Smith chart что это

Smith chart что это

Электрические параметры электрических компонентов и схем изменяют входные сигналы по величине и фазе. Любой синусоидальный сигнал, поступающий на вход, появится и на выходе устройства на той же самой частоте. Новых сигналов при этом не создается. Как активные, так и пассивные нелинейные устройства могут сместить входной сигнал по частоте или внести дополнительные частотные компоненты, например, гармоники или нежелательные комбинационные составляющие. Мощные входные сигналы могут изменить характер работы линейных устройств, приводя к компрессии или насыщению и вызывая нелинейный эффект.

Для того чтобы успешно передавать или принимать радиочастотную мощность, передающие устройства, такие как тракты передачи, антенны или усилители, должны отличаться хорошим согласованием сопротивления с источником сигнала. Рассогласование сопротивления происходит, когда реальные и мнимые части входного и выходного импеданса не идеально согласованы между двумя связанными устройствами.

В терминологии векторного анализа цепей падающая волна обычно обозначается как R. Отраженная волна измеряется на порте A, а переданная волна – на порте B. Имея информацию об амплитуде и фазе этих волн, оказывается возможным измерить характеристики отражения и передачи тестируемого устройства.

Относительные измерения позволяют проводить исследования отражения и передачи, которые не зависят от абсолютной мощности или от изменений в мощности источника по отношению к частоте. Относительное отражение часто представляется в виде A/R, а относительная передача как B/R.

Обратные потери ( return loss или RL) – это способ выражения коэффициента отражения в логарифмическом виде (децибелах). Обратные потери – это количество децибелов, на которое уровень отраженного сигнала ниже уровня падающего сигнала по мощности P или напряжению V (чем больше величина return loss, тем лучше согласование). Обратные потери всегда выражаются положительным числом и изменяются в пределах от бесконечности для идеально согласованного тракта передачи до 0 дБ при ”коротком замыкании” или ”холостом ходе”.

Другой общий термин для оценки отражения – это коэффициент стоячей волны по напряжению или КСВ (VSWR), а также его обратная величина коэффициент бегущей волны КБВ. Он определяется как отношение максимума огибающей сигнала к ее минимуму. Через ρ он выражается как (1+ρ)/(1-ρ). Диапазон значений КСВ: от 1 (отражения нет) до бесконечности ( полное отражение ). Коэффициент передачи определяется как отношение переданного напряжения к падающему напряжению. Если абсолютное значение переданного напряжения больше, чем абсолютное значение падающего напряжения, то в тестируемом устройстве мы имеем усиление. Если абсолютное значение переданного напряжения меньше, чем абсолютное значение падающего напряжения, то в тестируемом устройстве мы имеем затухание либо вносимые потери.

Поскольку на высоких частотах трудно измерить абсолютные значения напряжения и тока, обычно вместо них измеряются S-параметры. Эти параметры соотносятся с уже знакомыми нам понятиями, такими, как усиление, потери и коэффициент отражения. Их относительно легко измерить, кроме того, они не требуют подключать к тестируемому устройству дополнительные, нежелательные нагрузки. Измеренные S-параметры нескольких устройств в системе можно сложить для того, чтобы понять, как будет работать вся система в целом. Количество S-параметров равно квадрату количества портов. Например, двух портовое устройство имеет четыре S-параметра.

Диаграмма Смита построена основываясь на стандартной формуле коэффициента отражения (в зависимости от сопротивлений источника и нагрузки): Набор окружностей на диаграмме получен по значениям этой формулы, и центры окружностей находятся в разных местах на графике или за его пределами, и каждая из которых представляет собой либо постоянное активное сопротивление, либо постоянное реактивное сопротивление.

После простого преобразования эту формулу можно представить как

Напомню, что Z O является комплексным значением импеданса и может быть представлено в виде R + jX. Так как коэффициент отражения (который обычно представлен в полярной форме) может быть также представлен и в прямоугольных координатах (для этого мы будем использовать A + jB), приведенная выше формула может быть преобразована в следующую:

Теперь посмотрим, как строится диаграмма Смита. Она состоит из окружностей постоянного активного сопротивления A

и дуг постоянного реактивного сопротивления B.

Ниже вы можете увидеть упрощенное изображение (базовая диаграмма Смита) постоянного активного и реактивного сопротивления вместе.

Как интерпретировать диаграмму Смита? Вот несколько моментов, на которые стоит обратить внимание: Точка в центре имеет чисто активное сопротивление R = Z ;

окружности вокруг центра диаграммы соответствуют сопротивлению для соответствующего постоянного КСВ;

На основе знаний, которые у нас теперь есть, об активном и реактивном сопротивлениях на диаграмме, мы знаем, что каждая точка представляет собой последовательную комбинацию активного и реактивного сопротивлений (R + jX). Перемещение вдоль окружности равного активного сопротивления по часовой стрелке означает увеличение положительного реактивного сопротивления, т.е. введение индуктивности. А перемещение вдоль окружности равного активного сопротивления против часовой стрелки означает уменьшение положительного реактивного сопротивления, т.е. введение емкости. Перемещение вдоль дуги равного реактивного сопротивления против часовой стрелки в верхней полуплоскости и по часовой стрелке в нижней полуплоскости означает увеличение активного сопротивления.

До сих пор мы не упоминали о комплексной проводимости на диаграмме Смита. Если вы не знаете, то комплексная проводимость (адмиттанс) является величиной, обратной комплексному сопротивлению (импедансу), или Y=1/Z Активное и реактивное сопротивления в этом случае соответствуют активной и реактивной проводимостям. На самом деле, построить аналогичную диаграмму для проводимостей удивительно просто – всё, что вам нужно сделать, это отразить диаграмму сопротивлений по горизонтали. Подобное преобразование очень важно, так как теперь у вас есть диаграмма, которая поможет вам при работе с шунтирующими компонентами (включенными между корпусом и линией связи, параллельно источнику и нагрузке), а не только с включенными последовательно. Процесс нанесения проводимости на диаграмму противоположен – при добавлении индуктивности в цепь последовательно необходимо перемещать значение импеданса по часовой стрелке вдоль окружности постоянного активного сопротивления, а при добавлении шунтирующей индуктивности (включенной параллельно) необходимо перемещаться против часовой стрелки вдоль окружности постоянной активной проводимости; аналогично и с конденсаторами, шунтирующий конденсатор перемещает ваши значения по часовой стрелке на диаграмме комплексной проводимости, а конденсатор, включенный последовательно, – против часовой. Сочетание обоих типов диаграмм даст вам то, что называется диаграммой комплексных сопротивления и проводимости (иммитанса), которая становится еще более полезной, чем стандартная диаграмма Смита, хотя она и будет выглядеть более устрашающей для тех, кто не знает, как она была создана.

Согласующие звенья

Согласование импедансов с помощью круговой диаграммы

В качестве варианта решения этого примера подумаем, как можно иным способом попасть из точки 1 в точку 3, расположенную на окружности активного сопротивления 50 Ом.

Согласовать указанную в предыдущем примере нагрузку можно с помощью параллельного разомкнутого шлейфа на основе отрезка линии и четвертьволнового трансформатора.

3 Последовательно в цепь включаем четвертьволновый трансформатор с волновым сопротивлением

Необходимые согласующие цепи выбираются из отмеченных на экране программы (слева внизу) и простым «перетаскиванием мышкой» могут быть помещены в вашу модель согласующей цепи (слева вверху). Сразу автоматически расчитываются необходимые номиналы компонентов (их можно корректировать вручную) и отображается результирующие параметры всех цепей.

Полную информацию об использовании программы можно почерпнуть из видео материалов на странице автора программы.

Источник

Диаграмма Смита

Диаграмма Смита – это один из наиболее полезных графических инструментов для расчета высокочастотных схем. Диаграмма обеспечивает удобный способ визуализации сложных функций, и она продолжает пользоваться популярностью спустя десятилетия после появления ее первой концепции.

С математической точки зрения диаграмма Смита представляет собой четырехмерное представление всех возможных комплексных импедансов относительно координат, определяемых комплексным коэффициентом отражения.

Область определения коэффициента отражения для линии без потерь представляет собой окружность единичного радиуса в комплексной плоскости. Это также является областью диаграммы Смита.

Окружность единичного радиуса в комплексной плоскости

Назначение диаграммы Смита заключается в том, чтобы идентифицировать все возможные импедансы в области существования коэффициента отражения. Для этого мы исходим из общего определения импеданса линии (что в равной степени применимо к импедансу нагрузки при d=0 ).

Чтобы получить универсальные кривые, мы введем понятие нормированного импеданса:

Нормализированный импеданс представлен на диаграмме Смита с использованием семейств кривых, которые идентифицируют нормализированное активное сопротивление r (действительная часть) и нормализованное реактивное сопротивление x (мнимая часть).

\[z_n(d) = \text(z_n) + j \text(z_n) = r + jx\]

Представим коэффициент отражения через его координаты.

\[\Gamma(d) = \text(\Gamma) + j\text(\Gamma)\]

Теперь мы можем записать

Действительная часть дает

Мнимая часть дает

Результат для действительной части показывает, что на комплексной плоскости с координатами ( Re(Γ), Im(Γ) ) все возможные импедансы с заданным нормированным сопротивлением r находятся на окружности с

Так как нормированное сопротивление r изменяется от 0 до ∞, мы получаем семейство окружностей, полностью лежащих в области коэффициента отражения |Γ| ≤ 1

Семейство окружностей активного сопротивления

Результат для мнимой части показывает, что на комплексной плоскости с координатами ( Re(Γ), Im(Γ) ) все возможные импедансы с заданным нормированным реактивным сопротивлением x находятся на окружности с

Так как нормированное реактивное сопротивление x изменяется от –∞ до +∞, мы получаем семейство дуг, лежащих в области коэффициента отражения |Γ| ≤ 1

Семейство дуг реактивного сопротивления

Базовые задачи применения диаграммы Смита для линии без потерь

Задан Z(d) → найти Γ(d)

\[Z(d) = 25 +j100 \; Ом; \quad Z_0 = 50 \; Ом\]

Решение задачи определения Γ(d) по заданному Z(d)

Задан Γ(d) → найти Z(d)

Задан Γ_R и Z_R ↔ найти Γ(d) и Z(d)

ПРИМЕЧАНИЕ: величина коэффициента отражения постоянна вдоль линии передачи без потерь, заканчивающейся нагрузкой, поскольку

\[| \Gamma(d)| = |\Gamma_R \exp(-j2\beta d)| = |\Gamma_R|\]

Поэтому на комплексной плоскости окружность с центром в начале координат и радиусом |Γ_R| представляет все возможные коэффициенты отражения, найденные вдоль линии передачи. Когда окружность постоянной величины коэффициента отражения рисуется на диаграмме Смита, можно определить значение импеданса линии в любом месте.

Графическая пошаговая процедура:

Пример:

\[Z(d) = 25 +j100 \; Ом; \quad Z_0 = 50 \; Ом\]

найти Z(d) и Γ(d) для d = 0,18λ

Решение задачи определения Γ(d) и Z(d) по заданным Γ_R и Z_R

Даны Γ_R и Z_R → найти d_max и d_min

Пример: найти d_max и d_min для

Решение задачи определения d_max и d_min по заданным Γ_R и Z_R Решение задачи определения d_max и d_min по заданным Γ_R и Z_R

Заданы Γ_R и Z_R → найти коэффициент стоячей волны по напряжению (КСВН, VSWR)

Коэффициент стоячей волны по напряжению (КСВН, VSWR) определяется как

Нормированный импеданс на максимальном расстоянии шаблона коэффициента стоячей волны определяется выражением

Графическая пошаговая процедура:

Пример: найти КСВН для

Определение КСВН по диаграмме Смита

Задан Z(d) ↔ найти Y(d)

Примечание: нормированные импеданс и адмитанс определяются как

Помните, что равенство

справедливо только для нормированных импеданса и адмитанса. Реальные значения могут быть получены по формулам:

\[Z \left( d + <\lambda \over 4>\right) = Z_0 \cdot z_n \left( d + <\lambda \over 4>\right) \]

где Y₀=1/Z₀ – характеристическая проводимость линии передачи.

Графическая пошаговая процедура:

Пример: найти Y_R при

\[Z(d) = 25 +j100 \; Ом; \quad (Z_0 = 50 \; Ом) \]

Определение адмитанса по диаграмме Смита

Диаграмма Смита может использоваться для полных проводимостей линии, просто сдвинув точку на место адмитанса. После этого можно перемещаться по диаграмме, читая числовые значения просто как представляющие адмитансы.

Давайте рассмотрим терминологию импеданса-адмитанса:

На диаграмме импеданса правильный коэффициент отражения всегда представлен вектором, соответствующим нормированному импедансу. Диаграммы, специально подготовленные для адмитансов, модифицируются, чтобы обеспечить правильный коэффициент отражения в соответствии с адмитансом.

Диаграмма Смита для работы с комплексными проводимостями (адмитансами)

Поскольку связанные импеданс и адмитанс находятся на противоположных сторонах одной и той же диаграммы Смита, мнимые части всегда имеют разные знаки.

Поэтому положительное (индуктивное) реактивное сопротивление соответствует отрицательной (индуктивной) реактивной проводимости, а отрицательное (емкостное) реактивное сопротивление соответствует положительной (емкостной) реактивной проводимости.

Аналитически нормированные импеданс и адмитанс связаны следующим образом:

Источник

Согласование импедансов и диаграмма Смита

Аннотация: Руководство по согласованию РЧ импедансов с использованием диаграммы Смита. На примерах показано, как отмечать на диаграмме коэффициенты отражения, импедансы и проводимости. В примерах с использованием графических методов разработаны две схемы согласования импедансов на частотах 60 МГц и 900 МГц.

Проверенная временем диаграмма Смита по-прежнему остается основным инструментом для определения полного сопротивления линии передачи.

При практической реализации высокочастотных приложений всегда возникают кошмарные задачи. Во-первых, необходимо согласовать разные импедансы соединенных между собой блоков. Обычно это подключение антенны к малошумящему усилителю (LNA), выхода усилителя мощности (RFOUT) к антенне и выходов LNA/VCO к входам смесителя. Задача согласования требуется для правильной передачи сигнала и мощности от «источника» к «нагрузке».

На высоких радиочастотах паразитные элементы (такие как индуктивность проводов, межслойные емкости и сопротивление проводов) оказывают значительное, но непредсказуемое влияние на согласующую цепь. Выше нескольких десятков мегагерц теоретических расчетов и моделирования часто бывает недостаточно. Для определения правильных окончательных значений необходимо учитывать лабораторные измерения ВЧ сигнала на месте, а также работу по настройке. Вычисленные значения требуются для выбора типа структуры и целевых значений компонентов.

Существует множество способов согласования импедансов, в том числе:

Основная цель этой статьи – рассмотреть конструкцию и предысторию диаграммы Смита, а также обобщить практические способы ее использования. Рассматриваемые темы включают в себя практические примеры, такие как поиск значений компонентов согласующей цепи. Конечно согласование для передачи максимальной мощности – не единственное, что мы можем сделать с помощью диаграмм Смита. Они также могут помочь проектировщику с такими задачами, как оптимизация для достижения наилучших показателей шума, обеспечение влияния добротности и оценка анализа устойчивости.

Рисунок 1 – Понятие импеданса и диаграмма Смита.

Краткое введение

Перед тем, как представить использование диаграммы Смита, было бы неплохо представить краткий обзор явления распространения волн для разводки микросхем в условиях РЧ сигналов (выше 100 МГц). Это может быть справедливо и для непредвиденных обстоятельств, таких как линии RS-485, и для предвиденных: между усилителем мощности и антенной, между LNA и понижающим преобразователем/смесителем и т.д.

Хорошо известно, что для достижения передачи максимальной мощности от источника к нагрузке полное сопротивление источника должно равняться комплексно-сопряженной величине полного сопротивления нагрузки, или:

Для этого условия мощность, передаваемая от источника к нагрузке, максимальна. Кроме эффективной передачи мощности, это условие необходимо, чтобы избежать отражения мощности от нагрузки обратно к источнику. Это особенно верно для высокочастотных приложений, таких как радиочастотные и СВЧ цепи.

Что такое диаграмма Смита

Диаграмма Смита представляет собой круговой график с множеством переплетенных окружностей. При правильном использовании согласование импедансов (с очевидно сложной структурой) может быть выполнено без каких-либо вычислений. Единственное, что требуется, – это считывать значения и следовать им по окружностям.

Диаграмма Смита представляет собой полярный график комплексного коэффициента отражения (обозначаемый символом Γ (гамма)). Математически он определяется как параметр рассеяния от порта 1, или s₁₁.

Диаграмма Смита разрабатывается путем исследования нагрузки, импеданс которой должен быть согласован. Вместо того, чтобы напрямую рассматривать ее импеданс, вы выражаете ее коэффициент отражения Γ_н, который используется, чтобы охарактеризовать нагрузку. Γ_н более полезен при работе с радиочастотами.

Мы знаем, что коэффициент отражения определяется как отношение между отраженной волной напряжения и падающей волной напряжения:

Рисунок 3 – Коэффициент отражения на нагрузке

Количество отраженного сигнала от нагрузки зависит от степени рассогласования между импедансом источника и импедансом нагрузки. Его выражение было определено следующим образом:

Поскольку импедансы являются комплексными числами, коэффициент отражения также будет комплексным числом.

Чтобы уменьшить количество неизвестных параметров, полезно заморозить те, которые часто появляются и являются общими в приложении. Здесь Z₀ (характеристическое сопротивление) часто является постоянным и действительным нормированным значением, например, 50 Ом, 75 Ом, 100 Ом и 600 Ом. Затем мы можем определить нормализованное сопротивление нагрузки следующим образом:

С таким упрощением мы можем переписать формулу коэффициента отражения как:

Здесь мы видим прямую зависимость между импедансом нагрузки и ее коэффициентом отражения. К сожалению, сложный характер этой зависимости практически бесполезен, поэтому мы можем использовать диаграмму Смита как тип графического представления показанного выше уравнения.

Чтобы построить диаграмму, это уравнение необходимо переписать, чтобы извлечь стандартные геометрические фигуры (например, окружности или случайные линии).

Во-первых, уравнение 2.3 переворачивается и дает:

Уравнивая действительные и мнимые части уравнения 2.5, мы получаем два независимых новых соотношения:

Для получения дополнительной информации посмотрите на рисунок 4a.

Рисунок 4а – Окружности постоянного активного сопротивления

Точки, расположенные на окружности, представляют собой все импедансы, характеризующиеся одним и тем же значением действительной части импеданса. Например, окружность r = 1 имеет центр в координатах (0,5, 0) и радиус 0,5. Она включает в себя точку (0, 0), которая является нулевой точкой отражения (нагрузка согласована с характеристическим сопротивлением). Короткое замыкание в качестве нагрузки представляет собой круг с центром в координате (0, 0) и радиусом 1. Для разомкнутой цепи в качестве нагрузки окружность вырождается в одну точку (с центром в (1, 0) и радиусом 0). Это соответствует максимальному коэффициенту отражения, равному 1, при котором вся падающая волна отражается полностью.

При разработке диаграммы Смита следует соблюдать определенные меры предосторожности. Это одни из самых важных:

Возвращаемся к рисованию

Двигаясь дальше, мы используем уравнения с 2.15 по 2.18 для дальнейшего преобразования уравнения 2.7 в другое параметрическое уравнение. Это преобразование приводит к уравнению 2.19.

\[x+x\Gamma^2_r-2x\Gamma_r+x\Gamma^2_i = 2\Gamma^2_i \qquad (2.15)\]

\[1+\Gamma^2_r-2\Gamma_r+\Gamma^2_i = \frac< 2\Gamma^2_i > \qquad (2.16)\]

Для получения дополнительной информации посмотрите на рисунок 4b.

Рисунок 4b – Дуги постоянного реактивного сопротивления

Точки, расположенные на окружности, представляют собой все импедансы, характеризующиеся одним и тем же значением мнимой части импеданса, x. Например, окружность x = 1 имеет центр в координате (1, 1) и радиус 1. Все окружности (с постоянным x) включают в себя точку (1, 0). В отличие от окружностей постоянной действительной части, x может быть положительным или отрицательным. Это объясняет повторяющиеся зеркальные окружности в нижней части комплексной плоскости. Центры всех окружностей расположены на вертикальной оси, пересекающей точку 1.

Получим полное изображение?

Чтобы завершить нашу диаграмму Смита, мы наложим эти два семейства окружностей. Тогда можно увидеть, что все окружности одного семейства будут пересекать все окружности другого семейства. Зная импеданс в виде r + jx, можно определить соответствующий коэффициент отражения. Необходимо только найти точку пересечения двух окружностей, соответствующих значениям r и x.

Справедливо и обратное

Возможна и обратная операция. Зная коэффициент отражения, можно найти две окружности, пересекающиеся в этой точке, и определить соответствующие значения r и х на окружностях. Процедура для этого следующая:

Экстраполирование

Поскольку метод расчета с диаграммой Смита в основном является графическим методом, точность решений напрямую зависит от определений графиков. Вот пример, который может быть представлен диаграммой Смита для радиочастотных приложений:

Пример: рассмотрим характеристическое сопротивление оконечной нагрузки 50 Ом и следующие сопротивления:

Затем выполним нормализацию и отметим эти точки на диаграмме (рисунок 5).

Теперь можно напрямую определить коэффициент отражения Γ по диаграмме Смита на рисунке 5. После того, как точка импеданса отложена (точка пересечения окружности постоянного сопротивления и дуги постоянного реактивного сопротивления), просто отложите прямоугольную проекцию координат на горизонтальную и вертикальную оси. Это даст Γ_r, действительную часть коэффициента отражения, и Γ_i, мнимую часть коэффициента отражения (рисунок 6).

Также можно взять восемь случаев, представленных в примере, и определить соответствующие им Γ непосредственно по диаграмме Смита, как показано на рисунке 6. Значения будут следующими:

Работа с полной проводимостью (адмиттансом)

Диаграмма Смита построена с учетом импеданса (активного и реактивного сопротивлений). После того, как диаграмма Смита построена, ее можно использовать для анализа параметров как в последовательном, так и в параллельном мире. Добавить элементы последовательно просто. Можно добавлять новые элементы и определять их влияние, просто перемещаясь по окружностям к их соответствующим значениям. Однако параллельное включение элементов – другое дело. Это требует учета дополнительных параметров. Часто с параллельными элементами проще работать в мире проводимостей.

Мы знаем, что по определению Y = 1/Z, а Z = 1/Y. Проводимость выражается сименсах, или См. И, поскольку Z является комплексным значением, Y также должна быть комплексным значением.

\[Y = G + jB \qquad (2.20)\]

Здесь важно проявлять осторожность. Следуя логическому предположению, мы можем заключить, что G = 1/R, а B = 1/X. Однако это не так. Если использовать это предположение, результаты будут неверными.

При работе с полной проводимостью первое, что мы должны сделать, это нормализовать y = Y/Y₀. Это приводит к y = g + jb. Итак, что происходит с коэффициентом отражения? Проработав следующее выражение:

Если мы знаем z, мы можем поменять местами знаки Γ и найти точку, расположенную на том же расстоянии от (0, 0), но в противоположном направлении. Тот же результат может быть получен путем поворота на угол 180° вокруг центральной точки (рисунок 7).

Рисунок 7 – Результаты поворота на 180°

Конечно, хотя Z и 1/Y действительно представляют один и тот же компонент, новая точка отображается как другой импеданс (новое значение имеет другую точку на диаграмме Смита и другое значение коэффициента отражения и т.д.). Это происходит потому, что этот график представляет собой график импеданса. Но новая точка – это, по сути, адмиттанс (полная проводимость). Следовательно, значение, указанное на диаграмме, следует читать в сименсах.

Хотя этого метода достаточно для преобразования, он не работает для вычисления схемы при с параллельно включенными элементами.

Диаграмма Смита для проводимостей

В предыдущем разделе мы видели, что каждую точку на диаграмме Смита импеданса можно преобразовать в ее аналог проводимости, повернув на 180° вокруг начала координат комплексной плоскости Γ. Таким образом, диаграмму Смита полной проводимости можно получить, повернув всю диаграмму Смита полного сопротивления на 180°. Это очень удобно, так как избавляет от необходимости строить еще одну диаграмму. Точка пересечения всех окружностей (окружностей для постоянной действительной части полной проводимости и окружностей для постоянной мнимой части полной проводимости) автоматически будет в точке (-1, 0). С этой диаграммой также становится проще добавлять элементы параллельно. Математически построение диаграммы Смита для полной проводимости создается с помощью следующих выражений:

\[\Gamma_н = \Gamma_r + j\Gamma_i = \frac<1-y> <1+y>= \frac<1-g-jb> <1+g+jb>\qquad (3.1)\]

затем, переворачиваем уравнение:

Затем, приравнивая действительную и мнимую части уравнения 3.3, мы получаем два новых независимых соотношения:

Развивая уравнение 3.4, мы получаем следующее:

\[\left(\Gamma_r+\frac \right)^2 +\Gamma^2_i = \left(\frac<1><1+g>\right)^2 \qquad (3.12)\]

Аналогично, развивая уравнение 3.5, мы получаем:

\[\Gamma^2_r+2\Gamma_r +1+\Gamma^2_i + \frac<2>\Gamma_i =0 \qquad (3.15)\]

\[\Gamma^2_r+2\Gamma_r +1+\Gamma^2_i + \frac<2>\Gamma_i + \frac<1> — \frac<1> =0 \qquad (3.16)\]

\[(\Gamma_r+1)^2+ \left(\Gamma_i + \frac<1> \right)^2 = \frac<1> \qquad (3.17)\]

Вычисление эквивалентного импеданса

При решении задач, в которых элементы, соединенные последовательно и параллельно, смешиваются вместе, мы можем использовать одну и ту же диаграмму Смита и вращать ее вокруг любой точки, где существуют преобразования из z в y или из y в z.

Рассмотрим схему на рисунке 8 (элементы нормированы с Z₀ = 50 Ом). Последовательное реактивное сопротивление (x) положительно для индуктивности и отрицательно для емкости. Мнимая часть полной проводимости (b) положительна для емкости и отрицательна для индуктивности.

Рисунок 8 – Многоэлементная схема

Эта схема требует упрощения (рисунок 9).

Рисунок 9 – Цепь, показанная на рисунке 8, с элементами, выделенными для анализа

Начиная с правой стороны, где находятся резистор и катушка индуктивности со значением 1, мы строим последовательную точку, где пересекаются окружность r = 1 и окружность x = 1. Это становится точкой A. Поскольку следующим элементом является элемент в шунте (включен параллельно) переключаемся на диаграмму Смита для адмиттанса (вращая всю плоскость на 180°). Однако для этого нам нужно преобразовать предыдущую точку в адмиттанс. Она становится A’. Затем мы поворачиваем плоскость на 180°. Сейчас мы находимся в режиме адмиттанса. Шунтирующий элемент можно добавить, пройдя по окружности проводимости на расстояние, соответствующее 0,3. Это должно быть сделано против часовой стрелки (отрицательное значение) и дает точку B. Затем у нас идет еще один элемент, включенный последовательно. Мы снова переключаемся обратно на диаграмму Смита для импеданса.

Перед тем, как это сделать, необходимо снова преобразовать предыдущую точку в импеданс (это был адмиттанс). После преобразования мы можем определить B’. Используя ранее описанную процедуру, диаграмма снова поворачивается на 180°, чтобы вернуться в режим импеданса. Для добавления последовательного элемента необходимо пройти по окружности активного сопротивления на расстояние, соответствующее 1,4, и отметить точку C. Это нужно сделать против часовой стрелки (отрицательное значение). Для следующего элемента выполняется такая же операция (преобразование в адмиттанс и поворот плоскости). Затем перемещаемся на заданное расстояние (1,1) по часовой стрелке (поскольку значение положительное) вдоль окружности постоянной действительной составляющей проводимости. Мы отмечаем это как точку D. Наконец, мы возвращаемся обратно в режим импеданса и добавляем последний элемент (последовательную индуктивность). Затем определяем требуемое значение z, расположенное на пересечении окружности активного сопротивления 0,2 и окружности реактивного сопротивления 0,5. Таким образом, z определено равным 0,2 + j0,5. Если характеристическое сопротивление системы составляет 50 Ом, то Z = 10 + j25 Ом (рисунок 10).

Рисунок 10 – Элементы цепи, нанесенные на диаграмму Смита
(больший масштаб – в файле PDF)

Пошаговое согласование импедансов

Другой функцией диаграммы Смита является возможность определения схемы согласования импедансов. Это операция, обратная нахождению эквивалентного импеданса заданной цепи. Здесь импедансы на двух концах зафиксированы (часто источник и нагрузка), как показано на рисунке 11. Задача состоит в том, чтобы спроектировать цепь, которая будет вставлена между ними, чтобы обеспечить надлежащее согласование импедансов.

Рисунок 11 – Типовая схема с известными импедансами и неизвестными компонентами

На первый взгляд, кажется, что это не сложнее, чем найти эквивалентное сопротивление. Но проблема в том, что может существовать бесконечное количество подходящих комбинаций компонентов цепи, которые дают аналогичные результаты. Также, возможно, должны быть рассмотрены и другие исходные данные (например, структура типа фильтра, добротность и ограниченный выбор компонентов).

Данный подход требует добавления последовательных и параллельных элементов на диаграмму Смита до тех пор, пока не будет достигнут необходимый импеданс. Графически это выглядит, как способ связать точки на диаграмме Смита. Опять же, лучший способ проиллюстрировать подход – рассмотреть на примере.

Задача состоит в том, чтобы согласовать полное сопротивление источника (Z_и) с нагрузкой (Z_н) на рабочей частоте 60 МГц (рисунок 11). Структура цепи была зафиксирована как фильтр нижних частот L-типа (альтернативный подход состоит в том, чтобы рассмотреть задачу, как заставить нагрузку проявляться как импеданс со значением, комплексно сопряженным с Z_и). Вот как находится решение.

Первое, что нужно сделать, это нормализовать различные значения импеданса. Если нормализующее значение не указано, то выберите значение, которое находится в том же диапазоне, что и значения нагрузки/источника. Предположим, что Z₀ равно 50 Ом. Таким образом,

Затем отметьте две точки на графике. Отметьте A для z_н и D для z*_и (на рисунке 12 обозначена как Zs*).

Затем определите первый элемент, подключенный к нагрузке (конденсатор, включенный параллельно), и преобразуйте его в полную проводимость. Это дает нам точку А’.

Определите участок дуги, на котором появится следующая точка после подключения конденсатора C. Поскольку мы не знаем значение C, мы не знаем, где остановиться. Однако мы знаем направление. Параллельный C означает движение по часовой стрелке на диаграмме Смита, пока не будет найдено значение. Это будет точка B (адмиттанс). Поскольку следующий элемент включен последовательно, точка B должна быть преобразована в плоскость импеданса. Тогда можно предоставить точку B’. Точка B’ должна быть расположена на той же окружности активного сопротивления, что и D. Графически существует только одно решение от A’ до D, и промежуточную точку B (и, следовательно, B’) необходимо найти методом проб.

Рисунок 12 – Точки, нанесенные на диаграмму Смита, для схемы на рисунке 11
(больший масштаб – в файле PDF)

Найдя точки B и B’, мы можем измерить длины дуг A’B и B’D. Первая дает нормированное значение проводимости C. Вторая дает нормированное значение реактивного сопротивления L. Измерение дуги A’B дает b = 0,78 и, следовательно,

\[B = 0,78 \cdot Y_0 = 0,0156 \ См\]

Поскольку ωC = B, то

Дуга B’D, имеет размер x = 1,2, таким образом,

\[X = 1,2 \cdot Z_0 = 60 \ Ом\]

Поскольку ωL = X, то

Второй пример – согласовать выход MAX2472 с сопротивлением нагрузки 50 Ом (Z_н) на рабочей частоте 900 МГц (рисунок 14). В этой цепи будет использоваться та же конфигурация, что и в техническом описании MAX2472. На приведенном ниже рисунке 13 показана согласующая цепь с шунтирующей катушкой индуктивности и последовательным конденсатором. Вот как находится решение.

Рисунок 13 – Типовая рабочая схема MAX2472 Рисунок 14 – Точки, нанесенные на диаграмму Смита, для схемы на рисунке 13
(больший масштаб – в файле PDF)

Затем разместим две точки на диаграмме. Отметим A для z_и и D для z_н*. Поскольку первый элемент, подключенный к источнику, представляет собой шунтирующую катушку индуктивности, преобразуем полное сопротивление источника в полную проводимость. Это дает нам точку А’.

Определим участок дуги, на котором появится следующая точка после подключения индуктивности L_MATCH. Поскольку нам неизвестно значение L_MATCH, мы не знаем, где остановиться. Однако мы знаем, что после добавления L_MATCH (и обратного преобразования в импеданс) результирующий импеданс источника должен лежать на окружности r = 1. Следовательно, дополнительный последовательный конденсатор C_MATCH сможет довести результирующий импеданс до z = 1 + j0. Поворачивая окружность r = 1 на 180° вокруг начала координат, мы наносим на график все возможные значения проводимости, соответствующие окружности r = 1. Пересечение этой отраженной окружности и окружности постоянной действительной составляющей проводимости, используемой с точкой A’, дает нам точку B (адмиттанс). Отражение точки B на импеданс становится точкой B’.

Поскольку 1/ωL = B, тогда

что округляется до 15 нГн.

что округляется до 1 пФ.

Хотя эти расчетные значения не учитывают паразитные индуктивности и емкости компонентов, они дают значения, близкие к значениям, указанным в техническом описании: L_MATCH = 12 нГн и C_MATCH = 1 пФ.

Заключение

Учитывая сегодняшнее богатство программного обеспечения и доступность компьютеров, можно усомниться в необходимости такого базового и фундаментального метода расчета базовых схем.

На самом деле, то, что делает инженера настоящим инженером, – это не только академические знания, но и способность использовать для решения задачи ресурсы всех типов. Вставить в программу несколько чисел и заставить ее выдавать решения легко. Когда решения сложны и многогранны, компьютер для выполнения основной работы особенно удобен. Однако знание базовых теории и принципов, которые были перенесены на компьютерные платформы, и откуда они пришли, делает инженера или разработчика более разносторонним и уверенным профессионалом, результаты делает более надежными.

Источник