Как искать внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника — это угол, смежный с любым из внутренних углов треугольника.

При каждой вершине треугольника может быть построено по два равных внешних угла. Например, если продолжить все стороны треугольника ABC, то при каждой его вершине получится по два внешних угла, которые равны между собой, как вертикальные углы:

Из данного примера можно сделать вывод, что внешние углы, построенные при одной вершине, будут равны.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Так как внешний угол (∠1) дополняет внутренний угол (∠4) до развёрнутого угла, то их сумма равна 180°:

Сумма внутренних углов углов любого треугольника тоже равна 180°, значит:

Из этого следует, что

Сократив обе части полученного равенства на одно и тоже число (∠4), получим:

Из этого можно сделать вывод, что внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Сумма внешних углов

Сумма трёх внешних углов треугольника, построенных при разных вершинах, равна 360°

Рассмотрим треугольник ABC:

Каждая пара углов (внутренний и смежный с ним внешний) в сумме равны 180°. Все шесть углов (3 внутренних и 3 внешних) вместе равны 540°:

(∠1 + ∠4) + (∠2 + ∠5) + (∠3 + ∠6) = 180° + 180° + 180° = 540°.

Значит чтобы найти сумму внешних углов, надо из общей суммы вычесть сумму внутренних углов:

Источник

Внешний угол треугольника

Углы треугольника бывают внутренние и внешние. Что такое внешний угол треугольника? Как его найти?

Внешний угол треугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине.

Как построить внешний угол треугольника? Нужно продлить сторону треугольника.

∠3 — внешний угол при вершине А,

∠2 — внешний угол при вершине С,

∠1 — внешний угол при вершине В.

Сколько внешних углов у треугольника?

При каждой вершине треугольника есть два внешних угла. Чтобы построить внешний угол при вершине треугольника, можно продлить любую из двух сторон, на которых лежит данная вершина. Таким образом получаем 6 внешних углов.

Внешние углы каждой пары при данной вершины равны между собой (как вертикальные):

Поэтому, когда говорят о внешнем угле треугольника, не важно, какую из сторон треугольника продлили.

Чему равен внешний угол?

Теорема (о внешнем угле треугольника)

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Дано : ∆АВС, ∠1 — внешний угол при вершине С.

∠1 и ∠С (∠АСВ) — смежные, поэтому их сумма равна 180º, значит, ∠1=180º-∠С=180º-(180º-(∠А+∠В))=180º-180º+(∠А+∠В)=∠А+∠В.

Источник

Внешний угол треугольника:

Углы треугольника называются еще его внутренними углами. Помимо внутренних углов, у треугольника есть и внешние углы.

Определение. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с его внутренним углом.

На рисунке 237, а углы ВСК, ABM, CAN — внешние, так как каждый из них является смежным с одним из внутренних углов треугольника. При каждой вершине треугольника один угол внутренний и два внешних. На рисунке 237, б угол 1 — внутренний, углы 2 и 3 — равные внешние углы. Угол 4 не является внешним, так как он не является смежным с внутренним углом 1.

Дано:

Доказать: 4 =1 +2.

Доказательство:

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то

l +2 +3 = 180°.

Так как сумма смежных углов равна 180°, то3 +4 = 180°.

Тогда Отняв от обеих частей равенства 3, получим 1 +2 =4. Теорема доказана.

Следствие.

Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Пример:

Доказать, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.

Доказательство:

Пусть в АВС АВ=ВС, ВМ — биссектриса внешнего угла КВС, 1 =2 = KBC (рис. 239).

По свойству внешнего угла треугольника KBC =3 +4. Так как АВС равнобедренный, то3=4=KBC. Поэтому 2 =4. Поскольку внутренние накрест лежащие углы 2 и 4 равны (при прямых ВМ и АС и секущей ВС), то прямые ВМ и АС параллельны.

Пример:

Доказать, что сумма углов А, В, С, D и Е «звездочки» равна 180° (рис. 240).

Решение:

Рассмотрим АМК. Сумма его углов равна 180°. Угол АМЕ — внешний для ЕМС, поэтому AME =C +E.

Аналогично, угол АКВ — внешний для KBD, поэтомуAKB =B +D.

Так какA +AMK +AKM = 180°, тоA + (C +E) + (B +D) = 180°.

Геометрия 3D

Пример:

DABC — правильная треугольная пирамида, точка К — середина ребра DC, AKB = 50°. Найдите KAB (рис. 244).

Решение:

Так как пирамида правильная, то треугольники ADC и BDC — равные равнобедренные, AD = BD, BD = CD, ADC = BDC. Тогда ADK = BDK по двум сторонам и углу между ними. Отсюда АК = ВК, АКВ — равнобедренный,

KAB = 65°.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Внешний угол треугольника

Как выглядит внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника — это часть плоскости, ограниченной двумя лучами, исходящими из одной точки, которая равна разности между 180° и внутренним углом. Ее диапазон значений — от 0° до 180°.

Среди свойств ВУТ выделяют:

Следует отметить, что у каждого треугольника есть два угла, которые являются смежными с ним. Получается, что у данной геометрической фигуры шесть внешних углов.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Чему равен, как найти при вершине

Для того, чтобы найти ВУТ при вершине, необходимо сложить значения не соседних с ним частей плоскости, которые ограничены двумя лучами, рассматриваемой геометрической фигуры.

Продемонстрируем это положение на примерах.

Задача №1

Сумма углов треугольника всегда равна 180°. Из этого следует, что \angle E=180˚-\angle D-\angle F=85^\circ. ВУ при точке соединения сторон DE и DF будет равняться сложенным внутренним углам при вершинах E и F, а это 130°. Соответственно, ВУ при E составляет 95°, а при F — 135°.

Ответ: ∠ D = 130°, ∠ E = 95°, ∠ F = 135°.

Задача №2

В треугольнике ABC ВУ при вершине A = 68°, а при вершине C = 55°. Найти: Внутренний угол при B. На иллюстрации отображены пронумерованные названия углов.

Если сложить смежные углы, то в любом случае получится 180°. Из этого составляем равенства: ∠ A = 180° – ∠ 3 = ∠ 180° – 112° = 68°; ∠ С = 180° – ∠ 2 = ∠ 180° – 125° = 55°. Далее из сложенного вычитаем уже известное: ∠ A = 180° – ∠ A – ∠ C = ∠ 180° – 68° – 55° = 57°.

Теорема о внешнем угле треугольника, доказательство

Теорема о ВУТ звучит следующим образом: внешний угол треугольника равняется сумме двух других, не смежных с ним.

Доказательство

Предположим, что MNP — треугольник с внешним углом q. Углы n и q являются соседними, поэтому их сумма составляет 180°. Из этого следует, что q = 180° – n. Согласно теореме о сумме углов треугольника n = 180° – (m + p). Поэтому m + p = 180° – n. Вследствие того, что q = 180° – n, то q = m + p. Теорема доказана.

Источник

Внешний угол

Внешний угол.

Внешний угол треугольника (понятие и определение):

Внешний угол треугольника или многоугольника – это угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом этого треугольника или многоугольника.

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине.

Если внутренний угол при данной вершине треугольника образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то внешний угол треугольника образован одной стороной, выходящей из данной вершины и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины.

Рис.1. Внешний угол треугольника

Внешний угол равен разности между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от 0 до 180° не включительно.

При каждой вершине треугольника имеются два внешних угла. Таким образом, у каждого треугольника существует 6 внешних углов.

Рис.2. Внешние углы треугольника

Теорема о внешнем угле треугольника:

Внешний угол треугольника равен сумме двух оставшихся внутренних углов треугольника, не смежных с этим внешним углом.

Рис.3. Внешний угол треугольника

Доказательство теоремы о внешнем угле треугольника следует из теоремы о сумме углов треугольника, равной 180°:

Теорема о внешнем угле треугольника используется тогда, когда пытаются вычислить меры неизвестных углов в геометрии, в задачах с многоугольниками, где используются треугольники.

Теорема о внешнем угле треугольника применима только к плоским треугольникам и не применима ни в сферической геометрии, ни в связанной с ней эллиптической геометрии (геометрии Римана).

Источник