у какой фигуры периметр больше

У какой фигуры периметр больше

На клетчатом поле со стороной клетки 1 см изображён прямоугольник.

Найди площадь этого прямоугольника.

На клетчатом поле со стороной клетки 1 см изображён прямоугольник.

Проведи на рисунке выше прямую линию так, чтобы этот прямоугольник оказался разбит на квадрат и ещё один прямоугольник.

У квадрата все стороны равны. Значит, исходя из ширины прямоугольника (3 см), квадрат может быть со сторонами 3х3. Таким образом, мы можем получить следующие комбинации:

Ниже на клетчатом поле со стороной клетки 1 см изображён прямоугольник.

Найди площадь этого прямоугольника.

На клетчатом поле со стороной клетки 1 см изображена фигура. Изобрази на рисунке прямоугольник площадью 16 см 2 так, чтобы вся данная фигура была его частью.

Пример возможного расположения.

На клетчатом поле со стороной клетки 1 см изображён прямоугольник. Найди периметр этого прямоугольника.

На клетчатом поле со стороной клетки 1 см изображена фигура. Изобрази на рисунке прямоугольник площадью 20 см 2 так, чтобы он весь был частью данной фигуры.

Допускается любой иной чертёж, удовлетворяющий условию задачи.

Периметр прямоугольника равен: см.

Найди площадь этого прямоугольника.

Ниже на клетчатом поле со стороной клетки 1 см изображён прямоугольник.

Изобрази на рисунке прямоугольник, который имеет площадь на 9 см 2 меньше исходного и весь является его частью.

Допускается любой иной чертёж, удовлетворяющий условию задачи.

На клетчатом поле со стороной клетки 1 см изображён прямоугольник. Найди периметр этого прямоугольника. В ответе укажите число.

Ниже на клетчатом поле со стороной клетки 1 см изображён прямоугольник.

Изобрази на рисунке прямоугольник, который имеет площадь на 9 см 2 меньше исходного и весь является его частью.

Допускается любой иной чертёж, удовлетворяющий условию задачи.

Источник

Задачи на нахождение периметра и площади для 4 класса с ответами

Для решения задач на нахождения периметра и площади прямоугольников и квадратов необходимо освоить следующие основные формулы:

Формулы площади и периметра для квадрата

P = a + a + a + a; P = a · 4 — периметр квадрата
S = a · a; S = a² — площадь квадрата

Формулы площади и периметра для прямоугольника

P = a + b + a + b; P = 2a + 2b;
P = (a + b) · 2 — периметр прямоугольника
S = a · b — площадь прямоугольника

Примеры решения задач разной сложности на нахождение периметра и площади

Задача 1

Каков периметр треугольника ABC?

Ответ: периметр треугольника равен 125 см.

Задача 2

Красный треугольник является равносторонним со стороной 23 сантиметров. Чему равен его периметр?

Ответ: Все три стороны равностороннего треугольника равны. Таким образом, его периметр равен 23 · 3 = 69 см.

Задача 3

Равнобедренный треугольник имеет периметр 37 сантиметров, а его основание имеет длину 9 сантиметров. Каждая из двух других сторон будет иметь длину _____ см.?

Ответ: Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны. Сумма равных сторон будет 37 — 9 = 28 см. Значит, каждая из них будет равна 28 : 2 = 14 см.

Задача 4

У Тимы есть сад в форме квадрата со стороной 9 метров. Какова длина забора, который опоясывает сад?

Ответ: Все стороны квадрата равны. Длина забора P равна длине стороны умноженной на 4. P = 4 · 9 = 36 метров.

Задача 5

В прямоугольнике ABCD красная сторона составляет 18 см, а синяя сторона 12 см. Чему равен периметр прямоугольника?

Ответ: Периметр прямоугольника равен 60 см.

Задача 6

Длина прямоугольника 8 дм, ширина 7 дм. Найди его площадь?

Ответ: Площадь прямоугольника 56 м².

Задача 7

Площадь витрины квадратной формы 64м². Узнай ее периметр.

Ответ: Периметр витрины равен 32 м.

Задача 8

Длина прямоугольника 9 дм, ширина 7 см. Найдите его площадь.

Ответ: Площадь прямоугольника равна 630 см².

Задача 9

Парк имеет форму прямоугольника с длиной 24 метра и шириной 18 метров. Если на его сторонах надо посадить деревья с отступом в 2 метра друг от друга, то сколько нужно деревьев?

Ответ: 42 дерева.

Задача 10

Каков периметр синей фигуры?

Ответ: Здесь есть два квадрата, у которых есть общая часть стороны. Так как сторона квадрата равна 10 см и часть стороны равна 8 см, то общая часть 2 см, а оставшаяся часть второго квадрата равна 8 см.
Периметр равен 10 + 10 + 8 + 10 + 10 + 10 + 8 + 10 = 76 см.

Задача 11

Два прямоугольных участка имеют одинаковую площадь. Длина первого — 48 м, а ширина 30 м. Чему равна длина второго участка, если его ширина на 6 м больше ширины первого участка?

Ответ: Длина второго участка 40 м.

Задача 12

Найди периметр квадрата со стороной 8 см.

Ответ: Периметр квадрата 32 см.

Длина бассейна прямоугольной формы 15 м. Найди периметр бассейна, если его площадь 120 м2.

Решение:

120:15=8 (м)- ширина бассейна
(8+15)·2= 46 (м)

Ответ: Периметр бассейна 46 метров

Периметр квадрата 8 см. Из трех таких квадратов сложили прямоугольник. Найди периметр получившегося прямоугольника.

Решение:

8:4=2 (см)- сторона квадрата
2+2+2+2+2+2+2+2=16(см)

Ответ: Периметр прямоугольника 16 см.

Ученику нужно было начертить прямоугольник со сторонами 5 см и 9 см, а он начертил его со сторонами 6 и 8 см. На сколько см² он ошибся?

Решение:

5 · 9 = 45 (см²)
6 · 8 = 48 (см²)
48 — 45 = 3 (см²)

Ответ: Ученик ошибся на 3 см²

Ответ: Ширина другого участка 24 м.

У какой фигуры площадь больше и на сколько: у квадрата со стороной 4 см или у прямоугольника со сторонами 2 см и 6 см?

Ответ: Площадь квадрата больше на 4 см.

Задача 20

Длина стороны квадрата 6 см. Узнайте площадь и периметр квадрата.

Ответ: Площадь квадрата 36 см², периметр квадрата 24 см.

У прямоугольника длина 7 см, ширина 5 см. Узнайте площадь и периметр прямоугольника.

Ответ: Площадь прямоугольника 35 м², периметр прямоугольника 24 см.

Задача 22

Сторона клумбы квадратной формы 8 м. 7/16 всей площади клумбы засажено ромашками, а остальная площадь – незабудками. На какой площади клумбы посажены незабудки?

1) 8 ∙ 8 = 64 (площадь клумбы)
2) 64 : 16 = 4(1/16 клумбы)
3) 4 ∙ 7 = 28 (плошадь клумбы засаженая ромашками)
4) 64 – 28 = 36

Ответ: Незабудками засажено 36 м².

Задача 23

Длина прямоугольника 6 см. Чему равна его площадь, если периметр составляет 18 см?

1) 6 ∙ 2 = 12
2) 18 – 12 = 6
3) 6 : 2 = 3 (ширина прямоугольника)
4) 3 ∙ 6 = 18

Ответ: Площадь прямоугольника 18 м².

Задача 24

Площадь прямоугольного стола 4800 кв см. Его ширина 60 см. Чему равен его периметр?

1) 4800 : 60 = 80 (длина стола)
2) 60 ∙ 2 = 120 см
3) 80 ∙ 2 = 160 см
4) 120 + 160 = 280 см

Ответ: Периметр стола 280 см.

Задача 25

Периметр прямоугольника 40 см. Одна сторона 5 см. Чему равна его площадь?

1) 5 ∙ 2 = 10
2) 40 – 10 = 30
3) 30 : 2 = 15 (другая сторона прямоугольника)
4) 5 ∙ 15 = 75

Ответ: Площадь прямоугольника 75 см².

Площадь квадрата 49 кВ дм. Узнайте его периметр.

1) 49 : 7 = 7 (сторона квадрата)
2) 7 ∙ 4 = 28 (периметр квадрата)

Ответ: Периметр квадрата равен 28 дм.

Задача 27

Ширина окна прямоугольной формы 4 дм, а длина в 2 раза больше. Вычислите площадь окна.

1) 4 ∙ 2 = 8 (длина окна)
2) 4 ∙ 8 = 32

Ответ: Площадь окна равна 32 м².

Задача 28

Длина участка земли 54 м. ширина — 48 м. 5/9 площади засажено картофелем. Остальная часть участка – капустой. Какая площадь засажена капустой?

1) 54 ∙ 48 = 2592 (площадь участка земли)
2) 2592 : 9 = 288 (1/9 площади)
3) 288 ∙ 5 = 1440 (5/9 площади)
4) 2592 – 1440 = 1152

Ответ: Капустой засадили 1152 м².

Найди периметр квадрата со стороной 16 см.

Ответ: Периметр квадрата 64 см.

Задача 30

Найди длину прямоугольника с помощью уравнения, если его ширина 7 см, а периметр равен 40 см.

(а + 7) · 2 = 40
2а + 14 = 40
2а = 40 — 14
2а = 26
а = 26 : 2
а = 13

Ответ: Длина прямоугольника 13 см.

Задача 31

Найди ширину прямоугольника, если его длина 10 см, а периметр равен 30 см.

Ответ: Ширина прямоугольника 5 см.

Задача 32

Периметр квадрата 24 см. Найди его площадь.

24 : 4 = 6 (см)
6 · 6 = 36 (см²)

Ответ: Площадь квадрата 36 см².

Задача 33

Периметр прямоугольника 36 см. Длина его 4 см. Найди площадь прямоугольника.

Ответ: Площадь прямоугольника 56 см².

Задача 34

Площадь прямоугольника 40 см². Ширина его 4 см. Чему равен периметр прямоугольника?

40 : 4 = 10 (см)
(10 + 4) · 2 = 28 (см)

Ответ: Периметр прямоугольника 28 см.

Задача 35

Ребро куба равно 2 сантиметров. Найти площадь всех граней куба.

Куб — многогранник, поверхность которого состоит из шести одинаковых по площади квадратов.

У куба 8 вершин, 12 рёбер, 6 граней (поверхностей).

Если S = a · a — площадь квадрата, тогда
S = (a · a) · 6 — площадь всех граней куба, из условия задачи a = 2, тогда S = 2 · 2 · 6
2 · 2 · 6 = 24 (см²)

Ответ: Площадь всех граней куба равна 24 см².

Задача 36

Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры.

Ответ: Площадь получившейся фигуры равна 44.

Задача 37

Площадь одной клетки равна 1см.

Ответ: Площадь фигуры A 18,5 см², площадь фигуры B 20,5 см², площадь фигуры C 30,5 см², площадь фигуры A 18,5 см², площадь фигуры E 12 см².

Задача 38

Найдите площади и периметры фигурок. Сделайте вывод.

Ответ: Пусть каждая из сторон клетки равна 1 см, тогда применив формулу площади квадрата S = a · a получим площадь одной клетки 1 · 1 = 1 см²

Фигура A — прямоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда 1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры; фигура A имеет четыре стороны, тогда 1 + 4 + 1 + 4 = 10 см — периметр фигуры.

Фигура B — квадрат состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда 1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры; фигура B имеет четыре стороны, тогда 2 + 2 + 2 + 2 = 8 см — периметр фигуры.

Фигура C — неправильный многоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда 1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры; фигура C имеет шесть сторон, тогда 3 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 = 10 см — периметр фигуры.

Фигура D — неправильный многоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда 1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры; фигура D имеет восемь сторон, тогда 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 10 см — периметр фигуры.

Фигура E — неправильный многоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда 1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры; фигура E имеет восемь сторон, тогда 1 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10 см — периметр фигуры.

Вывод: Фигуры A, B, C, D, E имеют одинаковую площадь, но наименьший периметр имеет квадрат. У разных по форме плоских фигур, с одинаковой площадью, наименьший периметр всегда имеет квадрат.

Задача 39

Квадрат в данной фигуре имеет периметр 24 см. Синий треугольник — периметр 15 см. Каков периметр красной фигуры?

Ответ: Периметр красной фигуры равен 27 см.

Задача 40

Периметр каждого из зеленых квадратов 12 см. Каков периметр большого квадрата?

Ответ: Периметр равен 36 см.

Площадь прямоугольника 72 см2. Какова длина и ширина прямоугольника, если ширина в 2 раза меньше, чем его длина?

Ответ: Длина прямоугольника равна 12 см. а ширина — 6 см.

Задача 42

Найти периметр прямоугольника, если сторона (катет) a = 6 см, а сторона (катет) b = 8 см.

Ответ: Периметр прямоугольника равен 24 см.

Задача 43

Периметр красного квадрата равен 16см. Красные треугольники равносторонние. Каково расстояние проползет улитка по пути ABCDFGHA?

Ответ: Расстояние пройденное улиткой будет равно 28 см.

Задача 44

В зале длиной 12 м и шириной 8 м надо покрыть пол квадратными плитками. Сколько потребуется плиток, если площадь каждой плитки 4 дм2?

Задача 45

Каков периметр зеленой зоны, если ширина синей зоны равна 3 метра?

Ответ: Периметр зеленой зоны равен 100 метров.

Источник

У какой фигуры периметр больше

Изучение зависимостей площадей и периметров в четырехугольниках

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

С понятием периметр и площадь я познакомилась в 3 классе. Э ти важные понятия необходимы человеку на протяжении всей его жизни. Деятельность строителей, инженеров, земледельцев и представителей других профессий немыслима без прочных знаний по этой теме.

Цель проекта: установить некоторые зависимости между площадью и периметром, увидеть их применение в практических ситуациях.

Задачи:повторить понятия по теме исследования, а именно: «площадь фигуры» и «периметр фигуры»; провести необходимые исследования и опыты; сделать выводы о зависимости площадей и периметров ; рассмотреть практическое применение полученных результатов.

Определение предмета исследования. Что нужно выяснить:

Как связаны периметры и площади прямоугольников?

Зависит ли площадь прямоугольника от его периметра?

Какой прямоугольник имеет наибольшую площадь при заданном периметре?

Если известен периметр прямоугольника, то нельзя ли однозначно установить его площадь?

Что можно сказать о зависимости площади квадрата от его периметра?

Проблема. Никаких зависимостей связывающих площади и периметры фигур мы пока не изучили.

Гипотеза. Предполагаем, что некоторые зависимости существуют. С изменением длины одной из сторон прямоугольника при заданном периметре изменится и площадь этого прямоугольника. Можно даже предположить, что если площадь больше, то периметр больше. Если у одной фигуры больше периметр, чем у второй, то её площадь больше, меньше или по-разному?

Периметр – величина, равная сумме длин всех сторон многоугольника.

Площадь фигуры – величина, показывающая сколько места занимает фигура на плоскости.

Свойства площадей нам тоже известны:

Равные фигуры имеют равные площади.

Площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей.

За единицу площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единичному отрезку.

Исследования начнем с простой и хорошо знакомой нам фигуры – прямоугольника.

Заполним таблицу, считая площадь одной клеточки равной 1 см 2

Источник

Задача о мятом рубле

Задача

Можно ли сложить прямоугольный лист бумаги в плоскую фигуру с периметром больше, чем у исходного прямоугольника? Рвать и резать бумагу, разумеется, нельзя.

Подсказка 1

Решение и ответ зависят от того, как понимать условие.

Вариант понимания 1. Каждый раз плоскую фигуру просто складывают вдоль какой-нибудь прямой, как на рис. 1. Докажите, что при таких операциях периметр не может увеличиться.

Рис. 1. Простая складка: каждый раз имеющуюся фигуру складывают вдоль прямой

Вариант понимания 2. Можно складывать как угодно, лишь бы в результате получилась плоская фигура — как на рис. 2. Кстати, поймите, почему фигуру на рис. 2 нельзя сложить последовательными прямыми складками, которыми можно пользоваться в первом варианте. При таком понимании задачи сложить лист в фигуру с большим периметром можно, хотя это и кажется невероятным (здесь у любителей оригами есть преимущество).

Рис. 2. Сложная складка

Подсказка 2

Эта подсказка относится ко второму варианту понимания условия. Я привожу тут намек, как сложить лист в фигуру с периметром больше, чем у исходного листа бумаги.

Начнем с квадратного листа бумаги. Соберем то, что оригамисты называют базовой формой «Птица» (рис. 3). Это основа для классической японской модели оригами — бумажного журавлика. Журавлика мы делать, однако, не будем — для желающих этому научиться есть достаточно информации в интернете. Действия, необходимые для сборки модели с рис. 3, описаны в отдельном файле.

Рис. 3. Базовая форма «Птица»

Обратите внимание на важные свойства получившейся «штучки»: у нее есть «спина» и четыре достаточно длинных «отростка» (из этих отростков получились бы два крыла, голова и хвост журавлика, если бы мы продолжили заниматься оригами, вместо того чтобы решать задачу). Если растопырить эти отростки во все стороны, то хочется получить модель с большим периметром. Однако тут есть проблема: отростки при попытке отогнуть их в разные стороны слишком сильно друг друга перекрывают, и в итоге периметр фигуры получается существенно меньше, чем хотелось бы.

Подумайте, как сделать так, чтобы отростки (и спинка) стали тоньше.

Решение

Сначала разберемся с той формулировкой, в которой можно складывать как угодно.

В этом файле показано, как нужно видоизменить отростки журавлика (из Подсказки 2), чтобы они не потеряли в длине, но стали более узкими. Эта процедура не очень простая и сразу может не получиться, если у вас раньше не было опыта складывания бумаги. Однако попробуйте.

Рис. 4. «Худая» фигурка, периметр которой после расплющивания будет больше периметра исходного квадрата

Пусть а — сторона исходного квадрата (рис. 4). Соберем фигуру с очень тонкими отростками, тогда после отгибания они не сильно теряют в длине за счет наложения. Каждый из отростков вносит в итоговый периметр вклад примерно a/2 каждой из своих двух сторон (см. рис. 4). Причем это число тем ближе к a/2, чем тоньше отростки. В пределе мы получим ровно a от каждого отростка. Но еще в периметр вносит вклад то, что было «спинкой» журавлика. Таким образом, периметр полученной фигуры можно сделать сколь угодно близким к некоторому числу, которое точно больше, чем 4а. То, что надо!

Хотя это и не важно для решения, можно посчитать вклад «спинки». С каждой стороны «спинка» вносит вклад R. Эту величину посчитаем, глядя на развертку модели. На рисунке показаны области бумаги, из которых получаются отростки и спинка. На спинку уходит центральный кружок; он имеет радиус . Это и есть длина одной из сторон спинки в итоговой модели.

Теперь докажем для полноты картины, что, пользуясь лишь простыми складками, нельзя увеличить периметр. То есть разберем первый вариант понимания формулировки задачи. Покажем, что простое складывание бумажного многоугольника вдоль произвольной прямой не может увеличить периметр бумажной фигуры. Некоторая техническая «мелочь» будет пропущена, чтобы проверить бдительность читателя.

Рис. 5. После простого складывания периметр не может увеличиться

Послесловие

Эта задача имеет давнюю и интересную историю. Впервые ее, как считается, предложил Владимир Арнольд в 1956 году (и ее можно найти под номером 1 в книге «Задачи Арнольда», М: Фазис, 2000). Название задачи — «Задача о мятом рубле» — обусловлено тем, что рубль в то время был бумажным.

На западе задача также известна как «задача о салфетке Маргулиса» или просто как «задача о складывании салфетки» (Napkin folding problem). По-видимому, первое «решение» задачи предложил американский оригамист Роберт Лэнг (см. Robert J. Lang, а также личный сайт Лэнга), собрав в 1987 году фигурку морского ежа, которая, по сути, дает решение. Немного упрощенную идею решения он описал в 2003 году в книге «Origami design secrets» (к сожалению, пока не переведенной на русский язык). В этой книге он развивает идею разработки моделей оригами при помощи метода оптимальной упаковки кругов. Построение морского ежа можно описать при помощи диаграммы кругов подобно тому, как мы это сделали для тонкого журавлика (рис. 4).

Удивительно, но оказывается, периметр сложенной фигуры можно сделать не просто больше чем периметр исходного листа. Можно сделать его сколь угодно большим. Идея такого построения в том, чтобы повторить конструкцию «тонкого журавлика», описанную выше, много раз вдоль всего листа бумаги, по горизонтали и вертикали. Как раз так и получается морской еж Лэнга. Это позволяет получить сколь угодно много тонких отростков. Нужно только убедиться, что суммарная длина отростков может быть сделана сколь угодно большой.

В построениях Лэнга, однако, было несколько неясных с математической точки зрения моментов. Дело в том, что бумага, как ее понимают оригамисты, отличается от идеальной математической бумаги несколькими параметрами. Самое главное отличие в том, что оригамисты при сборке моделей иногда немного растягивают или сжимают бумагу, а для математической бумаги это запрещено. Математик не поверит в существование фигуры большего периметра, даже если будет держать ее в руках: а вдруг при ее сборке была допущена недопустимая операция? Впрочем, другое отличие бумаги настоящей от математической скорее играет на руку математикам: идеальная бумага не имеет толщины, а, значит, можно накладывать сколько угодно слоев бумаги друг на друга, и гнуть полученный «сэндвич», не боясь, что он порвется или растреплется. Только делать это приходится исключительно в уме. Если вы попробуете сделать очень тонкие отростки, как на рис. 4, — не удивляйтесь, если они получатся потрепанными и некрасивыми.

В 1998 году вышла статья И. Ященко «Make your dollar bigger now. » (doi:10.1007/BF03025296), в которой приводится четкое и понятное построение, позволяющее сделать периметр больше, чем у исходного прямоугольника, однако всё же не сколь угодно большим.

Математически строгое доказательство того, что периметр можно сделать сколь угодно большим (а заодно и строгая формулировка задачи), было предложено Алексеем Тарасовым в статье Решение задачи Арнольда о «мятом рубле». Он не знал ни про журавлика, ни про морского ежа, а придумал оригинальную конструкцию, которая получила впоследствии имя «расческа Тарасова».

Идею доказательства, использующую журавлика, я взял из понятной и чрезвычайно наглядной статьи А. Петрунина. Там же вы можете найти детали приведенных здесь рассуждений, подробный исторический обзор, а также решение другой интересной задачи «бумажной геометрии»: можно ли сложить лист бумаги таким образом, чтобы периметр увеличился и результат был выпуклым многоугольником?

Советую также зайти на сайт Математических Этюдов, где наша задача подробно разобрана. Там есть много картинок, в том числе иллюстрирующих построение расчески Тарасова.

Остались тут и нерешенные задачи. Например, до сих пор неизвестно (насколько я знаю), можно ли увеличить периметр, делая лишь «полупростые» складки, как показано на рис. 6: сгибая не вдоль всей прямой, а только вдоль одного отрезка.

Источник