теория вероятности в каком классе изучают

Вероятность и статистика. Классическое определение вероятности

Разделы: Математика

Определение: Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий вероятно- статистические закономерности.

Например, с помощью данной теории можно посчитать вероятность того, что конкретного ученика в классе вызовут к доске на уроке. Рассмотрим основные понятия теории вероятности.

Определение: Случайные события – это события, которые при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти.

Один из основателей математической статистики, шведский ученый Харальд Крамер писал: “По-видимому, невозможно дать точное определение того, что подразумевается под словом “случайный”. Смысл этого слова лучше всего разъяснить на примерах”. Например, случайным событием является солнечная погода.

В обычном понимании вероятностью называют количественную оценку возможности наступления ожидаемого события.

Определение: События, которые в данных условиях произойти не могут, называются невозможными.

Например, то, что последний день зимы придется на 30 февраля.

Определение: События, которые в данных условиях произойти обязательно, называются достоверными.

Например, окончание урока.

Итак, достоверное событие – это событие, наступающее при данных условиях со стопроцентной вероятностью (т.е. наступающее в 10 случаях из 10, в 100 случаях из 100 и т.д.). Невозможное событие – это событие, не наступающее при данных условиях никогда, событие с нулевой вероятностью.

Но, к сожалению (а может быть, и к счастью), не все в жизни гак четко и ясно: это будет всегда (достоверное событие), этого не будет никогда (невозможное событие). Чаще всего мы сталкиваемся именно со случайными событиями, одни из которых более вероятны, другие менее вероятны. Обычные люди используют слова “более вероятно” или “менее вероятно”, как говорится, по наитию, опираясь на то, что называется здравым смыслом. Но очень часто такие оценки оказываются недостаточными, поскольку бывает важно знать, на сколько процентов вероятно случайное событие или во сколько раз одно случайное событие вероятнее другого. Иными словам, нужны точные количественные характеристики, нужно уметь охарактеризовать вероятность числом.

Первые шаги в этом направлении мы с вами уже сделали. Мы говорили, что вероятность наступления достоверного события характеризуется как стопроцентная, а вероятность наступления невозможного события – как нулевая. Учитывая, что 100% равно 1, люди договорились о следующем:

1) вероятность достоверного события считается равной 1;
2) вероятность невозможного события считается равной 0.

А как подсчитать вероятность случайного события? Ведь оно произошло случайно, значит, не подчиняется закономерностям, алгоритмам, формулам. Оказывается, и в мире случайного действуют определенные законы, позволяющие вычислять вероятности. Этим занимается раздел математики, который так и называется – теория вероятностей.

КЛАССИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТНАЯ СХЕМА

Для нахождения вероятности события А при проведении некоторого опыта следует:

1) найти число N всех возможных исходов данного опыта;
2) принять предположение о равновероятности (равновозможности) всех этих исходов;
3) найти кол-во N(A) тех исходов опыта, в которых наступает событие А;
4) найти частное N(A)/N оно и будет равно вероятности события А.

Поясним данное определение на примере. Рассмотри случайный эксперимент по бросанию игральной кости. Известно, что на игральной кости имеется 6 равных пронумерованных граней. Исходом каждого бросания кости будет выпадение одного из чисел от 1 до 6. В этом эксперименте мы имеем число всевозможных исходов n, равное 6. Назначим ожидаемым исходом выпадение числа 5. Поскольку число 5 на игральной кости только одно, число благоприятных исходов m будет равно 1. Используя формулу классической вероятности, нетрудно вычислить, что вероятность выпадения числа 5 равна 1/6.

Стоит отметить, что классическое определение вероятности применяется только к случайному событию с равновероятным исходом. Например, если бы у игральной кости были неравные грани, вероятность выпадения одних чисел была бы выше вероятности выпадения других. Определение классической вероятности в этом случае было бы неприменимо.

Вероятность – это положительное число от нуля до единицы.

Вероятность невозможного события равна 0, так как количество благоприятных исходов m равна 0.

Вероятность достоверного события равна 1, так как количество благоприятных исходов m совпадает с количеством возможных исходов n.

Источник

Презентация к уроку

В 2003 году было принято решение о включении элементов теории вероятностей и статистики в школьный курс математики общеобразовательной школы. (Инструктивное письмо №03-93ин/13-03 от 23.09.2003 г. Министерства образования РФ «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы»). Включение в курс математики элементов статистики и теории вероятностей обусловлено значением и местом вероятностно-статистических понятий в общей системе знаний и представлений современного человека. Вероятностно-статистические представления стали неотъемлимой составляющей функциональной грамотности человека, они играют важную роль в самых разных областях его практической деятельности. Без соответствующей подготовки затруднены восприятие и адекватная интерпритация разнообразной социальной, экономической, политической информации. Сегодня практически все естественные и социально-экономические науки построены и развиваются на базе вероятностно-статистических законов, и без соответствующей подготовки учащихся невозможно полноценное изучение этих предметов в школе. Всё это с неизбежностью требует развития вероятностно- статистического мышления подрастающего поколения. Одновременно именно вероятностно-статистическая линия, или как её стали называть в последнее время стохастистическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт ребёнка, способна содействовать усилению интереса к самому предмету «математика», пропаганде его значимости и универсальности. Но изучение данного материала представляет для учителей некоторые трудности. Изложение этих тем, как правило, не носило систематического и целостного характера. Учителя не всегда обращались к этим темам и не включали их в учебный план, так как дисциплина не была включена в государственный стандарт. Теперь это произошло. Даже некоторые задачи включены в ГИА 9 класса. Необходимость в изучении этих тем стала реальной.

В стандартах второго поколения по математике 5-9 класс написано, что в предлагаемом примерном тематическом планировании элементы вероятностно-статистической линии включены в курс, начиная с 5-6 класса. В то же время начало изучения этого материала может быть отнесено и к 7-9 классам. Но, как показывает опыт преподавания всё же лучше начинать изучать эти темы с 5 класса. По стандартам на изучение отводится 20 часов. В изучение 5-6 класса включены такие темы: «Представление данных в виде таблиц и диаграмм», «Понятие о случайном опыте и событии. Достоверные и невозможные события», «Решение комбинаторных задач перебором вариантов», «Множество, элемент множества. Пустое множество. Подмножества. Объединение и пересечение множеств. Иллюстрация отношений между множествами с помощью диаграмм Эйлера-Венна».

Основы статистики и вероятности становятся сегодня равноправной составляющей нашего обязательного школьного образования. И трудности для учителей в преподавании этих тем всё же остались. Не во все учебники включены эти темы. Мы работаем в 5-6 классе по учебнику Виленкина Н. Я. Здесь есть некоторые задачи по этим темам, а теории нет. Из своего опыта работы могу сказать, что материал можно найти в других учебниках, например, очень удачно изложен данный материал в учебнике «Математика 5 и 6 класс» по редакцией Дорофеева Г. В., «Вероятность и статистика 5-9 класс» Бунилович Е. А., Былычёв В. А., пособие для общеобраз. учеб. завед., М. «Дрофа», 2002г.

Я всегда включаю изучение данных тем с 5 класса. Учащимся в этом возрасте изучение этих тем интересно, они сами находят дополнительный материал, любят проводить эксперименты со случайными событиями.

. Хочу привести пример изучении темы «Комбинаторные задачи». В основной школе с комбинаторной точки зрения вполне достаточно развитых на разнообразных примерах навыков наивного перебора и отбора «руками» важных вариантов, умений производить различно организованный (например, в виде дерева возможных вариантов) перебор случаев, и, разумеется, осознание использования правил умножения, представленного в как можно большем числе разных комбинаций. Я иногда изучение этих тем расширяю.

Тема «Решение комбинаторные задач»(4 часа).

В приложении разработка обобщающего урока и презентация.

Литература.

Приложение 1: Урок «Комбинаторные задачи», 6 а класс

Источник

Теория вероятностей

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Урок 2. Понятие о теории вероятностей и математической статистике

Тип урока : урок формирования и совершенствования знаний, умений и навыков

Цель урока:

Создать условия, необходимые для рассмотрения этапов развития теории вероятностей, элементов теории вероятностей, научить решать задачи на заданную тему

— изучить предмет теории вероятностей и математической статистики, место теории вероятностей в системе научного познания мира, научить в процессе реальной ситуации определять термины теории вероятностей, научить решать задачи из жизни

— формирование у учащихся единой научной картины мира и элементов научного мировоззрения путем исследования межпредметных связей теории вероятностей и различных наук, владение интеллектуальными умениями и мыслительными операциями, развивать у учащихся коммуникативные компетенции (культуру общения, умение работать в группах, элементы ораторского искусства), способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию;

— развитие самостоятельности и навыков самоконтроля, способствовать развитию общения как метода научного познания, аналитического мышления, смысловой памяти, внимания, развитию навыков исследовательской деятельности

Используемые технологии: развивающее обучение, групповая технология, элементы исследовательской деятельности

Оборудование и материалы для урока: доска, экран, монеты, игральные кости, коробка с шарами, карточки с заданиями

На партах учащихся: тексты задач, таблицы для опытов, учебники

2.Вводная беседа. Актуализация знаний

3.Постановка темы, цели, задач урока

5.Решение задач и проведение экспериментов в группах. Выводы

6.Отчет каждой группы

7.Подведение итогов урока

Математику многие любят за ее вечные истины: дважды два всегда четыре, сумма четных чисел четна, а площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. В любой задаче, которую мы решаем на уроках математики, у всех получается один и тот же ответ – нужно только не делать ошибок в решении.

Реальная жизнь оказывается не такой простой и однозначной. Исходы многих явлений невозможно предсказать заранее, какой бы полной информацией мы о них не располагали.

Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет брошенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в школе получат в течение сегодняшнего дня только отличные оценки.

Такие непредсказуемые явления называются случайными. Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Именно такие закономерности изучаются в специальном разделе математики, который мы с вами начали изучать.

А сейчас мы определим ключевое слово нового раздела. Я предлагаю вам разгадать кроссворд:

Прямоугольник с равными сторонами

Одна сотая часть числа

Место, занимаемое цифрой в записи числа

Результат вычитания величин

Наименьшее натуральное число

Метод Эратосфена, в котором простые числа “отсеиваются” от составных

Одно из измерений прямоугольного параллелепипеда, которого нет у прямоугольника

Число, которое делится на каждое из данных чисел

Выражение, содержащее числитель и знаменатель

III. Задача. Студент при подготовке к экзамену не успел выучить один из тех 25 билетов, которые будут предложены на экзамене. Какова вероятность того, что студенту достанется на экзамене выученный билет?

Учитель: Начнем урок с проблемной задачи, ведь скоро вы станете студентами и можете попасть в такую же ситуацию. Как вы считаете, что надо применить для решения этой задачи? Встречались ли вы раньше с такого рода задачами? Где? Когда? Что вы помните из изученного раньше? Приведите примеры таких задач из своего жизненного опыта.

Так вот, чтобы помочь студенту, научиться решать задачи по теории вероятностей и успешно сдать экзамен по математике за курс основной школы, необходимо обновить свои знания и изучить этот раздел математики.

IV . Тео́рия вероя́тностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Российский создатель теории вероятности А. Н. Колмогоров писал: «вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определённого события в тех или иных определённых, могущих повторяться неограниченное число раз условиях». Предметом изучения теории вероятностей должна быть именно вероятность математическая (Р), как объективная мера возможности появления случайных событий.

Учитель: Численное значение вероятности рассчитывается из классического определения, по которому вероятность равна отношению числа случаев, «благоприятствующих» данному событию, к общему числу «равновозможных» случаев.

Учитель: Вот теперь мы вернемся к решению задачи, которую я поставила перед вами в начале урока.

Задача. Студент при подготовке к экзамену не успел выучить один из тех 25 билетов, которые будут предложены на экзамене. Какова вероятность того, что студенту достанется на экзамене выученный билет.

Ответ: .

Учитель: А теперь перейдем к работе в группах. Ваша задача: решить задачи, оформить их в тетрадях, провести эксперимент и рассказать о проделанной совместной работе. Листочки с заданиями, таблицы и материалы для экспериментов на столах. Если вам надо вспомнить материал предыдущих тем, воспользуйтесь учебником или моей помощью. Помогайте друг другу при решении.

(Учитель, в процессе работы учащихся, оказывает помощь каждой группе).

1 группа Задача № 1. В мешке находятся жетоны с номерами от 1 до 15. Из мешка наугад вынимают один жетон. Какова вероятность того, что номер вынутого жетона не делится ни на 2, ни на 3?

Исключаем 7 четных номеров жетонов (делятся на 2), а также нечетные номера 3, 9, 15(делятся на 3); получаем Тогда Ответ:

2 группа Задача № 2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6. Ответ округлите до сотых.

Решение. Элементарный исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел. Первое число выпадет на первом кубике, второе – на втором.

Множество элементарных исходов удобно представить таблицей. Строки соответствуют количеству очков на первом кубике, столбцы – на втором кубике. Всего элементарных событий п = 36.

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №33. Вероятность события. Сложение вероятностей.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— события, испытания, вероятность, случайное событие, невозможного и достоверного события;

— понятие классической вероятности события;

— поиск вероятности случайного события, пользуясь определением классической вероятности;

— поиск вероятности суммы событий.

Испытанием называется осуществление определенных действий.

Событие— факт, который может произойти в результате испытания.

Любой результат испытания называется исходом.

Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания.

Пространство элементарных событий Ω — множество всех различных исходов произвольного испытания.

Если события не могут произойти одновременно в одном испытании, то события называются несовместными.

Противоположное событие происходит тогда, когда исходное событие А не происходит.

Полной группой событий называется такая система событий, что в результате испытания непременно произойдет одно и только одно из них.

Число испытаний, в которых событие наступило, назовем абсолютной частотой и обозначим n. Общее число произведенных испытаний обозначим N.

Отношение абсолютной частоты к числу испытаний n/N называется относительной частотой события.

Относительная частота показывает, какая доля испытаний завершилась наступлением данного события. Эта относительная частота и определяет вероятность случайного события. Её ещё называют статистической вероятностью события.

Суммой событий А и В называется событие А+В, которое состоит в том, что наступит или событие А, или событие В, или оба события одновременно.

Произведением событий А и В называется событие А•В, состоящее в совместном осуществлении событий А и В.

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. Под ред. А.Б. Жижченко. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-022250-1, сс. 180-188.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В корзине лежат клубки ниток зеленого и белого цвета. Бабушка просит внучку достать ей клубок ниток и, внучка наугад из корзины вынимает один клубок. Какое из следующих событий может произойти?

1) вынутый предмет окажется клубком

2) вынутый предмет окажется красным клубком

3) вынутый предмет окажется зеленым клубком

4) вынутый предмет не окажется клубком

Ответ: первое и третье.

1. Теория вероятностей – раздел математики, изучающий случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Рассмотрим некоторые ключевые понятия, которые используются в теории вероятностей.

Испытанием называется осуществление определенных действий.

Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате испытания.

Любой результат испытания называется исходом.

Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания.

События обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита (А, В, С, D,…).

Рассматривая приведенный пример, мы можем сформулировать следующие заключения.

2. Определим еще несколько важных понятий теории вероятностей

Пространство элементарных событий Ω— множество всех различных исходов произвольного испытания.

Например, при броске одной игральной кости пространство элементарных событий Ω= 1, w ₂, w ₃, w ₄, w ₅, w₆>, где w_i— выпадение i очков.

Если события не могут произойти одновременно в одном испытании, то события называются несовместными.

Например, при бросании монеты не могут одновременно выпасть «Орёл» и «Решка».

Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий.

Противоположное событие происходит тогда, когда исходное событие А не происходит.

Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с чёрточкой сверху.

Полной группой событий называется такая система событий, что в результате испытания непременно произойдет одно и только одно из них.

Монету подбросили дважды. Укажите все элементарные события полной группы событий.

Элементарными событиями являются:

— Выпал один «орел» и одна «рещка».

3. Чтобы выяснить, насколько вероятно то или иное случайное событие, нужно подсчитать, как часто оно происходит.

Число испытаний, в которых событие наступило, назовем абсолютной частотой и обозначим n. Общее число произведенных испытаний обозначим N.

Отношение абсолютной частоты к числу испытаний n/N называется относительной частотой события.

Относительная частота показывает, какая доля испытаний завершилась наступлением данного события. Эта относительная частота и определяет вероятность случайного события. Ее еще называют статистической вероятностью события.

Статистическая вероятность события рассчитывается опытным путем.

Еще со времен Древнего Китая за 2238 лет до нашей эры на основании метрик демографы обнаружили, что на каждую тысячу новорожденных приходится 514 мальчиков.

Это означает, что Вероятность рождения мальчика составляет 0,514.

1. Классическое определение вероятности применяется для равновозможных событий.

К равновозможным (равновероятностным) относятся такие события, для которых нет никаких объективных оснований считать, что одно является более возможным, чем другие.

Например, при бросании игрального кубика события выпадения любого из очков равно возможны.

Рассмотрим произвольный эксперимент.

Пусть n— число всех исходов эксперимента, которые образуют полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, m – число благоприятных событию А исходов. Тогда вероятностью события А называется число

Согласно определению вероятности наименьшее значение вероятности принимает невозможное событие, так как оно не может наступить и для него m=0, значит и вероятность равна 0.

Наибольшее значение принимает достоверное событие. В силу того, что оно гарантированно произойдет, для него m=n, Р=m/n=n/n=1.

Произведением событий А и В называется событие А•В, состоящее в совместном осуществлении событий А и В.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий: вероятность появления одного из двух несовместных событий А или В равна сумме вероятностей этих событий:

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Известна история о том, как однажды к Г. Галилею явился солдат и попросил помочь ему в решении насущного вопроса: какая сумма 9 или 10 очков при бросании трех костей выпадает чаще?

Может показаться, что шансы равны, так как каждая сумма из 9 и 10 очков может быть получена одним их шести способов:

9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3;

10 = 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 = 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 2 + 4 + 4 = 3 + 3 + 4.

Однако с учетом перестановок для суммы 9 очков получается 25 различными способами (по 6 способов для первого, второго, пятого вариантов суммы, по 3 способа для третьего и четвертого вариантов, 1 способ для последнего варианта 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1), а для суммы 10 очков – 27 различными способами (6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3). Как видно, шансы этих случайных событий довольно близки между собой и относятся друг к другу как 25:27, что и вызвало затруднения солдата.

Таким образом, чаще выпадает сумма 10.

Пример 2. В средние века среди феодальной знати были широко распространены азартные игры. Большим любителем таких игра был француз шевалье де Мере. Страстного игрока в кости, придворного французского короля шевалье де Мере можно отнести к числу «основателей» теории вероятностей. Заслуга его состоит в том, что он настойчиво заставлял математиков решать различные задачи, на которые наталкивался сам во время своей практики игры. Он хотел разбогатеть при помощи игры в кости. Для этого шевалье придумывал различные усложненные правила игры. Страстному игроку, но плохому математику, де Мере посчастливилось иметь такого друга, как Паскаль. В 1654 г. шевалье де Мере обратился к Блезу Паскалю за помощью в разрешении проблем, связанных с вероятностью благоприятных результатов при бросании игральных костей.

Одна из задач была поставлена следующим образом: Игральная кость бросается четыре раза. Шевалье бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадет шесть очков. Какова вероятность выигрыша для шевалье? Ответ округлите до десятых.

Так как при каждом бросании игральной кости имеется 6 различных возможностей, то при четырех бросаниях кости число различных возможных случаев будет 6 · 6 · 6 · 6 = 1296.

Среди этих 1296 случаев будет 5 · 5 · 5 · 5 = 625 таких, где шестерка не выпадет ни разу.

В 1296 – 625 = 671 случае хотя бы один раз из четырех выпадает шестерка. Следовательно, вероятность выпадения хотя бы одной шестерки при четырех бросаниях кости равна 671/1296, что чуть больше 0,5.

Источник