Как называется четырехугольник с прямыми углами

Как называется четырехугольник с прямыми углами?

Как называется с прямыми углами четырехугольник?

Прямоугольник характеризуется всего двумя параметрами: длинами его соседних сторон. Далее в статье будем обозначать их a и b. Если эти длины равны друг другу, то прямоугольник вырождается в квадрат.

Формула для площади

Площадь четырехугольника с прямым углом равна произведению длин двух его непараллельных сторон.

Ниже будет показано, как найти площадь прямоугольника, если известны другие его элементы, например длина диагонали.

Диагонали прямоугольника

На рисунке ниже изображен произвольный четырехугольник с прямыми углами и его две диагонали.

Видно, что диагонали разделяют на две части противоположные прямые углы фигуры. Будем обозначать точку пересечения диагоналей символом C. Она имеет важное значение, поскольку является центром симметрии фигуры. Длины обеих диагоналей равны.

Диагонали делят прямоугольник на четыре равнобедренных треугольника, для которых легко вычислить длины сторон и площадь. Каждые два треугольника, основания которых лежат на сторонах равной длины прямоугольника, являются одинаковыми.

Если провести одну диагональ, то она разделит прямоугольник на два совершенно одинаковых прямоугольных треугольника. Этот факт позволяет использовать тиорему Пифагора, чтобы рассчитать длину диагонали, зная катеты треугольника. Ниже рисунок показывает, как можно найти квадрат диагонали c прямоугольника. Здесь диагональ является гипотенузой, а стороны прямоугольника соответствуют катетам треугольника.

Тогда значение длины c будет равно:

Симметрия прямоугольника

Ось симметрии делит фигуру на два одинаковых прямоугольника со сторонами:

Некоторые геометрические свойства прямоугольника

Поскольку рассматриваемая фигура обладает некоторой симметрией, имеет прямые углы и попарно параллельные стороны, то для нее можно выделить ряд важных свойств, используемых на практике. Перечислим их:

Первое свойство является очевидным, поскольку любая прямая, проходящая через C, будет пересекать параллельные стороны фигуры. Докажем остальные свойства.

Доказательство свойств 2, 3 и 4

Рассмотрим сначала свойства 2 и 3. На рисунке ниже показан прямоугольник, на сторонах которого построены три треугольника:

Согласно формуле нахождения площади треугольника, для них можно записать:

Видно, что все высоты h_i рассматриваемых треугольников равны длине стороны h прямоугольника. Это означает, что и их площади равны:

Теперь запишем формулу для площади S прямоугольника и поделим S на площадь одного из изображенных треугольников, получим:

Таким образом, прямоугольник имеет площадь в два раза больше, чем любой из изображенных треугольников, то есть мы доказали второе и третье свойства.

Что касается возможности вписывания с прямыми углами четырехугольника в окружность, то здесь следует рассуждать так: проведем диагонали фигуры, они пересекутся в точке C. Поскольку эта точка находится на одинаковом расстоянии от четырех вершин прямоугольника, то она может служить центром окружности. Если радиус окружности равен половине длины диагонали, то линия окружности пройдет через все четыре вершины прямоугольника, то есть он окажется вписанным в нее.

Является ли четырехугольник, у которого один угол прямой, прямоугольником?

В случае, если четырехугольник с одним прямым углом не будет иметь попарно параллельные стороны, то прямоугольником он не будет являться.

Где используется прямоугольник и его свойства?

При изготовлении тетрадных листов используют прямоугольную форму, причем отношение длин большей стороны к меньшей равно √2. Такая форма фигуры приводит к тому, что если ее поделить пополам симметричной осью, параллельной большей стороне, то у образованных двух новых прямоугольников отношение сторон также будет равно √2. Такое деление можно продолжать до бесконечности, при этом форма образующихся прямоугольников будет сохраняться.

Прямоугольная форма используется при производстве телевизионных экранов. До эры жидкокристаллических (ЖК) мониторов использовались электронно-лучевые экраны, отношение сторон которых было равно 4:3. С появлением ЖК-мониторов высокого разрешения, стали применять новый стандарт: 16:9.

Мозаика, которой украшают стены зданий, также имеет форму четырехугольника с прямыми углами.

Расчет площади фигуры по известной диагонали

Завершим статью рассмотрением вопроса вычисления площади четырехугольника, вершины прямых углов которого соединены диагональю. Рассчитаем площадь современного ЖК-монитора, если известно, что длина его диагонали с = 35 см.

Решить эту задачу можно потому, что монитор имеет стандартизированное отношение сторон, равное 16:9. Обозначая за x неизвестный коэффициент, получаем длины сторон монитора:

Теперь применяем формулу для определения диагонали, получаем:

35 2 = x 2 *(16 2 +9 2 ) =>

Тогда стороны монитора и площадь его равны:

Отметим еще раз, что определить по значению диагонали площадь можно только в том случае, если известно отношение сторон прямоугольника.

Источник

Какой четырёхугольник называется прямоугольником

В школьной программе на уроках геометрии приходится иметь дело с разнообразными видами четырёхугольников: ромбами, параллелограммами, прямоугольниками, трапециями, квадратами. Самыми первыми фигурами для изучения становятся прямоугольник и квадрат.

Итак, что же такое прямоугольник? Определение для 2 класса общеобразовательной школы будет выглядеть так: это четырёхугольник, у которого все четыре угла прямые. Несложно представить себе, как выглядит прямоугольник: это фигура с 4 прямыми углами и сторонами, попарно параллельными друг другу.

Признаки и свойства прямоугольника

Как понять, решая очередную геометрическую задачу, с каким именно четырёхугольником мы имеем дело? Существуют три основных признака, по которым можно безошибочно определить, что речь идёт именно о прямоугольнике. Назовём их:

Интересно знать: что такое выпуклый четырехугольник, его особенности и признаки.

Поскольку прямоугольник — это параллелограмм (т. е. четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами), то для него будут выполняться все его свойства и признаки.

Формулы для вычисления длины сторон

В прямоугольнике противолежащие стороны равны и взаимно параллельны. Более длинную сторону принято называть длиной (обозначается a), более короткую — шириной (обозначается b). В прямоугольнике на изображении длинами являются стороны AB и CD, а шириной — AC и B. D. Также они перпендикулярны к основаниям (т. е. являются высотами).

Это интересно: в геометрии луч это что такое, основное понятие.

Для нахождения сторон можно воспользоваться формулами, указанными ниже. В них приняты условные обозначения: a — длина прямоугольника, b — его ширина, d — диагональ (отрезок, соединяющий вершины двух углов, лежащих друг напротив друга), S — площадь фигуры, P — периметр, α угол между диагональю и длиной, β острый угол, который образован обеими диагоналями. Способы нахождения длин сторон:

Это интересно: как сравнить два отрезка способы с примерами.

Периметр и площадь

Периметром четырёхугольника называют сумму длин всех его сторон. Чтобы вычислить периметр, могут использоваться следующие формулы:

Площадь — это пространство, ограниченное периметром. Три основных способа для расчёта площади:

Диагонали прямоугольника

В задачах школьного курса математики часто требуется хорошо владеть свойствами диагоналей прямоугольника. Перечислим основные из них:

Это интересно: как обозначается площадь, примеры для вычисления.

Применяются следующие формулы для расчёта длины диагонали:

Определение и свойства квадрата

Квадрат — это частный случай ромба, параллелограмма или прямоугольника. Его отличие от этих фигур заключается в том, что все его углы прямые, и все четыре стороны равны. Квадрат — это правильный четырёхугольник.

Четырёхугольник называют квадратом в следующих случаях:

К свойствам квадрата относятся все ранее рассмотренные свойства, относящиеся к прямоугольнику, а также следующие:

Приведём часто используемые формулы для вычисления периметра, площади и элементов квадрата:

Примеры вопросов и задач

Разберём некоторые вопросы, с которыми можно столкнуться при изучении курса математики в школе, и решим несколько простых задач.

Задача 1. Как изменится площадь прямоугольника, если увеличить длину его сторон в три раза?

Решение: Обозначим площадь исходной фигуры S0, а площадь четырёхугольника с утроенной длиной сторон — S1. По формуле, рассмотренной ранее, получаем: S0 = ab. Теперь увеличим длину и ширину в 3 раза и запишем: S1= 3 a • 3 b = 9 ab. Сравнивая S0 и S1, становится очевидно, что вторая площадь больше первой в 9 раз.

Вопрос 1. Четырёхугольник с прямыми углами — это квадрат?

Решение: Из определения следует, что фигура с прямыми углами является квадратом лишь тогда, когда длины всех его сторон равны. В остальных случаях фигура является прямоугольником.

Задача 2. Диагонали прямоугольника образуют угол 60 градусов. Ширина прямоугольника — 8. Рассчитать, чему равна диагональ.

Решение: Вспомним, что диагонали точкой пересечения разделяются пополам. Таким образом, имеем дело с равнобедренным треугольником с углом при вершине, равным 60°. Так как треугольник равнобедренный, то находящиеся при основании углы тоже будут одинаковы. Путём несложных вычислений получаем, что каждый из них равен 60°. Отсюда следует, что треугольник равносторонний. Ширина, известная нам, является основанием треугольника, следовательно, половина диагонали тоже равна 8, а длина целой диагонали в два раза больше и равна 16.

Вопрос 2. У прямоугольника все стороны равны или нет?

Решение: Достаточно вспомнить, что все стороны должны быть равны у квадрата, который является частным случаем прямоугольника. Во всех остальных случаях достаточное условие — это наличие минимум 3 прямых углов. Равенство сторон не является обязательным признаком.

Задача 3. Площадь квадрата известна и равна 289. Найти радиусы вписанной и описанной окружности.

Решение: По формулам для квадрата проведём следующие расчёты:

Источник

Четырехугольники

теория по математике 📈 планиметрия

Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.

Выпуклый четырехугольник

Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD.

Определение

Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD.

Виды и свойства выпуклых четырехугольников

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Прямоугольник

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника.

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.

Виды трапеций

Трапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.

углы А и С равны по 90 градусов

Средняя линия трапеции

Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.

Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.

Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.

По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции.

Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.

с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:

Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

Задание №1

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.

Объекты	яблони	теплица	сарай	жилой дом
Цифры

Решение

Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:

при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж — 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.

Итак, получили следующее:

1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.

Заполняем нашу таблицу:

Объекты	яблони	теплица	сарай	жилой дом
Цифры	3	5	1	7

Записываем ответ: 3517

Задание №2

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).

Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».

Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.

Задание №3

Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.

Задание №4

Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина — 6 м (3 клетки).

Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м

Задание №5

Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.

Номер магазина	Расход краски	Масса краски в одной банке	Стоимость одной банки краски	Стоимость доставки заказа
1	0,25 кг/кв.м	6 кг	3000 руб.	500 руб.
2	0,4 кг/кв.м	5 кг	1900 руб.	800 руб.

Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Решение

Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:

1 магазин: 232х0,25=58 кг

2 магазин: 232х0,4=92,8 кг

Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:

1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)

2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.

Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:

1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.

2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.

Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Источник

math4school.ru

Четырёхугольники

Основные определения и свойства

Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырёхугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон.

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°:

Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.

Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов:

Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:

Диагоналями четырёхугольника называются отрезки, соединяющие его противолежащие вершины.

Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются, а невыпуклого – нет.

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника:

В параллелограмме, и только в нём, середины диагоналей совпадают, и потому третья средняя линия вырождается в точку. Для других четырёхугольников средние линии – отрезки.

Все средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам:

Сумма квадратов средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей:

MP 2 + NQ 2 + RS 2 = ¼ (AB 2 +BC 2 +CD 2 +AD 2 +AC 2 +BD 2 ).

Если β – угол между первой и второй средними линиями четырёхугольника, то его площадь:

Равными плитками, которые имеют форму произвольного, не обязательно выпуклого, четырёхугольника можно замостить плоскость так, чтобы не было наложений плиток друг на друга и не осталось непокрытых участков плоскости.

Описанные четырёхугольники

Четырёхугольник называется описанным около окружности (описанным), если существует такая окружность, которая касается всех его сторон, тогда сама окружность называется вписанной.

Четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, кода суммы его противолежащих сторон равны:

Для сторон описанного четырёхугольника и радиуса вписанной в него окружности верно:

Площадь описанного четырёхугольника:

где r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр четырёхугольника.

Площадь описанного четырёхугольника:

Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Точки касания вписанной окружности отсекают равные отрезки от углов четырёхугольника:

Если O – центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD, то

∠AOB+∠COD = ∠BOC+∠AOD =180°.

Вписанные четырёхугольники

Четырёхугольник называется вписанным в окружность (вписанным), если существует окружность, проходящая через все его вершины, тогда сама окружность называется описанной около четырёхугольника.

Выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180°:

Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.

Первая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Вторая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:

Площадь вписанного четырёхугольника:

Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают каждый его угол на два угла. Углы, опирающиеся на одну сторону, называются связанными углами.

Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда у него есть хотя бы одна пара равных связанных углов.

У вписанного четырёхугольника любые два связанных угла равны.

Если четырёхугольник одновременно является описанным и вписанным, то его площадь:

Для радиусов описанной и вписанной окружностей данного четырёхугольника и расстояния между центрами этих окружностей выполняется соотношение:

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны:

У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны:

Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°:

∠A +∠ B =∠ B +∠ C =∠ C +∠ D =∠ A +∠ D =180°.

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам:

Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

e 2 +f 2 = a 2 +b 2 +a 2 +b 2 = 2(a 2 +b 2 ).

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к неприлежащей стороне:

Площадь параллелограмма можно определить:

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны:

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов:

В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.

Радиус окружности, вписанной в ромб, можно вычислить:

Площадь ромба можно определить:

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые:

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка:

Площадь прямоугольника можно определить:

Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали:

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны:

Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.

Сторона и диагональ квадрата связаны соотношениями:

У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей.

Радиус описанной окружности:

Радиус вписанной окружности:

Трапеция

Трапецией называется четырёхугольник у которого только две противолежащие стороны параллельны:

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.

Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.

Средней линией (первой средней линией) трапеции называется отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции:

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме:

При продолжении до пересечения боковых сторон трапеции образуются два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

Треугольники, образованные основами и отрезками диагоналей подобны с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны:

Отрезок, соединяющий середины оснований (вторая средняя линия) трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей, а его продолжение – через точку пересечения продолжений боковых сторон:

Отрезок, соединяющий середины диагоналей (третья средняя линия) трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности:

В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон:

Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.

В трапецию АВСD с основаниями AD и BC можно вписать окружность тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из равенств:

Боковые стороны трапеции видны из центра окружности, вписанной в данную трапецию, под прямым углом:

Радиус вписанной в трапецию окружности можно определить:

Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны:

У равнобокой трапеции:

Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением:

Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Площадь трапеции можно определить:

Дельтоид

Дельтоид называется четырёхугольник, который имеет две пары равных соседних сторон.

Дельтоид может быть выпуклым или невыпуклым.

Прямые, содержащие диагонали любого дельтоида пересекаются под прямым углом.

В любом дельтоиде углы между соседними неравными сторонами равны.

Площадь любого дельтоида можно определить:

В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность.

Если выпуклый дельтоид не является ромбом, то существует окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон данного дельтоида.

Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух сторон большей длины и продолжений двух меньших сторон, а также окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух сторон большей длины.

Вокруг дельтоида можно описать окружность тогда и только тогда, когда его неравные стороны образуют углы по 90°.

Радиус окружности, описанной около дельтоида можно определить через две его неравные стороны:

Ортодиагональные четырёхугольники

Четырёхугольник называется ортодиагональным, если его диагонали пересекаются под прямым углом.

Четырёхугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

Сумма квадратов противолежащих сторон вписанного в окружность ортодиагонального четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности:

Ортодиагональный четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда произведения его противолежащих сторон равны:

Источник