Как искать определитель неквадратной матрицы

07.10.202311.07.2022 admin 0 Comments

Как вычислить определитель?

В ходе решения задач по высшей математике очень часто возникает необходимость вычислить определитель матрицы. Определитель матрицы фигурирует в линейной алгебре, аналитической геометрии, математическом анализе и других разделах высшей математики. Таким образом, без навыка решения определителей просто не обойтись. Также для самопроверки Вы можете бесплатно скачать калькулятор определителей, он сам по себе не научит решать определители, но очень удобен, поскольку всегда выгодно заранее знать правильный ответ!

Я не буду давать строгое математическое определение определителя, и, вообще, буду стараться минимизировать математическую терминологию, большинству читателей легче от этого не станет. Задача данной статьи – научить Вас решать определители второго, третьего и четвертого порядка. Весь материал изложен в простой и доступной форме, и даже полный (пустой) чайник в высшей математике после внимательного изучения материала сможет правильно решать определители.

Определитель можно вычислить только для квадратной матрицы (более подробно см. Действия с матрицами)

На практике чаще всего можно встретить определитель второго порядка, например: , и определитель третьего порядка, например: .

Определитель четвертого порядка тоже не антиквариат, и к нему мы подойдём в конце урока.

Надеюсь, всем понятно следующее: Числа внутри определителя живут сами по себе, и ни о каком вычитании речи не идет! Менять местами числа нельзя!

(Как частность, можно осуществлять парные перестановки строк или столбцов определителя со сменой его знака, но часто в этом нет никакой необходимости – см. следующий урок Свойства определителя и понижение его порядка)

Таким образом, если дан какой-либо определитель, то ничего внутри него не трогаем!

Обозначения: Если дана матрица , то ее определитель обозначают . Также очень часто определитель обозначают латинской буквой или греческой .

1) Что значит решить (найти, раскрыть) определитель? Вычислить определитель – это значит НАЙТИ ЧИСЛО. Знаки вопроса в вышерассмотренных примерах – это совершенно обыкновенные числа.

2) Теперь осталось разобраться в том, КАК найти это число? Для этого нужно применить определенные правила, формулы и алгоритмы, о чём сейчас и пойдет речь.

Начнем с определителя «два» на «два»:

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ, по крайне мере на время изучения высшей математики в ВУЗе.

Сразу рассмотрим пример:

Готово. Самое главное, НЕ ЗАПУТАТЬСЯ В ЗНАКАХ.

Начнем с двух простых способов

Аналогично определителю «два на два», определитель «три на три» можно раскрыть с помощью формулы:

Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок».
Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:

Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс».
Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:

Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.

Теперь рассмотрим шесть нормальных способов для вычисления определителя

Почему нормальных? Потому что в подавляющем большинстве случаев определители требуется раскрывать именно так.

Как Вы заметили, у определителя «три на три» три столбца и три строки.
Решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу.
Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный алгоритм.

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Страшно? Все намного проще, будем использовать ненаучный, но понятный подход, доступный даже для человека, далекого от математики.

В следующем примере будем раскрывать определитель по первой строке.
Для этого нам понадобится матрица знаков: . Легко заметить, что знаки расположены в шахматном порядке.

Внимание! Матрица знаков – это мое собственное изобретение. Данное понятие не научное, его не нужно использовать в чистовом оформлении заданий, оно лишь помогает Вам понять алгоритм вычисления определителя.

Сначала я приведу полное решение. Снова берем наш подопытный определитель и проводим вычисления:

И главный вопрос: КАК из определителя «три на три» получить вот это вот:
?

Итак, определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют, МИНОРОВ. Термин рекомендую запомнить, тем более, он запоминающийся: минор – маленький.

Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке, очевидно, что всё вращается вокруг неё:

Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец)

Поехали, сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:

1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

2) Затем записываем сам элемент:

3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент:

Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется МИНОРОМ данного элемента (единицы).

Переходим ко второму элементу строки.

4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

5) Затем записываем второй элемент:

6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Ну и третий элемент первой строки. Никакой оригинальности:

7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

8) Записываем третий элемент:

9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем. НЕ ПУТАЕМСЯ В ЗНАКАХ!

Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях ответ получается одинаковым.

Определитель «четыре на четыре» можно вычислить, используя этот же алгоритм.
При этом матрица знаков у нас увеличится:

В следующем примере я раскрыл определитель по четвертому столбцу:

А как это получилось, попробуйте разобраться самостоятельно. Дополнительная информация будет позже. Если кто захочет прорешать определитель до конца, правильный ответ: 18. Для тренировки лучше раскрыть определитель по какому-нибудь другому столбцу или другой строке.

Потренироваться, раскрыть, провести расчёты – это очень хорошо и полезно. Но сколько времени вы потратите на большой определитель? Нельзя ли как-нибудь быстрее и надёжнее? Предлагаю ознакомиться с эффективными методами вычисления определителей на втором уроке – Свойства определителя. Понижение порядка определителя.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Определители неквадратных матриц

Последний раз редактировалось LetsGOX 25.04.2009, 19:55, всего редактировалось 1 раз.

Заслуженный участник

Итак, к самому нахожению оперделителя неквадратной матрицы Если пользоваться правилом миноров, то получаем набор невычисленных векторов, иначе говоря определитель неквадраной матрицы это не число, а вектор
Все бы хорошо, но как понять псевдообщем куба как вектор?
Или тут вообще ковекторы?

P.P.S. А если заместо векторов свзять корень из скаляроног произведения самого на себя (Грубо говоря длину вектора)

!	Тема перемещена из «Помогите решить/разобраться (М)» в карантин. Отредактируйте, пожалуйста, сообщение и затем напишите в тему Сообщение в карантине исправлено заявку на возвращение.

Супермодератор

Последний раз редактировалось nckg 26.04.2009, 14:57, всего редактировалось 1 раз.

Супермодератор

nckg Да что-то про ортогональный вектор я не додумася, спасибо за идею

P.S. А все-таки интересно, можно ли напрямую найти определитель матрицы

Заслуженный участник

nckg Да еще раз спасибо за ортогональный метод, уже испробовал и достаточно универсально и удобно (Если не сичтать что для n>5 ортоганализацию достаточно долго считать, но не более чем сам определитель)

RIP ewert О, спасибо большое, этот метод именно то, что я искал

Лиля Енто почитайте http://community.livejournal.com/ru_math/51114.html?thread=304042#t304042 Я конечно, понимаю, что это не определитель как таковой, а набор операций над минорами, и кстати как мне кажется, он имеет отношение к вышеуказанной мне теорме Бине-Коши

Заслуженный участник

Может это чем нить вам поможет:

Если линейное отображение задаеться матрицой , и любое измеримое по Лебегу подмножество, тогда обьем вычисляется как .

Как искать определитель неквадратной матрицы. spacer. Как искать определитель неквадратной матрицы фото. Как искать определитель неквадратной матрицы-spacer. картинка Как искать определитель неквадратной матрицы. картинка spacer

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

Нахождение определителя (детерминанта) матрицы

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно найти определитель (детерминат) матрицы. Теоретический материал сопровождается практическими примерами для лучшего понимания.

Что такое определитель матрицы

Чаще всего в различных математических задачах требуется найти определитель матрицы второго и третьего порядка, реже – четвертого и т.д. Сразу отметим, что детерминант можно вычислить только для квадратной матрицы.

Обычно определитель обозначается двумя вертикальными черточками. Т.е. если у нас есть матрица A, то определитель может обозначаться как |A|, буквой D, сокращением “det” или символом △.

Важно помнить, что менять числа внутри определителя нельзя.

Нахождение определителя

Результатом нахождение определителя матрицы является обычное число. Давайте рассмотрим самые популярные варианты.

Второй порядок

Пожалуй, это самая легкая задача. Чтобы найти определитель матрицы “два на два” пользуемся формулой ниже:

Пример 1:

Пример 2:

Примечание: Не забываем обращать внимание на знаки элементов матрицы и учитывать их в расчетах.

Третий порядок

Для вычисления определителя матрицы “три на три” следует использовать такую формулу:

Пример:

|A| = 3 ⋅ 4 ⋅ 3 + (-1) ⋅ 6 ⋅ (-6) + 2 ⋅ 2 ⋅ 9 – (-1) ⋅ 4 ⋅ 9 – 3 ⋅ 2 ⋅ (-6) – 2 ⋅ 6 ⋅ 3 = 144.

Как мы видим, формула длинная, и запомнить ее достаточно сложно. Но есть специальное правило Саррюса (или метод параллельных полосок), благодаря которому ничего запоминать не нужно. Вот, в чем оно заключается.

С правой стороны от определителя мы дописываем первый и второй столбцы, затем проводим линии, как показано на рисунке ниже.

Множители, расположенные на диагоналях красного цвета в формуле участвуют со знаком “плюс”, синего цвета – со знаком минус.

Как мы видим, это те же самые множители, что и в первой формуле, но переставленные местами, что на результат не влияет. Таким образом, используя метод Саррюса, можно значительно снизить риск допущения ошибки в процессе выполнения расчетов.

Произвольный размер матрицы

Разложение определителя по строке или столбцу

Первый вариант: определитель равняется сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения.

Второй вариант: определитель равен сумме произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения.

Примечание: рекомендуется для разложения выбирать ту строку (столбец), в которой больше всего элементов, равных нулю.

Пример: Вычислим определитель матрицы ниже.

Ее определитель выглядит так:

Решим пример с помощью разложения по первому столбцу.

Теперь мы можем рассчитать детерминант:

Приведение определителя к треугольному виду

Выполнив элементарные преобразования в отношении строк или столбцов, определитель можно привести к треугольному виду, после чего его можно вычислить путем перемножения элементов главной диагонали.

Пример: найдем определитель матрицы ниже.

Представив матрицу в виде определителя вычтем из элементов третьей строки удвоенную первую строку.

Переставим местами второй и третий столбцы, при этом знак определителя поменяется на противоположный.

Мы получили треугольный вид детерминанта, значение которого равняется произведению элементов главной диагонали.

Источник