стереометрия в каком классе проходят

Геометрия. 10 класс

Введение в стереометрию

Введение в стереометрию

Необходимо запомнить

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Простейшими (основными) фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости.

Аксиома 1: Через 3 точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома 2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

Аксиома 3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Теорема 1: Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Теорема 2: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и, причём только одна.

Введение в стереометрию

Аксиоматический метод – способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами теории, а все остальные предложения теории получаются как логические следствия аксиом.

Определение из математической энциклопедии.

Аксиоматический метод появился в Древней Греции, а сейчас применяется во всех теоретических науках, прежде всего в математике. Аксиоматический метод построения научной теории заключается в следующем: выделяются основные понятия, формулируются аксиомы теории, а все остальные утверждения выводятся логическим путём, опираясь на них.

Основные понятия выделяются следующим образом. Известно, что одно понятие должно разъясняться с помощью других, которые, в свою очередь, тоже определяются с помощью каких-то известных понятий. Таким образом, мы приходим к элементарным понятиям, которые нельзя определить через другие.

Определение (дефиниция) – установление смысла незнакомого термина с помощью терминов знакомых и уже осмысленных или путём включения в контекст знакомых слов (контекстуальное определение), или явного формулирования равенства, в левую часть которого входит определяемый термин, а в правую – определяющее выражение, содержащее только знакомые термины.

Теорема (греч. theorema, от theoreo – рассматриваю), в математике – предложение (утверждение), устанавливаемое при помощи доказательства (в противоположность аксиоме). Теорема обычно состоит из условия и заключения. Например, в теореме: если в треугольнике один из углов прямой, то два других – острые, после слова «если» стоит условие, а после «то» – заключение.

Эти понятия и называются основными. Когда мы доказываем утверждение, теорему, то опираемся на предпосылки, которые считаются уже доказанными. Но эти предпосылки тоже доказывались, их нужно было обосновать. В конце концов, мы приходим к недоказываемым утверждениям и принимаем их без доказательства. Эти утверждения называются аксиомами.

Набор аксиом должен быть таким, чтобы, опираясь на него, можно было доказать дальнейшие утверждения. Выделив основные понятия и сформулировав аксиомы, далее мы выводим теоремы и другие понятия логическим путём.

«Начала» начинаются с изложения 23 определений и 10 аксиом. Первые пять аксиом – «общие понятия», остальные называются «постулатами».

Пять «общих понятий» Евклида являются принципами измерения длин, углов, площадей, объёмов: «равные одному и тому же равны между собой», «если к равным прибавить равные, суммы равны между собой», «если от равных отнять равные, остатки равны между собой», «совмещающиеся друг с другом равны между собой», «целое больше части».

Первые два постулата определяют действия с помощью идеальной линейки, третий – с помощью идеального циркуля. Четвёртый, «все прямые углы равны между собой», является излишним, так как его можно вывести из остальных аксиом. Последний, пятый постулат гласил: «Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то, при неограниченном продолжении этих двух прямых, они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых».

В начале XIX века H. И. Лобачевским и Я. Больяй (J. Bolyai) была открыта, так называемая, неевклидова геометрия, что явилось толчком к дальнейшему развитию аксиоматического метода. Они установили, что, заменив привычный и, казалось бы, единственно «объективно истинный» 5 постулат Евклида о параллельных его отрицанием, можно развивать чисто логическим путем геометрическую теорию, столь же стройную и богатую содержанием, как и геометрия Евклида. Этот факт заставил математиков XIX века обратить внимание на дедуктивный способ построения математической теорий, что повлекло за собой возникновение новой проблематики, связанной с самим понятием аксиоматического метода, и формальной (аксиоматической) математической теории.

Источник

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №3. Введение в стереометрию

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Геометрия— это наука о свойствах геометрических фигур.

Планиметрия— это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости.

Стереометрия— это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Простейшими (основными) фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии. 10 кл. Москва.: Просвещение, 2013 г. С. 1-4

Зив Б. Г. Геометрия. 10 класс. Дидактические материалы.: Москва, Просвещение, 2013 г. С.4, 14, 24

Открытый электронный ресурс:

Решу ЕГЭ. Открытый образовательный портал. https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мы закончили изучать и повторять раздел геометрии, который называется планиметрией.

В планиметрии все фигуры, которые рассматривались при доказательстве каждой теоремы или при решении задач, располагались на плоскости. Таким образом, мы имели дело только с одной плоскостью.

Сегодня мы начинаем изучать новый раздел геометрии, который называется стереометрией.

Обратите внимание на данные фигуры. Как вы заметили- они объемные.

И их все объединяет раздел геометрии Стереометрия.

Что же такое стереометрия?

По аналогии с планиметрией мы можем вывести следующее определение:

Стереометрия- это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Простейшими (основными) фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости.

Вместе с этими фигурами рассматриваются геометрические тела и их поверхности. Представления о геометрических телах дают нам: кристаллы (составлен из многоугольников) – многогранники; куб; капли жидкости в невесомости – шар; футбольный мяч (шар); консервная банка (цилиндр).

Изучая свойства геометрических фигур, мы получаем представления о геометрических свойствах реальных предметов. В этом и состоит практическое значение геометрии, в частности стереометрия, широко используется в строительстве, архитектуре, машиностроении, геодезии, в науке и технике.

В планиметрии основными фигурами были точки и прямые. В стереометрии наряду с ними рассматривается ещё одна основная фигура – плоскость.

Представление плоскости нам дает любая гладкая поверхность. Она безгранична.

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.

А1: Через 3 точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Точки А α, В α, С α.

Если взять четыре произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость.

А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

Это свойство используется при проверке “ровности” линейки.

Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.

Пример: пересечение пола и стены

В пространстве существует бесконечно много плоскостей, и в каждой плоскости справедливы все аксиомы и теоремы планиметрии.

Некоторые следствия из аксиом.

Теорема 1: Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Дано: а – прямая, точка М ∉ а.

Доказать: 1) существует α: а α.

1) Дополнительные построения: т. В а, т. С а.

2) В, С, М не лежат на одной прямой, следовательно, по первой аксиоме существует плоскость α.

4) Единственность α. следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямую а и т. М, проходит через М, В, С. Значит, она совпадает с α (по Аксиоме 1). Теорема доказана.

Теорема 2: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и, причём только одна.

Дано: а ∩ b в точке М

Доказать: существование плоскости α, а α, b α.

1) Дополнительные построения: N Є b, N∉ a.

2) Существует α : N α, a α.

3)

4) Из 2) и 3) следует α. проходит через прямые а и b.

5) Единственность α следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямые а и b, проходит через точку N, значит она совпадает с α (по Теореме 1). Теорема доказана.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Тип задания: выделение цветом

Прямая MN пересекает плоскость:

Внимательно рассмотрите рисунок, как вы видите прямая MN пересекает плоскости ABC и A₁B₁С_1, рассмотрим варианты ответов, среди них есть вариант 2) (ABC), он и является верным.

Тип задания: смежный граф

Пользуясь данным рисунком

назовите три плоскости, содержащие прямую DС₁ (нижний индекс записываете цифрой после буквы, без пробела)

Решение: Внимательно рассмотрите прилагающийся рисунок, определите, где на нем располагается прямая DС₁, как вы видите из рисунка он располагается в плоскостях:

Источник

Изучение стереометрии в старшей школе

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Статья по теме « Вопросы изучения стереометрии в старшей школе»

Учитель Кузьмина С.В.

Геометрия является самым могущетсвенным

средством для изощрения наших умственных

способностей и даёт нам возможность правильно

мыслить и рассуждать.

В настоящее время такому предмету как математика уделяется большое значение. И это связано не только с обязательным экзаменом по итогам основной и средней школы. Учитывая ФГОС основного образования, ученик не только учится решать предметные задачи, но и формирует универсальные учебные действия, т.е. учится учиться. Важными выступают проблемы развития творческого мышления, умения анализировать ситуацию, выстраивать пути решения предлагаемых задач. В достижении этих целей помогает такой раздел математики, как геометрия. В отличие от алгебраических задач, задачи по геометрии не имеют единого алгоритма решения, каждая задача предполагает свой путь решения. С разделом стереометрия ученик встречается в 10 классе, и часто решение стереометрических задач представляет большую проблему, связанную с неразвитым пространственным воображением, неумением переложить пространственную картинку на плоскость, а иногда проблемы возникают уже на момент построения чертежа.

Таким образом, подводя итоги, можно отметить следующее: для обеспечения эффективности изучения стереометрии в старшей школе необходимо как можно раньше вести пропедевтическую работу в этом направлении, разработать и включать поэтапно в программу школьного курса математики задачи, рассчитанные на развитие пространственного мышления.

Список используемой литературы:

1. И.С. Якиманская. « Педагогическая психология. Основные проблемы»,2008

2. С.Б. Верченко « Развитие пространственных представлений учащихся при изучении геометрического материала в 4-5 классах средней школы»
Научная библиотека диссертаций и авторефератов disserCat http://www.dissercat.com/content/razvitie-prostranstvennykh- predstavlenii-uchashchikhsya-pri-izuchenii-geometricheskogo-mater#ixzz5RkoFBvue

Источник

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №3. Введение в стереометрию

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Геометрия— это наука о свойствах геометрических фигур.

Планиметрия— это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости.

Стереометрия— это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Простейшими (основными) фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии. 10 кл. Москва.: Просвещение, 2013 г. С. 1-4

Зив Б. Г. Геометрия. 10 класс. Дидактические материалы.: Москва, Просвещение, 2013 г. С.4, 14, 24

Открытый электронный ресурс:

Решу ЕГЭ. Открытый образовательный портал. https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мы закончили изучать и повторять раздел геометрии, который называется планиметрией.

В планиметрии все фигуры, которые рассматривались при доказательстве каждой теоремы или при решении задач, располагались на плоскости. Таким образом, мы имели дело только с одной плоскостью.

Сегодня мы начинаем изучать новый раздел геометрии, который называется стереометрией.

Обратите внимание на данные фигуры. Как вы заметили- они объемные.

И их все объединяет раздел геометрии Стереометрия.

Что же такое стереометрия?

По аналогии с планиметрией мы можем вывести следующее определение:

Стереометрия- это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Простейшими (основными) фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости.

Вместе с этими фигурами рассматриваются геометрические тела и их поверхности. Представления о геометрических телах дают нам: кристаллы (составлен из многоугольников) – многогранники; куб; капли жидкости в невесомости – шар; футбольный мяч (шар); консервная банка (цилиндр).

Изучая свойства геометрических фигур, мы получаем представления о геометрических свойствах реальных предметов. В этом и состоит практическое значение геометрии, в частности стереометрия, широко используется в строительстве, архитектуре, машиностроении, геодезии, в науке и технике.

В планиметрии основными фигурами были точки и прямые. В стереометрии наряду с ними рассматривается ещё одна основная фигура – плоскость.

Представление плоскости нам дает любая гладкая поверхность. Она безгранична.

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.

А1: Через 3 точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Точки А α, В α, С α.

Если взять четыре произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость.

А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

Это свойство используется при проверке “ровности” линейки.

Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.

Пример: пересечение пола и стены

В пространстве существует бесконечно много плоскостей, и в каждой плоскости справедливы все аксиомы и теоремы планиметрии.

Некоторые следствия из аксиом.

Теорема 1: Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Дано: а – прямая, точка М ∉ а.

Доказать: 1) существует α: а α.

1) Дополнительные построения: т. В а, т. С а.

2) В, С, М не лежат на одной прямой, следовательно, по первой аксиоме существует плоскость α.

4) Единственность α. следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямую а и т. М, проходит через М, В, С. Значит, она совпадает с α (по Аксиоме 1). Теорема доказана.

Теорема 2: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и, причём только одна.

Дано: а ∩ b в точке М

Доказать: существование плоскости α, а α, b α.

1) Дополнительные построения: N Є b, N∉ a.

2) Существует α : N α, a α.

3)

4) Из 2) и 3) следует α. проходит через прямые а и b.

5) Единственность α следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямые а и b, проходит через точку N, значит она совпадает с α (по Теореме 1). Теорема доказана.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Тип задания: выделение цветом

Прямая MN пересекает плоскость:

Внимательно рассмотрите рисунок, как вы видите прямая MN пересекает плоскости ABC и A₁B₁С_1, рассмотрим варианты ответов, среди них есть вариант 2) (ABC), он и является верным.

Тип задания: смежный граф

Пользуясь данным рисунком

назовите три плоскости, содержащие прямую DС₁ (нижний индекс записываете цифрой после буквы, без пробела)

Решение: Внимательно рассмотрите прилагающийся рисунок, определите, где на нем располагается прямая DС₁, как вы видите из рисунка он располагается в плоскостях:

Источник