Как измеряются комплексные потенциалы точек

Пример расчета. Рассчитать комплексные значения потенциалов всех остальных точек цепи относительно базовой

Рассчитать комплексные значения потенциалов всех остальных точек цепи относительно базовой.

Комплексный потенциал одной точки (любой) условно принять равной нулю. Эту точку назовем базовой (опорной).

Обозначить буквами (цифрами) все точки электрической цепи, между которыми находятся пассивные элементы и источники энергии.

Для построения топографической диаграммы напряжений необходимо рассчитать значения комплексных потенциалов всех точек электрической цепи.

Построение топографической диаграммы напряжений

Тогда искомый ток исследуемой ветви в соответствии с законом Ома

,

где – комплексное сопротивление i-й ветви.

4. Построить на комплексной плоскости в соответствии с выбранным масштабом m_I векторы токов ветвей цепи.

5. В соответствии с выбранным масштабом m_U нанести на комплексную плоскость точки, соответствующие комплексным значениям рассчитанных потенциалов. Соединить полученные точки между собой отрезками ломаной линии, соблюдая порядок чередования точек при обходе соответствующего контура цепи.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Измерение потенциалов точек электрической цепи и построение потенциальной диаграммы

Страницы работы

Фрагмент текста работы

любой ветви схемы можно найти по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать потенциалы узлов схемы. Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов.

Допустим, что в схеме n узлов. Так как любая (одна) точка схемы может быть заземлена без изменения токораспределения в схеме, то один из узлов схемы можно мысленно заземлить, т. е. принять потенциал его равным нулю. При этом число неизвестных уменьшается с n до n-1.

Вывод основных расчетных уравнений проведем применительно к схеме рис. 2, в которой три узла. Если узел 3 мысленно заземлить, т. е. принять =0, то необходимо определить потенциалы только двух узлов:,.

Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для независимых узлов, причем токи, направленные к узлу берем со знаком минус, а от узла – со знаком плюс.

Для первого узла ,

Для второго узла .

Рис. 2. Схема для расчета по методу узловых потенциалов

Запишем токи по закону Ома:

, , , , , .

Подставим токи в уравнения по первому закону Кирхгофа:

,

.

,

;

,

;

,

, где , , , ,

, ,

G₁₁— сумма проводимостей ветвей, сходящихся в первом узле,

G₁₂— сумма проводимостей ветвей, соединяющих первый и второй узлы, взятая со знаком минус,

G₂₁— сумма проводимостей ветвей, соединяющих первый и второй узлы, взятая со знаком минус,

G₁₁— сумма проводимостей ветвей, сходящихся во втором узле,

I₁₁— узловой ток первого узла,

Запишем уравнения в матричной форме:

,

, , .

Решим эти уравнения относительно искомых потенциалов и выразим токи ветвей, используя закон Ома.

После нахождения токов ветвей любым методом всегда делается проверка по первому закону Кирхгофа.

Под потенциальной диаграммой понимают график распределения потенциала вдоль какого-либо участка цепи или замкнутого контура. По оси абсцисс на нем откладывают сопротивления вдоль контура, начиная с какой-либо произвольной точки, по оси ординат – потенциалы. Каждой точке участка цепи или замкнутого контура соответствует своя точка на потенциальной диаграмме. Построим потенциальную диаграмму для контура на рис.3. Пусть R1=10 Ом, R2=5 Ом, R3=15 Ом, E1=20 В, E2=10 В, I=1A.

Рис.3. Контур для построения потенциальной диаграммы

,

,

,

,

,

.

Рис. 4. Потенциальная диаграмма для контура на рис.3.

Источник

Как сдать зачет на отлично

Лабораторная работа № 1

Измерение потенциалов точек электрической цепи

Научиться измерять потенциалы точек электрической цепи и строить потенциальные диаграммы.

Экспериментально проверить справедливость второго закона Кирхгофа.

2. Теоретические сведения и методические указания

Для расчета тока в замкнутом контуре с несколькими источниками ЭДС применяется второй закон Кирхгофа, который гласит, что алгебраическая сумма ЭДС, входящих в контур, равна алгебраической сумме падений напряжения на сопротивлениях этого контура:

Как известно, ЭДС внутри источника направлена от отрицательного зажима к положительному. ЭДС и токи, совпадающие с произвольно выбранным направлением обхода контура, считаются положительными, а ЭДС и токи, направленные в противоположном направлении – отрицательными.

Уравнение второго закона Кирхгофа можно представить в таком виде:

из чего следует, что алгебраическая сумма изменений потенциала при полном обходе контура равна нулю.

Наглядной иллюстрацией второго закона Кирхгофа является потенциальная диаграмма, которая дает возможность определить падение напряжения на отдельных участках электрической цепи.

Для построения потенциальной диаграммы замкнутого контура АВСDEA (рис. 3) необходимо определить потенциалы отдельных точек контура.

Рис. 3. Схема замкнутого контура с двумя источниками ЭДС

Будем считать, что известны величины сопротивлений, величины и направления ЭДС E1 и E2.

Точка А контура соединена с землей («заземлена») и, следовательно, потенциал ее равен нулю (φA = 0).

Произвольно выбираем направления тока I в контуре и направление обхода контура (по часовой стрелке). Начнем обход контура от точки A по выбранному направлению. При этом мы проходим через сопротивление R1 по направлению тока. Так как ток направлен от точки с высшим потенциалом к точке с низшим потенциалом, то потенциал точки B ниже потенциала точки A на величину падения напряжения IR1.

Разность потенциалов φA – φB есть падение напряжения между точками A и B, т. е.

так как φA = 0, то потенциал точки B по отношению к земле

При переходе от точки B к точке C мы проходим через источник с ЭДС E1 от отрицательного полюса к положительному. В результате действия сторонних сил источника должно произойти повышение потенциала точки C на величину E1. так как источник ЭДС обладает внутренним сопротивлением r01, то в нем происходит падение напряжения I∙r01, что вызывает некоторое уменьшение потенциала точки C. Следовательно, потенциал точки C по отношению к земле равен:

φC = φB + E1 – I r01 = – IR1+ E1 – I r01.

При переходе от точки C к точке D мы проходим через сопротивление R2 по направлению тока, поэтому потенциал точки D ниже потенциала точки C на величину падения напряжения IR2.

Потенциал точки D по отношению к земле равен:

φD = φC – IR2 = – IR1 + E1 – I r01 – IR2.

При переходе к точке E мы проходим через источник с ЭДС E2 от положительного полюса к отрицательному. Следовательно, должно произойти уменьшение потенциала на величину ЭДС E2. Наличие сопротивления r02 у источника ЭДС вызывает в нем падение напряжения Ir02. Следовательно, потенциал точки E по отношению к земле равен:

φE = φD – E2 – Ir02 = – IR1 + E1 – Ir01 – IR2 – E2 – Ir02.

От точки E через сопротивление R3 мы приходим к точке А по направлению тока. Потенциал точки А ниже потенциала точки E на величину падения напряжения IR3, поэтому:

φA = φE – IR3 = – IR1 + E1 + Ir01 – IR2 – E2 – Ir02 –IR3.

Так как потенциал точки А равен нулю (UA = 0), то

– IR1 + E1 + Ir01 – IR2 – E2 – Ir02 –IR3 = 0,

т. е. мы получили уравнение второго закона Кирхгофа для контура ABCDEA.

Это уравнение можно переписать так:

E1 – E2 = IR1 + IR2 + IR3 + Ir01 + Ir02 =i(R1 + R2 + R3 + r01 + r02).

Откуда ток в контуре:

Зная потенциалы точек цепи и сопротивления участков, можно построить потенциальную диаграмму.

При построении потенциальной диаграммы по оси абсцисс откладывают сопротивления между точками цепи, а по оси ординат – потенциалы этих точек. Потенциальная диаграмма для рассмотренной электрической цепи показана на рис. 4.

Рис. 4. Потенциальная диаграмма рассматриваемой электрической цепи

Потенциальная диаграмма может быть построена не только аналитическим путем, но и по опытным данным. Для этого потенциалы точек электрической цепи измеряют вольтметром.

Вольтметр должен быть обязательно магнитоэлектрической системы, так как он дает возможность определить знак потенциала, и желательно с двухсторонней шкалой.

При измерении потенциалов отрицательный зажим вольтметра соединяют с точкой а, соединенной с землей, а положительный зажим поочередно подключают к отдельным точкам контура. Если стрелка вольтметра отклонится вправо, то измеряемый потенциал исследуемой точки считается положительным, если влево – отрицательным.

1. Ознакомиться с источниками ЭДС, реостатами и приборами, необходимыми для выполнения работы, записать их технические данные.

2. Измерить вольтметром ЭДС каждого источника питания.

3. С помощью моста или омметра установить сопротивления реостатов соответственно R1 = 8 Ом, R2 = 10 Ом, R3 = 12 Ом.

4. Собрать схему № 1 (рис. 5) и предъявить ее для проверки преподавателю.

Рис. 5. Схема № 1 для измерения потенциалов точек электрической цепи

5. Включить рубильник SA. Измерить потенциалы точек ABCDE, ток I в контуре и напряжение между точками C и D. Результаты измерений записать в таблицу № 1.

6. Собрать схему № 2 (рис. 6). После проверки ее преподавателем включить рубильник SA. Измерить потенциалы точек ABCDE, ток в контуре и напряжение между точками C и D. Результаты измерений записать в табл. № 1.

Рис. 6. Схема № 2 для измерений потенциалов точек электрической цепи

7. Собрать схему № 3 (рис. 7). включить рубильник SA. Измерить потенциалы точек ABCDE, ток в контуре и напряжение между точками C и D. Результаты измерений записать в табл. № 1.

Рис. 7. Схема № 3 для измерения потенциалов точек электрической цепи

8. Зная значения ЭДС источников питания и сопротивления реостатов, пренебрегая внутренним сопротивлением источников, вычислить для каждой схемы потенциалы точек ABCDE, ток в контуре и напряжение между точками C и D. Результаты расчетов записать в таблицу 1.

Источник

Символический (комплексный) метод расчета цепей переменного тока

Одним из способов расчета цепей переменного тока является комплексный, или еще как говорят, символический метод расчета. Этот метод применяется при анализе схем с гармоническими ЭДС, напряжениями и токами. В результате решения получают комплексное значение токов и напряжений, используя для решения любые методы (эквивалентных преобразований, контурных токов, узловых потенциалов и т.п.). Но для начала необходимо иметь понятие, в каких именно формах может представляться синусоидальная величина. 1. Одна из форм представления – это вращающийся вектор (см. рис.1):

Рис.1. Вращающийся вектор

С помощью рисунка ясно видно, как с течением времени меняется значение синусоидальной величины. В нашем случае – это величина а на графике, которая может быть, например, входным напряжением. Величина имеет некоторое начальное значение при t = 0 при начальной фазе φ

имеет положительное максимальное значение при угле ωt₃, когда при времени t₃ сумма ωt₃ + φ = 90° и соответственно,

имеет отрицательное максимальное значение при угле ωt₇, когда при времени t₇ сумма углов ωt₇ + φ = 270° и, соответственно,

и имеет два нулевых значения при ωt_n + φ = 0, когда ωt_n = —φ (на рис.1 эта область не показана и находится слева от начала координат)

и имеет нулевое значение при угле ωt₁₁, когда при времени t₁₁ сумма ωt₁₁ + φ = 360° и соответственно,

Именно по такому закону и меняется привычное нам переменное напряжение 220 В, изменяясь по синусоидальному закону от значения 0 В до максимальных 311 В и обратно.

2. Другая форма представления – это комплексное число. Чтобы представить ранее рассмотренную форму представления синусоидальной величины, которая имеет некоторую начальную фазу φ, создают комплексную плоскость в виде графика зависимости двух величин (рис.2)

Рис.2. Комплексное число на комплексной плоскости

Длина вектора Am на такой комплексной плоскости равна амплитуде (максимальному значению) рассматриваемой величины. С учетом начальной фазы φ такое число записывают как .

На практике при использовании для расчетов символического (комплексного) метода расчета используют для некоторых удобств не амплитудное значение величины, а так называемое действующее значение. Его величина в корень из двух раз меньше амплитудного и обозначается без индекса m, т.е. равна

На рисунке выше этот вектор также показан.
Например, при том же нашем напряжении в сети, максимальное значение синусоидально изменяющегося напряжения равно 311 В, а действующее значение, к значению которого мы привыкли

При работе с комплексными числами и расчетов применяют различные формы записи комплексного числа. Например, при сложении комплексных чисел удобнее использовать алгебраическую форму записи таких чисел, а при умножении или делении – показательную форму записи. В некоторых случаях пишут тригонометрическую форму.
Итак, три формы записи комплексного числа:

1) показательная форма в виде

2) тригонометрическая форма в виде

3) алгебраическая форма

где ReA — это действительная составляющая комплексного числа, ImA — мнимая составляющая.

Например, имеем комплексное число в показательной форме вида

в тригонометрической форме записи это запишется как

при подсчете получим число, плавно переходящее в алгебраическую форму с учетом того, что

При переходе от алгебраической формы к показательной комплексное число вида

переходит к показательному виду по следующим преобразованиям

Таким образом, и получим

Перейдем к рассмотрению несложных примеров использования символического, или по-другому, комплексного метода расчета электрических цепей. Составим небольшой алгоритм комплексного метода:

Пример 1. В схеме рис.3 закон изменения ЭДС e = 141sin*ωt. Сопротивления R1 = 3 Ом, R2 = 2 Ом, L = 38,22 мГн, С = 1061,6 мкФ. Частота f = 50 Гц. Решить символическим методом. Найти ток и напряжения на элементах. Проверить 2-ой закон Кирхгофа для цепи.

Рис.3. Схема с последовательным соединением элементов

Составляем комплексную схему, обозначив комплексные токи и напряжения (рис.4):

Рис.4. Схема с комплексными обозначениями

По закону Ома ток в цепи равен

где U — комплексное входное напряжение, Z — полное сопротивление всей цепи. Комплекс входного напряжения находим как

Пояснение: здесь начальная фаза φ = 0°, так как общее выражение для мгновенного значения напряжение вида при φ = 0° равно

Соответственно, комплекс входного напряжения в показательной форме запишется как

Полное комплексное сопротивление цепи в общем виде

Находим комплексное сопротивление индуктивности

Находим комплексное сопротивление емкости

Соответственно, общее комплексное сопротивление цепи

Комплексные напряжения на элементах

Проверяем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура, т.е. должно выполняться равенство

С небольшим расхождением из-за округлений промежуточных вычислений всё верно.

Пример 2. В электрической цепи (рис.5) однофазного синусоидального тока, схема и параметры элементов которой заданы для каждого варианта в таблице, определить:
1) полное сопротивление электрической цепи и его характер;
2) действующие значения токов в ветвях;
3) показания вольтметра и ваттметра;

Рис.5.Цепь однофвзного синусоидального тока

Решение:
1. Находим комплексные сопротивления ветвей и всей цепи:
Учитываем, что

Комплексное сопротивление первой ветви:

Комплексное сопротивление второй ветви:

Комплексное сопротивление третьей ветви:

Общее сопротивление цепи

— нагрузка носит активно-индуктивный характер

2. Находим действующие значения токов в ветвях:

Рис.6. Схема с обозначенными комплексными токами

Действующие значения, соответственно,

3. Определим показания приборов:
Вольтметр подключен по схеме параллельно источнику питания. Соответственно его показание равно:
U=220 В
Ваттметр включен токовой обмоткой в разрыв третьей ветви, а обмоткой напряжения также к выводам третьей ветви, измеряя, таким образом, активную мощность третьей ветви. Эта мощность равна мощности на сопротивлении R3. Его показания:

Источник