теорема менелая какой класс

Применение теорем Менелая и Чевы для решения задач. 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Цели урока:

Задачи урока:

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: карточки для коллективной работы на уроке по данной теме, индивидуальные карточки для самостоятельной работы, компьютер, мультимедийный проектор, экран.

Ход урока

I этап. Организационный момент (1 мин.)

Учитель сообщает тему и цель урока.

II этап. Актуализация опорных знаний и умений (10 мин.)

Учитель: На уроке вспомним теоремы Менелая и Чевы для того, чтобы успешно перейти к решению задач. Давайте вместе с вами посмотрим на экран, где представлен. Для какой теоремы дан этот рисунок? (теорема Менелая). Постарайтесь четко сформулировать теорему.

Рисунок 1

Пусть точка A₁ лежит на стороне BC треугольника АВС, точка C₁ – на стороне AB, точка B₁ – на продолжении стороны АС за точку С. Точки A₁, B₁и C₁ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Учитель: Давайте вместе рассмотрим следующий рисунок. Сформулируйте теорему для этого рисунка.

Рисунок 2

Прямая AD пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ВМС.

По теореме Менелая

Прямая МВ пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника АDС.

По теореме Менелая

Учитель: Какой теореме соответствует рисунок? (теорема Чевы). Сформулируйте теорему.

Рисунок 3

Пусть в треугольнике АВС точка A₁лежит на стороне ВС, точка B₁ – на стороне АС, точка C₁ – на стороне АВ. Отрезки AA₁, BB₁и CC₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство

III этап. Решение задач. (22 мин.)

Карточка 1.

1. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение

2. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Рисунок 4

По условию задачи МА = АС, NC = 3BN. ПустьMA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Прямая MNпересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей.

По теореме Менелая

Ответ:

Рисунок 5

Пусть AM₁, BM₂, СM₃ – медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что

Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки AM₁, BM₂ и СM₃ пересекаются в одной точке.

Имеем:

Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Карточка 2.

1. На стороне PQтреугольника PQR взята точка N, а на стороне PR – точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении m:n, считая от точки Q. Найдите

2. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Рисунок 6

По условию NQ = LR, ПустьNA = LR =a, QF = km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей.

По теореме Менелая

Ответ:

Рисунок 7

Покажем, что

Тогда по теореме Чевы (обратной) AL₁, BL₂, CL₃ пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника

Перемножая почленно полученные равенства, получаем

Для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке.

Карточка 3.

1. В треугольнике АВС AD – медиана, точка O – середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А?

2. Докажите, если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

Рисунок 8

Пусть BD = DC = a, AO = OD = m. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ADC.

По теореме Менелая

Ответ:

Рисунок 9

Пусть A₁, B₁и C₁ – точки касания вписанной окружности треугольника АВС. Для того чтобы доказать, что отрезки AA₁, BB₁и CC₁ пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы:

Используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения: C₁B = BA₁ = x, AC₁ = CB₁ = y, BA₁ = AC₁ = z.

Равенство Чевы выполняется, значит, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

IV этап. Решение задач (самостоятельная работа) (8 мин.)

Учитель: Работа команд закончена и сейчас приступим к самостоятельной работе по индивидуальным карточкам для 2-х вариантов.

Материалы к уроку для самостоятельной работы учащихся

Вариант 1. В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на стороне AB взята точка К, делящая эту сторону в отношении АК:BK = 2:3, а на стороне АС – точка L, делящая АС в отношении AL:LC = 5:3. Точка Qпересечения прямых СК и BL удалена от прямой AB на расстоянии . Найдите длину стороны АВ. (Ответ: 4.)

Вариант 2. На стороне АС в треугольнике АВС взята точка К. АК = 1, КС = 3. На стороне АВ взята точка L. AL:LВ = 2:3, Q – точка пересечения прямых ВК и СL. Найдите длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины В. (Ответ: 1,5.)

Работы сдаются учителю для проверки.

V этап. Итог урока (2 мин.)

Анализируются допущенные ошибки, отмечаются оригинальные ответы и замечания. Подводятся итоги работы каждой команды и выставляются оценки.

VI этап. Домашнее задание (1 мин.)

Домашнее задание составлено из задач №11, 12 стр. 289-290, №10 стр. 301 [1].

Заключительное слово учителя (1 мин).

Сегодня вы услышали со стороны математическую речь друг друга и оценили свои возможности. В дальнейшем, будем применять такие обсуждения для большего понимания предмета. Аргументы на уроке дружили с фактами, а теория с практикой. Вам всем спасибо.

Литература:

Источник

Теорема Менелая, теорема Чевы – нужны на ЕГЭ или нет?

Разберемся, что это за теоремы и как применяются. И действительно ли на ЕГЭ дали задачи на применение теорем, выходящих за рамки школьной программы. И можно ли эти задачи решить по-другому?

Теорема Менелая:

Пусть прямая пересекает произвольный треугольник причем – точка ее пересечения со стороной – точка ее пересечения со стороной и – точка ее пересечения с продолжением стороны

Тогда выполняется равенство:

Как это запомнить? Сначала рисуем треугольник Затем прямую, пересекающую две его стороны и продолжение третьей. На этой прямой лежат точки и причем на стороне должна лежать точка на стороне – точка и на продолжении – точка

Затем записываем равенство так, как будто «обходим» весь треугольник от точки к точкам и и затем возвращаемся в точку Но по дороге нам встречаются точки и – их тоже включаем в формулу.

В некоторых задачах полезна обратная теорема Менелая.

Теорема (Менелая, обратная). Пусть дан треугольник Предположим, что точка лежит на стороне точка лежит на стороне а точка лежит на продолжении стороны причём про эти точки известно, что

Тогда эти точки лежат на одной прямой.

Как правило, не так-то просто бывает доказать, что три точки лежат на одной прямой. Обычно мы используем для доказательства такого факта косвенные методы. Например, если для точек и выполняется равенство: – то это означает, что точка лежит на отрезке Или, если нам удается доказать, что угол – развернутый, это и будет означать, что точки и лежат на одной прямой. Обратная теорема Менелая дает еще один способ доказательства того, что три точки – в данном случае и – лежат на одной прямой.

Теорема Чевы

Пусть точки и лежат соответственно на сторонах и треугольника причем отрезки и пересекаются в одной точке. В этом случае выполняется равенство:

Обратная теорема Чевы:

Теорема (Чевы, обратная). Пусть точки лежат соответственно на сторонах и треугольника причём

Тогда отрезки и пересекаются в одной точке.

Как применяются теоремы Менелая и Чевы?

Вот задача Профильного ЕГЭ по математике 2020 года (№16), Санкт-Петербургский вариант.

На сторонах и треугольника отмечены точки и соответственно, причём Отрезки и пересекаются в точке

а) Докажите, что — параллелограмм.
б) Найдите если отрезки и перпендикулярны,

Докажем пункт (а) с помощью теоремы Менелая:

Это значит, что по двум углам и то есть

Прямая пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны

По теореме Менелая,

по углу и двум сторонам, отсюда

— параллелограмм по определению.

Мы доказали то, что требовалось в пункте (а).
Но что делать, если теоремы Менелая и Чевы вы не проходили в школе? Ничего страшного, докажем без теорем Менелая и Чевы. Их легко заменят подобные треугольники.

Докажем, что — параллелограмм.

Тогда по углу и двум пропорциональным сторонам,

Это значит, что по углу и двум сторонам и

Получим, что в четырёхугольнике :

Как видим, эти решения примерно одного уровня сложности.
А вот в пункте (б) нет необходимости применять теоремы Чевы и Менелая. Он легко решается с помощью обычной школьной геометрии.

Поскольку получим, что — прямоугольный.

Мы доказали в пункте (а), что — трапеция, причём

Тогда — параллелограмм (по признаку паралелограмма)

по теореме Пифагора из

Найдём из по теореме косинусов.

Вот еще одна задача, которую можно решить как с помощью теоремы Чевы, так и без нее.

На сторонах прямоугольного треугольника с прямым углом построены во внешнюю сторону квадраты и Докажите, что:

а) прямые и отсекают от катетов треугольника равные отрезки
б) прямые и высота треугольника проведённая из вершины пересекаются в одной точке.

Пункт (а) доказывается легко.

Решим пункт (б) с помощью теоремы Чевы:

Запишем, чему равны длины отрезков Для длин и воспользуемся тем, что в прямоугольном треугольнике каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Проверим выполнение равенства

Равенство выполняется.
Согласно теореме Чевы, это значит, что и пересекаются в одной точке.
А вот как решается эта задача без теоремы Чевы, с помощью векторов:

Математик Менелай Александрийский жил в I веке до нашей эры (Древний Рим).
Математик и инженер Джованни Чева – XVII век, Италия.

Как видим, теоремы Менелая и Чевы оказываются полезны в некоторых задачах. Очень хорошо, если вы знаете эти теоремы. Однако если они для вас непривычны, можно применить простой школьный прием – пары подобных треугольников.

Это полезно

В нашей статье вы найдете всю необходимую теорию для решения задания №9 ЕГЭ по теме «Графики функций». Это задание появилось в 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.

Источник

Урок по геометрии на тему «Теоремы Менелая и Чевы» (10 класс)

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Предмет Геометрия (углублённый уровень)

Тема урока: Теоремы Менелая и Чевы

Тип урока: урок закрепления знаний

Цели урока:
Образовательные : создать условия учащимся
для самостоятельной формулировки теорем Менелая и Чевы;
для самостоятельной формулировки свойств медиан и биссектрисы треугольника ;
для отработки навыков применения теорем Менелая и Чевы при решении задач.

Развивающие : создать условия

для формирования у учащихся умения ставить перед собой цель, умения анализировать и делать выводы, умения отстаивать свою точку зрения и умения прислушиваться к мнению других;
для развития умения применять теоретические знания на практике;

для развития умения соотносить свои действия с планируемыми результатами, осуществлять контроль своей деятельности в процессе достижения результата;
для развития навыков самоконтроля, адекватной самооценки.

Воспитательные : создать условия
для воспитания ответственного отношения к учебному труду ;
для формирования добрых отношений между учащимися.

Планируемые результаты: учащиеся знают формулировки теорем Менелая и Чевы ; умеют применять полученные знания при решении задач.

Применяемые технологии: проблемного обучения, здоровьесберегающие, уровневой дифференциации

УМК по геометрии для 10-11 классов: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Л.С. Киселёва, Э.Г. Поздняк.

Дидактический материал: презентация, карточки с заданиями

Оборудование: интерактивная доска, мультимедийный проектор

III Актуализация знаний

I. Организационный этап . (Приветствие. Проверка готовности к уроку, эмоциональный настрой)

— Доказательство каких теорем мы рассмотрели на прошлом уроке?

— Кто выполнит рисунок и по нему сформулирует теорему Менелая?
( Ученик работает у доски)

— Кто выполнить рисунок и по нему сформулирует теорему Чевы?
(Второй ученик работает у доски).

— Пока ваши одноклассники готовятся у доски, послушаем короткие интересные сообщения об этих теоремах и их авторах, которые вы подготовили дома.
(Учащиеся выступают с сообщениями, затем отвечающие у доски по рисунку формулируют теоремы).

III. Актуализация знаний.

— Что называют медианой треугольника?

— Каким свойством обладают медианы треугольника?

— Что называют биссектрисой треугольника?

— Каким свойством обладает биссектриса?

IV. Определение темы урока. Целеполагание.

— Как вы считаете, какой будет тема сегодняшнего урока? ( Учащиеся определяют тему урока)

— Какие цели урока? ( Учащиеся определяют цели урока. Учащиеся записывают в тетради дату, классная работа, тему.)

V. Первичное закрепление знаний. Решение задачи № 1 письменно по готовому рисунку (слайд 1 из презентации).

На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно M и N так, что АМ:МВ = 2:3, В N : N С = 2:1 . Отрезки А N и СМ пересекаются в точке О. Найдите отношение СО:ОМ.

— Выполните рисунок в тетради, все ли данные из условия показаны на рисунке?

— Запишите, что надо найти.

— Кто догадался, какую из теорем нужно использовать при решении? Почему?
— Выделим цветом рассматриваемый треугольник (слайд 2 из презентации).

(Учащийся у доски записывает решение задачи)

Прямая А N пересекает 2 стороны CM и CB треугольника ВСМ и продолжение третьей стороны ВМ, тогда по теореме Менелая: значит
; ; . Ответ: СО:ОМ = 5:4.

Физминутка . Учащиеся выполняют комплекс упражнений.

VI . Применение знаний в изменённых условиях.
Решение задач по карточкам № 2, № 3, дополнительно № 4*.

(Учащийся у доски выполняет рисунок, делает устно пояснения к рисунку, записывает краткое условие).

— Какую теорему будем использовать для решения этой задачи? Почему?

1) BD – медиана АВС, поэтому DA = CD = .

2) АЕ – биссектриса АВС, поэтому и
.

3) Отрезки АЕ, В D и С F пересекаются в одной точке К, тогда по теореме Чевы верно равенство: ;

; или , тогда , а значит

.

4) Так как (смотри пункт 3), то .
Получили: .

Ответ: ; .

(Учащийся у доски выполняет рисунок, делает устно пояснения к рисунку, записывает краткое условие).

— Какую теорему будем использовать для решения этой задачи? Почему?

1) А N и В M медианы АВС, поэтому В N = N С = х и
АМ = МС = .

2) В АВС О – точка пересечения медиан А N и В M , поэтому
ВО: ОМ=2: 1, т.е. если ОМ = z , то ВО = 2 z .
АО: О N =2: 1 , т.е. если О N = n , то АО = 2 n .

или , значит 3 А F = 2 F М ;

(Учащиеся, решающие вперёд, получат возможность решить самостоятельно задачу № 4)

а) Докажите, что прямые AN и AC делят отрезок BM на три равные части.

№ 1. Точки M и N расположены соответственно на сторонах AB и AC треугольника ABC, причём AM : MB = 1 : 2, AN : NC = 3 : 2. Прямая MN пересекает продолжение стороны BC в точке F. Найдите CF : BC.

— Внимательно прочитайте условие каждой задачи, рассмотрите рисунок и ответьте на вопросы. (В тетради учащиеся пишут номер задачи и пропущенные слова)

Задача 5 .

В треугольнике АВС АD – медиана, точка О – середина медианы АD. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. Найдите отношение АК к КС.

Какую теорему будете использовать при решении задачи:_________________? Почему_______________________?

Какую теорему будете использовать при решении задачи:_________________?

Задача 7 . На сторонах треугольника ABC взяты точки К, М, Е так, что .

Докажите, что отрезки АК, ВЕ и СМ пересекаются в одной точке.

Какую теорему будете использовать при решении задачи:_________________?

— Сверим ваши ответы: один учащийся говорит свой ответ, если согласны – поднимаем руку.

— Молодцы! Смогли увидеть какие теоремы нужно применить.

— А теперь, оценим вашу работу на уроке. (Учитель сообщает отметки за урок, особо выделяет учащихся, которые активно работали во время урока).
— Урок окончен. Хорошего дня!

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

также Вы можете выбрать тип материала:

Краткое описание документа:

Урок закрепления знаний: решение задач на применение теорем Менелая и Чевы. К конспекту урока прикреплена презентация и карточки с задачами.

Источник