Как называется график функции обратной пропорциональности

Обратная пропорциональность и её график

Рассмотрим функцию, которая задается формулой

.

Такая функция называется обратной пропорциональностью, причем x ≠ 0 (т.к. на 0 делить нельзя). Число k также отлично от 0 (в противном случае функция перестанет являться обратной пропорциональностью). Её графиком является гипербола, состоящая из двух ветвей. Ты сможешь увидеть ее ниже.

Перед разбором тренировочных экзаменационных заданий очень хочется вспомнить, что конкретно влияет на расположение и вид графика.

Напомню, что координатная плоскость делится на 4 координатных четверти. У каждой четверти есть свой порядковый номер (см. рисунок).

Так вот к чему я это?

Если k > 0, то ветви гиперболы располагаются в 1 и 3 четвертях.

Если k < 0, то ветви гиперболы располагаются во 2 и 4 четвертях.

Убедимся в этом) Построим два графика.

Чем больше точек ты запишешь, тем точнее получится график.

Но не всегда оси будут асимптотами.

Например, в следующей функции асимптотами будут являться прямые х = 2 и у = 1.

Практикум по гиперболам.

Оказывается, что на сайте ФИПИ все задания чисто с гиперболами однотипные, поэтому разберу только два задания, похожих друг на друга (почему они оси не прорисовывают не пойму).

Задание 1. Установите соответствие между графиками и их функциями.

Из общей массы выделяется график Б, т.к. ветви этой гиперболы находятся очень близко к началу координат. А из формул выделяется формула 1, т.к. в ее знаменателе икс умножен на 3. Вывод: график Б и формула 1 созданы друг для друга!

Далее, ветви графика А расположены в 1 и 3 четвертях плоскости, значит коэффициент k положительный. К А подходит формула 2.

И остались график В и формула 3.

Задание 2. Установите соответствие между функциями и их графиками.

Источник

Функция обратной пропорциональности

Какая функция называется обратной пропорциональностью

Обратная пропорциональность представляет собой зависимость функции, при которой изменение независимой величины (аргумента) влечет пропорциональное изменение зависимой величины (функции).

Исходя из данного описания, во сколько раз увеличивается аргумент, во столько же раз уменьшается функция, и, наоборот, во сколько раз уменьшается аргумент, во столько же раз увеличивается функция.

Вы намерены приобрести в магазине апельсины. Фрукты на прилавке и сумма, которой вы располагаете, находятся в обратной пропорциональности. Это означает, что чем больше количество купленных вами апельсинов, тем меньше остаток денежных средств в вашем кошельке.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Функцию обратной пропорциональности можно записать на математическом языке так:

В данной формуле переменные x и k — не равно нулю.

Свойства обратно пропорциональной функции

Гипербола — в математике это понятие обозначает плоскую кривую второго порядка, состоящую из двух частей.

Ветви гиперболы лежат в разных четвертях системы координат симметрично по отношению к началу координат (0; 0). Если коэффициент k принимает значения, больше нуля, то компоненты диаграммы располагаются в первой и третьей четвертях, если k меньше нуля — во второй и четвертой.

Особенности построения, пример

Пусть, функция задана формулой:

Источник

Прямая и обратная пропорциональность — формулы, свойства и графики функций

Одно из основных понятий курса математики в 6 классе – это прямая и обратная пропорциональность. Если некоторая величина (время, масса, цена) изменяется, и одновременно другая величина (расстояние, объем, затраты) тоже меняется, то величины находятся в зависимости между собой, то есть пропорциональны друг другу.

Взаимосвязь между величинами не всегда означает наличие пропорциональности. Так, высота дерева растет с его возрастом, но не во столько же раз. Составление пропорций помогает решить многие задачи как в математике, так и на практике.

Прямая пропорциональность

Если при изменении одного параметра другой изменяется таким же образом, то эти величины прямо пропорциональны друг другу. В этой пропорции увеличение расстояния вдвое означает увеличение времени также двукратно.

Например, при движении автомобиля с постоянной скоростью, время, затраченное на преодоление расстояния, будет прямо пропорционально этому расстоянию. То есть, если 50 км автомобиль проедет за 1 час, то 100 км с той же скоростью он преодолеет за 2 часа.

Функция прямой пропорциональности и ее график

Эта зависимость описывается следующей формулой:

Здесь k и называется коэффициентом пропорциональности.

Графически функция изображается прямой, которая пройдет через начальную точку координат. Строят график следующим образом: находят одну точку, затем чертят прямую через эту точку и начало координат.

Пример построения

Нужно построить график у = 3х. Подставляем вместо х единицу, вычисляем y = 3, то есть находим координаты (1; 3). Отмечаем эту точку на координатной плоскости, проводим прямую линию через нее и точку (0; 0).

Вот так будет выглядеть график y = k * x при k > 0 (слева) и при k Свойства функции прямой пропорциональности

Основные свойства следующие:

область определения, значений составляют все действительные числа;

возрастает при всех значениях x, если k > 0;

если коэффициент со знаком «-», т. е. если k 0, то прямая располагается в 1 — 3 координатных четвертях и образует острый угол с осью Х, если k Обратная пропорциональность

Рост одного параметра ведет к уменьшению другого в такое же количество раз, и наоборот, при уменьшении одной величины другая увеличивается во столько же. Это значит, что они обратно пропорциональны друг другу.

Пример: трое рабочих выполнят порученную им работу за 2 часа, а 6 человек такое же задание осилят за 1 час. То есть двукратное увеличение числа работников привело к уменьшению затраченного времени вдвое. Конечно, если прочие факторы неизменны (производительность труда, условия работы).

Функция обратной пропорциональности и ее график

Функция задается формулой:

где k – любое действительное число, кроме 0.

График данной зависимости — это гипербола, ее ветви находятся в 1 и 3 четвертях системы координат при k > 0, или во 2 и 4, если коэффициент меньше 0. Ветви гиперболы симметричны относительно точки (0; 0).

Строят график так: нужно задать значения х, затем вычислить значения у, результаты оформить в виде таблицы. Верхняя строка таблицы заполняется значениями х, нижняя — y.

Пример построения

Нужно построить график функции y = 8/x.

Вот так выглядит таблица для данной функции:

Полученные точки отмечают на координатной плоскости, затем соединяют плавной линией. График будет выглядеть так:

Свойства функции обратной пропорциональности

области определения, значений функции D(y) – это все действительные числа, кроме 0, т. е. D(y):= x ≠ 0;

если коэффициент больше 0, функция является убывающей для всех x; если меньше 0, то y увеличивается для любых значений x;

оси координат 0х и 0у — это асимптоты по отношению к ветвям гиперболы, которые приближаются к ним, но не достигают их.

К составлению математических пропорций во многих случаях сводится решение самых разнообразных задач. Например, покупая 1 булочку по определенной цене, подсчитывают затраты на 4 булочки – получается в 4 раза больше.

Ускоряют шаг при ходьбе в 2 раза – достигнут цели вдвое быстрее. Вводят второго кассира в магазине – убывает очередь вдвое. Во всех этих случаях и им подобным применима теория о прямой и обратной пропорциональности.

Источник

Обратная пропорциональность. Гипербола

Сейчас мы будем говорить об обратной пропорциональности, или другими словами об обратной зависимости, как о функции.

Мы закрепим понятие функции и научимся работать с коэффициентами и графиками.

А еще мы разберем несколько примеров построения графика функции — гиперболы.

Обратная пропорциональность — коротко о главном

Определение:

Функция, описывающая обратную пропорциональность, – это функция вида \( \displaystyle y=\frac+b \), где \( k\ne 0\), \( x\ne 0\) и \( x\ne а\)

По-другому эту функцию называют обратной зависимостью.

Область определения и область значений функции:

График обратной пропорциональности (зависимости) – гипербола.

Коэффициент \( \displaystyle k\)

\( \displaystyle k\) – отвечает за «пологость» и направление графика. Чем больше этот коэффициент, тем дальше от начала координат располагается гипербола, и, следовательно, она менее круто «поворачивает» (см. рисунок).

Знак коэффициента \( \displaystyle k\) влияет на то, в каких четвертях расположен график:

если \( \displaystyle k>0\), то ветви гиперболы расположены в \( \displaystyle I\) и \( \displaystyle III\) четвертях;

если \( \displaystyle k

Коэффициент \( \displaystyle a\)

Если внимательно посмотреть на знаменатель, видим, что \( \displaystyle a\) – это такое число, которому не может равняться \( \displaystyle x\).

То есть \( x=a\) – это вертикальная асимптота, то есть вертикаль, к которой стремится график функции

Коэффициент \( b\)

Число \( b\) отвечает за смещение графика функции вверх на величину \( b\), если \( b>0\), и смещение вниз, если \( b

Пример 2

Здесь нужно вспомнить, как квадратный трехчлен раскладывается на множители (это подробно описано в теме «Разложение на множители»).

Напомню, что для этого надо найти корни соответствующего квадратного уравнения: \( \displaystyle <^<2>>+4-5=0\).

Я найду их устно с помощью теоремы Виета: \( \displaystyle <_<1>>=-5\), \( \displaystyle <_<2>>=1\). Как это делается? Ты можешь научиться этому, прочитав тему «Квадратные уравнения».

Итак, получаем: \( \displaystyle <^<2>>+4-5=\left( x+5 \right)\left( x-1 \right)\), следовательно:

Пример 3

Ты уже попробовал решить сам? В чем загвоздка?

Наверняка в том, что в числителе у нас \( \displaystyle 2x\), а в знаменателе – просто \( \displaystyle x\).

Это не беда. Нам нужно будет сократить на \( \displaystyle \left( x+2 \right)\), поэтому в числителе следует вынести \( \displaystyle 2\) за скобки (чтобы в скобках \( \displaystyle x\) получился уже без коэффициента):

Ответ: \( \displaystyle y=2-\frac<5>\).

График обратной пропорциональности

Как всегда, начнем с самого простого случая: \( \displaystyle y=\frac<1>\).

Таблица обратной пропорциональности (зависимости)

Нарисуем точки на координатной плоскости:

Теперь их надо плавно соединить, но как?

Видно, что точки в правой и левой частях образуют будто бы несвязанные друг с другом кривые линии. Так оно и есть.

Это график гиперболы и выглядит он так:

Этот график называется «гипербола» (есть что-то похожее на «параболу» в этом названии, правда?). Как и у параболы, у гиперболы две ветки, только они не связаны друг с другом.

Каждая из них стремится своими концами приблизиться к осям \( \displaystyle Ox\) и \( \displaystyle Oy\), но никогда их не достигает. Если посмотреть на эту же гиперболу издалека, получится такая картина:

Оно и понятно: так как \( \displaystyle x\ne 0\), график не может пересекать ось \( \displaystyle Oy\). Но и \( \displaystyle y\ne 0\), так что график никогда не коснется и оси \( \displaystyle Ox\).

Ну что же, теперь посмотрим на что влияют коэффициенты.

На что влияют коэффициенты

Рассмотрим такие функции:

Ух ты, какая красота!

Все графики построены разными цветами, чтобы легче было их друг от друга отличать.

Итак, на что обратим внимание в первую очередь?

Например, на то, что если у функции перед дробью стоит минус, то график переворачивается, то есть симметрично отображается относительно оси \( \displaystyle Ox\).

Второе: чем больше число в знаменателе, тем дальше график «убегает» от начала координат.

А что, если функция выглядит сложнее, например, \( \displaystyle y=\frac<1>+2\)?

В этом случае гипербола будет точно такой же, как обычная \( \displaystyle y=\frac<1>\), только она немного сместится. Давай думать, куда?

Чему теперь не может быть равен \( x\)? Правильно, \( x\ne 1\). Значит, график никогда не достигнет прямой \( x=1\).

А чему не может быть равен \( y\)? Теперь \( y\ne 2\). Значит, теперь график будет стремиться к прямой \( y=2\), но никогда ее не пересечет.

Итак, теперь прямые \( x=1\) и \( y=2\) выполняют ту же роль, которую выполняют координатные оси для функции \( \displaystyle y=\frac<1>\).

Такие прямые называются асимптотами (линии, к которым график стремится, но не достигает их):

Более подробно о том, как строятся такие графики, мы выучим чуть позже.

А теперь попробуй решить несколько примеров для закрепления.

Примеры

1. На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\frac\). Определите \( k\).

2. На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\frac\). Определите \( k\)

3. На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\frac<1>\). Определите \( a\).

4. На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\frac<1>+a\). Определите \( a\).

5. На рисунке приведены графики функций \( \displaystyle y=\frac,\text< >y=\frac\) и \( y=\frac\).

Источник

Прямая и обратная пропорциональность

Основные определения

Математическая зависимость — это соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент из другого множества.

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин. Пропорциональными называются две взаимно-зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.

Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз. Проще говоря — это зависимость одного числа от другого.

Есть две разновидности пропорциональностей:

Коэффициент пропорциональности — это неизменное отношение пропорциональных величин. Он показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой. Коэффициент пропорциональности обозначается латинской буквой k.

Прямо пропорциональные величины

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

Прямая пропорциональность в виде схемы: «больше — больше» или «меньше — меньше».

a и d называются крайними членами, b и c — средними.

Свойство прямо пропорциональной зависимости:

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Примеры прямо пропорциональной зависимости:

Если говорить метафорами, то прямую пропорциональную зависимость можно отличить от обратной по пословице: «Чем дальше в лес, тем больше дров». Что значит, чем дольше ты идешь по лесу, тем больше дров можно собрать.

Формула прямой пропорциональности

y = kx,

где y и x — переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом прямой пропорциональности.

Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента прямой пропорциональности:

Пример 1.

В одно и то же путешествие поехали два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найти скорость второго автомобиля.

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Пример 2.

Блогер за 8 дней может написать 14 постов. Сколько помощников ему понадобится, чтобы написать 420 постов за 12 дней?

Количество человек (блогер и помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если ее нужно сделать за то же количество времени.

Если разделить 420 на 14, узнаем, что объем увеличивается в 30 раз.

Но так как по условию задачи на работу дается больше времени, то количество помощников увеличивается не в 30 раз. Таким образом:

Ответ: 20 человек напишут 420 постов за 12 дней.

Обратно пропорциональные величины

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.

Объясним, что значит обратно пропорционально в виде схемы: «больше — меньше» или «меньше — больше».

Свойство обратной пропорциональности величин:

Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Примеры обратно пропорциональной зависимости:

Формула обратной пропорциональности

где y и x — это переменные величины,

k — постоянная величина, которую называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента обратной пропорциональности:

Потренируемся

Пример 1. 24 человека за 5 дней раскрутили канальчик в ютубе. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

Пример 2. Автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.

Источник