Как измерить площадь произвольной фигуры
Формулы площадей всех основных фигур
1. Формула площади круга через радиус или диаметр
Зная диаметр или радиус круга, можно найти его площадь.
Формула площади круга, (S):
2. Формула расчета площади треугольника
h — высота треугольника
a — основание
Площадь треугольника (S):
3. Площадь треугольника, формула Герона
p— полупериметр, p=( a + b + c )/2
Формула ( Герона ) площади треугольника через полупериметр ( S ):
4. Площадь прямоугольного треугольника по катетам
Зная катеты прямоугольного треугольника, можно по формуле, найти его площадь.
Формула площади прямоугольного треугольника, (S):
a — равные стороны
6. Площадь равностороннего треугольника равна:
Формулы расчета, площади равностороннего треугольника.
7. Найти площадь треугольника, угол и две стороны
Зная у треугольника, две стороны и синус угла между ними, находим по формуле, его площадь.
Формулы площади треугольника, через две стороны и угол между ними, ( S ):
8. Площадь треугольника по стороне и двум углам, формула.
Площадь треугольника через сторону и два угла (S):
9. Формула расчета площади прямоугольника
Формула площади прямоугольника, (S):
10. Как рассчитать площадь квадрата через диагональ или сторону
11. Формулы площади параллелограмма
1. Формула площади параллелограмма через стороны и углы
Формула площади через стороны и углы параллелограмма, ( S ):
2. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту
Формула площади через стороны и высоты параллелограмма, (S):
3. Формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними
12. Площадь произвольной трапеции
1. Формула площади трапеции через основания и высоту
Формула площади трапеции, (S):
2. Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними
Формула площади трапеции, (S):
3. Формула площади трапеции через четыре стороны
Формула площади трапеции, (S):
13. Площадь равнобедренной трапеции
1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S):
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S):
2. Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности
Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности, (S):
СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобокую трапецию:
3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними
Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S):
4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, (S ):
5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту
Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S):
Как найти площадь
Определения
Площадь является одним из основных математических понятий. Она характеризует как плоские, так и поверхностные геометрические объекты.
Площадью плоской замкнутой фигуры называется величина части плоскости, которая находится внутри указанной фигуры.
Единицей измерения площади плоской фигуры является квадрат со стороной, равной единице. Число, соответствующее площади некоторой фигуры, состоящей из частей, равно сумме чисел, соответствующих площадям этих частей. Измерение площадей треугольников и многоугольников основано на возможности построения равновеликих им прямоугольников.
Площадь произвольной ограниченной плоской фигуры определяется как общий предел площадей описанных и вписанных в нее многоугольников, наибольшие стороны которых по длине стремятся к нулю.
Если фигура имеет площадь, то она называется квадрируемой.
Формулы площади основных геометрических фигур
Чтобы найти площадь квадрата, надо длину его стороны возвести в квадрат, то есть
Чтобы найти площадь прямоугольника, надо его длину умножить на ширину, то есть
Чтобы найти площадь трапеции, нужно длину средней линии 
умножить на длину высоты 
, опущенной к основанию:
Чтобы найти площадь ромба, надо длину стороны умножить на длину высоты, проведенной к этой стороне:
Площади фигур (плоских и объемных)
Сначала мы рассмотрим площади плоских фигур.
Слышал ты что-нибудь про формулу Пика? Когда ее можно применять, а когда нельзя?
Сколько ты знаешь способов нахождения площади фигур на клетчатой бумаге? А их на самом деле три! И хотя задачу по нахождению площади фигур на клетчатой бумаге убрали из ЕГЭ, сам навык очень полезен для понимания планиметрии!
Во второй части мы рассмотрим как находить площади объемных фигур (призмы и пирамиды)
ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР
Способы нахождения площади фигур на клетчатой бумаге:
Способ 1. Считай клетки и применяй формулы
Удобен для стандартных фигур: треугольника, трапеции и т.д.
Способ 2. Дострой до прямоугольника и вычти лишнее
Очень удобен для сложных фигур, но и для простых неплох
Способ 3. Формула Пика
Работает только для многоугольников без дырок, все вершины которых попадают в узлы сетки.
Подсчитаем, сколько узлов попадает в нашу фигуру. Причём, отдельно посчитаем те узлы, которые попадают внутрь нашей фигуры, и отдельно – те, которые лежат на границе.
В примере на рисунке получилось \( Г = 22\) на границе и \( В = 32\) внутри.
Формула Пика. Делим границу пополам, прибавляем внутренности и вычитаем 1:\( S = Г/2 + В – 1 \)
Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение
 |
Р ⊂ F ⊂Q следовательно, можно записать, что S(Р)≦ S(F) ≦S(Q).
Если разность площадей объемлющей и входящей фигур может стать как угодно малой, то, как установлено в математике, существует единственное число S(F), удовлетворяющее неравенству S(Р)≦ S(F) ≦S(Q)для любых многоугольных фигур Р и Q. Данное число и считают площадью фигуры F.
Этими теоретическими положениями пользуются, например, когда выводят формулу площади круга. Для этого в круг радиуса r вписывают правильный n-угольник Р, а около окружности описывают правильный n- угольник Q. Если обозначить символами S(Q)и S(Р)площади этих многоугольников, то будем иметь, что S(Р)≦ S(F) ≦S(Q), причем при возрастании числа сторон вписанных и описанных многоугольников площади S(Р) будут увеличиваться, оставаясь при этом меньше площади круга, а площади S(Q) будут уменьшаться, но оставаться больше площади круга.
Для приближенного измерения площадей плоских фигур можно использовать различные приборы, в частности, палетку.
Накладываем палетку на данную фигуру F. Квадраты, которые целиком лежат внутри фигуры F, образуют многоугольную фигуру F; квадраты, имеющие с фигурой F общие точки и целиком лежащие внутри фигуры F
образуют многоугольную фигуру Q. Площади S(Р) и S(Q) находят простым подсчетом квадратов. За приближенное значение площади фигуры Fпринимается среднее арифметическое найденных площадей: S(F) = (S(Р) +S(Q))/2.
В начальном курсе математики учащиеся измеряют площади фигур с помощью палетки таким образом: подсчитывают число квадратов, которые лежат внутри фигуры F, и число квадратов, через которые проходит контур фигуры; затем второе число делят пополам и прибавляют к первому. Полученную сумму считают площадью фигуры F.
Палетка позволяет измерить площадь фигуры F с определенной точностью. Чтобы получить более точный результат, нужно взять палетку с более мелкими квадратами. Но можно поступить иначе: наложить одну и ту же палетку на фигуру по-разному и найти несколько приближенных значений площади фигуры F. Их среднее арифметическое может быть лучшим приближением к численному значению площади фигуры F.
Упражнения
1. На фигуру F наложили палетку и подсчитали, что внутри фигуры Fсодержится фигура, составленная из 28 единичных квадратов, а фигура Fсодержится внутри фигуры, состоящей из 35 единичных квадратов. Каково приближенное значение площади фигуры F.
2. Начертите круг радиуса 2 см на клетчатой бумаге и найдите его площадь, используя клетчатую бумагу как палетку, состоящую из квадратов со стороной, равной: а) 1 см; б) 0,5 см. Вычислите площадь этого круга по формуле, приняв π = 3,14. Сравните полученные результаты.
Основные выводы
В данном параграфе мы уточнили ряд понятий, известных из школьного курса математики:
— длина отрезка, численной значение длины отрезка (мера длины отрезка);
величина угла; численное значение величины угла (мера величины угла);
площадь фигуры; численное значение площади фигуры (мера площади фигуры);
площадь многоугольника и произвольной плоской фигуры;
равновеликие и равносоставленные фигуры.
Вспомнили косвенные способы вычисления площадей прямоугольника, треугольника, параллелограмма, произвольного многоугольника, рассмотрели теоремы о взаимосвязи равновеликости и равносоставленности многоугольных фигур; обосновали способ измерения площади фигуры при помощи палетки.
Отметили, что длина, площадь, величина угла характеризуются одинаковыми свойствами, но заданы на разных классах фигур: длина – на множестве отрезков, площадь – на множестве многоугольных и криволинейных фигур; величина угла – на множестве углов.
Лекция 59. Геометрические величины: масса, время
1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерение.
2. Масса тела и ее измерение.
3. Время и его измерение. Объем тела и его измерение.
4. Другие величины, рассматриваемые в начальном курсе математики. Пропорциональная зависимость между величинами (скорость, время, расстояние; цена, количество, стоимость и др.).
Математика. 4 класс
Конспект урока
Математика, 4 класс
Урок №14. Измерение площади фигуры с помощью палетки
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Площадь геометрической фигуры.
Вычисление площади фигур произвольной формы, используя палетку.
Основная и дополнительная литература по теме урока:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Вычислите площадь прямоугольника, если известно, что его длина равна 8см, а ширина 5см.
Вы уже знаете, чтобы найти площадь прямоугольника, нужно длину умножить на ширину. S= 8 ∙ 5 = 40 см 2
А теперь попробуйте вычислить площадь данной фигуры:
-?
Чтобы найти площадь данной фигуры, нужно:
1) На данную фигуру наложить палетку. Не сдвигать!
3) Сосчитать, сколько нецелых квадратных единиц содержится в фигуре.
4) Количество нецелых квадратных единиц разделить на 2, примерно столько целых квадратных единиц они образуют.
5) Сложить числа, полученные в пунктах 2 и 4.
6) В ответе записать, что площадь фигуры приблизительно равна найденной сумме.
S = 34 + (8 : 2) = 38 см 2
Задания тренировочного модуля:
Правильный ответ: Прямоугольник – большую, круг – меньшую.
Сторона клетки фигуры на рисунке равна 1 см. Найдите её площадь и периметр.