Как называется полигон накопленных частот

Полигон частот и гистограмма частот

Вы будете перенаправлены на Автор24

Полигон частот

Пусть нам дан ряд распределения, записанный с помощью таблицы:

То есть, для построения полигона частот необходимо на оси абсцисс откладывают значения вариант, а по оси ординат соответствующие частоты. Полученные точки соединяют ломанной:

Рисунок 2. Полигон частот.

Помимо обычной частоты существует еще понятие относительной частоты.

Получаем следующую таблицу распределения относительных частот:

То есть, для построения полигона частот необходимо на оси абсцисс откладывают значения вариант, а по оси ординат соответствующие относительные частоты. Полученные точки соединяют ломанной:

Рисунок 4. Полигон относительных частот.

Гистограмма частот

Помимо понятия полинома для непрерывных значений существует понятие гистограммы.

Рисунок 5. Гистограмма частот.

Готовые работы на аналогичную тему

Рисунок 6. Гистограмма относительных частот.

Примеры задачи на построение полигона и гистограммы

Пусть распределение частот имеет вид:

Построить полигон относительных частот.

Получим следующий полигон относительных частот.

Дан ряд непрерывного распределения частот:

Получаем следующую гистограмму частот:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 25 02 2021

Источник

Постройка полигона и гистограммы частот

Что такое полигон и гистограмма частот

Для наглядного представления ряда распределения используют полигон и гистограмму частот.

Полигон частот – это ломаная, соединяющая точки (x₁, n₁), (x₂, n₂). (x_k, n_k), где x_i – это варианты или наблюдаемые значения, а n_i – частота вариантов.

Существует также полигон относительных частот, представляющий собой ломаную, которая образуется при соединении точек (x₁, W₁), (x₂, W₂). (x_k, W_k). Величина W является отношением частоты данного варианта к объему выборочной совокупности и имеет вид:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

где n – это объем выборки.

Гистограмму используют в случае непрерывного признака.

Гистограмма частот – это фигура в виде ступеней – прямоугольников, в основании которых лежат частичные интервалы длины h, а высотами служат W_i.

Для гистограммы относительных частот основанием прямоугольников ступенчатой фигуры служат частичные интервалы длины h, а высотами – отношение W_i/h.

Как построить полигон частот

Полигон частот строится следующим образом. На оси абсцисс отмечают наблюдения значения x, на оси ординат откладывают соответствующие x_i частоты n_i. Точки с координатами (x_i, n_i), соединенные прямыми отрезками, составляют ломаную – полигон частот.

Пример

Полигон частот для выборки со следующими значениями:

x_i 92, 94, 95, 96, 97, 98.

Как построить гистограмму частот

Алгоритм построения гистограммы частот такой: на оси OX отмечаются частичные интервалы h, затем над отложенными значениями проводятся отрезки, параллельные оси OY, на расстоянии отношения плотности частоты n_i/h.

Пример гистограммы частот при частичном интервале h, равном 3.

Сумма частот вариант h: 2–5, 5–8, 8–11, 11–14.

Плотность частоты n_i/h: 3,3; 8,3.

Чему равна площадь гистограммы частот

Площадь отдельного прямоугольника гистограммы равна сумме частот интервала i и имеет вид:

Площадь всей гистограммы складывается из всех частот, значит, она равна объему выборки.

Примеры создания полигона и гистограммы в задачах

Задача 1

Успеваемость студентов по дисциплине «Высшая математика» представлена в виде баллов:

Баллы, x: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Количество студентов, n: 1, 1, 2, 3, 4, 4, 6, 5, 3, 3, 2, 1.

Нужно построить полигон частот по этим данным.

Решение

На основе представленной информации строим точки и соединяем их отрезками прямой. Следует заметить, что точки с координатами (0; 0) и (13; 0), которые располагаются на оси OX, имеют своими абсциссами числа на 1 меньшее и большее, чем абсциссы наиболее левой и наиболее правой точек соответственно. Полигон частот выглядит так:

Задача 2

По итогам контрольной работы по биологии среди учеников 9-го класса получена информация о доступности вопросов тестирования (отношение количества учеников, верно ответивших на вопросы, к общему числу учащихся, написавших данную работу). Результаты:

Доступность вопросов, x (%): 25–35, 35–45, 45–55, 55–65, 75–85, 85–95.

Количество вопросов, n: 1, 1, 5, 7, 7, 3, 1.

Всего в контрольной работе было 25 вопросов.

Необходимо построить гистограмму по этому ряду распределения.

Решение

Отмечаем на оси абсцисс 7 отрезков длиной 10. Эти отрезки будут основанием прямоугольников с высотами 1, 1, 5, 7, 7, 3, 1. Ступенчатая фигура, полученная в результате перечисленных действий, является искомой гистограммой.

Источник

Полигон и гистограмма

Для наглядности строят различные графики статистического распределения, в частности, полигон и гистограмму.

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат – соответствующие им частоты n_i. Точки (x_i, n_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат w_i. Точки (x_i, w_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

На рисунке изображен полигон относительных частот следующего распределения:

Рис. 6. Полигон относительных частот.

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длинной h и находят для каждого частичного интервала n_i – сумму частот вариант, попавших в i-ый интервал.

Рис. 7. Гистограмма частот.

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс, на расстоянии .

Площадь i-го частичного прямоугольника равна = — сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, то есть объему выборки n.

На рисунке 2 изображена гистограмма частот распределения объема n =100, приведенного в таблице 1.

Частичный интервал, длиною h=5	Сумма частот вариант частичного интервала	Плотность частоты
5 – 10	0,8
10 – 15	1,2
15 – 20	3,2
20 – 25	7,2
25 – 30	4,8
30 – 35	2,0
34 – 40	0,8

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии . Площадь i-го частичного прямоугольника равна = — относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, то есть единице.

1. В результате выборки получена следующая таблица распределения частот.

Построить полигоны частот и относительных частот распределения.

Для начала построим полигон частот.

Рис. 8. Полигон частот.

Чтобы построить полигон относительных частот найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки n.

.

	0,15	0,50	0,35

Построим полигон относительных частот.

Рис. 9. Полигон относительных частот.

2. Построить гистограммы частот и относительных частот распределения.

Найдем плотность частоты :

Частичный интервал, длиною h = 3	Сумма частот вариант частичного интервала	Плотность частоты
2 – 5
5 – 8	3,3
8 – 11	8,3
11 – 14

Построим гистограмму частот.

Рис. 10. Гистограмма частот.

Чтобы построить гистограмму относительных частот, нужно найти относительные частоты. Для этого найдем объем выборки n.

.

Теперь найдем относительные частоты :

Частичный интервал	Сумма относительных частот	Плотность частоты
2 – 5	0,18	0,06
5 – 8	0,2	0,07
8 – 11	0,5	0,16
11 – 14	0,12	0,04

Плотности частот нужно вычислить. При этом h = 3.

Источник

Полигон частот и гистограмма частот — справочник студента

— количество детей, масса которых попала в тот или иной интервал, записали в таблице:

Пример 1: В таблице представлены проценты правильного выполнения тестовых заданий учащимися 8-го класса.

Пример 2.В таблице представлена информация о дистанциях, проезжая которые 40 автомобилей затрачивают полный бак бензина.

Для закрепления темы учащимся также предлагается выполнить задание, используя прием «Найди ошибку»

Задание: В лесопосадке растут 59 берез. Их высоты округлены до ближайшего целого значения в метрах и представлены в следующей таблице:

По этим данным учащийся построил гистограмму. Найдите ошибки в построении гистограммы.

После того, как учащиеся выполнят задание, проводится обсуждение со всем классом, указываются ошибки в построении гистограммы.

1-ошибка: между столбцами не должно быть зазоров;

2-ошибка: не верно определены границы интервалов, верно вот так: [4,5; 9,5), [9,5;12,5), [12,5;15,5), [15,5;18,5), [18,5;28,5), так как высота берез – непрерывная величина. Если интервал 5-9 м взят с округлением, то на самом деле он равен [4,5;9,5).

3-ошибка: Так как эти интервалы различны по длине, то по оси ортинат должны рассматриваться не частоты, а плотности частот.

Контроль и самопроверка знаний. Предложите учащимся повторить пройденный материал с помощью метода «Думай – В паре – Делись».

Цель: проверить уровень усвоения темы. Задания разного уровня сложности. Каждый может выбрать задания своего уровня. За выполнение определенного задания вы получаете определенное количество баллов

Предложите учащимся провести самооценивание и взаимооценивание.

Предложите учащимся «Мешочек заданий». Составьте карточки с заданиями, сложите их в мешочек (контейнер). Учащиеся по очереди вынимают карточку из мешочка и выполняют задания. Остальные осуществляют проверку.

Дифференциация выражена в виде заданий, требующих разного уровня математической подготовленности, а так же с учетом скорости мышления и возрастных особенностей учащихся.

Найдите накопленную частоту для каждого значения площади.

3) С какой торговой площадью наибольшее количество магазинов?

1.Составьте вариационный ряд для данных о потреблении электроэнергии (в киловаттах) в семье за 12 месяцев: 102; 108; 99;108; 109; 99; 102; 105; 108; 102; 108; 102.

Студент МТУСИ

Описательная статистика используется для простого обобщения данных, полученных в рамках выборочного исследования. В свою очередь, статистические выводы необходимы для того, чтобы данные, полученные из выборки, можно было распространить на всю генеральную совокупность.

Эмпирической функцией выборки (функцией распределения выборки) называется функция

, которую можно записать в следующем виде:

График данной функции представлен ниже:

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат — соответствующие им частоты ni.

Точки ( xi;ni) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот (Рис. 1).

Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат — соответствующие им относительные частоты Wi.

Точки ( xi; Wi) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

Площадь i — го частичного прямоугольника равна hni / h = ni — сумме частот вариант i — го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению Wi / h (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии Wi / h (Рис. 2).

Площадь i — го частичного прямоугольника равна hWi / h = Wi — относительной частоте вариант попавших в i — й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Рис. 1. Полигон частотРис. 2. Гистограмма относительных частот

Статистический ряд распределения — это упорядоченое распределение единиц совокупности на группы по определенному варьирующему признаку.

Следующим этапом обработки данных является вычисления числовых характеристик выборки. Главные из них:среднее значение, дисперсия, среднее квадратическое значение, моменты.

Так как функцию выборочных значений называют статистикой, то числовые характеристики, вычисленные по выборке, также называют статистиками.

Числовые характеристики, вычисленные по генеральной совокупности, называют параметрами генеральной совокупности.

Полигон и гистограмма частот

Для наглядности в статистике часто пользуются геометрической интер-претацией статистического распределения выборки, строя, так называемые, полигон и гистограмму частот (или относительных частот).

Пример. Для распределения

полигон относительных частот имеет вид, показанный на рисунке.

Полигон относительных частот – это статистический аналог многоугольника распределения дискретной случайной величины в теории вероят­ностей.

Если исследуемый признак – непрерывная случайная величина, то целесообразно строить гистограмму частот.

Для этого интервал, в котором заклю­чены все наблюдавшиеся значения признака, делят на ряд частичных интервалов одинаковой длины ∆.

Далее находят ni — сумму частот значений признака, попавших в i — ый частичный интервал, и строят ступенчатую фигуру из прямоугольников с основанием, равным ∆, и площадью, равной ni.

Число интервалов r гистограммы определяют приближенно по формуле Старджесса для выборки объема n (округляя r до ближайшего целого значения):

Пример. Произведено 100 измерений диаметров валиков, результаты которых представлены в таблице 4.

Построить гистограммы частот и относительных частот этого распределения.

Как видно из таблицы, наименьшее значение диаметра-15,20 мм, наи-большее-15,60 мм, длина этого промежутка — 0,4 мм. Число частичных интервалов принимаем по правилу Старджесса, равным восьми. Подсчитываем число значений признака, попадавших в каждый интервал. Для построения гистограмм частот (и относительных частот) составим таблицу 5.

Соответствующие гистограммы изображены на рисунке.

Оценкой параметра и называется в статистике его приближенное случайное значение, вычисленное на основе ограниченного числа опытов. Если оценка параметра характеризуется одним числом, то она называется точечной.

Пусть из генеральной совокупности произведена выборка объема n для изучения некоторого признака Х.

Статистическое распределение выборки

Статистическое распределение выборки

При систематизации данных выборочных обследований используются статистические дискретные и интервальные ряды распределения.

1. Статистическое дискретное распределение. Полигон. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х1 наблюдалось n1 раз, х2 – n2 раз, хk – nk раз и ∑ni=n — объем выборки.

Наблюдаемые значения х1 называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом.

Число наблюдений варианты называют частотой, а ее отношение к объему выборки — относительной частотой ni/n=wi

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Статистическим (эмпирическим) законом распределения выборки, или просто статистическим распределением выборки называют последовательность вариант хi и соответствующих им частот ni или относительных частот wi.

Статистическое распределение выборки удобно представлять в форме таблицы распределения частот, называемой статистическим дискретным рядом распределения:

(сумма всех частот равна объему выборки ∑ni=n) или в виде таблицы распределения относительных частот:

(сумма всех относительных частот равна единице ∑wi=1)

Пример 1. При измерениях в однородных группах обследуемых получены следующие выборки: 71, 72, 74, 70, 70, 72, 71, 74, 71, 72, 71, 73, 72, 72, 72, 74, 72, 73, 72, 74 (частота пульса). Составить по этим результатам статистический ряд распределения частот и относительных частот.

Решение. 1) Статистический ряд распределения частот:

2) Объем выборки: n=2+4+8+2+4=20. Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки ni/n=wi: wi=2/20=0.1; w2=4/20=0.2; w3=0.4; w4=4/20=0.1; w5=2/20=0.2. Напишем распределение относительных частот:

Полигоном частот называют ломаную, отрезки, которой соединяют точки (х1,n1),(х2,n2),…,(хk,nk). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты х2, а на оси ординат – соответствующие им частоты ni. Точки (хi,ni) соединяют отрезками и получают полигон частот.