В чем заключается геометрический смысл сходимости последовательности

Числовая последовательность. Определение. Определение и геометрический смысл предела числовой последовательности.

Это определение станет понятнее, если ему придать геометрический смысл. Заключим число а в интервал . Число а есть предел последовательности , если независимо от малости интервала все члены последовательности с номерами, большими некоторого , будут лежать в этом интервале. Иными словами, вне любого интервала может находиться лишь конечное число членов последовательности.

Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

Þ .

Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f ( x ) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g ( x ), то предел функции f ( x ) в этой точке не превосходит предела функции g ( x ).

Þ .

Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной.

.

Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в

Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

.

Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

.

Теорема 7. Если функции f ( x ) и g ( x ) имеют предел при ,

причем , то и их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.

, .

Бесконечно малая величина. Определение. Свойства бесконечно малых.

Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Последовательность называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то , .

Подчеркнём, что бесконечно малую величину следует понимать как переменную величину (функцию), которая лишь в процессе своего изменения [при стремлении к (из )] делается меньше произвольного числа ( ). Поэтому, например, утверждение типа «одна миллионная есть бесконечно малая величина» неверно: о числе [абсолютном значении] не имеет смысла говорить, что оно бесконечно малое.

· Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

· Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

· Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

· Если — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.

Дата добавления: 2019-09-13 ; просмотров: 200 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

Предел последовательности. Геометрический смысл предела.

Пусть каждому по некоторому закону поставлено в соответствие действительное число x_n. Тогда говорят, что определена последовательность чисел x₁,x₂,…,x_n или n>.

Число x_n –элемент последовательности.

Пример 17.2.

1) ;

2) .

Если x_n=const, то последовательность называется постоянной.

Последовательность n> ограничена, если .

Число а называется пределом числовой последовательности n>, если для любого положительного числа ε существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство .

Обозначение: или .

Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, не имеющая его – расходящейся.

Пример 17.3.

Определить предел последовательности .

(Ответ: .)

Геометрический смысл предела числовой последовательности

Число a – предел последовательности x_n, если в любую окрестность числа а, начиная с некоторого номера попадают все члены последовательности .

Пример 17.4.

Показать, что последовательность не имеет предела. Действительно, пусть а – предел x_n..

Основные свойства сходящихся последовательностей

Если последовательность n> имеет предел, то он единственный.

Доказательство

Если последовательность n> сходится, то она ограничена.

Доказательство

Пусть . Зададим . Тогда : .

Известно, что ,

поэтому

Источник

Геометрический смысл понятия предела последовательности

Расположим члены последовательности x₁,x₂. x_n. на числовой прямой. Неравенство |x_n-A| N элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству ∣xn−a∣

В самом деле, обозначим n-й член этой последовательности символом xn и предположим, что эта последовательность сходится к некоторому пределу a. Но тогда каждая из последовательностей <xn+1−a> и <xn−a> являлась бы бесконечно малой. Стало быть, являлась бы бесконечно малой и разность этих последовательностей <xn+1−xn> а этого быть не может в силу того, что ∣ ∣ xn+1−xn∣ ∣ =1 для всех номеров n.

Последовательность <an> называется бесконечно малой, если для любого положительного вещественного числа ε найдется номер N(ε) такой, что при всех n>N элемент an последовательности удовлетворяет неравенству ∣an∣

Теорема 5. Произведение сходящихся последовательностей и представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей и .

Доказательство. Предположим, что последовательности <xn> и <yn>сходятся к пределам a и bсоответственно. Тогда для элементов этих последовательностей справедливы (6), перемножая которые, мы получим
xn·yn=a·b+abn+ban+an·bn или, xnyn−a·b=abn+ban+an·bn (8)

Лемма 1. Если последовательность сходится к отличному от нуля пределу b, то, начиная с некоторого номера, определено частное <1yn>последовательностей <\<>1<\>> и , которое представляет собой ограниченную последовательность.

Теорема 6. Частное двух сходящихся последовательностей и , предел второй из которых отличен от нуля, определено, начиная с некоторого номера, и представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей и .

Т.к. для элементов xn и yn справедливы (6), то

Остается доказать, что в правой части (11) стоит элемент бесконечно малой последовательности, но это сразу вытекает из того, что последовательность <1yn> (в силу леммы 1) является ограниченной, а последовательность <an−babn> (как разность двух бесконечно малых) является бесконечно малой последовательностью. Теорема доказана.

Теорема Вейерштрасса.

Доказательство не требуется

Число е.

Рассмотрим последовательность n> = .

Если последовательность n> монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.

По формуле бинома Ньютона:

или, что то же самое

Покажем, что последовательность n> – возрастающая. Действительно, запишем выражение x_n+1 и сравним его с выражением x_n:

Каждое слагаемое в выражении x_n+1 больше соответствующего значения x_n, и, кроме того, у x_n+1 добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность n> возрастающая.

б) ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Если <x_n> – бесконечно большая, то с геометрической точки зрения это означает, что в любой e-окрестности точки ¥ находятся все члены последовательности, за исключением может быть конечного их числа.

в) СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Если последовательность n> – б.м, то <1>n> – б.б.

(связь бесконечно больших и бесконечно малых)

2) Если <x_n> и <y_n> – б.б. последовательности одного знака, то их сумма < x_n + y_n > – б.б. того же знака.

то их произведение <x_n × y_n> – б.б. последовательность.

6) Если <x_n> – ограниченная и отделимая от нуля, <y_n> – б.б., то их произведение <x_n × y_n> – б.б. последовательность.

7) Если последовательность <x_n> – б.б. и для любого nÎℕ имеет место неравенство

Источник

Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Отсюда следует, что добавление к последовательности конечного числа элементов или исключение из нее конечного числа элементов не влияет на ее сходимость и значение ее предела, изменяется лишь номер, начиная с которого все элементы последовательности попадают в выбранную ^-окрестность точки ft.

Пример 6.3. а:

Убедимся, что для (6.5) В силу очевидного неравенства 2+ (-!)» 3 п п примем N = [3/е]. Тогда при произвольном е > 0 для п > [3/е] будет выполнено условие в (6.7). в.

Предел последовательности

Свойства сходящихся последовательностей. В самом деле, при любом е > 0. Поэтому в (6.7) в качестве N можно выбрать любое натуральное число. Пример в.4. Проверим, что при а > 1 При предположим, что По определению логарифма, loga ап = п.

Отсюда Следствие 6.1. Сходящаяся последовательность, элементы которой знакопостоянны, не может иметь предел другого знака. В самом деле, если бы предел последовательности имел иной знак, то, согласно теореме 6.3, начиная с некоторого номера ее элементы приняли бы знак предела, что противоречит исходному условию. Пусть даны две последовательности <х„>и <уп>. Их суммой, произведением и частным называют последовательности <хп + Уп>, <х„у„>и <хп/у„>, а обратной к <у„>— последовательность <1>, причем последовательности <хп/уп>и <1 >определены лишь при условии уп ф 0 Vn € N. Ясно, что Теорема 6.4.

Если последовательности <хп>и <у„>сходятся соответственно к пределам а и 6, то Обозначим и выберем произвольное € > 0. Тогда: 1) для сходящихся последовательностей, по определению 6.3, что, согласно определению 6.3 предела последовательности, доказывает (6.10); 2) воспользуемся тождеством и с учетом (1.4) запишем по теореме 6.2 об ограниченности сходящейся последовательности и определению 6.2 ограниченной последовательности, для сходящихся последовательностей, согласно определению 6.3.

Ясно, что (6.10) и (6.11) нетрудно обобщить на любое конечное число слагаемых или сомножителей, если в их качестве •взять сходящиеся последовательности. Следствие в.2. При вычислении предела сходящейся последовательности один и тот же постоянный сомножитель в ее элементах можно выносить за символ предела.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Выполним предварительно тождественные преобразования а из (6.19) искомый предел равен 1/5. Пример 6.8. Введенные при доказательстве теоремы 6.4 величины Дяп = |а-яп| и Луп = |6-у„| можно рассматривать как абсолютные погрешности приближенных значений хп и уп соответственно величин а и Ь. Тогда полученные в ходе доказательства теоремы соотношения, приближенно заменяя в них а на |хп| и |6| на |уп|, можно использовать для оценки погрешностей, возникающих при суммировании, умножении, обращении и делении приближенных значений, а именно:

Наибольшая возможная (максимальная) погрешность алгебраической суммы равна сумме погрешностей слагаемых, т.е. Бели в качестве погрешностей слагаемых рассматривать ошибки округления, то значение Дтах(яп + Уп) наиболее чувствительно к погрешности наименее точного слагаемого. Поэтому, чтобы избежать лцшних вычислений, не следует сохранять в более точном слагаемом лишние значащие цифры.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Свойства сходящихся последовательностей

Теорема 1 (единственность предела). Если последовательность имеет предел, то он единственный. Предположим противное. Пусть и Выберем 0.» title=»\varepsilon=\frac<1><2>\left|a^<\prime>-^<\prime\prime>\right|>0.» /> Тогда найдутся номера и такие, что для всех справедливо неравенство а для всех справедливо неравенство Положим Тогда при неравенства и должны выполняться одновременно, что невозможно, поскольку при выбранном окрестности и не имеют общих точек. Определение. Числовая последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число что для всех номеров справедливо неравенство Последовательность называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу.

Легко показать, что ограниченность последовательности равносильна тому, что

С геометрической точки зрения ограниченность последовательности означает, что все ее элементы находятся в некоторой окрестности нуля.

Теорема 2 (необходимое условие сходимости). Если последовательность сходится, то она ограничена. Пусть Зададим и найдем номер N такой, что для всех справедливо неравенство Среди конечного числа элементов найдем наибольший и наименьший Тогда, очевидно, неравенство имеет место для всех Приведем еще одно доказательство. Для найдем номер такой, что при всех Пусть Тогда для всех очевидно, справедливо неравенство

Обратное к доказанной теореме утверждение не имеет места, т. е. из ограниченности последовательности не следует сходимость. В кванторах определение неограниченной последовательности выглядит следующим образом

Источник