Как изображается геометрически комплексное число
Числа. Геометрическое представление комплексных чисел.
Комплексным числом z является пара действительных чисел x и y, упорядоченная.
Первое число x из этой пары является действительной частью комплексного числа z и обозначают его как Rez, x = Rez. Второе число y является мнимой частью комплексного числа z и обозначают его как Imz, y = Imz.
Действительные числа изображают точками на числовой прямой:
Здесь точка A означает число –3, точка B – число 2, и O – ноль. В отличие от этого, комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a + bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b. Эта система координат называется комплексной плоскостью.
Модуль комплексного числа a + bi обозначают |a+ bi| либо буквой r и он равняется:
У сопряженных комплексных чисел равные модули.
Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсциссу a и ординату b комплексного числа a + bi выражают через модуль этого числа r и аргумент φ:
Операции с комплексными числами, которые представлены в тригонометрической форме.
Это знаменитая формула Муавра.
Чтобы получить n разных значений корня n-ой степени из z нужно задать n последовательных значений для k (к примеру, k = 0, 1, 2,…, n – 1).
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №39. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
3) определение модуля комплексного числа.
а) Комплексные числа изображают точками плоскости по следующему правилу: a + bi = M (a; b)
б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в точке О и конец в данной точке
Длина радиус-вектора, изображающего комплексное число z=a+bi, называется модулем этого комплексного числа.
Модуль любого ненулевого комплексного числа есть положительное число. Модули комплексно сопряженных чисел равны. Модуль произведения/частного двух комплексных чисел равен произведению/частному модулей каждого из чисел.
Модуль вычисляется по формуле:
То есть модуль есть сумма квадратов действительной и мнимой частей заданного числа.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Геометрическое изображение комплексных чисел.
а) Комплексные числа изображаются точками плоскости по следующему правилу: a + bi = M (a; b) (рис.1).
б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в точке О и конец в данной точке (рис.2).
Модуль комплексного числа
Как отмечалось выше, комплексное число также можно изображать радиус-вектором (рис. 4).
Длина радиус-вектора, изображающего комплексное число z=a+bi, называется модулем этого комплексного числа.
Модуль любого ненулевого комплексного числа есть положительное число. Модули комплексно сопряженных чисел равны. Модуль произведения/частного двух комплексных чисел равен произведению/частному модулей каждого из чисел.
Модуль вычисляется по формуле:
То есть модуль есть сумма квадратов действительной и мнимой частей заданного числа.
Иногда еще модуль комплексного числа обозначается как r или ρ.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Тип задания: единичный выбор
Найдите модуль комплексного числа z=5-3i
Решим данное задание, используя определение модуля.
Верный ответ: 2.
№2. Тип задания: рисование.
Изобразите вектором на комплексной плоскости точку z=2+3i
Разобьем z=2+3i на две части: z1=2 и z2= 3i. Отметим на плоскости точки О и А, соединим их:
Как изображается геометрически комплексное число
VII .1. Формы записи комплексных чисел и действия над ними
где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы
Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.
Числа z = x + iy и называются комплексно сопряженными.
Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.
Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотношений сторон в прямоугольном треугольнике получаем
Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле
Аргумент определяется из формул:
Используя формулу Эйлера
комплексное число можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме
где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол ( k =0;–1;1;–2;2…).
Пример 7.1. Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной формах.
На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.
Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = –1. Действительно,
Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:
(7.13) называется первой формулой Муавра.
Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:
На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = –1 и формулы разности квадратов.
Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:
Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.
Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:
Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение
На основании формулы (7.14) вычислим их частное
Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:
Аналогично, для z 2 можно записать:
По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:
Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:
в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).
(7.18) называется второй формулой Муавра.
Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.
Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами
Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.
Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.
Геометрическая интерпретация комплексного числа
Вы будете перенаправлены на Автор24
Любое комплексное число можно изобразить на плоскости, которую принято называть комплексной плоскостью. Комплексная плоскость аналогична прямоугольной декартовой системе координат, исключение составляют только названия осей:
Общий вид комплексной плоскости представлен на рис.1.
Отмечая соответствующие точки на плоскости, получим изображение комплексных чисел (рис.3)
Сопоставить заданным точкам на комплексной плоскости соответствующие комплексные числа.
Готовые работы на аналогичную тему
Модуль заданного комплексного числа вычисляется по следующей формуле:
Изобразить на комплексной плоскости числа, для которых:
\[1) r=3,\arg z=0; 2) r=2,\arg z=\pi ; 3) r=1,\arg z=\frac<\pi > <2>; 4) r=1,\arg z=\frac<3\pi > <2>; 5) r=2\sqrt <2>,\arg z=\frac <\pi >
Изобразим все числа на комплексной плоскости (рис.5).
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 11 11 2021
Геометрическое изображение суммы комплексных чисел
Согласно определению сложения двух комплексных чисел, действительная часть суммы равна сумме действительных частей слагаемых, мнимая часть суммы равна сумме мнимых частей слагаемых. Точно также определяются координаты суммы векторов:
Сумма двух векторов с координатами (A1;B1) и (A2;B2) есть вектор с координатами (A1+A2;B1+B2). Поэтому, чтобы найти вектор, соответствующий сумме комплексных чисел Z1 и Z2 нужно сложить векторы, соответствующие комплексным числам Z1 и Z2.
Пример: Найти сумму и произведение комплексных чисел Z1=2 – 3×i и
1 Способ:
Z1 + Z2 = 2 – 7 + (–3 + 8)×i = –5 + 5×i
Z1×Z2 = (2 – 3×i)×(–7 + 8×i) = –14 + 16×i + 21×i + 24 = 10 + 37×i
2 Способ:
ВЫЧИТАНИЕ И ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Вычитание комплексных чисел – это операция, обратная сложению: для любых комплексных чиселZ1 и Z2 существует, и притом только одно, число Z, такое, что:
Если к обеим частям равенства прибавить (–Z2) противоположное числу Z2:
Число Z=Z1+Z2 называют разностью чисел Z1 и Z2.
Деление вводится как операция, обратная умножению:
Разделив обе части на Z2 получим:
Z=
Из этого уравнения видно, что Z2 0
Геометрическое изображение разности комплексных чисел
Разности Z2 – Z1 комплексных чисел Z1 и Z2, соответствует разность векторов, соответствующих числам Z1 и Z2. Модуль разности двух комплексных чиселZ2 и Z1 по определению модуля есть длина вектора Z2 – Z1. Построим этот вектор, как сумму векторов Z2 и (–Z1). Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам.
Это важное геометрическое истолкование модуля разности двух комплексных чисел позволяет с успехом использовать простые геометрические факты.
Пример: Даны комплексные числа Z1= 4 + 5·i и Z2= 3 + 4·i. Найти разность Z2 – Z1 и частное
= =
КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ С КОМПЛЕКСНЫМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Рассмотрим уравнение Z 2 = a, где a – заданное действительное число, Z – неизвестное.
имеет один корень, если a = 0.
имеет два действительных корня Z1,2= , если a > 0.
т.е. (Z – i× )(Z + i× ) = 0
Следовательно, уравнение имеет два корня: Z1,2= i×
Введенное понятие корня из отрицательного числа позволяет записать корни любого квадратного уравнения с действительными коэффициентами
По общей формуле Z1,2=
Итак, при любых действительных a(a 0), b, c корни уравнения можно находить по формуле 10. При это если дискриминант, т.е. подкоренное выражение в формуле 10
Комплексные корни квадратного уравнения обладают такими же свойствами, как и известные нам свойства действительных корней.
Сформулируем основные из них:
Пусть Z1,Z2 – корни квадратного уравнения a×Z 2 + b×Z + c = 0, a 0. Тогда справедливы свойства:
Теорема Виета: Z1 + Z2 = –
Z1×Z2 =
При всех комплексных Z справедлива формула
Пример 1:
– 4 = i 2 ·4
Z1,2 =
Z1,2 =
Ответ: Z1 = Z2 = 3 +i
Пример 2:
Д = –1·8 = 8·i 2
Z1,2 = =
Z1,2 =
Z1 = – ( )
Z2 = –
Ответ: Z1 = Z2 = –
Пример 3:
Д = b 2 – 4·a·c = 64 + 36 = 100
t1,2 = = = 4
Z1,2 = 3 Z =
Z3,4 = i
Ответ: Z1,2 = 3, Z3,4 = i
Пример 4:
Д = b 2 – 4·a·c = 4 + 60 = 64
t1,2 = = = –1 4
Z 2 = – 1·5 Z3,4 =
Z 2 = i 2 ·5
Z1,2 = i
Ответ: Z1,2 = i , Z3,4 =
Пример 5:
Z 2 = 24 – 10·i
Пусть Z = X + Y·i
(X + Y·i) 2 = X 2 + 2·X·Y·i–Y 2
X 2 + 2·X·Y·i– Y 2 = 24 – 10·i
|
(X 2 – Y 2 ) + 2·X·Y·i= 24 – 10·i
|
Y = –
X 2 – = 24
умножим на X 2 0
X 2 = 25 X 2 = – 1 — нет решений
X1,2 = 5
Y1 = – Y2 =
Z1,2 = (5 – i)
Ответ: Z1,2 = (5 – i)