Как наглядно иллюстрируется отношения между множествами
Отношения между множествами. Графическая иллюстрация множеств
Способы задания множеств
Множество считают заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.
Множество можно задать, перечислив все его элементы. Запись С = <а, б, в, г>обозначает, что множество С содержит элементы а, б, в, г.
Каждый элемент входит в множество только один раз. Например, множество различных букв в слове «математика» запишется так: <м, а, т, е, и, к>.
Данный способ применим для конечных множеств, которые содержат небольшое число элементов.
Другой способ задания множеств состоит в следующем: указывают характеристическое свойство его элементов. Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.
Случается, что одно и то же множество можно задать, указав различные характеристические свойства его элементов. Например, множество двузначных чисел, делящихся на 11 и множество натуральных чисел первой сотни, записанных двумя одинаковыми цифрами, содержат одни и те же элементы.
При данном способе задания множество может быть записано так: в фигурных скобках пишут сначала обозначение элемента, затем проводят вертикальную черту, после которой записывают свойство, которым обладают элементы данного множества. Например, множество А натуральных чисел, меньших 5, запишется так: А = <х½хÎN, х
Определение. Множества А и В не пересекаются, если не имеют общих элементов.
Множества А = <1, 2, 3, 4>и В = <0, 8, 5>не пересекаются.
Если множества не пересекаются, то их изображают следующим образом:
 |  |
Определение. Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Обозначают: А = В.
Например, множества А = <1, 2, 3>и В = <2, 3, 1>равны, т.к. состоят из одинаковых элементов. Таким образом, множество не изменится, если переставить его элементы. С понятием равных множеств связано следующее положение: одно и то же множество может быть задано с помощью различных характеристических свойств.
Определение. Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В принадлежит множеству А (обозначают В Ì А).
Согласно данному определению, каждое множество является подмножеством самого себя. Кроме этого считают, что пустое множество есть подмножество любого множества. Само множество и пустое множество называют несобственными подмножествами; все остальные подмножества множества А, если они существуют, – собственные подмножества.
Доказано, что если множество состоит из п элементов, то у него 2 п различных подмножеств.
Если В Ì А и А Ì В, то А = В. Отсюда вытекает один из способов доказательства равенства множеств: если доказано, что любой элемент из множества А является элементом множества В и, в свою очередь, любой элемент из множества В является элементом множества А, то делают вывод, что А = В.
Часто случается, что все множества, рассматриваемые в задаче, являются подмножествами одного и того же множества. Такое множество называют универсальным (обозначают I).
Условимся изображать универсальное множество прямоугольником, а его подмножества – кругами в этом прямоугольнике.
Описанный способ изображения множеств носит названия кругов Эйлера или диаграмм Венна. Мы будем подобные изображения называть диаграммами Эйлера-Венна.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Урок-практикум «Множества. Отношения между множествами»
Оборудование: урок проводится в компьютерном классе, учебник, тетрадь, карточки двух цветов, презентация к уроку (Приложение 1)
I. Организационный момент
– Начинаем урок информатики. Вспомним правила поведения в компьютерном классе.
В класс компьютерный вхожу
С дисциплиной я дружу
Бегать, прыгать и кричать
Никогда не буду
Тишину здесь соблюдать
Я не позабуду.
Нам с вами предстоит интересная работа. Будьте внимательными, на мои вопросы поднимайте руки, я жду от вас полных ответов. Внимательно следите за ответами своих товарищей.
II. Постановка цели урока
Сегодня мы отправимся в воображаемое путешествие на острова для множеств. И на этом уроке мы подарим себе новые знания. Давайте вспомним, что вы уже знаете о множествах и элементах множества.
1. В программе WORD
Я главная фигура.
А зовут меня(клавиатура) – элемент множества
2. Сидит на коврике зверёк –
Кто же это? Ответь дружок! (Мышь) – элемент множества
3. Устройство вывода информации – (монитор) – элемент множества
4. Устройство вывода информации в печатном виде – (принтер) – элемент множества
5. В большой коробке – главный блок
Там бежит электроток
К самым важным микросхемам
Этот блок зовут (системным) – элемент множества
– Вы отгадали загадки, к какому множеству принадлежат отгадки? (Части компьютера)
– Назовите самое маленькое множество по числу элементов (Мышь)
– Назовите самое большое множество (Клавиатура)
– Назовите множества, в которых равное количество элементов (Принтер, монитор)
– Итак, дайте ответ на вопрос:
1) Множество – это… (группа предметов с общим названием и собранных вместе)
2) Как, по-другому можно назвать предметы любого множества? (Элементы)
3) Сколько элементов может содержать множество?
4) Множества называются равными, если… (у них равное число одинаковых элементов)
5) Если множество не содержит ни одного элемента, оно называется… (пустым)
6) Какое схематическое обозначение применяют для обозначения множества? (Круг)
7) Множество, которое входит в состав другого более большего по размерам множества – (подмножество)
– Однако в математике словом “множество” обозначают необязательно большую группу предметов или существ.
– Приведите пример множества с одним элементом. (Множество звёзд, освещающих Землю – Солнце)
– Бывают и пустые множества. (Множество птиц среди гостей Мухи-Цокотухи.
– Приведите свои примеры множества с одним элементом, пустого множества.
– Итак, мы увидели, что множество может включать совсем немного элементов и даже быть пустым – не иметь ни одного элемента.
Игра «Найди лишнее»
1) Тюльпан, лилия, фасоль, ромашка.
2) Река, озеро, мост, море.
4) Курица, петух, орёл, гусь.
5) Саша, Витя, Петров, Коля.
Игра «Дай название множеству»
1) Окунь, карась, щука –
2) Дерево, цветок, трава –
4) Слон, муравей, пингвин –
5) Шляпа, фуражка, кепка –
У. Если два множества имеют один или несколько общих элементов, то множества – пересекаются.
В классе 25 учеников. 15 учеников занимаются в кружке рисования, 20 учеников ходят в кружок танцев. Как это понять, ведь в классе 25 человек, а если мы сложим. то получится 35. Объясните.
Составьте такую схему в программе MS PAINT
– Рассмотрим два множества:
ДОМАШНИЕ ЖИВОТНЫЕ: собака, кошка, коза…
ДИКИЕ ЖИВОТНЫЕ: волк лиса, жираф…
Списки этих животных неполные, поэтому ставим троеточие. Изобразим графически данные множества.
Какой общий признак у этих множеств? Элементы каждого множества относятся к животному миру.
Составьте такую схему в программе MS PAINT
Правила игры «СИГНАЛЬЩИКИ»
V. Физкультминутка
Робот делает зарядку
И считает по порядку:
– Раз! – контакты не искрят,
– Два! – суставы не скрипят,
– Три! – прозрачен объектив.
Я исправен и красив!
1, 2, 3, 4, 5 –
Можно к делу приступать!
VI. Введение нового материала
Рядом разные подружки,
Но похожи друг на дружку.
Все они сидят друг в дружке,
А всего одна игрушка.
Матрёшка. (Демонстрация)
Причём же тут матрёшки? Оказывается, на уроках информатики мы будем иметь дело и с множествами – матрешками. Это когда одно множество вложено в другое, как матрёшки.
– Давайте, определим, где какое множество.
– Какое слово здесь самое главное, самая главная “матрёшка”? (Дети)
– Разве не все дети школьники? (Нет, некоторые дети ещё не ходят в школу).
– Выбираем дальше, какая матрёшка больше из оставшихся моделей? (Школьники).
Составьте такую матрёшку в программе MS PAINT
Сохраните рисунок под именем «Множества».
VII. Закрепление материала
Открываем программу «Мир информатики»
Вкладка на розовом поле «Множества, Отношения между множествами»
– Выполните задания.
– Выход из программы.
Множества. Отношения между множествами. Отношения между множествами. Наглядное представление множеств и отношений между множествами с помощью кругов Эйлера
Страницы работы
Фрагмент текста работы
Наглядное представление множеств и отношений между множествами с помощью кругов Эйлера.
4) Выполните упражнения:
1. А = <а, к, м>, В = <в, а, к, г, м>, С =<в, р>. Выясните отношения между множествами А и В, А и С, B и С. Покажите с помощью кругов Эйлера отношения между этими множествами.
2. Какое из множеств является подмножеством другого:
А – множество натуральных чисел, кратных 5;
В – множество натуральных чисел, кратных 3;
3. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между множествами А и В, если 1) А – множество четных чисел, В – множество чисел кратных 3; 2) А – множество квадратов, В – множество прямоугольников; 3) А – множество прямоугольников, В – множество прямоугольных треугольников.
4. Дано множество А = <а, к, м, н>. Образуйте все подмножества этого множества, содержащие два элемента, три элемента.
5. Придумайте примеры конечных и бесконечных множеств. Задайте их, указав характеристическое свойство и перечислив элементы, если это возможно. Приведите пример пустого множества.
2. Множества. Операции над множествами
1) Пересечение множеств: определение, обозначение, иллюстрация с помощью кругов Эйлера.
2) Объединение множеств: определение, обозначение, иллюстрация с помощью кругов Эйлера.
3) Разность множеств, дополнение множества: определение, обозначение, иллюстрация с помощью кругов Эйлера.
4) Понятие разбиения мн6ожества на классы.
5) Выполните упражнения:
1. А = <2, 3, 4, 5>, В= <2, 4, 6, 8>, С – множество нечетных чисел. Найдите:
а) пересечение, объединение и разность множеств А и В, б) пересечение А и С, в) 
2. Найдите пересечение, объединение, разность множества букв в слове «человек» и множества букв слова «закон».
3. Начертите два треугольника так, чтобы их пресечением был треугольник, была точка, был многоугольник.
4. Начертите две фигуры, принадлежащие пересечению и объединению множеств С и В, если 1) С- множество ромбов, В – множество прямоугольников; 2) С – множество прямоугольных треугольников, В – множество фигур с углом 60°.
3. Текстовая задача
1) Понятие текстовой задачи. Роль текстовых задач в развитии детей.
2) Условие и требование. Высказывательная модель задачи.
3) Виды задач по отношению между условиями и требованиями. Приведите свои примеры задач.
4) Методы и способы решения текстовой задачи.
5) Моделирование в процессе решения текстовых задач. Этапы математического моделирования. Виды моделей.
6) Выполните упражнения:
1. В задаче: «Найдите стороны прямоугольника, если известно, что одна из них на 14 см больше другой, а периметр его равен 134 см» выделите условие и требование, переформулируйте так, чтобы вопрос задачи не содержал условий.
2. Решите предложенную выше задачу арифметическим и алгебраическим методами.
3. «Две девочки одновременно побежали навстречу друг другу по спортивной дорожке, длина которой 300 м. когда они встретились, первая пробежала на 60 м больше, чем вторая. С какой скоростью бежала каждая девочка, если они встретились через 20 с?»
Дайте пояснения к каждому действию:
4. Постройте к задаче различные модели:
«В одном мешке 5 кг яблок, в другом на 2 кг больше. Сколько килограмм яблок в двух мешках?»
4. Текстовая задача. Этапы решения текстовой задачи
1) Анализ задачи и приёмы, которые при этом используются.
2) Поиск пути решения задачи и составление плана её решения.
3) Осуществление плана решения задачи.
4) Проверка решения задачи. Способы проверки.
5) Выполните упражнения:
1. Проанализируйте содержание задачи, задав специальные вопросы по тексту и ответив на них: «На путь по течению реки теплоход затратил 18 ч. Сколько времени ему потребуется на обратный путь, если собственная скорость теплохода равна 26 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч»
2. Решите задачу и выполните проверку способом установления соответствия результата условию задачи: «Спортсмен метнул копье в 5 раз, или на 48 м, дальше, чем толкнул ядро. Сколько метров пролетело копье и сколько ядро?»
3. «Туристы проехали поездом 450 км, проплыли на лодках на 300 км меньше, а пешком прошли в 5 раз меньше, чем проплыли. Какой путь проделали туристы?»
Проведите анализ задачи (письменно – вопросы), составьте две различные модели, осуществите поиск плана решения (письменно), решение запишите по действиям с пояснениями, выполните проверку.
5. Системы счисления разных народов. Происхождение десятичной системы счисления. Запись чисел в Древней Руси.
1) Возникновение и развитие нумерации.
2) Системы счисления разных народов.
3) Запись чисел в Древней Руси.
4) Происхождение и запись чисел в десятичной системе счисления.
5) Выполните упражнения:
1. Запишите в двоичной системе счисления числа, запись которых дана в десятичной системе: 48; 139; 604.
2. Запишите в десятичной системе счисления числа, запись которых дана в двоичной системе счисления: 1012; 110012; 110112.
3. Найдите двузначное число, если сумма его цифр равна 9, причем цифра десятков вдвое больше цифры единиц.
4. Запишите числа в десятичной системе счисления: XXVII, XLIV, LXII, LXXIX, XCV, CDXXIII, MCDXIV. 5. Запишите в римской системе счисления: 24, 117, 468, 1941.
6. Геометрические фигуры на плоскости
1) История возникновения и развития геометрии.
2) Геометрические фигуры на плоскости и их свойства: углы, прямые, треугольники, четырехугольники.
3) Выполните упражнения:
1. Сравните периметр прямоугольника со сторонами 4 м и 9 м и периметр квадрата, имеющего ту же площадь.
3. Один из острых углов прямоугольного треугольника на 26° больше другого
Как наглядно иллюстрируется отношения между множествами
Различные объекты могут иметь отношения между собой.
» Останкинская телебашня находится в Москве;
» Один байт равен восьми битам;
» Лёша – брат Артёма и сын Ивана.
| Отношение – это взаимная связь между множествами.
Между городами А, Б, В, Г проложены автомобиль-ные дороги. Город А имеет сообщение с городами В, Г, город Б – с городом Г, город В – с городами А, Г.
Изобразим отношение между этими множествами наглядно:
Некоторые отношения изменяют порядок своего по-ложения в зависимости от условия. Такие отношения обозначают стрелкой.
Семейное древо Алексея Смирнова
Отношения между множествами
Отношения могут связывать множества объектов.
Для удобного представления таких отношений используют диаграммы Эйлера-Венна.
✒ Определение: Если множества А и В имеют общие элементы, то такие множества пересекаются.
Пусть А – множество интернет магазинов, В – множество всех магазинов одежды. В пересечение этих множеств попадают все интернет магазины одежды.
✒ Определение: Если множества не имеют общих элементов, то такие множества не пересекаются.
Пусть А – множество паровых двигателей, В – множество книг по биологии. Эти множества не имеют общих элементов.
✒ Определение: Если каждый элемент В входит в множество А, то множество В – подмножество А.
Пусть А – множество литературных персонажей, В – множество героев романа Гарри Поттер. Множество героев романа является подмножеством множества литературных персонажей.
✒ Определение: Если каждый элемент множества В является элементом множества А и, на оборот, то множества А и В равны.
Пусть А – множество равносторонних прямоугольников, В – множество квадратов. Эти множества являются равными.
К уроку:
ПРЕЗЕНТАЦИЯ 
Задачи на диаграммы Эйлер-Венна.
Каждый из 35 шестиклассников является читателем, по крайней мере, одной из двух библиотек: школьной и районной. Из них 25 человек берут книги в школьной библиотеке, 20 – в районной. Сколько шестиклассников являются читателями обеих библиотек?
А– посещающие школьную библиотеку (25);
B– посещающие районную библиотеку (20);
С– общее количество шестиклассников (35);
Обозначим за x – количество шестиклассников, посещающих обе библиотеке.
Ответ: 10 человек являются читателями обоих библиотеки.
В классе 25 учащихся. Из них 5 человек не умеют играть на в шашки, ни в шахматы. 18 учащихся умеют играть в шашки, 20 – в шахматы. Сколько учащихся класса играют и в шашки, и в шахматы?
В одном множестве 40 элементов, а в другом 30. Сколько элементов может быть в их:
Каждый ученик в классе изучает либо английский, либо французский язык, либо оба этих языка. Английский изучают 25 человек, французский – 27 человек, а тот и другой 18 человек. Сколько всего учеников в классе?
В детском саду 52 ребёнка. Каждый из них любит либо пирожное, либо мороженое, либо и то и другое. Половина детей любит пирожное, а 20 человек – пирожное и мороженое. Сколько детей любят мороженое?
В классе 35 учеников, каждый из них любит футбол, волейбол или баскетбол, а некоторые – два или даже три из этих видов спорта. 24 ученика любят футбол, 18 – волейбол, 12 баскетбол. При этом 10 учеников одновременно любят футбол и волейбол, 8 – футбол и баскетбол, а 5 – волейбол и баскетбол. Сколько учеников этого класса любят все три вида спорта.
Изображение отношений между множествами с помощью кругов Эйлера.
Понятие множества. Способы задания множеств.
Множество – совокупность объектов, рассматривая как одно целое. Понятие множества принимается за основное, т.к. не сводится к другим понятиям. Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами. Множества бывают конечные и бесконечные (натуральные, целые, рациональные, действительные числа). Множества принято обозначать: А,В,С; Элементы множества принято обозначать а,б,с…Есть и пустое множество( ноль перечеркнутый) Способы задания множества:
Перечисление объектов, и характеристическое свойство множества-свойством, которым обладает каждый элемент этого множества, и не имеет ни один элемент не принадлежащий элементу не входящего в это множество.
Отношения между множествами: пересечение, подмножество, равенство.
Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются. (дуга в право)
Множество В называют подмножеством А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. (Пустое множество является подмножеством любого множества, любое множество является подмножеством самого себя, количество подмножеств равно числу 2 в степени равной количеству элементов во множестве).
Множества А и В называются равными(А=В), если А принадлежит В, а В принадлежит А.
Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение,вычитание.
Пересечением множеств А и В называют множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и В (два способа нахождения элементов пересечения, (перечисление элементов, характерический способ) ( более сильная операция и выполняется первой перед объединением, если нет скобок.)
Объединением множества А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.
Свойства объединения и пересечения.
1) Переместительно или коммуникативное.
2) Сочетательное или ассоциативное.
3) Распределительное или дистрибутивное
Разностью множества А и В называют множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В. (два способа нахождения элементов пересечения, (перечисление элементов, характерический способ) А/В.
Пусть В ( А .Дополнением подмножества в ДО множества А называют множество, содержащие те и только те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.
| Разность |
| Пересечение |
| Объединение |
Изображение отношений между множествами с помощью кругов Эйлера.
Круги эйлера используются для того, чтобы показать отношения между множествами. Существуют следующие отношения: Пересечением множеств А и называют множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и В (два способа нахождения элементов пересечения, (перечисление элементов, характерический способ) ( более сильная операция)
Разностью множества А и В называют множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В. (два способа нахождения элементов пересечения, (перечисление элементов, характерический способ) А/В.
Объединением множества А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.