теорема пифагора в каком классе изучают по атанасяну
Теорема Пифагора
Пользуясь свойствами площадей многоугольников, мы установим теперь замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.
Теорема, которую мы докажем, называется теоремой Пифагора. Она является важнейшей теоремой геометрии.
| В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. |
Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифа- гора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда ещё не знали её доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путем на основе измерений. Пифагор, по-видимому, нашёл доказательство этого соотношения. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам — даже сто быков. На протяжении последующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста. С одним из них мы уже познакомились, ещё с одним познакомимся в следующей главе (задача 578). Многие известные мыслители и писатели прошлого обращались к этой замечательной теореме и посвятили ей свои строки.
Разработка урока по теме «Теорема Пифагора». Геометрия, 8-й класс (по учебнику Л.С. Атанасяна)
Разделы: Математика
Класс: 8
Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – теорема Пифагора…
И. Кеплер
Цели:
Образовательные: Организовать работу учащихся по изучению и первичному закреплению теоремы Пифагора;
Развивающие: Способствовать дальнейшему развитию у учащихся логического мышления, познавательного интереса, а также универсальных способов мыслительной деятельности: анализа, обобщения, планирования, конкретизации и рефлексии.
Воспитательные: Воспитание у учащихся культуры труда.
Оборудование: экран, мультимедиапроектор, компьютер, презентация Power Point (приложение 1), буклет (приложение 2), лист-конспект урока (приложение 3), карточки-задания (приложение 4, 5)
Ход урока
Знакомство, приветствие
Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности
Для того чтобы наша работа была успешной, давайте повторим некоторые геометрические факты.
Давайте рассмотрим следующую задачу (слайд 4): «Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?» Обсуждение выявили проблему нужно найти гипотенузу по известному значению катетов прямоугольного треугольника.
Выявление причины затруднения и построение проекта выхода из затруднения
Я предлагаю вам следующую практическую работу: (по рядам) У вас на желтых листах изображен треугольник и дана таблица, измерив стороны прямоугольного треугольника, занесите данные в таблицу, помня, что a и b– катеты, а с – гипотенуза, а также, заполните остальные столбцы таблицы (слайд5).
Можно ли увидеть закономерность между длинами катетов и гипотенузы?
Зависимость, которую мы с вами установили, в геометрии называют теоремой Пифагора (слайд 6). Без преувеличения можно сказать, что это самая известная теорема геометрии, ибо о ней знает подавляющее большинство населения планеты,
Объяснение нового материала
В современных учебниках теорема сформулирована так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».
Доказательство…. (слайд 7)
«Умение решать задачи – такое же практическое искусство. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения»
Д. Пойа
Первичное закрепление
№1. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника по данным катетам:
a= 6 см
b=8 см (слайд 9).
№2. В прямоугольном треугольнике известен катет a=9 см и гипотенуза c=41 см, найдите второй катет (слайд 10).
Давайте попробуем сформулировать алгоритм использования теоремы Пифагора.
Проверочная работа на первичное закрепление.
(Соотнести чертёж с соответствующей формулой) (слайд 12)
Включение в систему знаний
№3. В прямоугольной трапеции большая диагональ равна 25 см, большее основание 24 см, меньшее основание 16 см. Найти площадь трапеции. (слайд 13)
№4. Диагональ DB прямоугольника ABCD равна 61 см, а сторонa BC равна 11 см. Найти периметр прямоугольника. (слайд 14)
№5. Диагонали ромба равны 6 см и 8 см. Найти длину стороны ромба (слайд 15)
Получили прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ед. Это единственный прямоугольный треугольник, стороны которого равны трём последовательным натуральным числам. Его часто называют египетским треугольником, так как он был известен ещё древним египтянам. Они использовали этот треугольник в «правиле верёвки» для построения прямых углов при закладке зданий, храмов, алтарей… (показать в действии) (слайд 16)
Вообще, математикой увлекались и изучали не только в Древнем Египте, но и в Древней Индии, недаром цифры, которые мы используем в записи наших вычислений впервые появились в Индии.
№6. Задача древних индусов: (слайд 17, 18)
Над озером тихим,
С полфута размером, высился лотоса цвет.
Он рос одиноко. И ветер порывом
Отнес его в сторону. Нет
Боле цветка над водой.
Нашел же рыбак его ранней весной
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
Как озера вода здесь глубока?
(использование эффекта отложенного действия – эффект Зейгарник – задача разбирается, составляется уравнение по условию, а решить это уравнение ребята должны дома)
А домашнее задание, ребята, у нас будет следующее: (слайд 19)
Рефлексия
Продолжите фразы: (слайд 20)
«Сегодня на уроке я повторил…»
«Сегодня на уроке я узнал…»
«Сегодня на уроке я научился…»
Итак, сегодня на уроке мы познакомились с одной из главных теорем геометрии – теоремой Пифагора. Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. (слайд 21)
Пребудет вечной истина, как скоро
Всё познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Урок геометрии в 8-м классе по теме: «Теорема Пифагора» (интегрированный урок)
Разделы: Математика
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Повторение пройденного материала
(Подготовка к восприятию нового материала).
По готовым рисункам заданы классу вопросы:
Какой треугольник изображен на рисунке 1? (Прямоугольный).
1. Назовите катеты и гипотенузу (ВС и АС – катеты, АВ – гипотенуза).
Рисунок 1 Рисунок 2
2. Какой треугольник на рисунке 2? (Равнобедренный, прямоугольный, углы при основании 45 0 )
3. По данным рисунка 3 докажите, что KMNP – квадрат. Как выразить его площадь?
Рисунок 3 Рисунок 4
По рисунку 4 сравните сумму квадратов катетов с квадратом гипотенузы.
III. Объяснение нового материала.
“Соедини предлог с игрою,
И чудо вдруг произойдет.
Цветок Египта знаменитый
Перед тобою расцветет”. (Лотос)
А теперь послушайте задачу, предложенную древними индусами:
1) “Над озером тихим с полфута размером высился лотоса цвет. Он рос одиноко. И ветер порывом отнес его в сторону. Нет более цветка над водой. Нашел же рыбак его ранней весной в двух футах от места, где он рос. Итак, предложу я вопрос: как озера вода здесь глубока?”
Показываю рисунок 5 и объясняю, что означает 1 фут. 1 фут = 0,3048 м. Единица длины системы мер, принятой в англоязычных странах.
Как найти отрезок CD? Кто как думает? Достаточно ли у вас знаний для решения этой задачи?
Предлагается еще одна задача индийского математика XII в. Бхаскары:
Показываю рисунок к задаче. Перед учениками ставится проблема: Что надо знать, чтобы решить эту задачу.
Ребята! Знаете ли вы что-нибудь, связанное с именем Пифагора?
Ученики могут сформулировать теорему или рассказать о головоломке-игре “Пифагор”.
В каком из европейских городов есть улица Пифагора?
Сегодня вы познакомитесь с одной из основных теорем геометрии, которую помнят все учащиеся. О математике, именем которого названа теорема, рассказывает ученик. Показываю его портрет.
В древней Греции жил ученый Пифагор (родился он около 580 г. до н.э., а умер в 500 г. до н.э.). С его именем связано много легенд. Он много путешествовал, был в Индии, Египте, Вавилоне, изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран. Вернувшись на родину, Пифагор организовал кружок молодежи из представителей аристократии. На юге Италии возникла Пифагорейская школа. Ими было сделано много в арифметике и геометрии. Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания.
В чем суть теории Пифагора? Ваши предложения.
После этого объявляется тема урока и цель.
“В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”.
Изобразите прямоугольный треугольник (рисунок 6) и запишите эту формулировку в обозначениях.
Во времена Пифагора эта теорема звучала так: “Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равен сумме квадратов, построенных на катетах”. Или “Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах”.
2-й ученик рассказывает историческую справку об этой теореме.
Теорема была известна задолго до Пифагора египтянам, вавилонянам, китайцам, индийцам. За несколько веков до н.э. эта теорема была хорошо известна и использовалась для построения алтарей.
Доказательство самого Пифагора до нас не дошло. В настоящее время известно более ста способов доказательства теоремы Пифагора.
Показываю рисунок 7.
Смотрите, а вот и Пифагоровы штаны на все стороны равны. Такие стишки придумывали учащиеся, рисовали шаржи к теореме Пифагора. Показываю красочные рисунки.
Теперь докажем теорему и запишем ее доказательства в обозначениях (рисунок 8). Используя наводящие вопросы, ведет запись на доске сильный ученик, а остальные ученики у себя в тетрадях.
АВ 2 = АС 2 + ВС 2 (с 2 = а 2 + в 2 ).
1) Достроим АВС до квадрата EFLD со стороной а + в (рисунок 9).
2) Из каких фигур состоит квадрат EFLD?
SEFLD = SPKMN + 4SD ABC = c 2 + 4
ав = с 2 + 2ав
а 2 + 2ав + в 2 = с 2 + 2ав
А для чего нужна теорема Пифагора?
Задача 1. Вычислить, чему равна гипотенуза треугольника, изображенного на рисунке 10. (ответ: 5)
Обратите внимание на эти три числа: 3, 4, 5 (треугольник с такими сторонами называется египетским). О нем вы прочитает дома на стр. 127.
Найдите d по рисунку 11.
d 2 = 6 2 + 8 2 (треугольник прямоугольный)
Итак, ребята, сделаем вывод, когда можно использовать теорему Пифагора?
Ответ: только для прямоугольного треугольника.
А теперь вернемся к задаче о лотосе.
x 2 + x + 
— x 2 = 4
x = 3
.
Ответ: 3 
фута.
Задача 2. Вычислите длину неизвестного отрезка по рисунку 12.
AC 2 = 0,5 2 + 1 2 = 0,25 + 1 = 1,25
х 2 = AC 2 + CD 2 = 1,25 + 1 = 2,25
Задача 3. Является ли треугольник прямоугольным, если его сторона выражается числами 5, 6, 7? (самостоятельно)
Задача 4. Вертолет поднимается вертикально вверх со скоростью 4 м/с. Определите скорость вертолета, если скорость ветра, дующего горизонтально равна 3 м/с (рисунок 13).
IV. Значение теоремы Пифагора.
Теорема Пифагора – одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Издавна она применялась в разных областях науки, техники, практической жизни (для определения прямых углов при построении зданий).
Значение ее состоит в том, что с помощью ее можно доказать большинство теорем геометрии. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист Плутарх, математик V века Прокл и другие. Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву быка или сто быков, как рассказывали другие, послужила поводом для рассказов писателей и стихов поэтов. Вот одно из стихотворений:
“Требует вечной истина, как скоро
Все познает слабый человек!
И ныне теореме Пифагора
Верна и как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношение
Богам от Пифагора сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За свет луча, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя вслед.
Они не в силах свету помешать,
А могут лишь, закрыв глаза дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор”.
Вывод.
Пытаясь доказать теорему Пифагора и решать задачи, находя для себя новые пути, вы научитесь решать задачи, не только математики, но и все, которые ставит жизнь.
Домашнее задание.
П. 54, № 483 (а, б), 486 (а, б), стр. 128.
Сильным ученикам найти другой способ доказательства теоремы.
V. Итог урока.
Вопросы к учащимся:
Класс: 8
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Юдина И.И. Геометрия. 8, Москва, Просвещение, 2015
Открытие нового знания
Цели урока для учителя
— формирование понятий: «прямоугольный треугольник», «свойства прямоугольного треугольника», «площадь фигур», «свойства площадей», «Теорема Пифагора»;
— формирование логического мышления путём применения приёмов сравнения, анализа, выделения главного;
— формирование умения воспринимать и применять информацию, самостоятельно определять задачи учебной деятельности;
— формирование смыслов учебной деятельности на основе развития познавательного интереса.
Цели урока для обучающихся
— вспомнить понятия: «площадь фигур», «прямоугольный треугольник», «свойства прямоугольного треугольника», «свойства площадей»,
— открыть связь между сторонами прямоугольного треугольника, понятие «Теорема Пифагора»,
— расширить знания о жизни великого математика, о знаменитой теореме Пифагора и её различных способах доказательства,
— работать в группе и паре,
— формулировать и аргументировать свою точку зрения,
— решать задачи по теме по алгоритму.
Проектирование нетрадиционного урока математики с учётом ФГОС ООО
Средства реализации методической цели
Совместное целеполагание, планирование деятельности на уроке; самостоятельная оценочная деятельность; проблемная ситуация; исследовательская работа; презентация проекта; индивидуальные и парные задания; рефлексия.
Проектно-исследовательская технология, информационно-коммуникационные технологии
Формируемые универсальные учебные действия
— формулирование проблемы;
— самостоятельное создание способов решения проблем;
— осознанное построение речевого высказывания;
— умение исследовать объект, осуществлять сравнение, устанавливать причинно-следственные связи, сделать соответствующие выводы;
— алгоритмизация способа действия.
— целеполагание;
— планирование;
— оценка деятельности на учебном занятии.
— развитие адекватной самооценки;
— развитие познавательных интересов, учебных мотивов;
— взаимопомощь.
— формулирование и аргументация собственного мнения;
— умение договариваться и приходить к общему решению;
— умение презентовать, импровизировать;
— умение строить четкое и монологическое высказывание.
Ход урока
I. Мотивационно-установочный этап
Цель этапа:
1) Организационный момент.
— Здравствуйте, ребята! Улыбнитесь друг другу, пожелайте успехов.
— Эпиграфом сегодняшнего урока является следующее высказывание немецкого математика Иоганна Кеплера:
— Кто такой Пифагор? Что вы знаете о нем?
2) Историческая справка. (показ видеофильма «Пифагор», 5 мин.)
— Итак, кто такой Пифагор? Как называется одна из основных теорем в геометрии? (теорема Пифагора)
— Тема нашего урока «Теорема Пифагора». Запишите её в свои тетради.
— Скажите, что вам известно про теорему Пифагора? Что бы вы хотели узнать по этой теме?
Составление плана урока.
3) Актуализация опорных знаний
Задание 1. «Прямоугольный треугольник» (работа в группе) Ученики делают на бумаге А3 опорные сигналы: рисунки, свойства треугольника, формулы и т.д.
— Проектировать знания о прямоугольном треугольнике, защитить проект. (3 мин)
— Как вы думаете, все ли мы знаем о прямоугольном треугольнике?
— А теперь давайте решим небольшую задачу.
Задание 2. Задача на готовом чертеже (на доске).
— Какие стороны известны? (катеты, а = 4, b =10)
-Тех знаний о прямоугольном треугольнике, которые мы имеем, не хватает. Эту задачу решить не можем.
Постановка учебной задачи урока.
— Сформулируйте то, что мы должны знать, чтобы решить эту задачу?
— Это и будет цель нашего урока.
Сообщение главной цели урока.
— Цель урока как раз и заключается в том, чтобы выяснить, как связаны между собой стороны прямоугольного треугольника.
II. Операционно-познавательный этап
“Открытие теоремы Пифагора”. Исследовательская деятельность (работа в парах)
— Чтобы выяснить связь между сторонами треугольника, мы займемся исследовательской деятельностью.
— Я вам раздам листы, на котором изображен прямоугольный треугольник. Ответьте на вопросы и сделайте вывод.
Теорема пифагора в каком классе изучают по атанасяну
Если Вы не нашли темы для своего учебника, то можете добавить оглавление учебника и получить благодарность от проекта «Инфоурок».
Минпросвещения намерено включить проверку иллюстраций в критерии экспертизы учебников
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения планирует прекратить прием в колледжи по 43 профессиям
Время чтения: 1 минута
Средняя зарплата учителей в Москве достигла 122 тыс. рублей
Время чтения: 1 минута
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
Школьников не планируют переводить на удаленку после каникул
Время чтения: 1 минута
Более половины родителей не состоят в родительских чатах
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.