Как называются действия в математике
Арифметика. Арифметические действия
Содержание
 Арифметика. Арифметические действия |
| Обратные арифметические действия |
| Свойства арифметических действий |
| Порядок выполнения арифметических действий |
| Умножение натуральных чисел на 10, 100, 1000; и т.д. |
Арифметика. Арифметические действия
Арифметическим действием называют операцию, удовлетворяющую ряду свойств и позволяющую по нескольким данным числам найти новое число.
Арифметикой называют науку, изучающую простейшие свойства чисел и арифметических действий.
Существуют шесть арифметических действий: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня.
Обратные арифметические действия
Вычитание – это арифметическое действие, обратное к сложению, деление – действие, обратное к умножению, извлечение корня – действие, обратное к возведению в степень.
Свойства арифметических действий
Порядок выполнения арифметических действий
Сложение и вычитание называют действиями первой ступени, умножение и деление – действиями второй ступени, возведение в степень и извлечение корня – действиями третьей ступени.
Действия одной ступени выполняются в том же порядке, в каком они записаны в формуле.
Если в формуле содержатся действия разных ступеней, то сначала выполняют действия высших ступеней, а затем низших ступеней.
Если формула содержит скобки, то сначала выполняют действия в скобках. Скобки бывают круглыми, квадратными и фигурными, причем между ними нет никакой разницы.
Если скобки содержат другие скобки, то сначала выполняют действия во «внутренних» скобках.
Умножение натуральных чисел на 10, 100, 1000 и т.д.
Действительно, например, число 3610 состоит из трёх тысяч, шести сотен и одного десятка, поэтому
Порядок действий в математике
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные операции в математике
Порядок вычисления простых выражений
Есть однозначное правило, которое определяет порядок выполнения действий в выражениях без скобок:
Из этого правила становится яснее, какое действие выполняется первым. Универсального ответа нет, нужно анализировать каждый пример и подбирать ход решения самостоятельно.
Что первое, умножение или деление? — По порядку слева направо.
Сначала умножение или сложение? — Умножаем, потом складываем.
Порядок выполнения действий в математике (слева направо) можно объяснить тем, что в нашей культуре принято вести записи слева направо. А необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.
Рассмотрим порядок арифметических действий в примерах.
Пример 1. Выполнить вычисление: 11- 2 + 5.
В нашем выражении нет скобок, умножение и деление отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычтем два из одиннадцати, затем прибавим к остатку пять и в итоге получим четырнадцать.
Вот запись всего решения: 11- 2 + 5 = 9 + 5 = 14.
Пример 2. В каком порядке выполнить вычисления в выражении: 10 : 2 * 7 : 5?
Чтобы не ошибиться, перечитаем правило для выражений без скобок. У нас есть только умножение и деление — значит сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.
Сначала выполняем деление десяти на два, результат умножаем на семь и получившееся в число делим на пять.
Запись всего решения выглядит так: 10 : 2 * 7 : 5 = 5 * 7 : 5 = 35 : 5 = 7.
Пока новые знания не стали привычными, чтобы не перепутать последовательность действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками арифметический действий расставить цифры, которые соответствуют порядку их выполнения.
Например, в такой последовательности можно решить пример по действиям:
Действия первой и второй ступени
В некоторых учебниках по математике можно встретить разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени.
С этими терминами правило определения порядка выполнения действий звучит так:
Если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем — действия первой ступени (сложение и вычитание).
Порядок вычислений в выражениях со скобками
Иногда выражения могут содержать скобки, которые подсказывают порядок выполнения математических действий. В этом случае правило звучит так:
Сначала выполнить действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем — сложение и вычитание.
Выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения. В них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий.
Рассмотрим порядок выполнения действий на примерах со скобками.
Как правильно решить пример:
Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, которые заключены в эти скобки.
Подставляем полученные значения в исходное выражение:
Порядок действий: умножение, деление, и только потом — сложение. Получится:
10 + 2 * 8 : 2 = 10 + 16 : 2 = 10 + 8 = 18.
На этом все действия выполнены.
Можно встретить выражения, которые содержат скобки в скобках. Для их решения, нужно последовательно применять правило выполнения действий в выражениях со скобками. Удобнее всего начинать выполнение действий с внутренних скобок и продвигаться к внешним. Покажем на примере.
Пример 2. Выполнить действия в выражении: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)).
Перед нами выражение со скобками. Это значит, что выполнение действий нужно начать с выражения в скобках, то есть, с 5 + 1 + 4 * (2 + 3). Но! Это выражение также содержит скобки, поэтому начнем сначала с действий в них:
Подставим найденное значение: 5 + 1 + 4 * 5. В этом выражении сначала выполняем умножение, затем — сложение:
5 + 1 + 4 * 5 = 5 + 1 + 20 = 26.
Исходное значение, после подстановки примет вид 9 + 26, и остается лишь выполнить сложение: 9 + 26 = 35.
Ответ: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)) = 35.
Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями
Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции — их значения нужно вычислить до выполнения остальных действий. При этом важно учитывать правила из предыдущих пунктов, которые задают очередность действий в математике.
Другими словами, перечисленные функции по степени важности можно приравнивать к выражению в скобках.
И, как всегда, рассмотрим, как это работает на примере.
В этом выражении есть степень 62. И нам нужно найти ее значение до выполнения остальных действий. Выполним возведение в степень: 62 = 36.
Подставляем полученное значение в исходное выражение:
Дальше нам уже все знакомо: выполняем действия в скобках, далее по порядку слева направо выполняем сначала умножение, деление, а затем — сложение и вычитание. Ход решения выглядит так:
Закрепить на практике тему «Порядок действий» можно на курсах по математике в Skysmart!
Памятка «Компоненты математических действий»
«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
КОМПОНЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ
Названия компонентов при сложении:
1 слагаемое, 2 слагаемое, сумма.
Чтобы найти неизвестное слагаемое надо из суммы вычесть известное слагаемое.
Названия компонентов при вычитании:
Разностью называют не только результат действия, но и само выражение.
Чтобы найти уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
Чтобы найти вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
Названия компонентов при умножении:
множитель, множитель, произведение.
Произведением называют не только результат действия, но и само выражение.
Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель (24:8=3)
Названия компонентов при делении:
делимое, делитель, частное.
Частным называют не только результат действия, но и само выражение.
Чтобы найти делимое, надо частное умножить на делитель (4х2=8)
Чтобы найти делитель, надо делимое разделить на частное (8:4=2)
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Скоростное чтение
Курс повышения квалификации
Актуальные вопросы теории и методики преподавания в начальной школе в соответствии с ФГОС НОО
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-984805
Не нашли то, что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников
Время чтения: 1 минута
В Липецкой области начинающие педагоги получат 120 тысяч рублей
Время чтения: 0 минут
Минпросвещения создает цифровую психологическую службу для школьников
Время чтения: 1 минута
В России стартует пилотный проект по реабилитации детей-инвалидов
Время чтения: 2 минуты
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Во всех педвузах страны появятся технопарки
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Математика
Закажи карту Tinkoff Junior сейчас и получи 200 ₽ на счет
С этой картой можно накопить на мечту, жми ⇒
План урока:
Действие сложение. Знак +
Название компонентов действия сложения. Переместительное свойство сложения
Добрый день! Готов к новому уроку? Сегодня у нас будет очень важное занятие. Мы получим самые драгоценные и сокровенные знания. Без этих знаний невозможно существование науки математики!
В таком сложном деле нам нужны помощники. Мы их найдем в сказочном лесу.
— Догадался? В этом лесу живут настоящие профессионалы по поиску драгоценностей и сокровищ. Это сказочные гномики.
Посмотри на них, какие они веселые и доброжелательные. Гномики улыбаются тебе и желают хорошего настроения на весь урок. Улыбнись им в ответ и давай приступим к занятию.
Гномики целый день работали в шахте. Они искали драгоценные камни.
Посмотри, сколько камней собрал гном Том и гном Тим. Посчитай.
Гном Том собрал 4 камня.
А гном Тим собрал 3 камня.
Чтобы не нести эту тяжесть в руках, они сложили все свои камни в тачку.
Теперь в тачке лежат и камни, которые собрал Том, и камни, которые собрал Тим. Давай-ка мы их все достанем и пересчитаем.
В тачке оказалось 7 камней.
Ого, как много! Как ты думаешь, почему?
Верно, потому что в тачку сложили камни оба гномика. А это всегда будет больше, чем у каждого по отдельности.
Итак, что сделали гномики?
Точно, они сложили свои камни вместе. В математике такое действие тоже называется сложение. Его суть в том, что элементы двух множеств объединяются в одно целое.
Смотри, множество камней Тома и множество камней Тима объединились в тачке в одно множество. При этом в объединенном множестве количество элементов становится больше.
Чтобы узнать результат сложения чисел, нужно пересчитать все элементы и первого, и второго множества вместе.
Гномики сложили камни вместе. А какие еще действия приводят к тому, что предметов становится больше?
Таких действий довольно много. Например, если в добавок к тому, что уже есть, кто-то:
Любое действие, которое ведет к увеличению количества предметов, подразумевает выполнение действия сложения. Часто это действие еще называют «прибавление».
Чтобы записать действие сложение в виде математического выражения, используется специальный знак. Знак сложения выглядит так.
Посмотри, в этом знаке тоже произошло объединение: две палочки соединились в одно целое. Этот знак называется «плюс».
Посмотри, как знак «плюс» пишется в тетради.
Порядок написания следующий.
Потренируйся писать знак плюс в тетради.
Теперь разберемся, как именно надо составлять математическое выражение, описывающее действие сложения. Давай вспомним, что было сначала.
Том собрал 4 камня и Тим собрал 3 камня.
Они вместе высыпали свои камни в тачку, т.е. объединили их. Поэтому мы ставим между числами знак «+».
В результате объединения все камни оказались в тачке. Мы их все пересчитали – в тачке 7 камней. Их ровно столько, сколько было у обоих гномиков вместе. Поэтому между левой и правой частью выражения нужно поставить знак равенства «=».
В тетради надо записать так.
Теперь я расскажу, как называются компоненты действия сложения. Числа, которые обозначают количество элементов в каждом отдельном множестве, называются слагаемые. А число, которое обозначает результат, полученный при объединении этих множеств, называется сумма.
Поскольку левая сторона записи равна правой, то и само выражение тоже называют «сумма». Читают так «сумма чисел 4 и 3».
Поэтому, когда говорят «найди сумму», нужно выполнить действие сложение.
Итак, наше выражение можно прочитать несколькими способами:
Идем дальше. Нам нужно выучить очень важное правило для действия сложения. Давай вернемся к нашим гномикам. Ты же помнишь, что каждый из них положил свои камни в тачку и потом мы их посчитали вместе, т.е. нашли сумму. Как ты думаешь, кто из гномиков первый положил камушки в тачку?
Мы записали, что первое слагаемое четыре. Получается, что первым был гномик Том, а потом гномик Тим.
Теперь давай представим, что порядок был другой. Сначала в тачку положил свои камушки Тим, а потом Том. Значит первое слагаемое – это три, а второе – четыре. Изменится ли от этого общее количество камней в тачке, т.е. наша сумма?
Теперь в тачке три камня Тима и четыре камня Тома. Посчитай их вместе.
Всего камней семь. Ровно столько же, сколько был и первый раз.
Получается, что не важно, кто из гномиков положил камушки первый, а кто второй. Их общее количество не меняется. Значит, сумма не меняется.
Посмотри. И четыре плюс три будет семь, и три плюс четыре тоже будет семь.
В математике это называется переместительное свойство сложения. Оно звучит так: от перестановки слагаемых местами сумма не изменяется. Запишем.
Это переместительное свойство очень пригодится тебе при изучении таблиц сложения. Запомни его!
Чтобы закрепить все, что мы узнали о действии сложения, потренируемся составлять примеры по картинкам.
Посчитай, сколько синих фигур на картинке. Запиши.
Теперь посчитай красные фигуры и запиши.
Нам нужно посчитать их вместе. Это подразумевает объединение всех фигур. А значит, надо выполнить действие сложение. Поэтому поставим между нашими числами знак «плюс».
3 + 2
Теперь нужно пересчитать ВСЕ фигуры ВМЕСТЕ. Сколько у тебя получится?
У меня вышло 5. Уверена, у тебя тоже. Запишем это, поставив сначала знак равенства.
3 + 2 = 5
Вот и все. Ничего сложного.
Теперь рассмотрим, как нужно решать примеры на сложение. Давай прочитаем это выражение.
2 + 4
Можно так «два плюс четыре».
Чтобы найти результат, нужно следовать алгоритму выполнения действия сложения.
Это знак «плюс», значит нужно объединить, посчитать все вместе.
2 + 4 = 6
Вот и все. Теперь ты знаешь, что такое действие сложение, как называются компоненты сложения, а также как составлять и решать примеры, в которых нужно выполнить это действие.
Действие вычитание. Знак-
Название компонентов действия вычитания
Давай продолжим раскрывать тайны науки математики. Ведь есть еще одно очень важное математическое действие, с которым нам обязательно нужно познакомиться.
Итак, гномики закончили свою работу и возвращаются домой.
Дома их ждет Белоснежка.
Она приготовила для гномиков угощение – испекла пирожные. Посчитай, сколько их получилось.
У тебя тоже получилось девять пирожных? Значит, ты посчитал правильно!
Когда гномики пришли домой, каждый из них съел по пирожному. Помнишь, сколько было гномов у Белоснежки? Точно, семь. Они съели столько же пирожных, т.е. тоже семь.
Давай зачеркнем съеденные пирожные.
Мы видим, что осталось совсем мало – всего два пирожных. Наверное, они достанутся Белоснежке.
В математике действие, которое ведет к уменьшению количества предметов, называется вычитание. Его смысл в следующем. Из целого множества удаляется его часть. В итоге остается меньше элементов, чем их было в целом множестве.
Чтобы узнать результат действия вычитания, нужно пересчитать элементы, которые остались.
Давай подумаем, в каких случаях предметов станет меньше. Пирожных стало меньше, потому что гномики съели часть из них. Еще могут быть такие ситуации:
Для того, чтобы записать действие вычитания в виде математического выражения используют специальный знак. Знак вычитания выглядит так.
Он называется «минус».
В тетради знак «минус» пишется так.
Порядок написания знака «минус» следующий.
Потренируйся писать знак «минус» в тетради.
А теперь я расскажу, как составлять математическое выражение, которое описывает действие вычитание.
Вспомни, сколько пирожных было сначала?
Правильно, 9. Запиши.
Гномики съели пирожные и их стало меньше, поэтому ставим знак «минус».
Они съели 7 пирожных. Запишем это число.
9 – 7
Ставим знак равенства и запишем количество пирожных, которые остались. Их оставалось 2.
9 – 7 = 2
В тетради запись выглядит так.
Названия компонентов действия вычитания запомнить довольно легко.
Левая сторона этого выражения тоже называется разность.
Если в задании говорится, что нужно «найти разность чисел», значит, следует составить математическое выражение с действием вычитания.
Такое выражение можно прочитать по-разному.
Закрепим все, что ты узнал о действии вычитания и составим математическое выражение по такой картинке.
Посмотри, сколько всего было шариков у гномика сначала? Запиши.
Что случилось с некоторыми шариками? Сколько таких шаров?
Верно, два шарика сдулись и у гномика шариков осталось меньше. Значит нужно написать «минус два».
5 – 2
Ставим знак равенства и пересчитаем, сколько осталось целых шариков.
5 – 2 = 3
Вот мы и составили выражение.
А теперь разберемся, как нужно решать примеры на вычитание. Например, посчитаем, сколько будет:
Назови уменьшаемое. Выложи столько же кружочков. Их должно быть 6.
Теперь назови вычитаемое. Убери (отодвинь, зачеркни) четыре кружочка.
Пересчитай кружочки, которые остались, и ты узнаешь ответ. Запиши его после знака равенства.
6 – 4 = 2
Мы решили пример на вычитание. Теперь ты знаешь, что обозначает это математическое действие, как называются компоненты вычитания, и как нужно составлять и решать математические выражения с действием вычитания.
Взаимосвязь между действием сложения и действием вычитания
Итак, ты выучил два математических действия: сложение и вычитание. Одно из них используется при объединении предметов в единое множество, а другое при удалении из целого множества его части.
Ты вспомнил, что обозначает каждое действие?
Эти действия связаны между собой, но имеют противоположное значение. При сложении мы получаем больший результат, а при вычитании предметов становится меньше. Вот, например, представь, что у тебя было несколько конфет и тебе дадут еще пару штук. Что получится?
Правильно, у тебя конфет станет больше.
А если ты съешь несколько конфет? Что у тебя останется?
Правильно, у тебя останется меньше конфет.
А теперь давай проверим, какая именно взаимосвязь между действиями сложения и вычитания. Разберем одну ситуацию и составим по ней математическое выражение.
У Белоснежки День рождения. Гномики решили устроить для нее праздник. Посчитай, сколько их всех на картинке.
К Белоснежке на День рождения пришли зверята. Посчитай, сколько их.
Подумай, какое действие мы должны использовать, чтобы составить выражение?
Ну конечно, действие сложение. Ведь теперь их всех вместе стало больше.
Было три, пришло еще пять. Посчитай, сколько теперь всех вместе.
Запишем в виде выражения.
3 + 5 = 8
3 – это первое слагаемое, оно показывает, сколько элементов было в первом множестве.
5 – это второе слагаемое, оно показывает, сколько элементов было во втором множестве.
8 – это сумма, она обозначает количество элементов в общем множестве.
Теперь на полянке и гномики с Белоснежкой (это наше первое множество), и зверята (это второе множество). Они все вместе.
Получается, что на празднике веселились 8 друзей. Когда праздник закончился, зверята ушли домой. Как ты думаешь, какое математическое действие надо использовать в этом случае?
Правильно, действие вычитание. Ведь зверята ушли и на полянке останется меньше друзей.
Итак, 5 зверят ушло. Кто остался? Сколько их?
Верно, остались гномики с Белоснежкой. Их 3.
Составим математическое выражение.
8 – 5 = 3
Мы видим, что если из общего множества (суммы) убрать элементы второго множества (второе слагаемое), то останутся только элементы первого множества (первое слагаемое).
А если было наоборот, из 8 друзей первыми с полянки ушли гномики с Белоснежкой (их 3). Кто на ней останется?
Правильно, останутся зверята. Их 5.
Посмотри, как это запишем.
8 – 3 = 5
Теперь мы из общего множества (суммы) убрали элементы первого множества (первое слагаемое) и остались только элементы второго множества (второе слагаемое).
Итак, у нас получается, что мы при сложении два множества объединяем в одно целое. А если из этого общего множества убрать какое-то одно из составляющих множеств, то останется другое.
В математике это правило взаимосвязи между компонентами сложения звучит так: если из суммы вычесть одно слагаемое, то получим другое слагаемое.
Мы видим, что в примере на сложение есть два слагаемых. Поэтому можно сделать следующий вывод: из одного математического выражения с действием сложения можно составить два выражения с действием вычитания.
8 – 3 = 5
8 – 5 = 3
Это очень важное правило, которое поможет тебе в дальнейшем быстро и легко учить таблицы вычитания.
А на сегодня все. Гномики помогли нам получить очень важные и ценные знания. Нужно обязательно поблагодарить их за это.
В материалах урока использованы кадры из а/ф «Белоснежка и семь гномов», 1937