теорема косинусов какой класс

09.10.202317.07.2022 admin 0 Comments

Изучение темы «Теорема косинусов» в 9-м классе

Разделы: Математика

Изучение темы «Теорема косинусов» в 9-ом классе.

Начало урока. Организационный момент устанавливает личностный контакт учителя с учениками через формирование целей урока, их взаимного принятия и включение мотива на совместную работу. Положительная мотивация достигается анализом успешной работы учащихся с теоремой синусов и ее применением к решению задач.

Этап подготовки к осознанному восприятию нового материала

Задание: Используя треугольник АВС, найдите синус угла А и косинус угла А.Сделайте вывод.

Замечание. Острые углы А и В прямоугольного треугольника АВС дополняют друг друга. 90 о и являются дополнительными.

Вывод: Косинус острого угла равен синусу дополнительного угла.

3. (Ученик 3) Используя четырехзначные математические таблицы Брадиса, найдите

1) cos25 о ; 2) угол , если cos = 0,4756;
cos25 о 15′; cos = 0,5638;
cos25 о 18′; cos = 0,8975.
сos43 о 39′.

4. Анализ и обсуждение домашнего задания. Слайд 3.

1) (Ученик 4) Задача 1. Постройте угол, если его
а) синус угла равен
б) косинус равен

2) (Ученик 5) Задача 2. Найдите площадь треугольника, если

а) две стороны треугольника равны 20 см и 14 см, а косинус угла между ними –
б) две стороны треугольника равны 17 см и 8 см, а косинус угла между ними

5. Обсуждение задачи 2б. Изменим искомое в задаче 2б: Найдите квадрат третьей стороны треугольника по алгоритму: (*)

Запомните алгоритм и результат!

Этап изучения нового материала. Слайд 4. Теорема

В каждом треугольнике квадрат любой стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Дано: АВС АВ = с, АС = b, ВС = а
Доказать: c 2 = a 2 + b 2 – 2 abcosC
Доказательство.
А) если о, тогда cosC = 0 и c 2 = a 2 + b 2 (Теорема Пифагора); Слайд 5.
Б) если – острый, то для доказательства применим алгоритм (*):Слайд 6.

В) если – тупой. Слайд 6. Доказательство проведите самостоятельно.

Замечание: Вернитесь к измененной домашней задаче 2б и вычислите ВД 2 по теореме косинусов. Сравните ответы.

Работа с учебником

1. Прочитайте доказательство теоремы в учебнике Л.С. Атанасяна Геометрия 7–9, стр.257.
2. Составьте алгоритм доказательства теоремы.
3. Расскажите основную идею доказательства.
4. Сравните доказательства. Найдите положительные и отрицательные стороны обоих доказательств.
5. Почему в доказательстве по учебнику не рассматриваются три случая?

Основные задачи – следствия из теоремы косинусов

3. СЛЕДСТВИЕ 2.Определение вида треугольника, зная его стороны (cлайд 9).

Как можно ответить на этот вопрос без вычисления косинуса наибольшего угла?

ВЫВОД.

Проверьте вывод на выполненных задачах.

4. СЛЕДСТВИЕ 3. Формула медианы треугольника. Слайд 10.

– Решение проведите самостоятельно.

Задача. Стороны треугольника 3; 4 и 6. Найти длину медианы, проведенной к большей стороне.

5. СЛЕДСТВИЕ 4. В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон: d₁ 2 + d₂ 2 = 2a 2 + 2b 2 Слайд 11.

Доказательство проведите самостоятельно и рассмотрите различные способы.

Задача. В параллелограмме стороны равны 4 см и 6 см. Одна из диагоналей 8 см. Найдите вторую диагональ.

– Дополняем теорию. (Задания на исследование по группам) Какие ранее изученные теорем можно доказать с помощью вывода теоремы косинусов?

1. Теорема о средней линии треугольника. (Помогает Слайд 12.)
2. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника. (Помогает Слайд 13)

Практическое приложение теоремы косинусов

По Слайдам 14, 15 составьте задачи о нахождении расстояния между двумя недоступными предметами и решите их.

Подведение итогов урока. Оцените значимость изученного материала.

Домашенее задание: разобраться в теории, найти другие способы решения задач-следствий и оценить их; № 1025авд, 1030, 1031.

Источник

Теорема косинусов и синусов

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Формула Теоремы Пифагора:

a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.

К полученному выражению прибавим и отнимем квадрат второго катета:

Но так как b = c * cos α, то

Эту формулу мы получили для катетов в прямоугольном треугольнике, но аналогичная связь между стороной а и косинусом противолежащего угла справедлива и для произвольного треугольника.

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.

Что и требовалось доказать.

Следствие из теоремы косинусов: теорему косинусов также можно использовать для определения косинуса угла треугольника:

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

Приравниваем правые части уравнений:

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны b и c:

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

Таким образом, теорема косинусов обобщает теорему Пифагора. Закон косинуса может быть использован для любого вида треугольника.

Описание формулы косинуса угла из теоремы косинусов

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Примеры решения задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.

Источник

Теорема косинусов. Следствия из теоремы косинусов

Разделы: Математика

Цель урока:

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Оборудование урока: ноутбук, мультимедийный проектор, интерактивная доска.

Ход урока

I. Сообщение темы, цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности.

II. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний

(Фронтальная работа с классом)

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

III. Изучение нового материала.

Учащимся предлагается задача на готовом чертеже. Теорема синусов для решения этой задачи не подходит, поскольку из трех известных элементов треугольника не известны сторона и противолежащий угол.

Первый способ решения задачи. (Устно)

ABC,

Проведём CH – высоту.

1) Прямоугольный ACH:

AH = bcosA, CH =

CB 2 = a 2 = CH 2 + BH 2

a = .

Рис. 4

Второй способ решения задачи. Координатный метод.

1. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке А так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси AX, а точка С имела положительную ординату.

Решение записывают все учащиеся.

2. Запишем координаты точек: B(c; 0) ; C(bcosA; bsinA).

3. Найдём квадрат стороны BC:

a 2 = b 2 + c 2 – 2bccosA – теорема косинусов
b 2 = a 2 + c 2 – 2accosB
c 2 = b 2 + a 2 – 2abcosC

Вывод: Таким образом, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

По теореме косинусов можно найти любую сторону треугольника, зная длины двух других сторон и угол между ними.

Теорему косинусов иногда называют обобщённой теоремой Пифагора. Почему? Объясните.

Вывод: Теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов.

Рассмотрим следствия из теоремы косинусов.

1 следствие.
Дано: ABC а) A – острый, то cosA > 0, б) A – тупой, то cosA 2 = b 2 + c 2 – 2bccosA В прямоугольном ACH: bc = bcosA. Так как A – острый, то cosA > 0, тогда a 2 = b 2 + c 2 – 2bcc, то есть квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Случай, когда угол, лежащий против неизвестной стороны тупой рассмотреть самостоятельно. Следующий урок начнём с проверки этого задания. (т.к. cosA 2 = b 2 + c 2 + 2bccosA, т.е. квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон плюс удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. ABC: d₁ 2 = a 2 + b 2 – 2abcosB. Вывод: Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. ABC, Достроим ABC до параллелограмма ABA₁C. (2m_a) 2 + a 2 = 2b 2 + 2c 2 4m_a 2 = 2(b 2 + c 2 ) – a 2 m_a 2 = m_a = m_b = m_c = Вывод: В любом треугольнике со сторонами a, b и c длины медиан m_a, m_b, m_c вычисляются по формулам: m_a = , m_b = , m_c = . Задача: В треугольнике две стороны равны 20 см и 21 см, а синус угла между ними равен 0,6. Найти третью сторону. Сколько решений имеет задача? sin = 0,6 может быть острым или тупым. 1 случай: – острый BC 2 = AB 2 + AC 2 – 2ABACcos. Так как – острый, то cos>0. Тогда cos = = = = 0.8 BC = = = 13(см). 2 случай: – тупой. BC 2 = AB 2 + AC 2 – 2ABACcos Так как – тупой, то cos 19.02.2012 Источник Геометрия. Урок 1. Тригонометрия Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно. Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись! Содержание страницы: Тригонометрия в прямоугольном треугольнике Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий. Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе. sin α = Противолежащий катет гипотенуза Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе. cos α = Прилежащий катет гипотенуза Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу). tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу). ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C Тригонометрия: Тригонометрический круг Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга. Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B : cos α = O B O A = O B 1 = O B sin α = A B O A = A B 1 = A B Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат). Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° : Ещё одно замечание. Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная. Основное тригонометрическое тождество sin 2 α + cos 2 α = 1 Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B : A B 2 + O B 2 = O A 2 sin 2 α + cos 2 α = R 2 sin 2 α + cos 2 α = 1 Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций	0 °	30 °	45 °	60 °	90 °
	sin α	0	1 2	2 2	3 2	1
cos α	1	3 2	2 2	1 2	0
tg α	0	3 3	1	3	нет
ctg α	нет	3	1	3 3	0

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β :

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

Источник

Портал agro-sss.ru

теорема косинусов какой класс

Изучение темы «Теорема косинусов» в 9-м классе

Теорема косинусов и синусов

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Описание формулы косинуса угла из теоремы косинусов

Определение угла с помощью косинуса

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Примеры решения задач

Теорема косинусов. Следствия из теоремы косинусов

Ход урока

I. Сообщение темы, цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности.

II. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний

III. Изучение нового материала.

Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Основное тригонометрическое тождество

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

Тригонометрия: градусы и радианы

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия: Теорема синусов

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Тригонометрия: Теорема косинусов

Примеры решений заданий из ОГЭ

Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

Добавить комментарий Отменить ответ

Изучение темы «Теорема косинусов» в 9-м классе

Теорема косинусов и синусов

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Описание формулы косинуса угла из теоремы косинусов

Определение угла с помощью косинуса

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Примеры решения задач

Теорема косинусов. Следствия из теоремы косинусов

Ход урока

I. Сообщение темы, цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности.

II. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний

III. Изучение нового материала.

Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Основное тригонометрическое тождество

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

Тригонометрия: градусы и радианы

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия: Теорема синусов

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Тригонометрия: Теорема косинусов

Примеры решений заданий из ОГЭ

Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

Вам также понравится

Как можно удалить самостоятельно папиллому

В чем заключается работа помощник воспитателя

Как зарядить 18650 imax b6

Добавить комментарий Отменить ответ