Как использовать формулу разности квадратов
Разность квадратов: формула и примеры
В данной публикации мы рассмотрим формулу сокращенного умножения, с помощью которой можно разложить разность квадратов на множители. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.
Формула разности квадратов
Разность квадратов чисел/выражений a и b равна произведению их суммы на разность.
a 2 – b 2 = (a – b)(a + b)
Формулу можно представить справа-налево:
(a – b)(a + b) = a 2 – b 2
Примечание: a 2 – b 2 ≠ (a – b) 2
Доказательство формулы
Арифметическое
Геометрическое
Задача состоит в том, чтобы найти площадь фигуры голубого цвета ( a 2 – b 2 ).
Продолжив любую из линий сторон меньшего квадрата до границ большего мы получим:
Нам нужна только сумма площадей прямоугольников, которая вычисляется таким образом:
S = a ⋅ (a – b) + b ⋅ (a – b) = a 2 – ab + ba – b 2 = a 2 – b 2
Примеры задач
Решение
Применим формулу сокращенного умножения:
(8x – 3y)(8x + 3y) = 64x 2 – 9y 2
Решение
Воспользуемся формулой в обратную сторону:
25x 2 – y 2 = (5x – y)(5x + y)
Проверка
(5x – y)(5x + y) = 25x 2 + 5xy – 5xy – y 2 = 25x 2 – y 2
Как использовать квадрат разности (a − b) 2
В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки.
В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения.
Прежде чем перейти к этому уроку обязательно выучите наизусть все формулы сокращенного умножения.
Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку.
Применение квадрата разности для разложения многочлена на множители
Вспомним, как выглядит формула квадрата разности.
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2
Рассмотрим многочлен. Требуется разложить его на множители, используя формулу квадрата разности.
Используем для многочлена « d 2 − 2dc + c 2 » формулу квадрата разности.
Рассмотрим другой пример. Необходимо возвести в квадрат многочлен.
Используем формулу квадрата разности. Только вместо « a » у нас будет « 5z », а вместо « b » — « t ».
Часто возводят многочлен в квадрат следующим образом:
Рассмотрим пример сложнее. Требуется разложить многочлен на множители.
В этом многочлене не так очевидно, что будет являться в формуле « a », « 2ab », а что « b ». Представим многочлен в виде « a 2 − 2ab + b 2 ».
Применение нескольких способов для разложения многочлена на множители
Рассмотрим пример, где для разложения многочлена на множители нам потребуется использовать вынесение общего множителя и формулу квадрата разности.
Обратим внимание, что в многочлене « −2a 2 + 8ab − 8b 2 » стоят знаки противоположные правой части формулы квадрата разности « a 2 − 2ab + b 2 ».
Вынесем общий множитель «−2» за скобки.
После вынесения общего множителя многочлен « a 2 − 4ab + 4b 2 » в скобках стал напоминать правую часть формулы квадрата разности « a 2 − 2ab + b 2 ».
Используем формулу квадрата разности и завершим решение примера.
Как использовать разность квадратов a 2 − b 2
В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки.
В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения.
Прежде чем перейти к этому уроку обязательно выучите наизусть все формулы сокращенного умножения.
Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку.
Вспомним, как выглядит формула разности квадратов.
a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)
(a − b)(a + b) = a 2 − b 2
Как разложить на множители разность квадратов
Рассмотрим пример. Необходимо разложить на множители разность квадратов.
Обратим внимание, что « 64y 2 » — это « (8y) 2 », значит, для формулы разности квадратов вместо « a » мы используем « 8y ».
Используем формулу разности квадратов. На месте « a 2 » у нас будет « 64y 2 », а на месте « b 2 » стоит « 36x 2 ».
Разность квадратов в обратную сторону
Рассмотрим другой пример. Требуется преобразовать произведение многочленов обратно в разность квадратов, используя формулу сокращенного умножения.
Обратим внимание, что произведение многочленов « (с + 3d)(с − 3d) » напоминает правую часть формулы разности квадратов « a 2 − b 2 = (a − b)(a + b) », только вместо « a » стоит « c », а на месте « b » стоит « 3d ».
Используем для « (с + 3d)(с − 3d) » формулу разности квадратов в обратную сторону.
Рассмотрим другой пример. Требуется упростить произведение многочленов.
Одночлены, которые стоят на месте « a » или « b » как в формуле, могут стоять в степени.
Например, в рассматриваемом примере на месте « a » стоит « x 2 ». Это означает, что именно « x 2 » мы рассматриваем как « a ».
Используем формулу разности квадратов и решим пример до конца.
Рассмотрим пример сложнее. Требуется разложить на множители многочлен, используя формулу разности квадратов.
Представим « (a + 2b) 2 − 9a 2 » как разность квадратов « a 2 − b 2 ».
Одночлены, которые стоят на месте « a » или « b » как в формуле, могут быть в скобках, т.е. быть многочленами.
В рассматриваемом примере на месте « a 2 » стоит многочлен « (a + 2b) 2 ». Это означает, что мы рассматриваем всю скобку « (a + 2b) » как « a » для формулы.
Решим пример до конца. После применения формулы разности квадратов не забудем привести подобные в примере.
Разность квадратов
Что такое разность квадратов
Разность квадратов двух чисел или выражений равняется сумме этих чисел/выражений, умноженной на их разность. То есть формула представляет собой разложение многочлена на множители:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Доказательство формулы разности квадратов
Арифметическое доказательство
Чтобы подтвердить справедливость определения разности квадратов, рассмотрим правую часть уравнения.
Раскроем скобки и получим:
(a+b)(a−b)=a 2 +ab−ba−b 2 =a 2 −b 2
Справедливость формулы доказана.
Геометрическое доказательство
Продолжим любую прямую, на которой лежит сторона меньшего квадрата, до пересечения со стороной большего четырехугольника. В результате внутри исходного квадрата со стороной a имеем:
Теперь найдем величину, которая останется при вычитание площади меньшего квадрата из площади большего. Как видим по чертежу, она равна площадям двух образовавшихся прямоугольников, то есть:
Применение формулы разности квадратов
Формула разности квадратов в алгебре может использоваться в двух видах случаев:
Примеры прямого использования формулы и формулировка стандартной ошибки
Необходимо раскрыть скобки в выражении:
Возьмем 15m в качестве a, 12n — в качестве b, значит:
Исходя из формулы, запишем:
Подставим в полученное выражение исходные переменные:
Стандартная ошибка прямого использования формулы заключается в следующем. Если в исходном выражении переместить в начало множитель со знаком плюс, при этом поменяв местами слагаемые, то получим:
В данном варианте записи зачастую происходит путаница с уменьшаемым и вычитаемым, то есть:
Следует обратить внимание на множитель со знаком минус.
Возьмем 8f за a, 4e за b, тогда:
Учитывая возможность совершения стандартной ошибки при использовании формулы сокращенного умножения (разности квадратов), обращаем внимание на второй множитель, выраженный разностью. Чтобы применить формулу, нам необходимо поменять местами слагаемые в первом множителе. Тогда получим:
Выполним подстановку исходных переменных:
Видим, что числитель раскладывается на множители по формуле разности квадратов:
Формулы сокращённого умножения
При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.
Следует также помнить, что вместо « a » и « b » в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.
Разность квадратов
Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.
a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)
Квадрат суммы
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:
Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.
Предостережение!
Квадрат разности
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:
Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:
(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2
Куб суммы
Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Как запомнить куб суммы
Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.
Предостережение!
Куб разности
Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.
(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков « + » и « − ». Перед первым членом « a 3 » стоит « + » (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять « − », затем опять « + » и т.д.
(a − b) 3 = + a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
Сумма кубов
Не путать с кубом суммы!
Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )
Сумма кубов — это произведение двух скобок.
Разность кубов
Не путать с кубом разности!
Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
Будьте внимательны при записи знаков.
Применение формул сокращенного умножения
Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.
Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.
Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе «Шпаргалки».