у какого треугольника все стороны равны

Треугольник

Треугольник произвольный

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (тремя углами).

Виды треугольников :+ показать

Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые (то есть меньше 90˚).

Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов тупой (больше 90˚).

Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90˚).

Равносторонний (правильный) треугольник – треугольник, у которого все три стороны равны.

Свойства

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

4. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
не смежных с ним:

(Внешний угол образуется в результате продолжения одной из сторон треугольника).

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Признаки равенства треугольников

1. Треугольники равны, если у них соответственно равны две стороны и угол между ними.

3. Треугольники равны, если у них соответственно равны три стороны.

Биссектриса, высота, медиана

Здесь подробно о биссектрисе, высоте, медиане треугольника.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Вписанная окружность

Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис треугольника.

Описанная окружность

Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.

Соотношение сторон в произвольном треугольнике

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Площадь треугольника

Через сторону и высоту

Через две стороны и угол между ними

Через радиус описанной окружности

Через радиус вписанной окружности

, где – полупериметр

, где – полупериметр

Смотрите также площадь треугольника здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Есть пара ошибок в формулах. В частности в формуле вычисления площади через 2 стороны и угол между ними, в теореме Синусов, в разделе “свойства”.
А вообще отличные статьи, очень выручают, всё понятно и доступно, премного благодарен 😉

Анатолий, спасибо!
В разделе “свойства” ошибок не нашла…
В теореме синусов, – да… не пропечаталась буква гамма. Подправила.
В формуле площади треугольника, вы правы – картинка не соответствовала формуле. Исправила.
К сожалению, ошибки сразу не всегда замечаются.
Благодарю еще раз!

В разделе свойства:

Да, не хватало значка «» у А. Спасибо! 😉

Здраствуйте! Мне нужна ваша помощь!
Задача: ВЕРШИНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ДЕЛЯТ ОПИСАННУЮ ОКОЛО НЕГО ОКРУЖНОСТЬ НА ТРИ ДУГИ, ДЛИНЫ КОТОРЫХ ОТНОСЯТСЯ КАК 6:7:33. НАЙДИТЕ РАДИУС ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ МЕНЬШАЯ ИЗ СТОРОН РАВНА 11.

Подозреваю, у вас опечатка в условии…
Если длины дуг (а значит и их градусные меры) находятся в отношении , то выходим на уравнение Откуда Значит угол треугольника, что напротив меньшей стороны, есть
Применяем теорему синусов: , откуда

спасибо я так и думал а то не могу решить и всё
СПАСИБО!

Здравствуйте. Пожалуйста, объясните, как решить задачу:
Вписанная в теругольник ABC окружность касается сторон AB, BC и AC в точках K,L и М соответственно.Найдите KL, если AM=2, МС=3 и угол С=π/3

Очевидно,
Примите за .
Примените к треугольнику теорему косинусов:

Найдете , далее можно найти угол и из треугольника найти

Спасибо большое за ваш сайт. Очень радует, тот факт, что когда люди не понимают какую-нибудь задачу, вы помогаете решить. Спасибо. Побольше бы таких сайтов, всё понятно и доступно

Источник

Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы

Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы.

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.

Равносторонний треугольник (понятие, определение):

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.

Равносторонний треугольник называется также правильным или равноугольным треугольником.

По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним). Иными словами, правильный (равносторонний) треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.

Рис. 1. Равносторонний треугольник

АВ = ВС = АС – стороны треугольника, ∠ АВС = ∠ BАC = ∠ BСA = 60° – углы треугольника

Свойства равностороннего треугольника:

1. В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой.

2. В равностороннем треугольнике углы равны и составляют 60°.

3. В равностороннем треугольнике каждая медиана, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и высотой, и они равны между собой.

В равностороннем треугольнике биссектриса, проведенная к каждой стороне, является медианой и высотой, и они равны между собой.

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и медианой, и они равны между собой.

Рис. 2. Равносторонний треугольник

4. В равностороннем треугольнике высоты, биссектрисы, медианы и серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, которая называется центром равностороннего треугольника. Она же является центром вписанной и описанной окружностей.

Рис. 3. Равносторонний треугольник

R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности

5. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной.

6. Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, если считать от вершин.

Рис. 4. Равносторонний треугольник

AO : OK = BO : OА = CO : OD = 2 : 1

Признаки равностороннего треугольника:

– если в треугольнике три угла равны, то он равносторонний;

– если в треугольнике три стороны равны, то он равносторонний.

Формулы равностороннего треугольника:

Пусть a – длина стороны равностороннего треугольника, h – высота (l – биссектриса, m – медиана) равностороннего треугольника, проведенная к каждой стороне, α – угол равностороннего треугольника, α = 60°, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6).

Рис. 6. Равносторонний треугольник

Формула радиуса вписанной окружности (r):

.

Формула радиуса описанной окружности (R):

,

.

Формулы периметра (Р) равностороннего треугольника:

.

Формулы площади (S) равностороннего треугольника:

.

Формулы высоты (h), медианы (m) и биссектрисы (l) треугольника:

.

Источник

Треугольники общего вида

Треугольники общего вида.

Основные свойства треугольников:

Свойства медиан:

1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. на два треугольника, у которых площади равны.

2. Медианы пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении два к одному, считая от вершины.

3. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы и радиусу описанной около этого треугольника окружности.

Свойства высот:

1. Три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

2. Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены.

3. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

Прямоугольный треугольник и его свойства:

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов.

2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

3. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности (R)

4. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями которых являются катеты данного треугольника.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

Тригонометрические тождества:

1. Основное тригонометрическое тождество:

2. Связь между тангенсом и косинусом одного и того же угла:

3. Связь между котангенсом и синусом одного и того же угла:

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Признаки подобия треугольников:

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

Воспользуемся теоремой синусов:

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Источник

Справочный материал «Треугольники»

Содержимое разработки

а) Прямоугольные, тупоугольные, остроугольные.

Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один угол – прямой, т.е. равный 90°. Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые.

Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого два угла острые, а третий – тупой.

По двум сторонам и углу между ними

По стороне и двум прилежащим к ней углам

Медиана треугольника– отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Медианы пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, площадь каждого из этих двух треугольников равна половине площади данного треугольника.

Биссектриса треугольника – отрезок соединяющий вершину треугольника с противолежащей стороной и делящий угол пополам.

Биссектрисы пересекаются в одной точке.

Точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Высота треугольника – перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, на которой лежит противоположная сторона.

Высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника..

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный любому углу треугольника.

Его градусная мера равна сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Соотношение между сторонами и углами треугольника.

против большей стороны лежит больший угол;

против большего угла лежит большая сторона.

каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Сторону, которая лежит напротив прямого угла, называют гипотенузой.

Катетами называются стороны, которые образуют прямой угол.

Свойства прямоугольного треугольника

Гипотенуза больше любого катета.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета равен 30°.

Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Высота h_c, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу.

Каждый катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции на гипотенузу.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Признаки прямоугольного треугольника

— Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный.

Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник прямоугольный.

по гипотенузе и катету,

по катету и острому углу,

по катету и гипотенузе.

Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника

Отношения сторон прямоугольного треугольника не зависят от величин этих сторон, а зависят от величины острых углов прямоугольного треугольника. Для этих отношений были введены специальные названия и обозначения(тригонометрические функции).

синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тригонометрические равенства

Основное тригонометрическое тождество

Связь между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

Катет, лежащий против острого угла, равен произведению гипотенузы на синус острого угла.

Катет, прилежащий к острому углу, равен произведению гипотенузы на косинус острого угла.

Катет, лежащий против острого угла, равен произведению второго катета на тангенс острого угла.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна отношению противолежащего катета к синусу острого угла.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна отношению прилежащего катета к косинусу острого угла.

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны.

В равнобедренном треугольнике равные стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием.

AB и BC – боковые стороны ∆ABC, AC – основание ∆ABC.

Свойства равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой треугольника.

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.

Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

Площадь прямоугольного треугольника.

S_Δ=(½) a∙b, где a и b — катеты или S_Δ=(½) c∙h, где с — гипотенуза, h –высота, проведенная к гипотенузе.

Подобие – это преобразование, при котором расстояние между точками изменяется в одно и то же число раз. Преобразование подобия сохраняет градусные меры углов.

Треугольники называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

Признаки подобия треугольников:

1 признак – по двум углам (если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны);

3 признак – по трем сторонам (если все стороны одного треугольника пропорциональны всем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны).

Если треугольники подобны, то у них соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны.

Источник