Как измеряется погрешность в физике
Содержание:
При измерении разных физических величин мы получаем их числовые значения с определенной точностью. Например, при определении размеров листа бумаги (длины, ширины) мы можем указать их с точностью до миллиметра; размеры стола – с точностью до сантиметра, размеры дома, стадиона – с точностью до метра.
Нет необходимости указывать размеры стола с точностью до миллиметра, а размеры стадиона с точностью до сантиметра или миллиметра. Мы сами в каждой ситуации, опыте и эксперименте определяем, с какой точностью нам нужны данные физические величины. Однако очень важно оценивать, насколько точно мы определяем физическую величину, какую ошибку (погрешность) в ее измерении допускаем.
При измерении мы не можем определить истинное значение измеряемой величины, а только пределы, в которых она находится.
Пример:
Измерим ширину стола рулеткой с сантиметровыми и миллиметровыми делениями на ней (рис. 5.1). Значение наименьшего деления шкалы называют ценой деления и обозначают буквой С. Видно, что цена деления рулетки С = 1 мм (или 0,1 см).
Совместим нулевое деление рулетки с краем стола и посмотрим, с каким значением
шкалы линейки совпадает второй край стола (рис. 5.1). Видно, что ширина стола составляет чуть больше 70 см и 6 мм, или 706 мм. Но результат наших измерений мы запишем с точностью до 1 мм, то есть L = 706 мм.
Абсолютная погрешность измерения ∆ (ДЕЛЬТА)
Из рис. 5.1 видно, что мы допускаем определенную погрешность и определить ее «на глаз» достаточно трудно. Эта погрешность составляет не более половины цены деления шкалы рулетки. Эту погрешность называют погрешностью измерения и помечают ∆L («дельта эль»). В данном эксперименте ее можно записать
Сам результат измерения принято записывать таким образом: ширина стола L = (706,0 ± 0,5) мм, читают: 706 плюс-минус 0,5 мм. Эти 0,5 мм в нашем примере называют абсолютной погрешностью. Значения измеряемой величины (706,0 мм) и абсолютной погрешности (0,5 мм) должны иметь одинаковое количество цифр после запятой, то есть нельзя записывать 706 мм ± 0,5 мм.
Такая запись результата измерения означает, что истинное значение измеряемой величины находится между 705,5 мм и 706,5 мм, то есть 705,5 мм ≤ L ≤ 706,5 мм.
Относительная погрешность измерения ε (ЭПСИЛОН)
Иногда важно знать, какую часть составляет наша погрешность от значения
измеряемой величины. Для этого разделим 0,5 мм на 706 мм. В результате получим: . То есть наша ошибка составляет 0,0007 долю ширины стола, или 0,0007 · 100% = 0,07%. Это свидетельствует о достаточно высокой точности измерения. Эту погрешность называют относительной и обозначают греческой буквой (эпсилон):
(5.1)
Относительная погрешность измерения свидетельствует о качестве измерения. Если длина какогото предмета равна 5 мм, а точность измерения – плюс-минус 0,5 мм, то относительная погрешность будет составлять уже 10%.
Стандартная запись результата измерений и выводы
На точность измерения влияет много факторов, в частности:
Все это необходимо учитывать при проведении измерений.
Измерительные приборы
Устройства, с помощью которых измеряют физические величины, называют измерительными приборами.
Простейший и хорошо известный вам измерительный прибор — линейка с делениями. На ее примере вы видите, что у измерительного прибора есть шкала, на которой нанесены деления, причем возле некоторых делений написано соответствующее значение физической величины. Так, значения длины в сантиметрах нанесены на линейке возле каждого десятого деления (рис. 3.11). Значения же, соответствующие «промежуточным» делениям шкалы, можно найти с помощью простого подсчета.
Разность значений физической величины, которые соответствуютближайшим делениям шкалы, называют ценой деления прибора. Ёе находят так: берут ближайшие деления, возле которых написаны значения величины, и делят разность этих значений на количество промежутков между делениями, расположенными между ними.
Например, ближайшие сантиметровые деления на линейке разделены на десять промежутков. Значит, цена деления линейки равна 0,1 см = 1 мм.
Как определяют единицы длины и времени
В старину мерами длины служили большей частью размеры человеческого тела и его частей. Дело в том, что собственное тело очень удобно как «измерительный прибор», так как оно всегда «рядом». И вдобавок «человек есть мера всех вещей»: мы считаем предмет большим или малым, сравнивая его с собой.
Так, длину куска ткани измеряли «локтями», а мелкие предметы — «дюймами» (это слово происходит от голландского слова, которое означает «большой палец»).
Однако человеческое тело в качестве измерительного прибора имеет существенный недостаток: размеры тела и его частей у разных людей заметно отличаются. Поэтому ученые решили определить единицу длины однозначно и точно. Международным соглашением было принято, что один метр равен пути, который проходит свет в вакууме за 1/299792458 с. А секунду определяют с помощью атомных часов, которые сегодня являются самыми точными.
Можно ли расстояние измерять годами
Именно так и измеряют очень большие расстояния — например, расстояния между звездами! Но при этом речь идет не о годах как промежутках времени, а о «световых годах». А один световой год — это расстояние, которое проходит свет за один земной год. По нашим земным меркам это очень большое расстояние — чтобы убедиться в этом, попробуйте выразить его в километрах! А теперь вообразите себе, что расстояние от Солнца до ближайшей к нему звезды составляет больше четырех световых лет! И по астрономическим масштабам это совсем небольшое расстояние: ведь с помощью современных телескопов астрономы тщательно изучают звезды, расстояние до которых составляет много тысяч световых лет!
Что надо знать об измерительных приборах
Приступая к измерениям, необходимо, прежде всего, подобрать приборы. Что надо знать об измерительных приборах?
На рисунке 34 изображены три линейки с одинаковыми верхними пределами (25 см). По эти линейки измеряют длину с различной точностью. Наиболее точные результаты измерений дает линейка 7, наименее точные — линейка 3. Что же такое точность измерений и от чего она зависит? Для ответа на эти вопросы рассмотрим сначала понятие цена деления шкалы прибора.
Цена деления — это значение наименьшего деления шкалы прибора.
Как определить цену деления шкалы? Для этого необходимо:
Полученное значение и будет ценой деления шкалы прибора. Обозначим ее буквой С.
Точно так же можно определить и цену деления шкалы мензурок 1 и 2 (рис. 35). Цена деления шкалы мензурки 1:
Цена деления шкалы мензурки 2:
А какими линейкой и мензуркой можно измерить точнее?
Измерим один и тот же объем мензуркой 1 и мензуркой 2. Но показаниям шкал в мензурке 1 объем воды V = 35 мл; в мензурке 2 — V = 37 мл.
Итак, любым прибором, имеющим шкалу, измерить физическую величину можно с точностью, не превышающей цены деления шкалы.
Линейкой 1 (см. рис. 34) можно измерить длину с точностью до 1 мм. Точность измерения длины линейками 2 и 3 определите самостоятельно.
Главные выводы:
Для любознательных:
В истории науки есть немало случаев, когда повышение точности измерений давало толчок к новым открытиям. Более точные измерения плотности азота, выделенного из воздуха, позволили в 1894 г. открыть новый инертный газ — аргон. Повышение точности измерений плотности воды привело к открытию в 1932 г. одной из разновидностей тяжелых атомов водорода — дейтерия. Позже дейтерий вошел в состав ядерного горючего. Оценить расстояния до звезд и создать их точные каталоги ученые смогли благодаря повышению точности при измерении положения ярких звезд на небе.
Пример решения задачи
Для измерения величины угла используют транспортир. Определите: 1) цену деления каждой шкалы транспортира, изображенного на рисунке 38; 2) значение угла BАС, используя каждую шкалу; укажите точность измерения угла ВАС в каждом случае.
Решение:
1) Цена деления нижней шкалы:
Цена деления средней шкалы:
Цена деления верхней шкалы:
2) Определенный но нижней шкале с точностью до 10° определенный по средней шкале с точностью до 5° определенный по верхней шкале с точностью до 1°
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Погрешности измерений, представление результатов эксперимента
п.1. Шкала измерительного прибора
Примеры шкал различных приборов:
Манометр – прибор для измерения давления, круговая шкала | Вольтметр – прибор для измерения напряжения, дуговая шкала | Индикатор громкости звука, линейная шкала |
п.2. Цена деления
Пример определения цены деления:
Определим цену деления основной шкалы секундомера. Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале: a = 5 c b = 10 c Между ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления. |
Цена деления: \begin Физическую величину измеряют с помощью прибора Измерение длины бруска линейкой Физическую величину рассчитывают по формуле, куда подставляют значения величин, полученных с помощью прямых измерений Определение площади столешницы при измеренной длине и ширине Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.) Определяется несовершенством методов и допущениями в методике. Погрешность теории (модели) Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности. Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора. Примеры значащих цифр: В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной. Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки: Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше. Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки). Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений. Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений: Составим расчетную таблицу: Сначала находим среднее значение всех измерений: \begin Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше. Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса. Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно? Составим таблицу для расчета цены деления: Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления. Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке. Ответ: Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: \begin Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч. Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины. Как определять погрешности измерений Измерение – нахождение значения физической величины опытным путем с помощью средств измерений. Прямое измерение – определение значения физической величины непосредственно средствами измерения. Косвенное измерение – определение значения физической величины по формуле, связывающей ее с другими физическими величинами, определяемыми прямыми измерениями. Апр. – приближенное значение физической величины. А – абсолютная погрешность измерения физической величины. иА – абсолютная инструментальная погрешность, определяемая конструкцией прибора. оА – абсолютная погрешность отсчета, она равна в большинстве случаев половине цены деления; при измерении времени – цене деления секундомера или часов. Абсолютную погрешность измерения обычно округляют до одной значащей цифры: Численное значение результата измерений округляют так, чтобы его последняя цифра оказалась в том же разряде, что и цифра погрешности: Результат измерения записывается так: % Определение погрешности методом среднего арифметического При многократных измерениях величины погрешность можно оценить следующим образом: 1. Определить среднее значение величины А : (при трех измерениях). 2.Определить отклонение каждого значения от среднего: 3.Определить среднее значение отклонения, его и принимают за абсолютную погрешность: 4.Определить относительную погрешность и выразить ее в процентах: № опыта Многократные измерения предпочтительнее, так как при их проведении возможна компенсация случайных факторов, влияющих на результат. Обычно многократные измерения проводят, слегка изменяя условия опыта, но предполагая, что значение величины А не изменяются Определение погрешности косвенных измерений При косвенных измерениях значение физической величины находится путем расчетов по формуле. Относительную погрешность определяют так, как показано в таблице: Формула относительной погрешности 1. 2. 3. 4. Абсолютную погрешность определяют по формуле: ( выражается десятичной дробью) Пример : пусть измеряется сопротивление проводника. . Результаты прямых измерений : Тогда ; , ; , ; , , . Графическое представление результатов эксперимента Правила построения графиков выберите соответствующую бумагу; выберите масштаб по осям координат; напишите обозначения измеряемых физических величин; нанесите на график данные; нанесите на график доверительные интервалы; проведите кривую через нанесенные точки; составьте заголовок графика. Для построения графиков выпускают специальную бумагу-миллиметровку. При выборе масштабов по осям координат следует руководствоваться следующими правилами: — значение независимой переменной откладывают вдоль оси абсцисс, функции – вдоль оси ординат; — цена наименьшего деления масштабной сетки должна быть сравнимой с величиной погрешности измерения; — точка пересечения оси абсцисс и оси ординат не обязательно должна иметь координаты (0,0). При построении графиков следует иметь в виду, что по результатам опытов мы получаем не точку, а прямоугольник со сторонами и . В При выполнении простых лабораторных работ достаточно обвести экспериментальную точку кружком или пометить крестиком, не указывая доверительных интервалов. Этот кружок или крестик будут обозначать, что данная точка получена с каким-то приближением и истинное значение измеряемой величины лежит где-то в ее окрестности. Правила приближенных вычислений 1. Основное правило округления. Если первая отброшенная цифра равна 5 или больше, то последнюю из сохраняемых цифр увеличивают на единицу; если первая отброшенная цифра меньше 5, то последнюю из сохраняемых цифр оставляют без изменения, например: 2. При сложении и вычитании приближенных чисел в полученном результате сохраняют столько десятичных знаков, сколько их в числе с наименьшим количеством десятичных знаков, например: 3. При умножении и делении приближенных чисел в полученном результате нужно сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное число с наименьшим количеством значащих цифр, например: 4. При возведении в квадрат приближенного числа нужно в результате сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень число, например: 5. При извлечении квадратного корня в результате нужно сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное число, например: 6. При вычислении промежуточных результатов в них следует сохранять на одну цифру больше, чем требуют правила 2-5. Причем при подсчете значащих цифр запасные цифры не учитываются. В окончательном результате запасная цифра отбрасывается по основному правилу округления. 7. При нахождении углов или тригонометрических функций значение соответствующего угла записывают с точностью до градуса, если значение тригонометрической функции имеет две значащие цифры; если угол задан с точностью до градусов, то в значении тригонометрической функции сохраняют две значащие цифры, например: Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.п.3. Виды измерений
п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:п.5. Абсолютная погрешность серии измерений
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.№ опыта 1 2 3 Сумма Масса, г 99,8 101,2 100,3 301,3 Абсолютное отклонение, г 0,6 0,8 0,1 1,5
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности \(m_0\) и измерения. \begin
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: \begin п.6. Представление результатов эксперимента
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.п.7. Задачи
№ мензурки a, мл b, мл n \(\triangle=\frac 1 20 40 4 \(\frac<40-20><4+1>=4\) 2 100 200 4 \(\frac<200-100><4+1>=20\) 3 15 30 4 \(\frac<30-15><4+1>=3\) 4 200 400 4 \(\frac<400-200><4+1>=40\)
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):№ мензурки Объем \(V_0\), мл Абсолютная погрешность
\(\triangle V=\frac<\triangle><2>\), млОтносительная погрешность
\(\delta_V=\frac<\triangle V>1 68 2 3,0% 2 280 10 3,6% 3 27 1,5 5,6% 4 480 20 4,2%
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка
Ответ: \(\delta_2\lt \delta_1\), второе измерение точней.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.Памятка «Как находить погрешность измерений»