Как измерить период колебаний маятника

Амплитуда, период, частота колебаний.

Амплитуда колебаний (лат. amplitude — величина) — это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.

Для маятника это максимальное расстояние, на которое удаляется ша­рик от своего положения равновесия (рисунок ниже). Для колебаний с малыми амплитудами за такое расстояние можно принимать как длину дуги 01 или 02, так и длины этих отрезков.

Амплитуда колебаний измеряется в единицах длины — метрах, санти­метрах и т. д. На графике колебаний амплитуда определяется как макси­мальная (по модулю) ордината синусоидальной кривой, (см. рис. ниже).

Период колебаний.

Период колебаний — это наименьший промежуток времени, через который система, соверша­ющая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, выбранный произвольно.

Другими словами, период колебаний (Т) — это время, за которое совершается одно полное ко­лебание. Например, на рисунке ниже это время, за которое грузик маятника перемещается из крайней правой точки через точку равновесия О в крайнюю левую точку и обратно через точку О снова в крайнюю правую.

За полный период колебаний, таким образом, тело проходит путь, равный четы­рем амплитудам. Период колебаний измеряется в единицах времени — секундах, минутах и т. д. Период колебаний может быть определен по известному графику колебаний, (см. рис. ниже).

Понятие «период колебаний», строго говоря, справедливо, лишь когда значения колеблющей­ся величины точно повторяются через определенный промежуток времени, т. е. для гармоничес­ких колебаний. Однако это понятие применяется также и для случаев приблизительно повторяю­щихся величин, например, для затухающих колебаний.

Частота колебаний.

Частота колебаний — это число колебаний, совершаемых за единицу времени, например, за 1 с.

Единица частоты в СИ названа герцем (Гц) в честь немецкого физика Г. Герца (1857-1894). Если частота колебаний (v) равна 1 Гц, то это значит, что за каждую секунду совершается одно колебание. Частота и период колебаний связаны соотношениями:

.

В теории колебаний пользуются также понятием циклической, или круговой частоты ω. Она связана с обычной частотой v и периодом колебаний Т соотношениями:

.

Циклическая частота — это число колебаний, совершаемых за 2π секунд.

Источник

Формула периода колебаний математического маятника

Математический маятник

Обычно математическим маятником считают маленький шарик (материальную точку), имеющий большую массу, подвешенный на длинной нерастяжимой нити (подвесе). Это идеализированная система, которая совершает колебания под воздействием силы тяжести. Только для углов порядка 50-100 математический маятник является гармоническим осциллятором, то есть совершает гармонические колебания.

Изучая качание паникадила на длинной цепи Галилей изучал свойства математического маятника. Он понял, что период колебаний данной системы не зависит от амплитуды при малых углах отклонения.

Формула для периода колебаний математического маятника

Пусть точка подвеса маятника неподвижна. Груз, подвешенный к нити маятника, движется по дуге окружности (рис.1(a)) с ускорением, на него действует некоторая возвращающая сила ($\overline$). Данная сила изменяется при движении груза. В результате чего расчет движения становится сложным. Введем некоторые упрощения. Пусть маятник совершает колебания не в плоскости, а описывает конус (рис.1 (b)). Груз в этом случае перемещается по окружности. Период интересующих нас колебаний будет совпадать с периодом конического движения груза. Период обращения конического маятника по окружности равен времени, которое тратит груз на один виток по окружности:

Рассмотрим подобные треугольники: AOB и DBC (рис.1 (b)).

Приравниваем правые части выражений (2) и (3), выражаем скорость движения груза:

Полученную скорость подставим в формулу (1), имеем:

Из формулы (5) мы видим, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения. Формулу (5) для периода математического маятника называют формулой Гюйгенса, она выполняется, когда точка подвеса маятника не движется.

Примеры задач с решением

Решение. За основу решения задачи примем формулу периода математического маятника:

Выразим из (1.1) ускорение свободного падения:

Вычислим искомое ускорение:

Решение. Сделаем рисунок.

1) Период математического маятника, точка подвеса которого движется равномерно, равен периоду маятника с неподвижной точкой подвеса:

Период математического маятника, который совершает колебания и у которого точка подвеса движется с ускорением, найдем как:

Источник

Колебательное движение. Математический маятник

п.1. Механические колебания

Кроме прямолинейного и криволинейного движения, с которыми мы уже познакомились, существует еще один вид механического движения – колебательный.

Примеры колебательных движений:

п.2. Математический маятник

В положении равновесия тело (шарик) находится внизу. Отклонение от положения равновесия называют смещением тела, обозначают буквой x и измеряют в метрах (в СИ). Наибольшее смещение маятника от положения равновесия называют амплитудой колебаний, обозначают буквой A. В проекции на горизонтальную ось OX смещение изменяется в интервале \(-A\leq x\leq A\). В положении равновесия x=0. Если маятник после смещения в положение 1, прошел положение равновесия 2, отклонился в положение 3, опять прошел положение 2, и вернулся в положение 1, говорят, что маятник совершил полное колебание.

п.3. Параметры колебаний математического маятника

п.4. Задачи

Задача 1. Маятник совершил 3 полных колебания за 9 с. Найдите период и частоту его колебаний. Чему равна длина нити, на которой подвешен маятник (ответ дайте в см, с округлением до целых)?

Задача 2. Математический маятник колеблется с частотой 20?тиы кГц. Найдите период колебаний и число колебаний в минуту.

Дано:
\(f=20\ кГц=2\cdot 10^4\ Гц\)
\(t=1\ мин=60\ с\)
__________________
\(T,\ N-?\)
Период колебаний: \(T=\frac 1f\)
Частота колебаний за время \(t:\ N=ft\)
Подставляем: \begin T=\frac<1><2\cdot 10^4>=0,5\cdot 10^<-4>\ (c)=50\cdot 10^<-6>\ (c)=50\ (мкс)\\ N=2\cdot 10^4\cdot 60=1,2\cdot 10^6 \end Ответ: 50 мкс; 1,2·10 6

Задача 3. Расстояние от улья до цветочного поля 600 м. Пчела летит за нектаром со скоростью 8 м/с и машет крылышками с частотой 440 Гц. Возвращаясь в улей с нектаром, пчела летит со скоростью 5 м/с и машет крылышками с частотой 320 Гц. Найдите разность в количестве взмахов крылышками на пути туда и обратно.

Задача 4. Определите длину математического маятника с периодом колебаний 1с, если он находится: а) на Луне (\(g_л=1,6\ м/с^2\)); б) на Марсе (\(g_м=3,6\ м/с^2\)). Ответ запишите в см, с точностью до десятых.

п.5. Лабораторная работа №4. Исследование колебаний математического маятника

Цель работы
Исследовать, от каких величин зависит период колебаний математического маятника.

Приборы и материалы
Два лабораторных грузика по 100 г, крепкая нить (1,5-2 м), линейка (30-50 см), штатив, секундомер.

Ход работы
1. Рассчитайте длину нитей, необходимых для создания маятников с периодами колебаний \(T_1=1 с;\ T_2=2 с\).
2. Закрепите один грузик на нити и подвесьте его на штативе так, чтобы длина подвеса была равна расчетной длине \(L_1\).
3. Отклоните грузик на небольшой угол, отпустите его и с помощью секундомера измерьте время, за которое маятник совершит 10 полных колебаний. Повторите опыт 5 раз. Проведите расчеты для определения периода колебаний \(T_<1\ эксп>\) по методике, изложенной в лабораторной работе №2 (см. §4 данного справочника).
4. Теперь подвесьте грузик так, чтобы длина подвеса была равна расчетной длине \(L_2\). Повторите серию из 5 экспериментов и определите \(T_<2\ эксп>\).
5. При длине подвеса \(L_2\) подвесьте к первому грузику второй. Повторите серию из 5 экспериментов и определите \(T ‘\). Сравните \(T ‘\) и \(T_<2\ эксп>\).
6. Сделайте выводы о проделанной работе.

Результаты измерений и вычислений

Расчет длины нитей \begin L=g\left(\frac<2\pi>\right)^2\\ T_1=1\ c,\ \ L_1=9,80665\cdot\left(\frac<1><2\pi>\right)^2\approx 0,248\ (м)=24,8\ (см)\\ T_2=2\ c,\ \ L_1=9,80665\cdot\left(\frac<2><2\pi>\right)^2\approx 0,9994\ (м)=99,4\ (см) \end

Определение \(T_<1\ эксп>\)
Инструментальная погрешность секундомера \(d=\frac<\triangle><2>=0,1\ c\)
Время 10 колебаний

Определение \(T_<2\ эксп>\)
Время 10 колебаний

Определение \(T ‘\) (с двумя грузиками)
Время 10 колебаний

Полученные на опыте интервалы для \(T_<2\ эксп>\) и \(T’\) (одинаковая длина нити \(L_2\) и разные массы грузиков – 100 г и 200 г соответственно): \begin 1,97\leq T_<2\ эксп>\leq 2,01\\ 1,971\leq T’\leq 2,021 \end Таким образом, \(T_<2\ эксп>\approx T’\), т.е. период колебаний математического маятника не зависит от массы груза.

Выводы
На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы.

Источник

ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО И ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКОВ

Цель работы: измерить период колебаний физического маятника, рассчитать приведенную длину и осевой момент инерции; с помощью математического маятника измерить ускорение свободного падения.

Лабораторная работа № 9

ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО И ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКОВ

Цель работы: измерить период колебаний физического маятника, рассчитать приведенную длину и осевой момент инерции; с помощью математического маятника измерить ускорение свободного падения.

Теоретическое введение

Математический маятник – это материальная точка массой m (шарик), подвешенная на тонкой нити длиной l. Если пренебречь силой сопротивления воздуха, то после отклонения шарика из положения равновесия маятник совершает незатухающие колебания под действием силы тяжести P =m g и силы натяжения T нити. Из 2-го закона Ньютона в проекции на касательную к траектории шарика (рис. 9.1) получается дифференциальное уравнение движения математического маятника как одномерного осциллятора:

Здесь s = lα – дуговая координата шарика в естественном способе описания движения, для малых углов sinα ≃ s / l; касательное ускорение a_τ=dυ/dt=d 2 s/dt 2 ; для краткой записи дифференциального уравнения двумя точками обозначена вторая производная от s по времени t.

Решение дифференциального уравнения (9.1) для осциллятора описывает незатухающие гармонические колебания:

где А – амплитуда колебаний; ω₀=2πν₀ – собственная циклическая частота; v₀=1/T₀ мат ; T₀ мат – период собственных колебаний математического маятника; φ=ωt+φ₀ – фаза колебаний; φ₀ – начальная фаза.

Физическим маятником маятником называется твердое тело, имеющее неподвижную горизонтальную ось вращения, которая не проходит через его центр тяжести С (ось Ox перпендикулярна плоскости рис. 9.2). Воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения маятника (см. лаб. раб. № 6), движущегося под действием силы тяжести P =m g и реакции R ₀ цилиндрического шарнира О (силами сопротивления пренебрегаем). Рассчитав моменты этих сил относительно оси Ох, получим

I_x – осевой момент инерции маятника; ε – угловое ускорение; ω = dα / dt – угловая скорость.

Его решение определяет незатухающие колебания физического маятника:

Период собственных колебаний физического маятника

Описание установки и метода измерений

Общий вид установки изображен на рис. 9.3. На вертикальной стойке закреплены верхний 1 и нижний 2 кронштейны.

Измерив период T₀ математического маятника длиной l, можно найти ускорение свободного падения косвенным способом, т. е.

Для физического маятника массой m, который совершает ко-лебания относительно горизонтальной оси х, используем формулу (9.6) для периода его незатухающих колебаний:

где l_пр=I_x/(ml₀) – приведенная длина физического маятника (см. формулу (9.7)); I_x – осевой момент инерции маятника относительно оси х; l₀ – расстояние от его центра масс С до оси х (рис. 9.2).

Из формулы (9.7) следует, что с учетом теоремы Штейнера приведенная длина

где I_Cx* – осевой момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс С маятника.

Порядок выполнения работы

2. В начале опытов лезвие опорной призмы 6 (рис. 9.3) должно быть закреплено на расстоянии 5–7 см от верхнего конца стержня, а центр верхней чечевицы 7 – на расстоянии, меньшем или равном 10 см от лезвия верхней опорной призмы. Нижнюю чечевицу 8 закрепите на расстоянии b = (3 + n) см (n – номер Вашего звена в подгруппе) от нижнего конца стержня. Призму и чечевицы надо закрепить так, чтобы острие стопорных винтов попадало в кольцевую выточку на стальном стержне.

3. Подвесьте маятник верхней призмой 6 на опорную площадку 4 верхнего кронштейна 1. Нижний кронштейн 2 с фотоэлектрическим датчиком 5 закрепите так, чтобы нижний конец стержня перекрыл световой поток фотодатчика. Вставьте вилку шнура питания установки в розетку сети и нажмите кнопку «СЕТЬ».

4. Выберите число колебаний N ≥ 20. Отклоните маятник на 5–6°, нажмите кнопку «СБРОС» и отпустите маятник. Автоматически начнется отсчет времени t и числа коле-баний N. После (N–1)-го колебания нажмите кнопку «СТОП» и подождите, пока маятник выполнит еще одно колебание, прежде чем отсчет времени и числа колебаний прекратится.

5. Пункт 4 повторите еще три раза при других значениях числа N.

6. С помощью подставки 10 определите положение центра масс С физического маятника и измерьте расстояние l₀ от точки С до точки подвеса О маятника (рис. 9.4), а также расстояния r₁, r₂ от центров чечевиц до точки С и расстояние d между точками С и С’ (С’ – центр масс стержня).

где Δπ=0,005 ; Δl – абсолютная погрешность измерения длины математического маятника, равная половине цены деления линейки (шкалы на стойке); ΔT – случайная абсолютная погрешность для периода колебаний, определите ее, используя методику прямых измерений при доверительной вероятности р = 0,95.

16. Подготовьте выводы по выполненной лабораторной работе.

Источник

Период колебаний математического маятника – формула определения

В Природе очень широко распространены колебательные процессы. Простейшей системой, на которой можно изучать колебания, является маятник. Получим формулу периода колебаний математического маятника.

Математический маятник

Обычный нитяной маятник представляет собой груз, подвешенный на нити, способный совершать колебательные движения после выведения его из состояния равновесия. Для описания движения такого маятника удобно использовать модель, называемую математическим маятником. Математический маятник имеет следующие отличия от реального маятника.

Рис. 1. Математический маятник.

Для того, чтобы обычный нитяной маятник хорошо описывался формулами математического маятника, необходимо, чтобы его груз имел малый размер, нить была бы нерастяжимой, и максимальное отклонение маятника было бы намного меньше (более, чем в 10 раз) его длины.

Формула периода колебаний

Ускорение движения материальной точки находится по второму закону Ньютона. После проецирования получаем:

После подстановки можно сократить массу, получаем:

Ускорение – это вторая производная перемещения. Единственная функция, производная которой пропорциональна самой себе со знаком минус – это круговая функция (синусоида). То есть, решение полученного уравнения:

Рис. 2. График колебаний математического маятника.

Периодом этой функции (а, значит, и периодом колебаний математического маятника) будет величина:

Данная формула была установлена Х. Гюйгенсом.

Отметим, что формула периода колебаний математического маятника очень похожа на формулу колебаний пружинного маятника. Ускорение свободного падения в математическом маятнике соответствует жесткости пружины в пружинном маятнике. Длина маятника соответствует массе груза. Это объясняется тем, что в обоих случаях причиной колебаний является сила, зависящая от отклонения, направленная против него.

Рис. 3. Нитяной и пружинный маятники.

Что мы узнали?

Математический маятник является идеализированной моделью обычного нитяного маятника. Он совершает колебания под действием силы тяжести, проекция которой на вектор мгновенной скорости пропорциональна отклонению. Это обеспечивает возможность свободных колебаний.

Источник