Как изобразить на числовой прямой множества

Обозначение, запись и изображение числовых множеств.

Из огромного многообразия всевозможных множеств особый интерес представляют так называемые числовые множества, то есть, множества, элементами которых являются числа. Понятно, что для комфортной работы с ними нужно уметь их записывать. С обозначений и принципов записи числовых множеств мы и начнем эту статью. А дальше рассмотрим, как числовые множества изображаются на координатной прямой.

Навигация по странице.

Запись числовых множеств

Раз уж мы заговорили про обозначения, то здесь напомним и про обозначение пустого множества, то есть множества, не содержащего элементов. Его обозначают знаком ∅.

Про обозначения поговорили, переходим к описанию числовых множеств. При этом затронем лишь основные случаи, которые наиболее часто используются на практике.

Иногда, когда число элементов числового множества достаточно велико, но элементы подчиняются некоторой закономерности, для описания используют многоточие. Например, множество всех нечетных чисел от 3 до 99 включительно можно записать как <3, 5, 7, …, 99>.

Так мы плавно подошли к описанию числовых множеств, число элементов которых бесконечно. Иногда их можно описать, используя все тоже многоточие. Для примера опишем множество всех натуральных чисел: N= <1, 2. 3, …>.

Аналогично, объединяя различные числовые промежутки и множества отдельных чисел, можно описать любое числовое множество (состоящее из действительных чисел). Здесь становится понятно, почему были введены такие виды числовых промежутков как интервал, полуинтервал, отрезок, открытый числовой луч и числовой луч: все они в купе с обозначениями множеств отдельных чисел позволяют описывать любые числовых множества через их объединение.

Изображение числовых множеств на координатной прямой

На практике удобно пользоваться геометрическими образами числовых множеств – их изображениями на координатной прямой. Например, при решении неравенств, в которых необходимо учитывать ОДЗ, приходится изображать числовые множества, чтобы найти их пересечение и/или объединение. Так что полезно будет хорошо разобраться со всеми нюансами изображения числовых множеств на координатной прямой.

А часто даже не указывают начало отсчета и единичный отрезок:

Отметим, что обычно для нужд практики нет необходимости выполнять чертеж точно. Часто достаточно схематического чертежа, что подразумевает необязательное выдерживание масштаба, при этом важно лишь сохранять взаимное расположение точек относительно друг друга: любая точка с меньшей координатой должна быть левее точки с большей координатой. Предыдущий чертеж схематически будет выглядеть так:

Отдельно из всевозможных числовых множеств выделяют числовые промежутки (интервалы, полуинтервалы, лучи и т.д.), что представляют их геометрические образы, мы подробно разобрались в разделе изображение числовых промежутков. Здесь не будем повторяться.

И остается остановиться лишь на изображении числовых множеств, представляющих собой объединение нескольких числовых промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел. Здесь нет ничего хитрого: по смыслу объединения в этих случаях на координатной прямой нужно изобразить все составляющие множества данного числового множества. В качестве примера покажем изображение числового множества (−∞, −15)∪<−10>∪[−3,1)∪ 25, 5>∪(17, +∞) :

Подведем итог. В идеале информация предыдущих пунктов должна сформировать такой же взгляд на запись и изображение числовых множеств, как и взгляд на отдельные числовые промежутки: запись числового множества сразу должна давать его образ на координатной прямой, а по изображению на координатной прямой мы должны быть готовы с легкостью описать соответствующее числовое множество через объединение отдельных промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел.

Источник

Обозначение, запись и изображение числовых множеств

Из большого количества разнообразных множеств особо интересными и важными являются числовые множества, т.е. те множества, элементами которых служат числа. Очевидно, что для работы с числовыми множествами необходимо иметь навык записи их, а также изображения их на координатной прямой.

Запись числовых множеств

N – множество всех натуральных чисел; Z – множество целых чисел; Q – множество рациональных чисел; J – множество иррациональных чисел; R – множество действительных чисел; C – множество комплексных чисел.

Напомним также следующие обозначения:

Рассмотрим теперь схему описания числовых множеств на примере основных стандартных случаев, наиболее часто используемых на практике.

Таким же образом, объединяя различные числовые промежутки и множества отдельных чисел, возможно дать описание любому числовому множеству, состоящему из действительных чисел. На основе сказанного становится понятно, для чего вводятся различные виды числовых промежутков, такие как интервал, полуинтервал, отрезок, открытый числовой луч и числовой луч. Все эти виды промежутков совместно с обозначениями множеств отдельных чисел дают возможность через их объединение описать любое числовое множество.

Изображение числовых множеств на координатной прямой

В практических примерах удобно использовать геометрическое толкование числовых множеств – их изображение на координатной прямой. К примеру, такой способ поможет при решении неравенств, в которых нужно учесть ОДЗ – когда нужно отобразить числовые множества, чтобы определить их объединение и/или пересечение.

Зачастую и не указывают начало отсчета и единичный отрезок:

В большинстве случаев возможно не соблюдать абсолютную точность чертежа: вполне достаточно схематичного изображения без соблюдения масштаба, но с сохранением взаимного расположения точек относительно друг друга, т.е. любая точка с бОльшей координатой должна быть правее точки с меньшей. С учётом сказанного уже имеющийся чертеж может выглядеть так:

Отдельно из возможных числовых множеств выделяют числовые промежутки интервалы, полуинтервалы, лучи и пр.)

Информация, приведенная в данной статье, призвана помочь получить навык видеть запись и изображение числовых множеств так же легко, как и отдельных числовых промежутков. В идеале записанное числовое множество сразу должно представляться в виде геометрического образа на координатной прямой. И наоборот: по изображению должно с легкостью формироваться соответствующее числовое множество через объединение числовых промежутков и множеств, являющихся отдельными числами.

Источник

Числовые множества

ЕГЭ по математике — экзамен чисто практический. Однако знания о том, какие бывают числа, необходимы при решении многих задач.

Натуральные числа — это числа, применяемые для счёта предметов. Натуральные числа можно использовать в качестве номеров.

Наименьшее натуральное число — единица¹. Числа 21, 249, 30988 являются натуральными. Все вместе они составляют множество натуральных чисел, обозначаемое буквой N:

Что же такое множество? Это одно из первичных понятий математики, т. е. таких, которые лежат в основе логической системы и уже не определяются через другие понятия. Интуитивно мы понимаем, что множество — это набор или совокупность элементов, объединенных каким-либо общим признаком.

Множества обычно обозначаются заглавными буквами. Множество натуральных чисел мы можем условно изобразить вот так:

Но числа бывают не только натуральными. Индийцы изобрели число ноль и отрицательные числа. Теперь они для нас привычны, но когда-то европейцы — древние греки и римляне — долгое время обходились без нуля. Сейчас нам трудно это представить.

Натуральные числа, целые отрицательные числа и ноль вместе составляют множество целых чисел, которое обозначается Z :

Например, получая в тригонометрическом уравнении серию решений, мы пишем: n ∈ Z, и это означает, что n — целое число.

Очевидно, множество целых чисел включает в себя множество натуральных:

Кроме целых чисел, однако, имеются ещё и дроби.

Стало быть, целые числа — частный случай дробей.

Долгое время — в античности — считалось, что любое число можно записать в виде дроби с числителем и знаменателем. Дело в том, что для древних греков числа и их соотношения были почти священны. Пифагорейцы говорили: «Числа правят миром». Они верили, что все основные принципы мироздания можно выразить языком математики, что соотношения чисел выражают гармонию, закон и порядок природы, перед которым склоняют голову даже олимпийские боги. Греческое искусство, особенно архитектура, подчинялось правилам, канонам. Греки точно установили, какими должны быть пропорции в архитектуре — например, отношение диаметра колонны к её длине — чтобы здание было гармоничным. И все эти пропорции были отношениями целых чисел.

Ещё раз повторим, в чём разница между рациональными и иррациональными числами.

7 : 11 = 0,636363636363.

Мы видим, что цифры повторяются, то есть дробь является периодической. Таким образом, любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечной или бесконечной периодической.

А вот в числе цифры не заканчиваются, и никакой периодичности их следования не наблюдается. Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби.

Вместе оба множества — рациональных и иррациональных чисел — образуют множество действительных (или вещественных) чисел, которое обозначается R (от слова real).

Возникает вопрос: это всё? Все ли числа, какие только могут быть, содержатся в множестве действительных чисел? Или за его пределами ещё что-то есть?

Для успешной сдачи ЕГЭ других чисел не нужно. Да и, казалось бы, мы назвали все возможные числа. Но вот какой парадокс: положительные и отрицательные числа симметрично расположены на числовой прямой, верно? И при этом из положительных чисел можно извлечь квадратный корень, а из отрицательных — нельзя! Не существует действительного числа, которое при возведении в квадрат даёт −1.

Оказывается, однако, что существует числовое множество, содержащее в себе множество R и бесконечное множество других чисел, не являющихся действительными. В этом множестве находится мнимая единица i, для которой верно i² = −1. И называется оно множеством комплексных чисел.

Комплексные числа служат естественным языком описания многих физических явлений. Те из вас, кто выбрал инженерную специальность (в особенности связанную с распространением волн, электротехникой и радиофизикой), непременно встретятся с ними. В отличие от действительных («вещественных») чисел, применяемых для описания материального, плотного мира «вещей», комплексные числа оказываются удобным инструментом для построения математических моделей волн и колебаний всевозможной природы.

Ну а будущим физикам наверняка интересно будет узнать, что элементарные частицы живут и взаимодействуют по законам именно комплексных чисел. Наукой, описывающей комплексный микромир, является квантовая физика.

¹ В школьной математике ноль не является натуральным числом. Мы ведь не используем его для счёта предметов. Ну какой здравомыслящий человек скажет: «На столе стоит ноль чашек»? 🙂

Источник

Числовые множества и функции

2. Числовые множества и функции

2.1. Числовая ось. Множества на числовой прямой

Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые понятия.

Под множеством понимается совокупность (набор) некоторых объектов. Объекты, которые образуют множество называются элементами, или точками этого множества.

Примерами множеств являются: множество студентов данного вуза, множество предприятий некоторой отрасли, множество натуральных чисел и т. д. Т. е. объекты могут иметь самую различную природу, какую себе можно только представить.

Множества обозначаются прописными буквами, а их элементы – строчными.

Факт принадлежности элемента а множеству А условно принято обозначать записью . Если элемент b не является элементом множества А, то пишут

Множество, не содержащее ни одного элемента называется пустым и обозначается символом ø. Например, множество действительных корней уравнения х 2 + 1 = 0 есть пустое множество.

Если множество В состоит из части элементов множества А или совпадает с ним, то множество В называется подмножеством множества А, что эквивалентно символьной записи .

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств. Обозначается .

Пересечением двух множеств А и В называется множество D, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств А и В. Обозначается .

Разностью двух множеств А и В называется множество E, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В. Обозначается E = A\B.

Пример 2.1. Найти объединение, пересечение и разность множеств А = <1; 3; 6; 8>, В =

Ответ: , ,

Дополнением множества называется множество А0, состоящее из всех элементов множества В, не принадлежащих А.

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми.

Геометрически множество действительных чисел R изображается точками числовой прямой (числовой оси). Числовой прямой называют прямую, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единица масштаба.

Между множеством действительных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т. е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке числовой оси – определенное действительное число. Поэтому часто вместо «число х» говорят «точка х».

Поэтому, например, решениями неравенства│х −а│ 0). будут точки открытого интервала (а – ε, а + ε), т. е. точки интервала, удовлетворяющего неравенству а – ε 0), называется ε – окрестностью точки а (рис. 2.1).

2.3. Понятие функции одной переменной

Определение функции. Рассмотрим два множества Х и Y, элементами которых могут быть любые объекты. Предложим, что каждому элементу х множества Х по некоторому закону или способу поставлен в соответствие определенный элемент у множества Y, то говорят, что на множестве Х задана функция у = ƒ(х), (или отображение множества Х во множество Y).

Множество Х называется областью определения функции ƒ, а элементы у = ƒ(х) образуют множество значений функции – Y.

х – независимая переменная (аргумент).

у – зависимая переменная,

ƒ – закон соответствия, знак функции.

Буквы для обозначения зависимой и независимой переменной можно выбирать любые, например

это одна и та же функция, один и тот же закон сопоставления.

Пусть Х и Y множества вещественных чисел.

Значения х и у могут быть любой физической природы. На данном этапе мы будем рассматривать только функции, область определения и область значений которых являются числовыми множествами.

Область определения функции будем иногда обозначать символом D, а область значений – символом E

1) Найти область определения функции у = 1/(х2 – 5х + 6).

Решение: Найдем значения х, в которых знаменатель обращается в нуль.

х2 – 5х + 6=0. х1 = 2, х2=3. Функция не существует в этих точках. Областью определения является объединение таких множеств: D = (-∞, 2) U (2, 3) U (3, ∞).

2) Найти область определения функции у= log3(х – 1).

Решение: х – 1 >0, х > 1. Запишем решение в виде интервала: D = (1, ∞).

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью так называемых рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

Наиболее часто используются в экономике следующие функции:

Пусть рассматривается какое-либо утверждение В в связи с некоторым утверждением А. Если из В следует А, т. е. В→А, то А является необходимым условием для В. Если же из А следует В, т. е. А→В, то А называется достаточным условием для В. Например, делимость числа на 2 является необходимым условием для В (делимость на 6 →делимость на 2), а, скажем, делимость числа на 12 является достаточным условием делимости на 6 (делимость на 12 → делимость на 6).

Таким образом, необходимые условия − те, без которых рассматриваемое утверждение заведомо не может быть верным, а достаточные условия − те, при выполнении которых это утверждение заведомо верно.

2.3. Способы задания функции

Этот способ не всегда приемлем. Например, для функции

невозможно записать в таблицу все значения, которые принимает х. Но он очень важен, например, для задания функций, полученных из эксперимента.

Пример: В киоске продается мороженое. Зависимость количества проданных за день порций от цены мороженого (при прочих равных условиях) отражена в табл. 2.2:

2). Графический – наиболее наглядный способ задания функции.

называется множество всех точек плоскости с координатами (х, f(x)). Для предыдущего примера график функции имеет вид (рис. 2.2)

Для большей наглядности полученные точки графика соединены отрезка­ми прямых.

Отметим, что следующая кривая (рис. 2.3) не является графиком функ­ции, так как в промежутке от a до b нарушается требование однознач­ности из определения функции, каждому значению х из этого промежут­ка отвечают несколько значений у.

Наряду с таким (как в этих примерах) явным заданием функции функциональная зависимость между переменными может быть задана уравнением

связывающим переменные х и у. Здесь зависимая переменная явно не выражена через независимую, например х3- у3+ 4 = 0. Такого типа функциональная зависимость между переменными х и у называется неявной. Более строго говоря, уравнение F(х, у) = 0 определяет у как неявную функцию от х, если каждому значению х из некоторого множества X можно однозначно сопоставить значение у так, что полу­ченная пара значений (х, у) обращает уравнение

F(x, у) = 0 в тож­дество. В одних случаях от неявного задания функции несложно перейти к явному. Например, если

Так быва­ет, например, при задании движения объекта на плоскости, когда каж­дая координата х, у задается как функция времени:

Тогда обе функции в совокупности определяют траекторию движения этого объекта.

5) Способ, когда функция определяется несколькими формулами, действующими на различных участках, например:

График этой функции

График этой функции

Функция обозначается у = sign x.

Существуют функции; которые ни одним из предыдущих, способов задать нельзя. Их задают словесным описанием закона, по которому значениям одной переменной сопоставляют значения другой переменной.

Эта функция называется функцией Дирихле. Ни графически, ни аналити­чески, ни таблично ее описать нельзя.

Иногда подобным образом задают функцию, которую нельзя задать аналитически, а затем строят ее график.

Пример: у(х) есть наибольшее целое число, меньшее или равное х. Обозначают: у = Е(х).Например, Е (6,2) = 6. График этой функции

есть функция натурального аргумента. Ее график имеет вид:

2.4. Обратная функция

Если Y – множество значений функции f (x) и для любого элемента существует единственный элемент такой, что f (x) = y, то говорят, что функция осуществляет взаимнооднозначное соответствие между множествами X и Y. Другими словами, соответствие называется взаимнооднозначным, если каждому элементу соответствует единственный элемент и наоборот, каждому элементу соответствует единственный элемент Функция, осуществляющая взаимнооднозначное соответствие, называется обратимой; ещё говорят, что у функции f существует обратная функция. Такая функция обозначается и каждому элементу ставит в соответствие такой элемент что f (x) = y; этот факт записывают так: Однако нам непривычна запись функции как зависимости x от y. Поэтому сделаем формальную замену переменных что соответствует отражению относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Тогда получим, что − обратная функция, график которой получается из графика исходной функции y = f (x) отражением относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Область определения обратной функции совпадает с областью значений самой функции: Область значений обратной функции совпадает с множеством определения самой функции: (Взято из «Избранное»/ дискретная математика/ 4.1.2. Сравнение и отображение множеств. url.

http://www. *****/mathematics/courses/algebra/content/chapter2/section4/paragraph2/theory. html)

Пусть имеется функция у = f(x) с областью определения Х и об­ластью изменения Y. По определению функции каждому значению х из X ставится в соответствие значение у из Y. Будем рассматривать такие функции, что двум разным значениям аргумента x1 и х2 соответствуют разные значения функции, т. е. при x1 ≠ х2 справедливо f(x1) ≠ f(х2).

Тогда для каждого значения у из Y найдется такое единственное значение х из X, что f(x) = у.

Правило, сопоставляющее каждому у из Y указанное значение х, определяет функциональную зависимость

φ(у) = х. Эта функция назы­вается обратной к функции

у = f(x). Она обозначается х = f-1(y).

Областью определения обратной функции является множество значений данной функции f(x). График функции

1. Для функции у = ах обратной является функция

х = loga y или у = loga х. См. рис. 2.9.

2. Для функции у = х3 обратной является функция

Использование обратной функции позволяет перейти от параметри­ческого задания функции к явному:

пусть функция задана параметрически:

2.5. Сложная функция

Пусть функция у = f(u) есть функция от переменной u, определенная на множестве U с областью значений – Y, а переменная u = φ(х) функция от переменной х, определенной на множестве Х с областью значения U. Тогда заданная на множестве Х функция у = f(φ(x)) называется сложной функцией (функцией от функций). Например, у = lg sin 3х. Эту сложную функцию от х можно расписать, как цепочку простых функций: у= lg u, u = sin t, t = 3x.

2.6. Ограниченная функция

Функция называется ограниченной сверху, если найдется такое число М, что для всех х справедливо неравенство Аналогично определяется функция, ограничен­ная снизу. Например, функция ограничена снизу, для всех х. Здесь М = 0.

Функция называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу. Например, функция

2.7. Основные элементарные функции

К основным элементарным функциям относятся:

если а = 1/2, k=1, то у = х1/2 (рис. 2.12).

− если k >0, то гипероола располо­жена в 1-й и 3-й четвертях (рис 2.13);

4. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

(графики не приводятся)

2.6. Примеры функции из экономики

1. Функция спроса от цены Q = f(p) определяет зависимость величины Q спроса на товар от цены р этого товара (при прочих равных условиях). Рассмотрим примеры функций спроса от цены.

2). При р = 0 спрос равен 10 ед. С увеличением цены спрос падает и, начиная с р = 20, становится равным нулю. Поэтому правильнее было бы записать эту функцию спроса так:

Однако принято писать так, как указано в условии примера.

Как правило, функция спроса есть убывающая функция, то есть с возрастанием цены спрос на данный товар падает (в экономике такое явление называется законом спроса). Вместе с тем бывают случаи, когда этот закон не действует, и в последующем студенты смогут по­знакомиться с такими «неправильными» товарами.

2. Функция предложения (от цены) показывает количество Q това­ра, которое производитель готов предложить рынку при данной цене р.

Пока цена меньше 4, производителю невыгодно поставлять данный товар, предложение равно нулю. Опять же можно отметить, что более аккуратной с математической точки зрения была бы такая запись:

Известны и другие функции, применяемые для описания экономических законов.

Источник