В чем заключается гидравлический и энергетический смысл уравнения бернулли

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ

Уравнение Бернулли (2.26) при v = 0 принимает вид

,

т.е. переходит в основное уравнение гидростатики.

Таким образом, основное уравнение гидростатики является частным случаем уравнения Бернулли.

Определим размерность каждого члена уравнения Бернулли и его смысл. Первый член z имеет линейную размерность L и характеризует высоту положения струйки (потока) над горизонтальной плоскостью x0y. Таким образом, плоскость x0y является плоскостью сравнения. Величина z называется геометрической высотой положения или геометрическим напором.

Второй член p/rg также имеет линейную размерность:

.

Он называется пьезометрической высотой или пьезометрическим напором, соответствующим давлению (абсолютному или избыточному).

Третий член уравнения v 2 /2g, как и предыдущие два, тоже имеет линейную размерность

.

Он представляет собой высоту, на которую при отсутствии сопротивлений поднялся бы столб жидкости, начавший двигаться вертикально вверх со скоростью v. Поэтому этот член называется скоростной высотой или скоростным напором.

Рис. 2.4. Иллюстрация уравнения Бернулли

Энергетический смысл уравнения Бернулли вытекает из того, что каждый член уравнения представляет собой удельную энергию, т.е. энергию, отнесенную к единице веса жидкости. Для того чтобы доказать это, рассмотрим, например, второй член уравнения p/rg. Размерность этого члена, как было показано выше, является линейной. С другой стороны, можно показать, что размерность этого члена является размерностью удельной энергии. Действительно,

,

Энергетический смысл уравнения Бернулли для установившегося движения идеальной несжимаемой жидкости заключается в том, что сумма удельных потенциальных энергий положения и давления и удельной кинетической энергии есть величина постоянная. Очевидно, что уравнение является аналогом закона сохранения энергии.

Решение задач с использованием уравнения Бернулли выполняется в следующем порядке:

1) выбирается плоскость сравнения, т.е. плоскость, от которой отсчитывается величина z; плоскостью сравнения может служить любая горизонтальная плоскость;

2) принимаются два сечения по длине потока (струйки) жидкости, перпендикулярные направлению движения жидкости, причем второе сечение всегда должно быть после первого в направлении движения;

3) записывается уравнение Бернулли для двух сечений, заданные величины и искомая величина.

Для случая, когда из массовых сил на идеальную однородную жидкость действует только сила тяжести при установившемся движении, уравнение Бернулли можно вывести и менее громоздким методом, чем приведенный выше.

Рассмотрим участок элементарной струйки длиной dl (рис. 2.5) сечением dw. По длине струйки давление и скорость изменяются. На струйку действуют силы давления, тяжести и инерции.

Соответствующие составляющие, проектируемые на ось l, будут равны

Рис. 2.5. Элементарная струйка с действующими на нее силами

Знак минус в последнем выражении показывает, что сила инерции направлена в сторону, противоположную ускорению. Проекция силы тяжести положительна, так как она совпадает с направлением оси l, а проекция силы давления отрицательна, потому что в случае покоящейся жидкости эта сила должна уравновешивать силу тяжести. Уравнение равновесия будет иметь вид

. (2.28)

После сокращения на dl dw и деления каждого члена на r получим

. (2.29)

С учетом того, что ,

. (2.30)

Отсюда . (2.31)

Выражение (2.31) можно переписать в виде

. (2.32)

После интегрирования и деления на g получается уравнение Бернулли для установившегося движения несжимаемой идеальной жидкости

.

Дата добавления: 2014-11-13 ; просмотров: 253 ; Нарушение авторских прав

Источник

Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли для струйки жидкости формулируется следующим образом: для элементарной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия, т.е. сумма удельной энергии положения, удельной энергии давления и кинетической удельной энергии – есть величина постоянная во всех сечениях струйки.

Уравнение Бернулли выглядит так:

Подробное описание всех входящих в состав уравнения параметров уже описан в этой статье.

Содержание статьи

Смысл уравнения Бернулли

По существу вывода уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости представляет собой закон сохранения механической энергии, составленный применительно к единице массового расхода жидкости. Это следует из того, что в процессе вывода значения работы сил, приложенных к выделенному объему струйки и значения кинетической энергии этого объема были поделены на величину ρqΔT.

Отсюда вытекает, что поскольку член υ 2 /2 является мерой кинетической энергии единицы массы движущейся жидкости, то сумма членов gz+p/ρ будет мерилом ее потенциальной энергии.

В отношении величины gz это очевидно, ведь если частица жидкости массы m расположена на высоте z относительно некоторой плоскости и находится под действием сил тяжести, то способность ее совершить работу, т.е. её потенциальная энергия относительно этой плоскости равняется mgz. Но если её поделить на массу частиц m, то эта часть потенциальной энергии даст величину gz.

Для более ясного физического представления о том, что потенциальная энергия измеряется величиной p/ρ рассмотрим такую схему: пусть к трубе, заполненной жидкостью с избыточным давлением p, присоединен пьезометр, снабженный на входе в него краном.

Кран сначала закрыт, т.е. пьезометр свободен от жидкости, а элементарный объем жидкости ΔV массой ρ*ΔV перед краном находится под давлением p.

Если затем открыть кран, то жидкость в пьезометре поднимется на некоторую высоту, равную

Таким образом, единица массы, находящейся под давлением p, как бы несет в себе ещё заряд потенциальной энергии, определяемой величиной p/ρ.

В гидравлике для характеристики удельной энергии обычно используется понятие напор, под которым понимают энергию жидкости, отнесенную к единице силы тяжести, а не её массы. В соответствии с этим уравнение Бернулли записанное в начале этой статьи примет вид

Такое уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости в другой форме, весьма удобно для гидравлических расчетов и может быть сформулировано следующим образом.

Для элементарной струйки идеальной жидкости полный напор, т.е. сумма геометрического, пьезометрического и скоростного напоров, есть величина постоянная во всех её сечениях.

Отсюда следует, что между напором и удельной энергией существует очень простая зависимость

где э – удельная энергия

Уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости

Если вместо идеальной жидкости рассматривать жидкость реальную, то уравнение Бернулли для реальной жидкости должно принять несколько другой вид.

При движении идеальной жидкости её полная удельная энергия или напор сохраняет постоянное значение по длине струйки, а при движении реальной жидкости эта энергия будет убывать по направлению движения. Причиной этого являются затраты энергии на преодоление сопротивлений движению, обусловленные внутренним трением в вязкой жидкости.

Если же мы рассмотрим два сечения для струйки идеальной жидкости: 1-1 в начале и 2-2 в конце струйки, то полная удельная энергия будет

Полная удельная энергия для сечения 1-1 всегда будет больше, чем полная удельная энергия для сечения 2-2 на некоторую величину потерь, и уравнение Бернулли в этом случае получается

Величина Э_1-2 представляет собой меру энергии, потерянную единицей массы жидкости на преодоление сопротивлений при её движениями между указанными сечениями.

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

Уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости это еще только половина дела, ведь в при решении различных практических вопросов о движении жидкостей приходится иметь дело с потоками конечных размеров. Уравнение Бернулли в этом случае может быть получено, исходя из рассмотрения потока как совокупности множества элементарных струек.

Учитывая, что все струйки движутся с одной и той же средней скоростью форма записи уравнения Бернулли для потока идеальной жидкости становится идентичной его записи для элементарной струйки.

В таком виде уравнение Бернулли обычно и применяется при решении практических задач для потоков однородной несжимаемой жидкости при установившемся движении, происходящем под действием одной силы тяжести.

Такое уравнение составляется для различных живых сечений потока, вблизи которых движение жидкости должно удовлетворять условиям медленно изменяющегося движения, хотя на пути между этими сечениями движение может и не удовлетворять указанным условиям.

Поэтому полная потеря напора между двумя сечениями потока при наличии сопротивлений обоих видов будет

Видео по теме

Уравнение Бернулли подходит и для газов. Явление уменьшения давления при повышении скорости потока является основой работы различных приборов для измерения расхода. Закон Бернулли справедлив и для жидкостей вязкость которых равна нулю. При описании течения таких жидкостей используют уравнение Бернулли с добавлением слагаемых учитывающих потери на местные сопротивления.

Источник

Геометрический и энергетический смысл уравнения Бернулли для струйки

Поскольку все члены уравнений (3.22) и (3.23) имеют размерность длины, они могут быть легко проиллюстрированы гео­метрически.

Изобразим элементарную струйку и выделим в ней два сечения (рис. 3.4).

Ось трубки является линией тока и траекторией при установившемся движении.

Геометрический и энергетический смысл членов z и р/γрассмотрены в гидростатике.

В каждой точке линии тока отложим вверх пьезометрические высоты. Соединив концы отрезков, изображающих эти высоты, плав­ной кривой, получим линию, называемую пьезометрической. Одновременно эта линия изображает изменение гидростатического напора z + р/γ.

Третий член уравнения Бернулли имеет размерность длины.

Величину u 2 /2g называют скоростной высотой или скоростным напо­ром.

Отложим эти отрезки вверх от пьезометрической ли­нии.

Рис. 3.4. Геометрическая и энергети­ческая интерпретация уравнения Бернулли для струйки вязкой жид­кости

Сумма пьезометрического и скоростного напоров представ­ляет собой полный напор, называемый гидродинамическим напором. Различают гидродинамический напор при абсолютном давлении и избыточном (избыточный гидродинамический напор).

Геометрический смысл уравнения Бернулли для струйки невяз­кой жидкости состоит в том, что гидродинамический напор остается постоянным по длине струйки.

Кинетичес­кая энергия частицы, имеющей массу т, равна т и 2 /2. Отнеся её к единице веса, т. е. тg, получим:

Кинематическая энергия частицы жидкости, отнесенная к единице её веса, количественно равная е_к, называется удельной кинетической энергией частицы.

Энергия движущейся частицы жидкости, отнесен­ная к единице её веса и условной горизонтальной плоскости, количест­венно равная е = е_п + е_к, называется удельной энергией частицы, где е_п — удельная потенциальная энергия частицы.

Поскольку удельная энергия выражается в единицах длины, то пол­ная удельная энергия е равна гидродинамическому напору.

Геометри­ческий смысл уравнения Бернулли для струйки вязкой жидкости: сумма геометрической, пьезометрической и ско­ростной высот уменьшается вниз по течению.

Линию, характеризующую изменение пьезометрического напора по длине струй­ки, называют пьезометрической линией п — п(см. рис. 3.4).

Если представить себе пьезометры, установленные вдоль струйки, то пьезо­метрическая линия пройдет по горизонтам жидкости в пьезометрах.

Пьезометрическая линия может не только понижаться, но и повышать­ся, если площадь живого сечения струйки увеличивается. Линию, характеризующую изменение гидродинамического напора по длине струйки, называют линией гидродинамического напора, или напорной линией е — е’.

Эта линия может только понижаться.

Чтобы построить напорную линию, необходимо измерить скоростные высоты (напоры).

Напорная линия возвышается над пьезометрической на величину е_к = u 2 /2g.

На рис. 3.4 показана вертикальной штриховкой эпюра изменения удельной энергии, потерянной на сопротивление движе­нию. В сечении 2она равна h′_ω.

Источник

29. Энергетический смысл уравнения Бернулли

29. Энергетический смысл уравнения Бернулли

Пусть теперь имеем установившееся движение жидкости, которая невязкая, несжимаемая.

И пусть она находится под воздействием сил тяжести и давления, тогда уравнение Бернулли имеет вид:

Теперь требуется идентифицировать каждое из слагаемых. Потенциальная энергия положения Z – это высота элементарной струйки над горизонтальной плоскостью сравнения. Жидкость с массой М на высоте Z от плоскости сравнения имеет некоторую потенциальную энергию MgZ. Тогда

Это та же потенциальная энергия, отнесенная к единичной массе. Поэтому Z называют удельной потенциальной энергией положения.

Движущаяся частица с массой Ми скоростью u имеет вес MG и кинематическую энергию U2/2g. Если соотнести кинематическую энергию с единичной массой, то

Полученное выражение есть не что иное, как последнее, третье слагаемое в уравнении Бернулли. Следовательно, U 2 / 2 – это удельная кинетическая энергия струйки. Таким образом, общий энергетический смысл уравнения Бернулли таков: уравнение Бернулли представляет собой сумму, содержащую в себе полную удельную энергию сечения жидкости в потоке:

1) если полная энергия соотнесена с единичной массой, то она есть сумма gz + p/? + U 2 / 2;

3) если полная энергия соотнесена единичному весу, то полная энергия есть сумма z + p/?g + U 2 / 2g. Не следует забывать, что удельная энергия определяется относительно плоскости сравнения: эта плоскость выбирается произвольно и горизонтально. Для любой пары точек, произвольно выбранной из потока, в котором установившееся движение и который движется потенциальноовихрево, а жидкость невязко-несжимаемая, суммарная и удельная энергия одинаковы, то есть распределены по потоку равномерно.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Продолжение на ЛитРес

Читайте также

2.3. Государственный энергетический надзор за организацией рациональной и безопасной эксплуатации электроустановок и электрических сетей

2.3. Государственный энергетический надзор за организацией рациональной и безопасной эксплуатации электроустановок и электрических сетей Одним из важнейших методов государственного контроля и регулирования в электроэнергетике, наряду с государственным

7. Анализ основного уравнения гидростатики

22. Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости

22. Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости Уравнение Эйлера служит одним из фундаментальных в гидравлике, наряду с уравнением Бернулли и некоторыми другими.Изучение гидравлики как таковой практически начинается с уравнения Эйлера, которое служит

24. Форма Громеки уравнения движения невязкой жидкости

24. Форма Громеки уравнения движения невязкой жидкости Уравнения Громеки – попросту другая, несколько преобразованная форма записи уравнения Эйлера.Например, для координаты x Чтобы его преобразовать, используют уравнения компонентов угловой скорости для вихревого

25. Уравнение Бернулли

26. Анализ уравнения Бернулли

26. Анализ уравнения Бернулли это уравнение есть не что иное, как уравнение линии тока при установившемся движении.Отсюда следуют выводы:1) если движение установившееся, то первая и третья строки в уравнении Бернулли пропорциональны.2) пропорциональны строки 1 и 2,

27. Примеры прикладного применения уравнения Бернулли

27. Примеры прикладного применения уравнения Бернулли Во всех случаях требуется определить математическую формулу потенциальной функции, которая входит в уравнение Бернулли: но эта функция имеет разные формулы в разных ситуациях. Ее вид зависит от того, какие массовые

30. Геометрический смысл уравнения Бернулли

30. Геометрический смысл уравнения Бернулли Основу теоретической части такой интерпретации составляет гидравлическое понятие напор, которое принято обозначать буквой Н, где Гидродинамический напор Н состоит из следующих разновидностей напоров, которые входят в

31. Уравнения движения вязкой жидкости

31. Уравнения движения вязкой жидкости Для получения уравнения движения вязкой жидкости рассмотрим такой же объем жидкости dV = dxdydz, который принадлежит вязкой жидкости (рис. 1).Грани этого объема обозначим как 1, 2, 3, 4, 5, 6. Рис. 1. Силы, действующие на элементарный объем

33. Уравнение Бернулли для движения вязкой жидкости

33. Уравнение Бернулли для движения вязкой жидкости Элементарная струйка при установившемся движении вязкой жидкостиУравнение для этого случая имеет вид (приводим его без вывода, поскольку его вывод сопряжен с применением некоторых операций, приведение которых

35. Уравнение Бернулли для неустановившегося движения вязкой жидкости

35. Уравнение Бернулли для неустановившегося движения вязкой жидкости Для того, чтобы получить уравнение Бернулли, придется определить его для элементарной струйки при неустановившемся движении вязкой жидкости, а затем распространять его на весь потокПрежде всего,

53. Дифференциальные уравнения неустановившегося движения

53. Дифференциальные уравнения неустановившегося движения Для того, чтобы составить уравнение любого вида движения, нужно проецировать все действующие силы на систему и приравнивать их сумму к нулю. Так и поступим.Пусть имеем напорный трубопровод круглого сечения, в

39. Принцип возрастания энтропии и физический смысл второго закона термодинамики

39. Принцип возрастания энтропии и физический смысл второго закона термодинамики Исследуем понятие энтропии как функции состояния: Второй закон термодинамики можно сформу лировать в виде: Величина энтропии представляет собой полный диффереренциал, т. е. является

46. Основные дифференциальные уравнения термодинамики

46. Основные дифференциальные уравнения термодинамики Дифференциальные уравнения в термодинамике используются для исследования реальных газов, при теоретических (и практических) вычислениях.Рассмотрим следующие случаи.1. Независимыми переменными являются параметры p,

13.4. Философский смысл торговли и дарвинизм

13.4. Философский смысл торговли и дарвинизм Принципы рыночной экономики и международной торговли своими философскими корнями восходят к работе Адама Смита «Богатство народов» и к концепциям Давида Рикардо о специализации и конкурентных преимуществах народов. Их теория

Источник

Геометрический и энергетический смысл уравнения Бернулли для струйки

Поскольку все члены уравнений (3.22) и (3.23) имеют размерность длины, они могут быть легко проиллюстрированы гео­метрически.

Изобразим элементарную струйку и выделим в ней два сечения (рис. 3.4).

Ось трубки является линией тока и траекторией при установившемся движении.

Геометрический и энергетический смысл членов z и р/γрассмотрены в гидростатике.

В каждой точке линии тока отложим вверх пьезометрические высоты. Соединив концы отрезков, изображающих эти высоты, плав­ной кривой, получим линию, называемую пьезометрической. Одновременно эта линия изображает изменение гидростатического напора z + р/γ.

Третий член уравнения Бернулли имеет размерность длины.

Величину u 2 /2g называют скоростной высотой или скоростным напо­ром.

Отложим эти отрезки вверх от пьезометрической ли­нии.

Рис. 3.4. Геометрическая и энергети­ческая интерпретация уравнения Бернулли для струйки вязкой жид­кости

Сумма пьезометрического и скоростного напоров представ­ляет собой полный напор, называемый гидродинамическим напором. Различают гидродинамический напор при абсолютном давлении и избыточном (избыточный гидродинамический напор).

Геометрический смысл уравнения Бернулли для струйки невяз­кой жидкости состоит в том, что гидродинамический напор остается постоянным по длине струйки.

Кинетичес­кая энергия частицы, имеющей массу т, равна т и 2 /2. Отнеся её к единице веса, т. е. тg, получим:

Кинематическая энергия частицы жидкости, отнесенная к единице её веса, количественно равная е_к, называется удельной кинетической энергией частицы.

Энергия движущейся частицы жидкости, отнесен­ная к единице её веса и условной горизонтальной плоскости, количест­венно равная е = е_п + е_к, называется удельной энергией частицы, где е_п — удельная потенциальная энергия частицы.

Поскольку удельная энергия выражается в единицах длины, то пол­ная удельная энергия е равна гидродинамическому напору.

Геометри­ческий смысл уравнения Бернулли для струйки вязкой жидкости: сумма геометрической, пьезометрической и ско­ростной высот уменьшается вниз по течению.

Линию, характеризующую изменение пьезометрического напора по длине струй­ки, называют пьезометрической линией п — п(см. рис. 3.4).

Если представить себе пьезометры, установленные вдоль струйки, то пьезо­метрическая линия пройдет по горизонтам жидкости в пьезометрах.

Пьезометрическая линия может не только понижаться, но и повышать­ся, если площадь живого сечения струйки увеличивается. Линию, характеризующую изменение гидродинамического напора по длине струйки, называют линией гидродинамического напора, или напорной линией е — е’.

Эта линия может только понижаться.

Чтобы построить напорную линию, необходимо измерить скоростные высоты (напоры).

Напорная линия возвышается над пьезометрической на величину е_к = u 2 /2g.

На рис. 3.4 показана вертикальной штриховкой эпюра изменения удельной энергии, потерянной на сопротивление движе­нию. В сечении 2она равна h′_ω.

Источник