Tanh что это в математике

Обратные гиперболические функции, их графики и формулы

Определения обратных гиперболических функций, их области определений и значений

Ареасинус строго возрастает на всей числовой оси.

Ареакосинус строго возрастает на своей области определения.

Вторая ветвь ареакосинуса также определена при x ≥ 1 и расположена симметрично относительно оси абсцисс, – ∞ 0 :
. Она строго убывает на области определения.

Ареатангенс строго возрастает на своей области определения.

Ареакотангенс строго убывает на своей области определения.

Графики обратных гиперболических функций

Формулы с обратными гиперболическими функциями

Связь с тригонометрическими функциями

Четность

Формулы связи обратных гиперболических синусов через тангенсы и косинусов через котангенсы

Формулы суммы и разности

Производные обратных гиперболических функций

Интегралы от arsh x, arch x, arth x, arcth x

arsh x

Для вычисления интеграла от гиперболического арксинуса, делаем подстановку x = sh t и интегрируем по частям:
.

arch x

Аналогично, для гиперболического арккосинуса. Делаем подстановку x = ch t и интегрируем по частям учитывая, что t ≥ 0 :
.

arth x

arcth x

Разложения в ряды

arsh x

При |x| 1 имеет место следующее разложение:

arth x

При |x| 1 имеет место следующее разложение:

arcth x

При |x| > 1 имеет место следующее разложение:

Обратные функции

Гиперболический синус

При – ∞ и – ∞ имеют место формулы:
,
.

Гиперболический косинус

При 1 ≤ y и 0 ≤ x имеют место формулы:
,
.

Гиперболический тангенс

При – 1 1 и – ∞ имеют место формулы:
,
.

Гиперболический котангенс

При – ∞ 1 или 1 и x ≠ 0 имеют место формулы:
,
.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Источник

Документация

Символьная гиперболическая функция тангенса

Синтаксис

Описание

Примеры

Гиперболическая функция тангенса для числовых и символьных аргументов

В зависимости от его аргументов, tanh возвращает или точные символьные результаты с плавающей точкой.

Вычислите гиперболическую функцию тангенса для этих чисел. Поскольку эти числа не являются символьными объектами, tanh возвращает результаты с плавающей точкой.

Вычислите гиперболическую функцию тангенса для чисел, преобразованных в символьные объекты. Для многих символьных (точных) чисел, tanh отвечает на неразрешенные символьные звонки.

Использование vpa аппроксимировать символьные результаты числами с плавающей запятой:

Постройте гиперболическую функцию тангенса

Обработайте выражения, содержащие гиперболическую функцию тангенса

Найдите первые и вторые производные гиперболической функции тангенса:

Найдите неопределенный интеграл гиперболической функции тангенса:

Найдите расширение Ряда Тейлора tanh(x) :

Перепишите гиперболическую функцию тангенса в терминах показательной функции:

Входные параметры

X входной параметр
символьное число | символьная переменная | символьное выражение | символьная функция | символьный вектор | символьная матрица

Введите в виде символьного числа, переменной, выражения или функции, или как вектор или матрица символьных чисел, переменных, выражений или функций.

Смотрите также

Открытый пример

У вас есть модифицированная версия этого примера. Вы хотите открыть этот пример со своими редактированиями?

Документация Symbolic Math Toolbox

Поддержка

© 1994-2021 The MathWorks, Inc.

1. Если смысл перевода понятен, то лучше оставьте как есть и не придирайтесь к словам, синонимам и тому подобному. О вкусах не спорим.

2. Не дополняйте перевод комментариями “от себя”. В исправлении не должно появляться дополнительных смыслов и комментариев, отсутствующих в оригинале. Такие правки не получится интегрировать в алгоритме автоматического перевода.

4. Не имеет смысла однотипное исправление перевода какого-то термина во всех предложениях. Исправляйте только в одном месте. Когда Вашу правку одобрят, это исправление будет алгоритмически распространено и на другие части документации.

5. По иным вопросам, например если надо исправить заблокированное для перевода слово, обратитесь к редакторам через форму технической поддержки.

Источник

Основные гиперболические функции:

из которых получены:

соответствующие производным тригонометрическим функциям.

СОДЕРЖАНИЕ

Определения

Существуют различные эквивалентные способы определения гиперболических функций.

Экспоненциальные определения

Определения дифференциальных уравнений

Сложные тригонометрические определения

Гиперболические функции также могут быть выведены из тригонометрических функций со сложными аргументами:

Приведенные выше определения связаны с экспоненциальными определениями через формулу Эйлера (см. § Гиперболические функции для комплексных чисел ниже).

Характерные свойства

Гиперболический косинус

Можно показать, что площадь под кривой гиперболического косинуса (на конечном интервале) всегда равна длине дуги, соответствующей этому интервалу:

площадь знак равно ∫ а б шиш ⁡ Икс d Икс знак равно ∫ а б 1 + ( d d Икс шиш ⁡ Икс ) 2 d Икс знак равно длина дуги. <\ displaystyle <\ text> = \ int _ ^ \ cosh x \, dx = \ int _ ^ <\ sqrt <1+ \ left (<\ frac > \ ch x \ right) ^ <2>>> \, dx = <\ text <длина дуги.>>>

Гиперболический тангенс

Полезные отношения

Нечетные и четные функции:

Гиперболический синус и косинус удовлетворяют:

У одного также есть

для других функций.

Суммы аргументов

Формулы вычитания

Формулы половинного аргумента

Квадратные формулы

Неравенства

Это можно доказать, почленно сравнивая ряды Тейлора этих двух функций.

Обратные функции как логарифмы

Производные

Вторые производные

Стандартные интегралы

Следующие интегралы можно доказать с помощью гиперболической замены :

Выражения ряда Тейлора

Сравнение с круговыми функциями

Катеты двух прямоугольных треугольников с гипотенузой на луче, определяющем углы, имеют длину √ 2 раза больше круговой и гиперболической функций.

Функция Гудермана дает прямую связь между круговыми функциями и гиперболическими функциями, не содержащими комплексных чисел.

Связь с экспоненциальной функцией

Разложение экспоненты на четную и нечетную части дает тождества

Гиперболические функции для комплексных чисел

Связь с обычными тригонометрическими функциями задается формулой Эйлера для комплексных чисел:

Источник

Основные гиперболические функции:

из которых получены:

соответствующие производным тригонометрическим функциям.

СОДЕРЖАНИЕ

Определения

Существуют различные эквивалентные способы определения гиперболических функций.

Экспоненциальные определения

Определения дифференциальных уравнений

Сложные тригонометрические определения

Гиперболические функции также могут быть выведены из тригонометрических функций со сложными аргументами:

Приведенные выше определения связаны с экспоненциальными определениями через формулу Эйлера (см. § Гиперболические функции для комплексных чисел ниже).

Характерные свойства

Гиперболический косинус

Можно показать, что площадь под кривой гиперболического косинуса (на конечном интервале) всегда равна длине дуги, соответствующей этому интервалу:

площадь знак равно ∫ а б шиш ⁡ Икс d Икс знак равно ∫ а б 1 + ( d d Икс шиш ⁡ Икс ) 2 d Икс знак равно длина дуги. <\ displaystyle <\ text> = \ int _ ^ \ cosh x \, dx = \ int _ ^ <\ sqrt <1+ \ left (<\ frac > \ ch x \ right) ^ <2>>> \, dx = <\ text <длина дуги.>>>

Гиперболический тангенс

Полезные отношения

Нечетные и четные функции:

Гиперболический синус и косинус удовлетворяют:

У одного также есть

для других функций.

Суммы аргументов

Формулы вычитания

Формулы половинного аргумента

Квадратные формулы

Неравенства

Это можно доказать, почленно сравнивая ряды Тейлора этих двух функций.

Обратные функции как логарифмы

Производные

Вторые производные

Стандартные интегралы

Следующие интегралы можно доказать с помощью гиперболической замены :

Выражения ряда Тейлора

Сравнение с круговыми функциями

Катеты двух прямоугольных треугольников с гипотенузой на луче, определяющем углы, имеют длину √ 2 раза больше круговой и гиперболической функций.

Функция Гудермана дает прямую связь между круговыми функциями и гиперболическими функциями, не содержащими комплексных чисел.

Связь с экспоненциальной функцией

Разложение экспоненты на четную и нечетную части дает тождества

Гиперболические функции для комплексных чисел

Связь с обычными тригонометрическими функциями задается формулой Эйлера для комплексных чисел:

Источник

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

функции, определяемые формулами:

— гиперболический синус,

-г иперболический косинус.

Иногда рассматривается также гиперболический тангенс;

Другие обозначения: sinh x,Sh x,cosh x, Ch x,tgh x,tanh x,Th x. Графики см. на рис. 1.

Производные и основные интегралы от Г. ф.:

Во всей плоскости комплексного переменного z Г. ф. и могут быть определены рядами:

Полезное

Смотреть что такое «ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ» в других словарях:

Гиперболические функции — функции, определяемые формулами: (гиперболический синус), (гиперболический косинус). Иногда рассматривается также гиперболический тангенс: (графики Г. ф. см. на рис. 1). Г. ф.… … Большая советская энциклопедия

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — функции, определяемые формулами: (гиперболический синус), (гиперболический косинус), (гиперболический тангенс) … Большой Энциклопедический словарь

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — функции, определяемые формулами: shx = (ex e x)/2(гинерболич. синус), chх (еx + е к)/2 (гиперболич. косинус), thх = shx/chx (гиперболич. тангенс). Графики Г. ф. см. на рис … Естествознание. Энциклопедический словарь

Гиперболические функции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями. Содержание 1 Определение 1.1 Геометрическое определение … Википедия

гиперболические функции — функции, определяемые формулами: shx = (ex – e x)/2 (гиперболический синус), chx = (ex + e x)/2 (гиперболический косинус), thx = shx/chx (гиперболический тангенс). Графики гиперболических функций см. на рис. * * * ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ… … Энциклопедический словарь

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — Функции. определяемые ф лами: (гиперболич. синус), (гиперболич. косинус), (вставить рисунки. ) Графики гиперболических функций … Большой энциклопедический политехнический словарь

Гиперболические функции — По аналогии с тригонометрическими функциями Sinx, cosx, определяемыми, как известно, при помощи Эйлеровых формул sinx = (exi e xi)/2i, cosx = (exi + e xi)/2 (где е есть основание нэперовых логарифмов, a i = √[ 1]); иногда вводятся в рассмотрение… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Обратные гиперболические функции — функции, обратные по отношению к гиперболическим функциям (См. Гиперболические функции) sh х, ch х, th х; они выражаются формулами (читается: ареа синус гиперболический, ареа косинус гиперболический, ареа тангенс… … Большая советская энциклопедия

ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — функции, обратные к гиперболич. функциям; выражаются формулами … Естествознание. Энциклопедический словарь

Обратные гиперболические функции — Обратные гиперболические функции определяются как обратные функции к гиперболическим функциям. Эти функции определяют площадь сектора единичной гиперболы x2 − y2 = 1 аналогично тому, как обратные тригонометрические функции определяют длину… … Википедия

Источник