теория вероятности с какого класса начинается

Теория вероятности с какого класса начинается

выступление на Педагогическом марафоне работников образовательных учреждений Наро-Фоминского района 28 марта 2011 года (видео-презентация)

Содержание проводимой работы определяется следующим образом:

Описательная статистика. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Случайная изменчивость. Статистические характеристики набора данных: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия. Репрезентативные и нерепрезентативные выборки.

Случайные события и вероятность. Понятие о случайном опыте и случайном событии. Элементарные события. Частота случайного события. Статистический подход к понятию вероятностей. Несовместные события. Формула сложения вероятностей. Вероятности противоположных событий. Независимые события. Умножение вероятностей. Достоверные и Невозможные события. Равновозможность событий. Классическое определение вероятности.

Комбинаторика. Решение комбинаторных задач перебором вариантов. Комбинаторное правило умножения. Перестановки и факториал.

Изучение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей целесообразно начать в 5–6 классах.

Основное содержание по темам

Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий)

Описательная статистика. Вероятность. Комбинаторика. Множества (20 ч)

Представление данных в виде таблиц, диаграмм.

Извлекать информацию из таблиц и диаграмм, выполнять вычисления по табличным данным, сравнивать величины, находить наибольшие и наименьшие значения. Выполнять сбор информации в несложных случаях, организовывать информацию в виде таблиц и диаграмм, в том числе с помощью компьютерных программ.

Понятие о случайном опыте и событии. Достоверное и невозможное события. Сравнение шансов.

Приводить примеры случайных событий, достоверных и невозможных событий. Сравнивать шансы наступления событий.

Решение комбинаторных задач перебором вариантов.

Выполнять перебор всех возможных вариантов для пересчета объектов или комбинаций, выделять комбинации, отвечающие заданным условиям.

Множество, элемент множества. Пустое множество. Подмножество. Объединение и пересечение множеств.

Иллюстрация отношений между множествами с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Приводить примеры конечных и бесконечных множеств. Находить пересечение и объединение конкретных множеств. Иллюстрировать теоретико-множественные понятия с помощью кругов Эйлера.

Учебники «Математика-5» и «Математика-6» (Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд) не содержат материал по теме «Вероятность. Комбинаторика» как органическую часть курса, к ним не подготовлены специальные вкладыши. В учебнике 5 класса всего 13 задач на перебор вариантов. Поэтому на уроке я активно использую дополнительную литературу.

Работа по формированию первоначальных комбинаторных, вероятностных и статистических представлений у учащихся 5-6-х классов – пропедевтический этап работы. При этом:

· Мотивация введения того или иного понятия должна быть хорошо продумана;

· Необходима постоянная опора на жизненный опыт учащихся;

· Определение понятий, их описания формулируются лишь на основе рассмотрения доступных школьникам, интересных и адекватных примеров.

Источник

Элементы теории вероятности в курсе математики основной школы. Урок по теме «Понятие «вероятность». Случайные события»

Разделы: Математика

Изучение элементов статистики и теории вероятностей начинается в 7 классе. Включение в курс алгебры начальных сведений из статистики и теории вероятностей направлено на формирование у учащихся таких важных в современном обществе умений, как понимание и интерпретация результатов статистических исследований, широко представленных в средствах массовой информации. В современных школьных учебниках понятие вероятности случайного события вводятся с опорой на жизненный опыт и интуицию учащихся.

Хотелось бы заметить, что в 5-6 классах учащиеся уже должны получить представления о случайных событиях и их вероятностях, поэтому в 7-9 классах можно было бы быстрее знакомить с основами теории вероятности, расширить круг сообщаемых им сведений.

Наше образовательное учреждение апробирует программу «Начальная школа 21 века». И я как учитель математики решила продолжить апробацию этого проекта в 5-6 классах. Курс реализован на базе учебно-методического комплекта М.Б.Воловича «Математика. 5-6 классы». В учебнике «Математика. 6 класс» на изучение элементов теории вероятностей отводится 6 часов. Здесь даются самые первые предварительные сведения о таких понятиях, как испытание, вероятность появления случайного события, достоверные и невозможные события. Но самое главное, что ученики должны усвоить, – при небольшом числе испытаний невозможно предсказать результат случайного события. Однако, если испытаний много, то результаты становятся вполне предсказуемыми. Чтобы учащиеся осознали, что вероятность появления события может быть подсчитана, дается формула, позволяющая вычислить вероятность наступления событий в случае, когда все рассматриваемые исходы «одинаковы».

Тема: «Понятие «вероятность». Случайные события».

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний учащихся

III. Объяснение нового материала

Если монету, например рубль, подбросить вверх и позволить ей упасть на пол, то возможны только два исхода: «монета упала гербом вверх» и «монета упала решкой вверх». Случай, когда монета падает на ребро, подкатывается к стене и упирается в нее, бывает очень редко и обычно не рассматривается.
Издавна в России играли в «орлянку» – подбрасывали монету, если надо было решить спорную проблему, у которой не было очевидно справедливого решения, или разыгрывали какой-нибудь приз. В этих ситуациях прибегали к случаю: одни загадывали выпадение «орла», другие – «решки».
К подбрасыванию монеты иногда прибегают даже при решении весьма важных вопросов.
Например, полуфинальный матч на первенство Европы в 1968 году между командами СССР и Италии закончился вничью. Не выявился победитель ни в дополнительное время, ни в серии пенальти. Тогда было решено, что победителя определит его величество случай. Бросили монету. Случай был благосклонен к итальянцам.
В повседневной жизни, в практической и научной деятельности мы часто наблюдаем те или иные явления, проводим определенные эксперименты.
Событие, которое может произойти, а может не произойти в процессе наблюдения или эксперимента, называют случайным событием.
Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей.

Проведем опыт 1: Петя 3 раза подбросил монету вверх. И все 3 раза выпал «орел» – монета упала гербом вверх. Догадайтесь, возможно ли это?
Ответ: Возможно. «Орел» и «решка» выпадают совершенно случайно.

Опыт 2: (учащиеся работают в парах) Подбросить монету в 1 рубль 50 раз и подсчитать, сколько раз выпадет орел. Записать результаты в тетради.
В классе подсчитать, сколько всеми учениками было проведено опытов и каково общее число выпадений орла.

Опыт 3: Ту же самую монету подбрасывали вверх 1000 раз. И все 1000 раз выпал «орел». Догадайтесь, возможно ли это?
Обсудим этот опыт.
Подбрасывание монеты называют испытанием. Выпадение «орла» или «решки» – исходом (результатом) испытания. Если испытание повторяют много раз при одних и тех же условиях, то сведения об исходах всех испытаний называют статистикой.
Статистика фиксирует как число m интересующих нас исходов (результатов), так и общее число N испытаний.
Определение: Отношение называется статистической частотой появления интересующего нас результата.

В XVIII веке французский ученый, почетный член петербургской академии наук Бюффон для проверки правильности подсчета вероятности выпадения «орла» подкинул монету 4040 раз. «Орел» у него выпал 2048 раз.
В XIX веке английский ученый Пирсон подкинул монету 24 000 раз. «Орел» у него выпал 12 012 раз.
Подставим в формулу , позволяющую подсчитать статистическую частоту появления интересующего нас результата, m = 12 012, N = 24 000. Получим = 0,5005.

Рассмотрим пример подбрасывания игрального кубика. Будем считать, что этот кубик имеет правильную форму и сделан из однородного материала и поэтому при его бросании шансы выпадения на его верхней грани любого числа очков от 1 до 6 одинаковы. Говорят, что существует шесть равновозможных исходов этого испытания: выпадение очков 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

Вероятность того или иного события проще всего подсчитать, если все n возможных исходов «одинаковы» (ни один из них не имеет преимуществ перед остальными).
В этом случае вероятность P вычисляется по формуле Р = , где n – число возможных исходов.
В примере подбрасывании монеты есть лишь два исхода («орел» и «решка»), т.е. п = 2. Вероятность Р выпадения «орла» равна .
Опыт 4: Какова вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет:
а) 1 очко; б) более 3 очков.
Ответ: а ) , б) .

Определение: Если событие при рассматриваемых условиях происходит всегда, то оно называется достоверным. Вероятность появления достоверного события равна 1.

Есть события, которые при рассматриваемых условиях не происходят никогда. Например, Буратино по совету лисы Алисы и кота Базилио решил зарыть свои золотые монеты на поле Чудес, чтобы из них появилось денежное дерево. Какой будет вероятность того, что их посаженных монет вырастет дерево? Вероятность вырастания денежного дерева из монет, «посаженных» Буратино, равна 0.

Определение: Если событие при рассматриваемых условиях не происходит никогда, то оно называется невозможным. Вероятность невозможного события равна 0.

IV. Физкультминутка

V. Закрепление

Задача 1:

Какие из следующих событий являются достоверными, а какие невозможными:

а) Бросили две игральные кости. Выпало 2 очка. (достоверное)
б) Бросили две игральные кости. Выпало 1 очко. (невозможное)
в) Бросили две игральные кости. Выпало 6 очков. (достоверное)
г) Бросили две игральные кости. Выпало число очков, меньше, чем 13. (достоверное)

Задача 2:

В коробке лежит 5 зеленых, 5 красных и 10 черных карандашей. Достали 1 карандаш. Сравните вероятности следующих событий, используя выражения: более вероятное, менее вероятное, равновероятные.

а) Карандаш оказался цветным;
б) карандаш оказался зеленым;
в) карандаш оказался черным.

а) равновероятные;
б) более вероятное, что карандаш оказался черным;
в) равновероятные.

Задача 4: Для украшения елки принесли коробку, в которой находится 10 красных, 7 зеленых, 5 синих и 8 золотых шаров. Из коробки наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что он окажется: а) красным; б) золотым; в) красным или золотым?

а) Найдите вероятность того, что вытащенный наугад шар будет красным.
б) Найдите вероятность того, что вытащенный наугад шар будет зеленым.
в) Из коробки вытащили наугад 2 шара. Может ли так оказаться, что оба шара будут красными?

VII. Итог

– Вы узнали самые сведения из теории вероятностей – что такое случайное событие и статистическая частота результата испытания, как вычислить вероятность случайного события при равновозможных исходах. Но надо помнить, что не всегда удается оценить результаты испытаний со случайным исходом и найти вероятность события даже при большом числе испытаний. Например, нельзя найти вероятность заболевания гриппом: слишком много факторов каждый раз влияет на исход этого события.

Источник

Основы теории вероятностей и математической статистики в школьном курсе математики – особенности изучения

Разделы: Математика

В настоящее время теория вероятностей и математическая статистика завоевали важные позиции в науке и прикладной деятельности, сопряженной со многими областями жизнедеятельности общества.

Теоретические идеи, методы и результаты данной дисциплины используются не только во многих естественных и технических науках, но и в социологии, психологии, экономике, планировании, организации производства, демографии, медицине, экологии и др.

Сейчас без достаточно развитых представлений о случайных событиях и их вероятностях, без хорошего представления о том, что явления и процессы, с которыми мы имеем дело, подчиняются сложным законам теории вероятностей, невозможна продуктивная деятельность людей ни в одной сфере жизни общества.

Конечно, в школьном курсе математики изучение основ теории вероятностей имеет некоторые особенности. С одной стороны это достаточно ёмкий и тяжёлый процесс, который трудно усваивается порой даже в более сознательном возрасте, не говоря уже о школьном. Но современная действительность требует от школы не только знающего, но и думающего, действующего человека. Именно осмысление, обдумывание и понимание вероятностных задач и проблем развивает комбинаторное мышление, необходимое в современном мире повсеместно.

Поэтому на данный момент никто не сомневается в необходимости включения данной дисциплины в школьный – пропедевтический курс, так как она помогает развивать у школьника ряд навыков, которые пригодятся ему не только в дальнейшем обучении, но и в жизни в целом. Школьник, обладающий основными вероятностными навыками, использует их в жизни с гораздо большей частотой, что в свою очередь вызывает снижение тревожности ребёнка при принятии необходимых решений.

Прикладной и наглядный характер теории вероятностей позволяет производить закрепление математических знаний разных разделов математики даже при дифференцированном подходе к обучению.

Нужно научить школьников мыслить, учитывая всякого рода вероятности. То есть важно научить их получать, анализировать и обрабатывать информацию, совершать взвешенные, обдуманные поступки в различных ситуациях с неожиданными исходами. Школьники в своей жизни каждый день сталкивается с такими ситуациями.

Игра и кураж занимают определенное, значимое место в их жизни. Все эти вопросы, связанные с сопоставлением понятий «достоверность» и «вероятность», трудность выбора лучшего из нескольких вариантов действия, оценка вероятности успеха и фиаско, представление о добре и зле, в играх и в настоящих жизненных ситуациях – все это, конечно, находится в кругу истинных и нужных увлечений подростка.

Важность прикладного характера математики – как описательного языка науки и техники, так и средства моделирования явлений и процессов, в том числе из повседневной жизни подчеркивается в ФГОС.

Математическая деятельность школьников обязательно выходит за рамки готовых вероятностных моделей. Выполнение школьниками заданий, которые в дальнейшем помогают принимать решения в реальных жизненных ситуациях, играет огромную роль и требует правильного и опытного преподавания материала педагогом. Знание теории вероятностей и математической статистики – один из самых главных факторов перспективной деятельности учителя математики. Нужен многосторонний взгляд на особенную методологию, включающую вероятностные и статистические выводы в их взаимосвязи. Учитель должен досконально знать и осознавать причины появления риска совершения неверных решений в ходе анализа событий, происходящих в виду случая. Обманчивое понимание, например, может возникать из-за малой статистической информации.

У учителей появляются необычные подходы к обучению. Преподаватель, определяя уровень знания школьниками всякого рода вероятностных навыков, может столкнуться с некоторыми трудностями, например, при решении задач школьникам часто приходится, мыслить, а не действовать строго по алгоритму, правилам, поэтому их ответы на одни и те же вопросы могут быть разными. В данном случае задачей преподавателя будет оценка права на ошибку ученика, поскольку она носит возможный характер. Поэтому не мало важно разграничение уровня умений и навыков индивидуально и без помощи посторонних делать выводы об изученном. Приступая к преподаванию ученикам «Теории вероятностей и математической статистики», педагог обязан осознавать, почему появилось необходимость введения в курс обучения новой программы. Правильное понимание преподавателем в школе целей обучения, ясное представление их соотношения с математикой и места данного раздела в ряду других тем, знание конечных требований к данной подготовке учеников – главное для учителя математики в реализации новой линии.

Нельзя не отметить и то, что обучение любому разделу математики положительно сказывается на умственном развитии подростков, потому как наделяет их навыками правильного логического мышления, опирающегося исключительно на верные и нужные понятия. Всё перечисленное в полном объеме относится и к обучению теории вероятностей, но преподавание «Закона случая» имеет гораздо большее значение, выходя за область обычного.
Изучая курс теории вероятностей, ученик начинает понимать, как применять приёмы логического мышления тогда, когда сталкиваешься с неопределённостью (а таких случаев на практике огромное множество). Если подходить детально и поэтапно, то школьный курс теории вероятностей начинается уже в 5 классе. Началом теории вероятностей является комбинаторика, где задачи решаются методом перебора, то есть учащиеся исследуют все возможные варианты решения. Разумеется, необходимо рассматривать решение комбинаторных задач с помощью дерева возможных вариантов.

Например: №1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5 используя в записи числа каждую из них не больше одного раза?

№2. Постройте все слова, которые можно получить из слова ТОК перестановками его букв. Сколько из них имеет смысл?

Например:

Задача. В 5а классе в среду 4 урока: математика, информатика, русский язык, английский язык. Сколько можно составить вариантов расписания на среду?

Всего: 4 * 3 * 2 * 1 = 24 способа.

Набор разных задач.

№ 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр: 0, 1, 3, 5, 7?

№ 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр: 0, 1, 3, 5, 7, при условии, что цифры не должны повторяться?

№ 3. Вороне где-то бог послал кусочек сыра, а также брынзы, колбасы, белого и черного хлеба. На ель ворона взгромоздясь, позавтракать совсем уж собралась, да призадумалась: сколькими способами можно составить бутерброды из этих продуктов?

Отдельной главой необходимо рассмотреть основные статистические характеристик: среднее арифметическое (средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество), мода (модой называют число ряда, которое встречается в этом ряду наиболее часто), размах (размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда данных), медиана (медиана — это число, которое разделяет ряд данных на две части, одинаковые по количеству членов), которые должны иллюстрируются множеством примеров из жизни.

Самое важное в обучении это рассматривать примеры, связывающие с практикой, описываются различные жизненные примеры, которые будут полезны и интересны школьникам.

Далее в старших классах изучаются статистические исследования, вводится определение статистики (наука, изучающая, обрабатывающая и анализирующая количественные данные о самых разнообразных массовых явлениях в жизни), рассматриваются новые понятия: выборка, репрезентативность, генеральная совокупность, ранжирование, объем выборки.

Например:

1) заполните таблицу абсолютной и относительной частот;

2) постройте полигон частот.

Задание 1. В 7 классе были получены следующие данные о росте 20 девочек : 163 166 167 162 158 159 160 163 159 157 160 162 165 157 163 166 164 160 157 155

Задание 2. 20 участников олимпиады по математике за 2 тура набрали следующие количество баллов: 45 50 58 50 58 59 51 53 54 57 60 57 55 50 51 56 58 46 59 55

Изучаются новые понятия выборочной дисперсии и среднее квадратичное отклонение.

Изучение последних требует не только понимания основ, данных ранее, но и более детального и внимательного отношения, так как в математике, как и в жизни – чем дальше, тем сложнее. Как и во всех дисциплинах, так и в школьном курсе изучения теории вероятностей существует своя особенная методика изучения теорем, основными из которых являются теорема сложения вероятностей и следствия из них и теорема умножения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей: «вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий», и, соответственно формула к данной теореме: Р (А + В) = Р(А) + Р(В).

Теорема умножения вероятностей «Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло», формула к ней выглядит так: Р (АВ)=Р(А)*Р(В/А).

Наряду с данными теоремами в курсе математики изучается и теория множеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств — совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством. В процессе изучения операций над событиями необходимо использовать как можно больше примеров, которые отражают не только суть этих операций, но и отличия в них. Ученики легко находят и сумму, и произведение событий, используя определение. Сложность заключается в том, чтобы сформировать у них понимание и осознание сущности операций над событиями. Для этого можно использовать различные задания по работе с операциями над событиями.

Например:

№ 1. В урне 3 красных и 5 желтых шаров. Какова вероятность того, что будут выбраны два шара одного цвета?

№ 2. Бросают два кубика. С какой вероятностью будет выброшена хотя бы одна шестерка?

Решение: Событие А: шестерка выпала на первом кубике.

Событие В: шестерка выпала на втором кубике.

Проблема, с которой можно столкнуться при объяснении данной темы заключается в сложности выделения простых событий. Всё дело в опыте, чем больше задач решено, тем больше понимания и минимум ошибочных суждений. Изучение данной темы приведёт учащихся к гораздо детальному пониманию и осмыслению таких понятий, как «элементарные события», «несовместные события», «достоверные события», «невозможные события», «противоположные события», так как все эти понятия могут быть определены на основе операции над событиями.

Одним из наиболее важных подходов с практической точки зрения является статистический подход к определению понятия «вероятности». Его реализация рассматривается как следующий этап формирования теоретико-вероятностных представлений у учащихся. Освоение статистического определения понятия «вероятности» важно для последующего его применения в разделах математической статистики для оценки статистических характеристик широкого класса явлений различного характера.

Практика показала, что изучения теории вероятностей очень трудоёмкий и тяжёлый процесс для обучающихся в школе, и настолько же тяжёл он и для преподавателей, с точки зрения его передачи ученикам. Поэтому он не упрощает каких-либо ошибок и недочётов, прежде всего потому, что он последователен, структурен, и каждая частица его структуры дополняет друг друга.

Источник