внутри равностороннего треугольника отношение суммы его расстояний от вершин к сумме расстояний от сторон больше или равно 2, равенство выполняется, когда п это центроид. Ни в каком другом треугольнике нет точки, для которой это отношение было бы равно 2. [18] Это Неравенство Эрдеша – Морделла.; более сильный вариант этого Неравенство Барроу, который заменяет перпендикулярные расстояния к сторонам расстояния от п к точкам, где биссектриса угла из ∠APB, ∠BPC, и ∠CPA пересечь стороны (А, B, и C являющиеся вершинами).
Для любой точки п в плоскости, с расстояниями п, q, и т из вершин А, B, и C соответственно, [19]
Для любой точки п в плоскости, с расстояниями п, q, и т из вершин, [20]
Для любой точки п на вписанной окружности равностороннего треугольника с расстояниями п, q, и т из вершин, [21]
Для любой точки п на малой дуге BC описанной окружности с расстояниями п, q, и т из A, B и C соответственно, [13]
при этом, если точка D на стороне BC делит PA на отрезки PD и DA, длина DA которых z и ПД длиной у, тогда [13] : 172
Есть множество неравенства треугольника которые выполняются с равенством тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.
Равносторонние треугольники встречаются во многих других геометрических конструкциях. Пересечение окружностей, центры которых находятся на расстоянии радиуса друг от друга, представляет собой пару равносторонних арок, в каждую из которых можно вписать равносторонний треугольник. Они образуют лица правильной и однородной формы. многогранники. Три из пяти Платоновы тела состоят из равносторонних треугольников. В частности, правильный тетраэдр имеет четыре равносторонних треугольника для лиц и может считаться трехмерным аналогом фигуры. Самолет может быть выложенный плиткой используя равносторонние треугольники, дающие треугольная черепица.
Геометрическая конструкция
В обоих методах побочным продуктом является образование vesica piscis.
Доказательство того, что полученная фигура представляет собой равносторонний треугольник, является первым предложением книги I книги. Евклида Элементы.
Вывод формулы площади
Формула площади А = 3 4 а 2 < displaystyle A = < frac < sqrt <3>> <4>> a ^ <2>> по длине стороны а может быть получен непосредственно с помощью теоремы Пифагора или с помощью тригонометрии.
Использование теоремы Пифагора
Площадь треугольника равна половине одной стороны а раз больше высоты час с той стороны:
Подстановка час в формулу площади (1/2)ах дает формулу площади равностороннего треугольника:
Использование тригонометрии
С помощью тригонометрия, площадь треугольника с любыми двумя сторонами а и б, а угол C между ними
Каждый угол равностороннего треугольника равен 60 °, поэтому
Синус 60 ° равен 3 2 < displaystyle < tfrac < sqrt <3>> <2>>> . Таким образом
так как все стороны равностороннего треугольника равны.
В культуре и обществе
Равносторонние треугольники часто появлялись в рукотворных конструкциях: