Как корень превратить в степень

Иррациональные выражения

Выражения, содержащие корень, который нельзя извлечь, называются иррациональными или радикальными.

— иррациональные выражения.

Сложение и вычитание корней

При сложении или вычитании иррациональных выражений их пишут одно за другим с сохранением их знаков.

В некоторых случаях с помощью преобразования можно сделать иррациональные выражения подобными, то есть, имеющими одинаковые показатели корней и подкоренные числа (или выражения), а затем сделать приведение.

Умножение и деление корней

При умножении иррациональных выражений с одинаковыми показателями корней перемножаются их подкоренные числа или выражения:

При делении иррациональных выражений с одинаковыми показателями корней подкоренное число или выражение делимого делится на подкоренное число или выражение делителя:

Возведение корня в степень

Чтобы возвести в степень иррациональное выражение, следует возвести в степень подкоренное число или выражение:

При возведении в n-ю степень знак корня отбрасывается, так как возведение числа (или выражения) в n-ю степень и извлечение из него корня n-ой степени — это взаимно сокращающиеся действия:

Извлечение корня

Чтобы извлечь корень из иррационального выражения, следует показатели корней перемножить:

, так как

С помощью таких преобразований можно упростить извлечение корней 4-й, 6-й, 8-й, 9-й и т. п. степеней из чисел.

Сокращение корней

Величина иррационального выражения не изменится, если показатель корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же число:

так как извлечение корня и возведение в степень — это взаимно сокращающиеся действия, если их показатели равны.

На этом свойстве основано сокращение корней и приведение их к общему показателю.

Сокращение корней — это деление показателей корня и подкоренного числа (или выражения) на одно и то же число, если оно является общим множителем для всех показателей.

Приведение корней к общему показателю

Приведение корней к общему показателю имеет большое сходство с приведением дробей к общему знаменателю. Рассмотрим два способа:

Рассмотрим три выражения:

,

Так как у данных показателей нет общего множителя, то просто перемножаем все показатели между собой. Полученный результат и станет общим показателем. После приведения к общему показателю выражения будут иметь следующий вид:

Рассмотрим два выражения:

,

НОК (4, 6) = 12, значит, для первого выражения дополнительным множителем будет 3, а для второго 2. После приведения к общему показателю выражения будут иметь следующий вид:

При умножении и делении иррациональных выражений с разными показателями их приводят к общему показателю, а затем уже умножают или делят их подкоренные числа или выражения.

Источник

Формулы степеней и корней.

Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

Число c является n-ной степенью числа a когда:

Операции со степенями.

1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

Операции с корнями.

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n-ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n-ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n, необходимо извлечь корень n–ой степени из m-ой степени этого числа а:

Формулы степеней.

6. a — n = — деление степеней;

7. — деление степеней;

8. a 1/n = ;

Источник

Корни и степени

Здесь — основание степени, — показатель степени.

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Свойства арифметического квадратного корня:

Кубический корень

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

При этом также выполняется условие, что больше 0.

Запомним правила действий со степенями:

— при перемножении степеней показатели складываются

— при делении степени на степень показатели вычитаются

— при возведении степени в степень показатели перемножаются

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.

Это полезно

В нашей статье вы найдете всю необходимую теорию для решения задания №9 ЕГЭ по теме «Графики функций». Это задание появилось в 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.

Источник

Перевод корней в степени и обратно: объяснение, примеры

Часто преобразование и упрощение математических выражений требует перехода от корней к степеням и наоборот. Данная статья рассказывает о том, как осуществлять перевод корня в степень и обратно. Рассматривается теория, практические примеры и наиболее распространенные ошибки.

Переход от степеней с дробными показателями к корням

Ответ вытекает из самого определения степени!

При этом, обязательно должно выполнятся условие:

Дробная степень числа нуль определяется аналогично, однако в этом случае число m принимается не целым, а натуральным, чтобы не возникло деления на 0 :

Как представить корень в виде степени?

Обратная замена корней степенями, когда вместо выражения с корнем записывается выражения со степенью, также возможна. Просто перевернем равенство из предыдущего пункта и получим:

Можно ли вообще преобразовать такие выражения со степенями? Да, если произвести некоторые предварительные преобразования. Рассмотрим, какие.

В случае с корнем нечетной степени из отрицательного числа, можно записать:

Разберемся теперь, как корни, под которыми содержатся выражения, заменяются на степени, содержащие эти выражения в основании.

Таким образом, в рассмотренном примере преобразование вида A m n = A m n является преобразованием, сужающим ОДЗ, а из-за неаккуратного применения формулы A m n = A m n нередко возникают ошибки.

Сведем все эти правила в таблицу и приведем несколько примеров их использования.

Приведем еще один пример с корнями и степенями.

Пример. Перевод корня в степень

Источник

Что такое квадратный корень

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Что такое квадратный корень

Определение арифметического квадратного корня ясности не добавляет, но заучить его стоит:

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Определение квадратного корня также можно представить в виде формул:
√a = x
x 2 = a
x ≥ 0
a ≥ 0

Из определения следует, что a не может быть отрицательным числом. То есть то, что стоит под корнем — обязательно положительное число.

Чтобы разобраться, почему именно так и никак иначе, давайте рассмотрим пример.

Попробуем найти корень из √-16

Здесь логично предположить, что 4, но давайте проверим: 4*4 = 16 — не сходится.

Получается, что ни одно число не может дать отрицательный результат при возведении его в квадрат.

Числа, стоящие под знаком корня, должны быть положительными.

Исходя из определения, значение корня также не должно быть отрицательным.

Разница между квадратным корнем и арифметическим квадратным уравнением

Прежде всего, чтобы разграничить эти два понятия, запомните:

Это два нетождественных друг другу выражения.

Из выражения x 2 = 16 следует, что:

Если две вертикальные палочки возле x вводят вас в замешательство, почитайте нашу статью о модуле числа.

В то же самое время, из выражения x = √16 следует, что x = 4.

Если ситуация все еще кажется запутанной и нелогичной, просто запомните, что отрицательное число может быть решением только в квадратном уравнении. Если в решении «минус» — есть два варианта:

Если вы извлекаете квадратный корень из числа, то можете быть уверены, вас ждет «положительный» результат.

Давайте рассмотрим пример, чтобы окончательно выяснить разницу между квадратным корнем и квадратным уравнением.

Даны два выражения:

Первое выражение — квадратное уравнение.

Второе выражение — арифметический квадратный корень.

Мы видим, что результатом решения первого выражения стали два числа — отрицательное и положительное. А во втором случае — только положительное.

Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня

Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби.

Чаще всего, иррациональные числа можно встретить в виде корней, логарифмов, степеней и т.д.

Примеры иррациональных чисел:

Чтобы упростить запись иррациональных чисел, математики ввели понятие квадратного корня. Давайте разберем пару примеров, чтобы увидеть квадратный корень в деле.

Дано уравнение: x 2 = 2.

Сразу сталкиваемся с проблемой, поскольку очевидно, что ни одно целое число не подходит.

Переберем числа, чтобы удостовериться в этом:

1 * 1 = 1,
2 * 2 = 4,
3 * 3 = 9.

Отрицательные числа дают такой же результат. Значит результатом решения не могут быть целые числа.

Извлечение корней

Решать примеры с квадратными корнями намного легче, если запомнить как можно больше квадратов чисел. Для этого воспользуйтесь таблицей — сохраните ее себе и используйте для решения задачек.

Таблица квадратов

Вот несколько примеров извлечения корней, чтобы научиться пользоваться таблицей:

Ищем в таблице число 289, двигаемся от него влево и вверх, чтобы определить цифры, образующие нужное нам число.

Ищем в таблице число 3025.
Влево — 5, вверх — 5.

Ищем в таблице число 7396.

Ищем в таблице число 9025.

Ищем в таблице число 1600.

Извлечением корня называется нахождение его значение.

Свойства арифметического квадратного корня

У арифметического квадратного корня есть 3 свойства — их нужно запомнить, чтобы проще решать примеры.

Давайте потренируемся и порешаем примеры на все три операции с корнями. Не забывайте обращаться к таблице квадратов. Попробуйте решить примеры самостоятельно, а для проверки обращайтесь к ответам.

Умножение арифметических корней

Для умножения арифметических корней используйте формулу:

Примеры:

Внимательно посмотрите на второе выражение и запомните, как записываются такие примеры.

Если нет возможности извлечь корни из чисел, то поступаем так:

Деление арифметических корней

Для деления арифметических корней используйте формулу:

Примеры:

Выполняя деление, не забывайте сокращать множители. При делении арифметических корней, используйте правила преобразования обыкновенных дробей.

Возведение арифметических корней в степень

Для возведения арифметического корня в степень используйте формулу:

Примеры:

Эти две формулы нужно запомнить:

Повторите свойства степеней или запишитесь на курсы по математике, чтобы без труда решать такие примеры.

Внесение множителя под знак корня

Вы уже умеете по-всякому крутить и вертеть квадратными корнями: умножать, делить, возводить в степень. Богатый арсенал, не правда ли? Осталось овладеть еще парой приемов и можно без страха браться за любую задачку.

А теперь давайте разберемся, как вносить множитель под знак корня.

Число семь умножено на квадратный корень из числа девять.

Извлечем квадратный корень и умножим его на 7.

В данном выражение число 7 — множитель. Давайте внесем его под знак корня.

Запомните, что вносить множитель под знак корня обязательно нужно так, чтобы значение исходного выражения осталось неизменным. Иными словами, после наших манипуляций с корнем, значение выражения должно по-прежнему оставаться 21.

Вы помните, что (√a) 2 = a

Тогда число 7 должно быть возведено во вторую степень. В этом случае значение выражения останется тем же.

7√9 = √7 2 * 9 = √49 * 9 = √49 * √9 = 7 * 3 = 21.

Формула внесения множителя под знак корня:

Потренируемся вносить множители. Попробуйте решить примеры самостоятельно, сверяясь с ответами.

Вынесение множителя из-под знака корня

С тем, как вносить множитель под корень мы, кажется, разобрались. Но алгебра — такая алгебра, поэтому теперь неплохо бы и вынести множитель из-под знака корня.

Дано выражение в виде квадратного корня из произведения.

Вы уже наверняка без труда извлекаете квадратный корень из чего угодно, поэтому знаете, что делать.

Извлекаем корень из всех имеющихся множителей.

В данном выражении квадратный корень мы можем извлечь только из 4, поэтому:

Таким образом множитель выносится из-под знака корня.

Давайте разберем примеры. Попробуйте вынести множители из-под знака корня самостоятельно, сверяясь с ответами.

Раскладываем подкоренное выражение на множители 28 = 7*4.

Сравнение квадратных корней

Мы почти досконально разобрали арифметический квадратный корень, научились умножать, делить и возводить его в степень. Теперь вы без труда можете вносить множители под знак корня и выносить их оттуда. Осталось научиться сравнивать корни и стать непобедимым теоретиком.

Итак, чтобы понять, как сравнить два квадратных корня, нужно запомнить пару правил.

Если:

Потренируйтесь в сравнении корней. Сверяете свои результаты с ответами.

Ответ: преобразовываем выражение 9√5.

9√5 = √81 * √5 = √81*5 = √405

Ответ: преобразовываем выражение 7√12.

7√12 = √49 * √12 = √49*12 = √588

Это значит, что 7√12 > √20.

Как видите, ничего сложного в сравнении арифметических квадратных корней нет.

Самое главное — выучить формулы и сверяться с таблицей квадратов, если значения корня слишком большие для легкого вычисления в уме.

Не бойтесь пользоваться вспомогательными материалами. Математика просто создана для того, чтобы окружить себя подсказками и намеками.

Когда вы почувствуете, что уже достаточно натренировались в решении примеров с квадратными корнями, можете позволить себе время от времени прибегать к помощи онлайн-калькуляторов. Они помогут решать примеры быстрее и быть эффективнее.

Таких калькуляторов в интернете много, вот один из них.

Извлечение квадратного корня из большого числа

Вы уже наверняка познакомились и подружились с таблицей квадратов. Она — ваша правая рука. С ее помощью вы реактивно решаете примеры и, возможно, даже подумываете запомнить ее наизусть.

Но, как вы можете заметить, таблица заканчивается на числе 9801. А это, согласитесь, не самое крупное число из тех, что могут вам попасться в примере.

Чтобы извлечь корень из большого числа, которое отсутствует в таблице квадратов, нужно:

Извлечь корень из большого числа можно разными способами — вот один из них.

Извлечем корень из √2116.

Наша задача в том, чтобы определить между какими десятками стоит число 2116.

Мы видим что, 2116 больше 1600, но меньше 2500.

41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.

Запомните лайфхак по вычислению всего на свете, что нужно возвести в квадрат.

Не секрет, что на последнем месте в любом числе может стоять только одна цифра от 1 до 0.

Как пользоваться таблицей

4 2 = 16 ⇒ 6

5 2 = 25 ⇒ 5

6 2 = 36 ⇒ 6

7 2 = 49 ⇒ 9

8 2 = 64 ⇒ 4

9 2 = 81 ⇒ 1

Мы знаем, что число 41, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 1.

Число, 42, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 4.

Число 43, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — 9.

Такая закономерность позволяет нам без записи «перебрать» все возможные варианты, исключая те, которые не дают нужную нам цифру 6 на конце.

Далее вычисляем: 44 * 44 = 1936.

Если такой способ показался не до конца понятным — можно потратить чуть больше времени и разложить число на множители. Если решить все правильно, получим такой же результат.

Еще пример. Извлечем корень из числа √11664

Разложим число 11664 на множители:

Запишем выражение в следующем виде:

Извлечь квадратный корень из большого числа гораздо проще с помощью калькулятора. Но знать парочку таких способов «на экстренный случай» точно не повредит. Например, для контрольной или ЕГЭ.

Чтобы закрепить все теоретические знания, давайте ещё немного поупражняемся в решении примеров на арифметические квадратные корни.

109004, Москва, ул. Александра Солженицына, 23а, строение 1, подъезд 10

Источник