Sin что это такое

Тригонометрия простыми словами

Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии «на пальцах».

Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).

Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA’) равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.

Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC’D’, построенных подобно исходному треугольнику OAB.

Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.

Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.

Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.

Значения тригонометрических функций
для первой четверти круга (0° – 90°)

Принцип повтора знаков тригонометрических функций

Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону.

В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ.

Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно.

Тригонометрический круг

Углы в радианах

Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.

Источник

Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Угол поворота

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Синус (sin) угла поворота

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Основные функции тригонометрии

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Источник

Что такое синус

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о том, что такие СИНУС.

Наверняка многие знают, что это понятие относится к математике. Все мы учились в школе и проходили тригонометрию.

С понятиями СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС и КОТАНГЕНС школьники знакомятся в 8 классе.

И сейчас без этих знаний не обойтись на ЕГЭ. И задачки по тригонометрии обязательно входят в программу тестов единого государственного экзамена.

Так что эта статья будет в первую очередь полезна старшеклассникам. А читателям более старшего возраста будет полезно лишний раз освежить давно забытые знания.

Что такое тригонометрия

Но давайте начнем совсем с азов. Раз уж мы сказали, что СИНУС – это некая тригонометрическая функция, давайте расскажем и что такое тригонометрия.

Тригонометрия – это раздел математики, который был основан еще в Древней Греции. Само слово состоит из двух половин «τρίγωνον» и «μετρέω», что можно дословно перевести как «изучение треугольников».

Впервые нечто похожее на тригонометрические функции появилось в Древней Греции. Во всяком случае, их можно отследить по трудам Евклида и Архимеда, то есть в III веке до нашей эры.

Хотя ученые не исключают, что похожими вычислениями пользовались и при строительстве Египетских пирамид. А это уже 2-2,5 тысячи лет до нашей эры.

И опять же, пирамиды ведь имеют треугольную форму (в плоскости). И тригонометрия связана напрямую с треугольниками. Возможно совпадение, а возможно и нет.

Правда, в тригонометрии рассматривают конкретные треугольники – прямоугольные. Напомним, это такие фигуры, у которых две стороны из трех пересекаются друг с другом под углом 90 градусов.

Выглядит такой треугольник вот так:

У такого треугольника стороны имеют определенные названия:

КАТЕТЫ – это стороны, которые пересекаются под прямым углом.

В нашем случае это стороны АВ и ВС. Это название также имеет древнегреческие корни. Так, слово «káthetos» переводится как «перпендикуляр, опущенный, ответственный».

ГИПОТЕНУЗА – сторона, которая идет под наклоном и соединяет между собой два катета.

В нашем случае это отрезок АС. Слово также родом из Древней Греции, «ὑποτείνουσα» означает «натянутая». И это очень хорошо характеризует этот отрезок, ведь он действительно выглядит как натянутая струна между двух опор. И даже если перевернуть треугольник, это ощущение не изменится.

А вот теперь мы подобрались к самому главному, определению СИНУСА. Это величина не существует сама по себе. Она имеет отношение к какому-то углу треугольника. А конкретно к углам α (альфа) и β (бета), которые наглядно показаны на следующем рисунке.

А вот теперь долгожданное определение:

СИНУС угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Чтобы было понятно, о чем речь, взгляните еще раз на наш рисунок прямоугольного треугольника. В данном случае, противолежащим катетом к углу α будет сторона ВС. А противолежащим катетом к углу β будет сторона АС.

Соответственно, катет ВС для угла α будет прилежащим. И точно таким же будет катет ВС для угла β.

Конкретные формулы синусов будут такими:

Значения синусов

Чаще всего школьники имеют дело с определенными углами. Например, 30, 45, 60, 90 градусов и так далее. И чтобы не высчитывать каждый раз значение тригонометрических функций через стороны треугольника, есть уже готовые таблицы:

Вместо заключения

СИНУС – это не единственная тригонометрическая функция, которую проходят в школе. Есть еще и другие, и все они также связаны с прямоугольным треугольником.

А называются они вот так:

Вот и все, что мы хотели рассказать о тригонометрической функции СИНУС.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (3)

Вот я вроде школу давно окончил, а вот все равно помню все. Потому что учили нас на совесть, а не спустя рукава. Вот скажите мне, а где в школах есть такое, что если ученик не понял, то учитель был готов потратить на него субботу и воскресенье чтобы объяснить дополнительно? Именно поэтому даже ярые троешники что-то знали.

Сейчас если ты в школе не понял, то все. Я дочери сам объяснял все по синусам, хотя и не учитель вообще. И кстати в современных учебниках материал очень плохо подан. Качаю старые советские, там куда понятнее. У вас кстати в статье хорошо рассказано. Я кстати в свое время так и запоминал, что это противоположный катет к гипотенузе.

Вспомнить никогда не будет лишним. Согласна с вами, Владимир, учили нам на совесть, спасибо нашим учителям.

«Соответственно, катет ВС для угла α будет прилежащим.»

Ошибка, для угла α прилежащим будет катет AC!

Источник

Синус, косинус, тангенс и котангенс (ЕГЭ 2022)

Понятия синуса, косинуса, тангенса, котангенса неразрывно связаны с понятием угла.

Не так страшен черт, как его малюют!

Чтобы хорошо разобраться в этих понятиях (нет, не в чёрте! в тригонометрии 🙂 ), начнём с самого начала.

Синус, косинус, тангенс, котангенс — коротко о главном.

Синус угла — это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе

Косинус угла — это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе

Тангенс угла — это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому)

Котангенс угла — это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

Понятие угла: радиан, градус

Давай для начала разберёмся в понятии угла.

Посмотрим на рисунок.

Вектор \( AB\) «повернулся» относительно точки \( A\) на некую величину. Так вот мерой этого поворота относительно начального положения и будет выступать угол \( \alpha \).

Что же ещё необходимо знать о понятии угла? Ну, конечно же, единицы измерения угла!

Угол, как в геометрии, так и в тригонометрии, может измеряться в градусах и радианах.

Углом в \( 1<>^\circ \) (один градус) называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, равную \( \frac<1><360>\) части окружности.

Таким образом, вся окружность состоит из \( 360\) «кусочков» круговых дуг. То есть угол, описываемый окружностью, равен \( 360<>^\circ \).

То есть на рисунке выше изображён угол \( \beta \), равный \( 50<>^\circ \), то есть этот угол опирается на круговую дугу размером \( \frac<50><360>\) длины окружности.

Углом в \( 1\) радиан называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности.

Ну что, разобрался? Если нет, то давай разбираться по рисунку.

Итак, на рисунке изображён угол \( \gamma \), равный \( 1\) радиану.

То есть этот угол опирается на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности (длина \( AB\) равна длине \( BB’\) или радиус \( r\) равен длине дуги \( l\)).

Таким образом, длина дуги вычисляется по формуле:

\( l=\theta \cdot r\), где \( \theta \) — центральный угол в радианах.

Ну что, можешь, зная это, ответить, сколько радиан содержит угол, описываемый окружностью?

Да, для этого надо вспомнить формулу длины окружности. Вот она:

Ну вот, теперь соотнесём эти две формулы и получим, что угол, описываемый окружностью равен \( 2\pi \).

То есть, соотнеся величину в градусах и радианах, получаем, что \( 2\pi =360<>^\circ \).

Соответственно, \( \pi =180<>^\circ \).

Как можно заметить, в отличие от «градусов», слово «радиан» опускается, так как единица измерения обычно ясна из контекста.

А сколько радиан составляют \( 60<>^\circ \)?

Уловил? Тогда вперёд закреплять:

Тогда смотри ответы:

Cинус, косинус, тангенс, котангенс угла в прямоугольном треугольнике

Итак, с понятием угла разобрались. А что же всё-таки такое синус, косинус, тангенс, котангенс угла?

Давай разбираться. Для этого нам поможет прямоугольный треугольник.

Как называются стороны прямоугольного треугольника?

Всё верно, гипотенуза и катеты.

Гипотенуза — это сторона, которая лежит напротив прямого угла (в нашем примере это сторона \( AC\))

Катеты – это две оставшиеся стороны \( AB\) и \( BC\) (те, что прилегают к прямому углу).

Причём, если рассматривать катеты относительно угла \( \angle BAC\), то катет \( AB\) – это прилежащий катет, а катет \( BC\) — противолежащий.

Итак, теперь ответим на вопрос: что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла?

Синус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике \( \sin \beta =\frac\).

Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике \( \cos \beta =\frac\).

Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).

В нашем треугольнике \( tg\beta =\frac\).

Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

В нашем треугольнике \( ctg\beta =\frac\).

Эти определения необходимо запомнить!

Чтобы было проще запомнить какой катет на что делить, необходимо чётко осознать, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а гипотенуза появляется только в синусе и косинусе.

А дальше можно придумать цепочку ассоциаций. К примеру, вот такую:

В первую очередь, необходимо запомнить, что синус, косинус, тангенс и котангенс как отношения сторон треугольника не зависят от длин этих сторон (при одном угле).

Тогда убедись, посмотрев на рисунок:

Рассмотрим, к примеру, косинус угла \( \beta \).

По определению, из треугольника \( ABC\): \( \cos \beta =\frac=\frac<4><6>=\frac<2><3>\).

Но ведь мы можем вычислить косинус угла \( \beta \) и из треугольника \( AHI\): \( \cos \beta =\frac=\frac<6><9>=\frac<2><3>\).

Видишь, длины у сторон разные, а значение косинуса одного угла одно и то же. Таким образом, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят исключительно от величины угла.

Если разобрался в определениях, то вперёд закреплять их!

Тогда пробуй сам: посчитай то же самое для угла \( \beta \).

Ответы: \( \sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\frac<4><3>\).

Единичная (тригонометрическая) окружность

Разбираясь в понятиях градуса и радиана, мы рассматривали окружность с радиусом, равным \( 1\).

Такая окружность называется единичной. Еще ее называют тригонометрической. Это одно и тоже.

Эта окружность — универсальная шпаргалка для решения уравнений и даже неравенств, если уметь ей пользоваться!

У нас есть целая статья, посвященная ей, которая так и называется «Тригонометрическая (единичная) окружность».

Здесь мы тоже ее разберем довольно подробно.

Как можно заметить, данная окружность построена в декартовой системе координат.

Радиус окружности равен единице.

При этом центр окружности лежит в начале координат, начальное положение радиус-вектора зафиксировано вдоль положительного направления оси \( x\) (в нашем примере, это радиус \( AB\)).

Каждой точке окружности соответствуют два числа: координата по оси \( x\) и координата по оси \( y\).

А что это за числа-координаты? И вообще, какое отношение они имеют к рассматриваемой теме?

Для этого надо вспомнить про рассмотренный прямоугольный треугольник.

На рисунке, приведённом выше, можно заметить целых два прямоугольных треугольника.

Рассмотрим треугольник \( ACG\). Он прямоугольный, так как \( CG\) является перпендикуляром к оси \( x\).

Чему равен \( \cos \ \alpha \) из треугольника \( ACG\)?

Всё верно \( \cos \ \alpha =\frac\).

Кроме того, нам ведь известно, что \( AC\) – это радиус единичной окружности, а значит, \( AC=1\).

Подставим это значение в нашу формулу для косинуса. Вот что получается:

А чему равен \( \sin \ \alpha \) из треугольника \( ACG\)?

Ну конечно, \( \sin \alpha =\frac\)!

Подставим значение радиуса \( AC\) в эту формулу и получим:

Так, а можешь сказать, какие координаты имеет точка \( C\), принадлежащая окружности? Ну что, никак?

А если сообразить, что \( \cos \ \alpha \) и \( \sin \alpha \) — это просто числа?

Какой координате соответствует \( \cos \alpha \)?

Ну, конечно, координате \( x\)!

А какой координате соответствует \( \sin \alpha \)?

Всё верно, координате \( y\)!

Таким образом, точка \( C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha )\).

А чему тогда равны \( tg \alpha \) и \( ctg \alpha \)?

Всё верно, воспользуемся соответствующими определениями тангенса и котангенса и получим, что \( tg \alpha =\frac<\sin \alpha ><\cos \alpha >=\frac\), а \( ctg \alpha =\frac<\cos \alpha ><\sin \alpha >=\frac\).

А что, если угол будет больше \( 90<>^\circ =\frac<\pi ><2>\)?

Вот, к примеру, как на этом рисунке:

Что же изменилось в данном примере?

Давай разбираться. Для этого опять обратимся к прямоугольному треугольнику.

Всё верно, придерживаемся соответствующих определений тригонометрических функций:

Ну вот, как видишь, значение синуса угла всё так же соответствует координате \( y\); значение косинуса угла – координате \( x\); а значения тангенса и котангенса соответствующим соотношениям.

Таким образом, эти соотношения применимы к любым поворотам радиус-вектора.

Уже упоминалось, что начальное положение радиус-вектора – вдоль положительного направления оси \( x\).

До сих пор мы вращали этот вектор против часовой стрелки, а что будет, если повернуть его по часовой стрелке?

Ничего экстраординарного, получится так же угол определённой величины, но только он будет отрицательным.

Таким образом, при вращении радиус-вектора против часовой стрелки получаются положительные углы, а при вращении по часовой стрелке – отрицательные.

Итак, мы знаем, что целый оборот радиус-вектора по окружности составляет \( 360<>^\circ \) или \( 2\pi \).

В первом случае, \( 390<>^\circ =360<>^\circ +30<>^\circ \), таким образом, радиус-вектор совершит один полный оборот и остановится в положении \( 30<>^\circ \) или \( \frac<\pi ><6>\).

Таким образом, из приведённых примеров можем сделать вывод, что углы, отличающиеся на \( 360<>^\circ \cdot m\) или \( 2\pi \cdot m\) (где \( m\) – любое целое число), соответствуют одному и тому же положению радиус-вектора.

Ниже на рисунке изображён угол \( \beta =-60<>^\circ \).

Этот список можно продолжить до бесконечности.

Все эти углы можно записать общей формулой \( \beta +360<>^\circ \cdot m\) или \( \beta +2\pi \cdot m\) (где \( m\) – любое целое число)

Теперь, зная определения основных тригонометрических функций и используя единичную окружность, попробуй ответить, чему равны значения:

Вот тебе в помощь единичная окружность:

Возникли трудности? Тогда давай разбираться.

Отсюда мы определяем координаты точек, соответствующих определённым мерам угла.

Ну что же, начнём по порядку: углу в \( 90<>^\circ =\frac<\pi ><2>\) соответствует точка с координатами \( \left( 0;1 \right)\), следовательно:

\( \text\ 90<>^\circ =\frac=\frac<1><0>\Rightarrow \text\ 90<>^\circ \) — не существует;

Зная это, легко определить значения тригонометрических функций в соответствующих точках. Сначала попробуй сам, а потом сверяйся с ответами.

Ответы:

\( \displaystyle \sin \ 180<>^\circ =\sin \ \pi =0\) \( \displaystyle \cos \ 180<>^\circ =\cos \ \pi =-1\) \( \text\ 180<>^\circ =\text\ \pi =\frac<0><-1>=0\)

\( \text\ 180<>^\circ =\text\ \pi =\frac<-1><0>\Rightarrow \text\ \pi \) — не существует

\( \sin \ 270<>^\circ =-1\) \( \cos \ 270<>^\circ =0\)

\( \text\ 270<>^\circ =\frac<-1><0>\Rightarrow \text\ 270<>^\circ \) — не существует

\( \text\ 270<>^\circ =\frac<0><-1>=0\) \( \sin \ 360<>^\circ =0\) \( \cos \ 360<>^\circ =1\) \( \text\ 360<>^\circ =\frac<0><1>=0\)

\( \text\ 360<>^\circ =\frac<1><0>\Rightarrow \text\ 2\pi \) — не существует

\( \sin \ 450<>^\circ =\sin \ \left( 360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\sin \ 90<>^\circ =1\) \( \cos \ 450<>^\circ =\cos \ \left( 360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\cos \ 90<>^\circ =0\)

\( \text\ 450<>^\circ =\text\ \left( 360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\text\ 90<>^\circ =\frac<1><0>\Rightarrow \text\ 450<>^\circ \) — не существует

\( \text\ 450<>^\circ =\text\left( 360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\text\ 90<>^\circ =\frac<0><1>=0\).

Таким образом, мы можем составить следующую табличку:

Нет необходимости помнить все эти значения!

Достаточно помнить соответствие координат точек на единичной окружности и значений тригонометрических функций:

А вот значения тригонометрических функций углов в \( 30<>^\circ =\frac<\pi ><6>,\ 45<>^\circ =\frac<\pi ><4>\) и \( 30<>^\circ =\frac<\pi ><6>,\ 45<>^\circ =\frac<\pi ><4>\), приведённых ниже в таблице, необходимо запомнить:

Не надо пугаться, сейчас покажем один из примеров довольно простого запоминания соответствующих значений:

Источник