S 4an что за формула

Ускорение свободного падения

Сила тяготения

В 1682 году Исаак Ньютон открыл закон всемирного тяготения. Он звучит так: все тела притягиваются друг к другу, сила всемирного тяготения прямо пропорциональна произведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Формула силы тяготения согласно этому закону выглядит так:

Закон всемирного тяготения

F — сила тяготения [Н]

M — масса первого тела (часто планеты) [кг]

m — масса второго тела [кг]

R — расстояние между телами [м]

G — гравитационная постоянная

Когда мы встаем на весы, стрелка отклоняется. Это происходит потому, что масса Земли очень большая, и сила тяготения буквально придавливает нас к поверхности. На более легкой Луне человек весит меньше в шесть раз.

Закон всемирного тяготения используют, чтобы вычислить силы взаимодействия между телами любой формы, если размеры тел значительно меньше расстояния между ними.

Если мы возьмем два шара, то для них можно использовать этот закон вне зависимости от расстояния между ними. За расстояние R между телами в этом случае принимается расстояние между центрами шаров.

Приливы и отливы существуют благодаря закону всемирного тяготения. В этом видео я рассказываю, что общего у приливов и прыщей. 🤓

Ускорение свободного падения

Чтобы математически верно и красиво прийти к ускорению свободного падения, нам необходимо сначала ввести понятие силы тяжести.

Сила тяжести — сила, с которой Земля притягивает все тела.

Сила тяжести

F = mg

F — сила тяжести [Н]

m — масса тела [кг]

g — ускорение свободного падения [м/с 2 ]

На первый взгляд сила тяжести очень похожа на вес тела. Действительно, в состоянии покоя на поверхности Земли формулы силы тяжести и веса идентичны. Вес тела в состоянии покоя численно равен массе тела, умноженной на ускорение свободного падения, разница состоит лишь в точке приложения силы.

Сила тяжести — это сила, с которой Земля действует на тело, а вес — сила, с которой тело действует на опору. Это значит, что у них будут разные точки приложения: у силы тяжести к центру масс тела, а у веса — к опоре.

Также важно понимать, что сила тяжести зависит исключительно от массы и планеты, на которой тело находится. А вес зависит еще и от ускорения, с которым движется тело или опора.

Например, в лифте вес зависит от того, куда и с каким ускорением двигаются его пассажиры. А силе тяжести все равно, куда и что движется — она не зависит от внешних факторов.

На второй взгляд сила тяжести очень похожа на силу тяготения. В обоих случаях мы имеем дело с притяжением — значит, можем сказать, что это одно и то же. Практически.

Мы можем сказать, что это одно и то же, если речь идет о Земле и каком-то предмете, который к этой планете притягивается. Тогда мы можем даже приравнять эти силы и выразить формулу для ускорения свободного падения:

Приравниваем правые части:

Делим на массу левую и правую части:

Это и будет формула ускорения свободного падения. Ускорение свободного падения для каждой планеты уникально.

Формула ускорения свободного падения

g — ускорение свободного падения [м/с 2 ]

M — масса планеты [кг]

R — расстояние между телами [м]

G — гравитационная постоянная

Ускорение свободного падения характеризует то, как быстро увеличивается скорость тела при свободном падении.

Свободное падение — это ускоренное движение тела в безвоздушном пространстве, при котором на тело действует только сила тяжести.

Ускорение свободного падения на разных планетах

Выше мы уже вывели формулу ускорения свободного падения. Давайте попробуем рассчитать ускорение свободного падения на планете Земля.

Для этого нам понадобятся следующие величины:

Подставим значения в формулу:

И кому же верить?

Ниже представлена таблица ускорений свободного падения и других характеристик для планет Солнечной системы, карликовых планет и Солнца.

Небесное тело

Ускорение свободного падения, м/с 2

Диаметр, км

Расстояние до Солнца, миллионы км

Масса, кг

Соотношение с массой Земли

Источник

Арифметическая прогрессия и сумма ее членов

теория по математике 📈 последовательности

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

Другими словами, последовательность (а_n) – арифметическая прогрессия, если для любого натурального числа n выполняется условие а_n+1=а_n+d, где d – некоторое число. Из данного равенства следует, что можно найти это число d, если вычесть из последующего члена предыдущий, то есть d = а_n+1–а_n. Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Арифметической прогрессией, например, является ряд чисел 3; 8; 13; 18…. так как разница между числами равна 5, мы видим, что каждое последующее на 5 больше предыдущего.

Если известен первый член арифметической прогрессии a₁ и разность d, то можно вычислить любой член арифметической прогрессии:

Этот ряд можно продолжать до бесконечности, поэтому надо запомнить, что n-ый член арифметической прогрессии можем получить быстрее, если к первому члену прогрессии добавить (n−1) разностей, то есть:

Формула n-ого члена арифметической прогрессии

где n – порядковый номер члена арифметической прогрессии, a₁ – первый член прогрессии, d – разность арифметической прогрессии

Формулу используют, чтобы вычислить заданный член арифметической прогрессии (например, пятнадцатый, двухсотый и т.д.), если известны первый член последовательности и ее разность. Рассмотрим на примерах применение данной формулы.

Пример №1. Найти а₂₀ арифметической прогрессии (а_n), если а₁=14, d=5. Составляем формулу для а₂₀ и подставляем в нее данные: а₂₀= a₁ + d(20−1)=14+5(20−1)=109. Таким образом, мы вычислили, что на 20-ом месте в данной арифметической прогрессии стоит число 109.

Найти а₇ арифметической прогрессии (а_n), если а₁=−8, d=−3. Аналогично работаем, составляя формулу и подставляя в нее данные значения (обращаем внимание на знаки чисел, чтобы не допустить ошибок): а₇= a₁ + d(7−1)= −8−3(7−1)= −26.

Дана арифметическая прогрессия 10; 12; 14;…… Найти а_12. Здесь для нахождения а₁₂ надо сначала найти разность d: d=12−10=2, то есть из последующего вычтем предыдущее. Можно было 14−12, порядок здесь не имеет значения, главное берем два соседних члена прогрессии. Теперь можем составлять формулу и находить а₁₂: а₁₂= a₁ + d(12−1)=10+2(12−1)=32.

Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида a_n=kn+b, где k и b некоторые числа. Верно и обратное утверждение: если последовательность чисел задана формулой вида a_n=kn+b, где k и b некоторые числа, то она является арифметической.

Так, например, формула a_n=5n+1 задает арифметическую прогрессию, в которой разность d равна 1; по данной формуле можно найти любой член последовательности, например, найдем 20-ый член, подставляя в формулу число 20: a₂₀=5 × 20+1=101.

Свойство арифметической прогрессии

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Формула:

Другими словами, используя данное свойство, мы можем найти член арифметической прогрессии, стоящий между двумя известными членами, без использования разности d. Рассмотрим это на примерах.

Пример №2. Найти а₁₀ арифметической прогрессии (а_n), если а₉=24; а₁₁=38. Здесь используем свойство, так как видим, что у а₁₀ известны соседние члены. Значит, а₁₀=(а₉+а₁₁):2=(24+38):2=31. Таким образом, десятый член равен 31.

Дана арифметическая прогрессия …..23; х; 35. Найти х. Применяем свойство для нахождения х: х=(23+35):2=29. Для наглядности запишем, что ряд чисел выглядит так: …23; 29; 35.

Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии

В данной формуле мы видим, что для нахождения суммы нужны первый и последний член прогрессии. Но встречаются случаи, когда а_n не известно, но известна разность. Тогда для нахождения суммы применяют вторую формулу.

Формула суммы членов арифметической прогрессии с первым членом и разностью

Рассмотрим на примерах применение данных формул.

Пример №3. Найти сумму первых пятидесяти членов арифметической прогрессии (а_n), если а₁=11, а₅₀=39.

Для решения лучше использовать первую формулу, так как здесь есть первый и последний члены: а₁=11, а₅₀=39. Поэтому составляем формулу, подставляем в нее данные значения и вычисляем:

Найти сумму первых десяти членов арифметической последовательности 3; 18; …. В данном случае задание можно выполнить двумя способами, как по первой формуле, так и по второй, а затем выяснить, какой способ короче, а значит, рациональнее.

Способ №1 (по первой формуле): надо найти разность d, затем десятый член прогрессии, а затем сумму:

Способ №2 (по второй формуле): надо знать разность d, d=18-3=15. Теперь подставим значения во вторую формулу и сосчитаем результат:

Результаты в обоих случаях получились у нас одинаковые. А если сравнить два способа, то видно, что второй способ быстрее, тем более что в большинстве случаев разность арифметической прогрессии можно вычислить устно.

Таким образом, выбор формулы для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии зависит от заданного условия.

-6-8=-14 через 1 минуту

-14-8=-22 через 2 минуты

-22-8=-30 через 3 минуты

-30-8=-38 через 4 минуты

-38-8=-46 через 5 минут

-46-8=-54 через 6 минут

Вторым способом является решение по формуле n-ого члена арифметической прогрессии, которая есть также и в справочном материале, т.е. a_n=a₁+d(n – 1). В данном случае a₁₌-6; d=-8, n=7 (так как ЧЕРЕЗ 6 минут). Подставим значения в формулу: a₇=-6₁-8(7 – 1). Вычислим: a₆=-6-8 ∙ 5=-6-48=-54.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Содержание данной задачи говорит нам о том, что здесь есть арифметическая прогрессия, так как число жителей города возрастало на одну и ту же величину.

2008 г – 38100 человек

2016 г. – 43620 человек

Итак, можно вычислить прирост населения с 2008 по 2016 ежегодно:

(43620 – 38100):(2016 – 2008)= 5520:8=690 человек.

Теперь можно найти, сколько человек проживало в конце 2012 года.

38100+690(2016 – 2012)= 40860 человек

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

В содержании задачи есть фраза, что акции дорожали ежедневно на одну и ту же сумму, следовательно, имеем арифметическую прогрессию. Итак, определяем, что известно: в 7-й день акция стоила 777 рублей, это а₇=777; в 12-й день – 852 рубля, это а₁₂=852. Известно, что акции дорожали 25 дней, а найти надо стоимость акции в последний, т.е. в 25-ый день, значит, будем искать а₂₅.

1 способ:

В данной арифметической прогрессии нет первого члена, не идет речь про сумму, поэтому воспользуемся формулой а_n=a_k+d(n – k), где n>k. Числа n и k – это порядковые номера. Составим формулу для наших данных и подставим в неё значения: а₁₂=а₇+d(12-7); 852=777+d(12 – 7). Упростим выражение и найдем разность d, 852–777= d(12 – 7); 75= d∙5; отсюда d=75:5=15. Итак, мы нашли, что акции ежедневно дорожали на 15 рублей.

Теперь, зная число d, мы можем найти а₂₅ через, например, а₁₂, используя всё ту же формулу. Получаем: а₂₅=а₁₂+d(25-12); а₂₅=852+15(25-12)=852+15∙13= 852+195=1047. Значит, 1047 рублей стоила акция в последний день.

2 способ:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

В условии задачи встречаются слова, что норма увеличивалась на одно и то же число. И это значит, что мы имеем арифметическую прогрессию, в которой а₁=6, так как в первый день перевезли 6 тонн. Далее, известно, что вся работа была выполнена за 11 дней, значит число n=11. Так как масса всего щебня равна 176, то это число является суммой нашей прогрессии, т.е. S₁₁=176. Требуется найти, сколько тонн было перевезено в последний день, а он – 11, значит, найти надо а₁₁.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Из содержания данной задачи видно, что время процедуры увеличивалось с каждым днем на одно и то же количество времени – на 15 минут, следовательно, это арифметическая прогрессия. Так как в первый день курс был 15 минут, то а₁=15; так как время ежедневно увеличивалось на 15 минут, то значит разность d=15; зная, что продолжительность процедуры должна достигнуть 1 ч 15 мин, т.е. достигнуть 75 минут (1 час=60 мин, плюс 15 минут), то это число 75 и будет являться n членом арифметической прогрессии. Требуется найти, в какой по счету день продолжительность процедуры достигнет этих 75 минут, т.е. найдем число n.

Теперь берем формулу n члена арифметической прогрессии а_n=a₁+d(n – 1) и подставляем в неё наши данные: 75=15+15(n – 1); упростим данное выражение: 75-15=15(n – 1); 60=15(n – 1); разделим на 15 обе части: 4=n – 1; найдем отсюда, что n=5. Таким образом, на пятый день продолжительность процедуры достигнет 75 минут.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Анализируя содержание задачи, мы видим, что улитка проползала ежедневно на одно и то же расстояние меньше, чем в предыдущий день. А это значит, что имеем арифметическую прогрессию. По условию определяем данные: так как в первый и последний дни она проползла 7,5 м, то имеем, что а₁+а_n=7,5. Так как расстояние между деревьями равно 60 м, то имеем сумму n первых членов прогрессии, т.е. S_n=60. Так как найти надо количество дней, которое она потратила на весь путь, то искомым числом будет число n.

Зная формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

При анализе содержания задачи мы видим, что каждую минуту количество осадка увеличивается на одно и то же число, на 0,2 г. А это значит, что имеем арифметическую прогрессию, в которой первый член равен 0,2, так как по условию в первую минуту образовалось 0,2 г осадка. Разность арифметической прогрессии равна также 0,2, так как каждую минуту на это количество увеличивается количество осадков. Найти нужно седьмой член последовательности.

Итак, имеем а₁=0,2; d=0,2. Ищем а₇. По определению n-ого члена арифметической прогрессии имеем формулу а_n=a₁+d(n – 1). Подставим в нее наши данные: а₇=a₁+d(7 – 1)=0,2+0,2·6=1,4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Источник

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называют числовую последовательность, каждый следующий член которой получается из предыдущего прибавлением к нему постоянного числа. Это число называют разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой \(d\).

Например, последовательность \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)… является арифметической прогрессией, потому что каждый следующий элемент отличается от предыдущего на три (может быть получен из предыдущего прибавлением тройки):

В этой прогрессии разность \(d\) положительна (равна \(3\)), и поэтому каждый следующий член больше предыдущего. Такие прогрессии называются возрастающими.

Однако \(d\) может быть и отрицательным числом. Например, в арифметической прогрессии \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… разность прогрессии \(d\) равна минус шести.

И в этом случае каждый следующий элемент будет меньше, чем предыдущий. Эти прогрессии называются убывающими.

Обозначение арифметической прогрессии

Прогрессию обозначают маленькой латинской буквой.

Числа, образующие прогрессию, называют ее членами (или элементами).

Их обозначают той же буквой что и арифметическую прогрессию, но с числовым индексом, равным номеру элемента по порядку.

Например, арифметическая прогрессия \(a_n = \left\< 2; 5; 8; 11; 14…\right\>\) состоит из элементов \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) и так далее.

Иными словами, для прогрессии \(a_n = \left\<2; 5; 8; 11; 14…\right\>\)

порядковый номер элемента	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
обозначение элемента	\(a_1\)	\(a_2\)	\(a_3\)	\(a_4\)	\(a_5\)
значение элемента	\(2\)	\(5\)	\(8\)	\(11\)	\(14\)

Решение задач на арифметическую прогрессию

В принципе, изложенной выше информации уже достаточно, чтобы решать практически любую задачу на арифметическую прогрессию (в том числе из тех, что предлагают на ОГЭ).

Пример (ОГЭ). Арифметическая прогрессия задана условиями \(b_1=7; d=4\). Найдите \(b_5\).
Решение:

В этой задаче нам дано начало цепочки (первый элемент) и шаг (разность). Зная их, мы легко можем восстановить прогрессию до любого нужного нам члена (в нашем случае – пятого).

Вот и все. Нужное нам значение найдено.

Пример (ОГЭ). Даны первые три члена арифметической прогрессии: \(62; 49; 36…\) Найдите значение первого отрицательного члена этой прогрессии..
Решение:

Нам даны первые элементы последовательности и известно, что она – арифметическая прогрессия. То есть, каждый элемент отличается от соседнего на одно и то же число. Узнаем на какое, вычтя из следующего элемента предыдущий: \(d=49-62=-13\).

Теперь мы можем восстановить нашу прогрессию до нужного нам (первого отрицательного) элемента.

Готово. Можно писать ответ.

Пример (ОГЭ). Даны несколько идущих подряд элементов арифметической прогрессии: \(…5; x; 10; 12,5. \) Найдите значение элемента, обозначенного буквой \(x\).
Решение:

Чтоб найти \(x\), нам нужно знать на сколько следующий элемент отличается от предыдущего, иначе говоря – разность прогрессии. Найдем ее из двух известных соседних элементов: \(d=12,5-10=2,5\).

А сейчас без проблем находим искомое: \(x=5+2,5=7,5\).

Готово. Можно писать ответ.

Пример (ОГЭ). Арифметическая прогрессия задана следующими условиями: \(a_1=-11\); \(a_=a_n+5\) Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.
Решение:

Нам нужно найти сумму первых шести членов прогрессии. Но мы не знаем их значений, нам дан только первый элемент. Поэтому сначала вычисляем значения по очереди, используя данное нам рекуррентное соотношение :

Искомая сумма найдена.

Пример (ОГЭ).В арифметической прогрессии \(a_<12>=23\); \(a_<16>=51\). Найдите разность этой прогрессии.
Решение:

Мы знаем \(12\)-ый и \(16\)-ый элементы – и больше ничего. Однако этого достаточно для того, чтобы найти разность. Нужно просто посмотреть на схему слева и понять, что мы можем получить \(16\)-ый элемент из \(12\)-го, «сделав 4 шага», то есть четыре раза прибавив разность прогрессии. Иными словами: \(a_<12>+d+d+d+d=a_<16>\).

Подставляем известные величины.

Вычисляем правую часть…

Важные формулы арифметической прогрессии

Как видите, многие задачи по арифметической прогрессии можно решать, просто поняв главное – то, что арифметическая прогрессия есть цепочка чисел, и каждый следующий элемент в этой цепочке получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа (разности прогрессии).

Однако порой встречаются ситуации, когда решать «в лоб» весьма неудобно. Например, представьте, что в самом первом примере нам нужно найти не пятый элемент \(b_5\), а триста восемьдесят шестой \(b_<386>\). Это что же, нам \(385\) раз прибавлять четверку? Или представьте, что в предпоследнем примере надо найти сумму первых семидесяти трех элементов. Считать замучаешься…

Поэтому в таких случаях «в лоб» не решают, а используют специальные формулы, выведенные для арифметической прогрессии. И главные из них это формула энного члена прогрессии и формула суммы \(n\) первых членов.

Формула \(n\)-го члена: \(a_n=a_1+(n-1)d\), где \(a_1\) – первый член прогрессии;
\(n\) – номер искомого элемента;
\(d\) – разность прогрессии;
\(a_n\) – член прогрессии с номером \(n\).

Эта формула позволяет нам быстро найти хоть трехсотый, хоть миллионный элемент, зная только первый и разность прогрессии.

Пример. Арифметическая прогрессия задана условиями: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Найдите \(b_<246>\).
Решение:

Больше двухсот раз прибавлять \(8,2\) к \(-159\) – перспектива не самая радужная. Лучше воспользуемся формулой, подставив вместо \(n\) номер искомого элемента.

Можно писать ответ.

Формула суммы n первых членов: \(S_n=\frac <2>\cdot n\), где

\(S_n\) – искомая сумма \(n\) первых элементов;
\(a_1\) – первый суммируемый член;
\(a_n\) – последний суммируемый член;
\(n\) – количество элементов в сумме.

Пример (ОГЭ).Арифметическая прогрессия задана условиями \(a_n=3,4n-0,6\). Найдите сумму первых \(25\) членов этой прогрессии.
Решение:

Чтобы вычислить сумму первых двадцати пяти элементов, нам нужно знать значение первого и двадцать пятого члена.
Наша прогрессия задана формулой энного члена в зависимости от его номера (подробнее смотри здесь ). Давайте вычислим первый элемент, подставив вместо \(n\) единицу.

Теперь найдем двадцать пятый член, подставив вместо \(n\) двадцать пять.

Ну, а сейчас без проблем вычисляем искомую сумму.

Для суммы \(n\) первых членов можно получить еще одну формулу: нужно просто в \(S_<25>=\) \(\frac><2>\) \(\cdot 25\) вместо \(a_n\) подставить формулу для него \(a_n=a_1+(n-1)d\). Получим:

Формула суммы n первых членов: \(S_n=\) \(\frac<2a_1+(n-1)d><2>\) \(\cdot n\), где

\(S_n\) – искомая сумма \(n\) первых элементов;
\(a_1\) – первый суммируемый член;
\(d\) – разность прогрессии;
\(n\) – количество элементов в сумме.

Для решения задачи воспользуемся последней формулой. Первый элемент известен, нужно найти только разность прогрессии \(d\). Вычисляем ее как разность двух соседних элементов.

Теперь можно посчитать сумму \(33\)-ех элементов.

Готово. Быстро и просто, почти как Доширак. Но гораздо менее вредно.

Более сложные задачи на арифметическую прогрессию

Теперь у вас есть вся необходимая информация для решения практически любой задачи на арифметическую прогрессию. Завершим тему рассмотрением задач, в которых надо не просто применять формулы, но и немного думать (в математике это бывает полезно ☺)

Пример (ОГЭ).Найдите сумму всех отрицательных членов прогрессии: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Решение:

Задача очень похожа на предыдущую. Начинаем решать также: сначала найдем \(d\).

Теперь бы подставить \(d\) в формулу для суммы… и вот тут всплывает маленький нюанс – мы не знаем \(n\). Иначе говоря, не знаем сколько членов нужно будет сложить. Как это выяснить? Давайте думать. Мы прекратим складывать элементы тогда, когда дойдем до первого положительного элемента. То есть, нужно узнать номер этого элемента. Как? Запишем формулу вычисления любого элемента арифметической прогрессии: \(a_n=a_1+(n-1)d\) для нашего случая.

Нам нужно, чтоб \(a_n\) стал больше нуля. Выясним, при каком \(n\) это произойдет.

Делим обе части неравенства на \(0,3\).

Переносим минус единицу, не забывая менять знаки

…и выясняется, что первый положительный элемент будет иметь номер \(66\). Соответственно, последний отрицательный имеет \(n=65\). На всякий случай, проверим это.

Таким образом, нам нужно сложить первые \(65\) элементов.

Пример (ОГЭ).Арифметическая прогрессия задана условиями: \(a_1=-33\); \(a_=a_n+4\). Найдите сумму от \(26\)-го до \(42\) элемента включительно.
Решение:

Для нашей прогрессии \(a_1=-33\), а разность \(d=4\) (ведь именно четверку мы добавляем к предыдущему элементу, чтоб найти следующий). Зная это, найдем сумму первых \(42\)-ух элементов.

Теперь сумму первых \(25\)-ти элементов.

Ну и наконец, вычисляем ответ.

Источник