Как звучит аксиома параллельных прямых
Что важно запомнить про аксиому параллельных прямых
Свойства и признаки параллельных прямых
Традиционно считается, что родоначальниками геометрии как систематической науки являются древние греки, перенявшие у египтян ремесло землемерия и измерения объемов тел и превратившие его в строгую научную дисциплину. При этом античные геометры перешли к установлению общих закономерностей, составили систематические и доказательные труды.
Центральное место среди них занимают написанные в III веке до н. э. «Начала» Евклида. Этот труд считался образцовым изложением в духе аксиоматического метода: все положения выводятся логическим путем из небольшого числа явно указанных и не доказываемых предположений — аксиом.
Первые же доказательства геометрических задач появились в работах Фалеса и использовали принцип наложения, когда фигуры, равенство которых необходимо доказать, накладывались друг на друга.
Геометрия греков, называемая сегодня евклидовой или элементарной, занималась изучением простейших форм: прямых, плоскостей, отрезков, правильных многоугольников и многогранников, конических сечений, а также шаров, цилиндров, призм, пирамид и конусов. В такой геометрии определение параллельных прямых звучит следующим образом:
Параллельные прямые — прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Признаки
Прямые параллельны если:
1. Две прямые параллельны третьей.
Если а || b, b || c, то c || a
2. Две прямые перпендикулярны третьей.
Если а ⊥ с, b ⊥ c, то b || a.
3. Сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
Если ∠1 + ∠2 = 180°, то a || b.
4. Соответственные углы равны.
5. Внутренние накрест лежащие углы равны.
Свойства
Утверждения, обратные признакам. Они основаны на свойствах углов, образованных пересечением двух параллельных прямых третьей прямой.
1. Через любую точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.
2. При пересечении двух параллельных прямых третьей, сумма образованных ими внутренних односторонних углов равна 180°:
Если a || b, то ∠1 + ∠2 = 180°.
3. При пересечении двух параллельных прямых третьей, образованные ими соответственные углы равны:
4. При пересечении двух параллельных прямых третьей, образованные ими накрест лежащие углы равны:
5. Если прямая на плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой:
Если a || b и c ⊥ a, то c ⊥ b.
Аксиома параллельных прямых
Самая известная аксиома Евклида — о параллельных прямых. Ее можно сформулировать так:
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Следствия из аксиомы параллельных прямых
Из аксиомы о параллельности вытекают следующие утверждения:
Пояснения на примере
Рассмотрим произвольную прямую а и точку М, не лежащую на ней (Рис.1).
Проведем через точку М две прямые: сначала прямую с перпендикулярно к а, а затем прямую b перпендикулярно к с (Рис.2). Из того, что две прямые а и b перпендикулярны к третьей c, следует, что a || b.
Возникает вопрос: можно ли через точку М провести еще одну прямую, параллельную a?
Если прямую b попробовать «повернуть» на какой—то угол вокруг точки М, то она пересечет a (рис.3).
То есть через точку М нельзя провести прямую, отличную от b, и при этом не пересекающую a. Вывод о единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, не может быть доказан на основе остальных утверждений Евклида, а сам является аксиомой.
Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы
Понятие аксиомы
Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.
Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.
Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.
Основные аксиомы евклидовой геометрии
Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.
А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.
Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:
Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.
У этой аксиомы два следствия:
Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:
Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.
На картинке можно увидеть, как это выглядит:
Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.
Понятие теоремы
Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.
Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.
Состав теоремы: условие и заключение или следствие.
Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.
Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.
Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.
Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:
Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.
Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.
Способы доказательства геометрических теорем
Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.
Приемы для доказательства в геометрии:
Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.
Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:
В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.
Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.
Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:
В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).
Теоремы без доказательств
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:
Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:
где a, b и c — стороны плоского треугольника,
α — угол, противолежащий стороне а.
Следствия из теоремы косинусов:
Понятия свойств и признаков
У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.
Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.
Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.
Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.
Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.
Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.
Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.
А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.
Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.
Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:
Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.
Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Аксиома параллельных прямых
Перечень рассматриваемых вопросов:
Аксиома – это утверждение, которое принимается в качестве исходного, без доказательства в рамках данной теории.
Аксиома параллельных прямых.
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Следствия из аксиомы.
Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Если две прямые, параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Геометрия на плоскости изучает фигуры: сначала даются их определения, затем доказываются свойства или отношения в виде теорем.
Однако есть утверждения, которые принимаются в качестве исходных, они не доказываются. Это аксиомы.
Аксиома – происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный». Изначально имело смысл «самоочевидная истина».
Теорема – греческое слово, означает «зрелище, представление». В математике греков употреблялось в смысле «истина, доступная созерцанию».
Аксиома параллельных прямых.
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Следствия из аксиомы.
Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Впервые аксиоматический подход к изложению геометрии был изложен в знаменитом сочинении Евклида «Начала» в III веке до нашей эры. Геометрию, которую мы изучаем, по сей день, называют евклидовой. Схема изучения геометрии представлена так: задаются начальные понятия (точка, прямая, плоскость), определения фигур (отрезок, луч, треугольник и др.). Затем изучаются свойства или отношения между ними в виде аксиом или теорем.
Приведём примеры аксиом, которые уже встречали в предыдущих параграфах, хотя они не назывались аксиомами.
Евклид является автором аксиоматического подхода к построению геометрии.
Аксиома параллельных прямых:
через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
На рисунке через точку М проведены две прямые. Но только одна из них прямая b параллельна прямой а.
Утверждения, которые выводятся из аксиом или теорем, называются следствиями, и они доказываются.
Следствия из аксиомы параллельных прямых.
1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Доказательство методом от противного.
Пусть a ║b, c пересекает прямую a в точке M. Предположим, что прямая c не пересекает b. Тогда через точку M проходит две прямые a и c параллельные b. Это противоречит аксиоме, значит предположение неверно, т. е. прямая c пересекает b.
2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Доказательство методом от противного.
Предположим, что прямые a и b не параллельны, т. е. пересекаются в точке M. Тогда через точку M проходит две прямые a и b параллельные c. Это противоречит аксиоме, значит, предположение неверно, т. е. прямая a параллельна прямой b.
Разбор заданий тренировочного модуля
№ 1. Доказать существование прямой, параллельной данной.
№ 2. Через точку А, не лежащую на прямой р, проведены четыре различные прямые.
Сколько из них пересекает прямую р?
1 случай. Если одна из прямых параллельна р. Тогда три других пересекают прямую р, согласно следствию 1 из аксиомы параллельных прямых.
2 случай. Если ни одна из прямых не параллельна р. Тогда все четыре пересекают прямую р.
Параллельные прямые
Параллельные прямые – подарок судьбы в решении многих задач.
Они дают тебе множество равных углов! И на них основывается много признаков фигур.
Что, безусловно, будет очень полезно.
Читай эту статью – будешь знать о них все!
И получишь заслуженные баллы на ЕГЭ.
Параллельные прямые — коротко о главном
Параллельные прямые – это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их не продолжали: \( \displaystyle a\parallel b\).
Секущая – прямая, пересекающая две параллельные прямые: \( \displaystyle c\).
Аксиома параллельных прямых: через любую точку плоскости, расположенную вне данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.
\( \displaystyle \angle 4\) и \( \displaystyle \angle 6\), \( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle5\) – внутренние накрест лежащие углы;
\( \displaystyle \angle 5\) и \( \displaystyle \angle 4\), \( \displaystyle \angle 6\) и \( \displaystyle \angle 3\) – внутренние односторонние углы;
\( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 8\), \( \displaystyle \angle 2\) и \( \displaystyle \angle 7\) – внешние односторонние углы;
\( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 5\), \( \displaystyle \angle 4\) и \( \displaystyle \angle 8\), \( \displaystyle \angle 2\) и \( \displaystyle \angle 6\), \( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle 7\) – соответственные углы.
Свойства параллельных прямых
Если две параллельные прямые пересечены третьей (секущей) прямой, то:
внутренние накрест лежащие углы равны: \( \displaystyle \angle 3=\angle 5\), \( \displaystyle \angle 4=\angle 6\);
соответственные углы равны: \( \displaystyle \angle 1=\angle 5\), \( \displaystyle \angle 4=\angle 8\), \( \displaystyle \angle 2=\angle 6\), \( \displaystyle \angle 3=\angle 7\);
сумма любых двух внутренних односторонних углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \): \( \displaystyle \angle 3+\angle 6=180<>^\circ \), \( \displaystyle \angle 4+\angle 5=180<>^\circ \);
сумма любых двух внешних односторонних углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \): \( \displaystyle \angle 1+\angle 8=180<>^\circ \), \( \displaystyle \angle 2+\angle 7=180<>^\circ \).
Признаки параллельных прямых
Определение параллельных прямых
Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их не продолжали.
Принято обозначение:
\( \displaystyle a//b\) – читается как \( \displaystyle a\) параллельна \( \displaystyle b\).
Самым важным фактом, который нужно принять без доказательства (не только тебе, но и любому математику) для того, чтобы вся геометрия не развалилась и не превратилась в какую-то неузнаваемую теорию, является так называемая «аксиома параллельных прямых».
Часто ее еще называют «пятый постулат Евклида». Формулируем:
Аксиома параллельных прямых или пятый постулат Евклида
Через любую точку плоскости, расположенную вне данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.
Смотри: через любую точку \( \displaystyle A\) проходит только одна прямая \( \displaystyle b\), которая параллельна \( \displaystyle a\), все остальные будут пересекать прямую \( \displaystyle a\).
Казалось бы: чего проще – ну, одна так одна…
Но ты себе просто не представляешь, сколько споров вели математики на протяжении прямо-таки тысячелетий, прежде чем осознали истинную роль этой аксиомы о параллельных прямых.
В конце концов, уже в 19-м веке, после открытий Лобачевского, Гаусса и других ученых стало ясно, что можно построить и другие виды геометрии, в которых не выполняется аксиома параллельных прямых, в которых ее можно выбросить, но эти геометрии уже оказываются не геометриями плоскости, а геометриями на каких-то хитрых поверхностях.
А наша привычная плоскость оттого и называется евклидовой, что при построении геометрии на ней, при решении всех задачек и доказательстве теорем мы считаем этот многострадальный пятый постулат Евклида выполнимым.
Ну вот, а теперь возникает два вопроса:
Ответ на первый вопрос называется «свойства параллельных прямых», а ответ на второй вопрос называется «признаки параллельных прямых».
Но прежде нам понадобится много названий, которые нужно запомнить, как таблицу умножения.
Термины: секущая, внутренние и внешние углы
Итак, ситуация: две прямые пересечены третьей (она называется секущей )
Получается куча углов. Целых \( \displaystyle 8\) штук.
Приняты такие названия этих углов:
\( \displaystyle \angle 4\) и \( \displaystyle \angle 6\) называются внутренними накрест лежащими углами
\( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle5\) – тоже внутренние накрест лежащие углы.
Название говорит само за себя: \( \displaystyle \angle 4\) и \( \displaystyle \angle 6\), так же, как и \( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle5\) лежат «накрест» — по разные стороны от секущей и «внутри», между прямыми \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\).
Они лежат с одной стороны от секущей и «внутри» между прямыми \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\).
\( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 8\) (а еще \( \displaystyle \angle 2\) и \( \displaystyle \angle 7\)) называются внешними односторонними углами (ты уже догадался, почему?)
И последнее название: соответственные углы.
Обрати внимание, \( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 5\) лежат в одинаковых «соответственных» местах около точек \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\). То же можно сказать и об остальных перечисленных парах – посмотри на рисунок.
Свойства параллельных прямых
Напоминаем (а то отвлеклись на названия), что пытаемся ответить на вопрос: если \( \displaystyle a//b\), то что?
Если две параллельные прямые пересечены третьей (секущей) прямой, то:
Запомни – все задачи с участием слова «параллельность» решаются с помощью этой теоремы о свойствах параллельных прямых.
А теперь, наоборот, признаки параллельных прямых.
Признаки параллельных прямых
То есть, как бы узнать, что прямые параллельны?
Если две прямые (\( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\)) пересечены третьей и оказалось, что:
то прямые \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\) – параллельны