В чем заключается правило многоугольника сложения нескольких неколлинеарных векторов

Сложение векторов — свойства, правила и примеры решения задач

Отрезок, который имеет направление, называется вектором. По сути, эта линия, характеризующаяся определённой длиной. Так как с математической точки зрения это выражение, то с ним можно выполнять различные операции. Простейшими являются действия вычитания двух и более векторов и их сложение. Выполняются они по правилам геометрии и алгебры.

Общие сведения

Понятие вектор используется как в физике, так и в математике. С его помощью обозначают действие различных сил, указывают их направление, определяют движение. По сути, это величина, противопоставляемая массе, объёму, плотности, температуре, то есть «скалярам». Согласно определению вектор — это отрезок, имеющий строгое направление. Точку, из которой он выходит, называют начальной, а в которой заканчивается — конечной.

Обозначают отрезок помощью заглавных латинских букв, сверху которых ставится чёрточка. Рисуют же его с помощью прямой ограниченной линии.

Например, запись AB обозначает, что точка A является началом, а B концом. В некоторых случаях для кратности отрезки допустимо обозначать одной маленькой буквой, так: AB = a.

Векторная запись используется тогда, когда невозможно величины описать с помощью одного числа. Численное значение выражение определяется длиной отрезка или его модулем. Эта величина является скалярной. В том случае если начало и конец ограниченной линии совпадают, то говорят о нулевой линии. Обозначают её цифрой 0.

Векторы, расположенные на плоскости или в пространстве, по отношению друг к другу могут быть:

Так как вектора — это выражения, то с ними можно выполнять различные действия. Их возможно складывать, вычитать, умножать на число. При работе с векторными величинами используют декартовую систему координат. В ней прямую замкнутую линию раскладывают по базису и определяют координаты её точек. Другими словами, выполняют проекции отрезков на оси. Непосредственно за базис берут орты.

Если известны начальные координаты и конечные, то текущие вычисляют путём вычитания из последних первые. Существующая возможность записать любое геометрическое свойство, используя координаты, позволяет отойти от геометрии и использовать для вычислений алгебру.

Сложение координат

Существует простое правило применимое для направленных отрезков и позволяющее найти их сумму. Заключается оно в следующем: если необходимо прибавить один вектор к другому описывающийся каждый своими координатами, достаточно сложить соответствующие их орты. Например, предположим есть два вектора a и b. Первый отрезок имеет координаты (ax; ay), а второй (bx;by). При их сложении получится новый вектор c. В результате действия его координаты будут c (ax + bx; ay + by).

Это теорема доказывается просто. Пусть даны отрезки f (x 1; y 1) и g (x 2; y 2). В системе координат относительно рассматриваемых векторов получится: f = x 1 a + y 1 b; g = x 2 a + y 2 b. Тогда искомая сумма будет: f + g = x1a + y1b + x2a + y2b = a (x 1 + x 2) + b (y 1 + y 2). Что и нужно было доказать. Это правило применимо к векторам имеющим любые координаты. Например, пусть есть a (1; 2), b (-3; 1). Нужно найти их сумму. С помощью формулы сложения получится новый направленный отрезок с координатами a + b = (1 — 3; 2 + 1) = (-2; 3).

Как и при операциях с простыми числами при работе с векторными выражениями используют различные их свойства. Существует три правила сложения векторов:

Следует отметить, что при сложении двух противоположных ограниченных прямых сумма будет равняться нуль-вектору: a + (-a) = 0. Это утверждение не требует доказательства, так как здесь используется фундаментальный закон алгебры — правило знаков.

Правило параллелограмма

По сути, все операции с векторными выражениями сводятся к их приращению или уменьшению. Если координаты точек неизвестны, то алгебраический метод складывания не подходит. В таком случае используют геометрические операции. Одним из способов, позволяющих сложить два неколлинеарных вектора, является правило параллелограмма или прямоугольника при перпендикулярном направлении складываемых отрезков.

Сформулировать способ можно следующим образом: если имеются два отрезка не лежащие на параллельной прямой и не принадлежащие ей, то нужно достроить данные вектора до параллелограмма. Для этого необходимо взять произвольную точку и отложить от неё отрезок AB равный первому вектору, и AD совпадающий со вторым. При этом необходимо придерживаться соотношения геометрии наклона. Затем достроить необходимые параллельные прямые таким образом, чтобы образовался параллелограмм ABCD. Если в такой фигуре провести диагональ, то её длина и будет равняться сумме складываемых отрезков.

Доказать правильность утверждения можно следующими доводами. Пусть имеются две ограниченные линии a и b. От точки A можно отложить первый отрезок конец, которого обозначить как B, и второй, с точкой D. Теперь через D и B возможно провести соответственно параллельные прямые AB и AD. Место, в которой они пересекутся, пусть будет обозначено как С. Тогда используя признак параллельности двух пар прямых в фигуре ABCD, можно утверждать, что это параллелограмм. Вектор AC = a + b. Это следует из равенства отрезков AD = BC и теоремы о подобных треугольниках.

Пример задания. Определить, чему равна сумма двух отрезков длиной 2 см и 1 см расположенные друг к другу под углом 45. Для того чтобы воспользоваться правилом, нужно взять листочек в клеточку и построить два вектора, исходящие из одной точки O. Тогда первый отрезок будет OA, а второй OB. Затем достроить прямые таким образом, чтобы на рисунке получился параллелограмм. Новая полученная точка пусть будет D. Теперь с помощью линейки можно измерить диагональ фигуры, длина которой и будет искомой суммой. В ответе должно получиться, что OA + OB = OD = 3 см.

Простыми словами это правило можно рассказать так: сумма двух отрезков будет равняться диагонали параллелограмма, построенного на исходных векторах. Эта теорема чаще используется не в геометрии, а физике, например, при сложении сил.

Альтернативные методы

Операцию по сложению двух векторов можно выполнить и с помощью правила треугольника. Делается это так. Выбирается любая точка на плоскости, от которой откладываются два вектора. При этом необходимо соблюдать их размерность и наклон по отношению друг к другу. Затем две конечные точки соединяют прямой. Её длина и будет искомой величиной. То есть в итоге должна получиться равнобедренная фигура.

Применение метода сложения векторов по правилу треугольника позволяет довольно легко находить сумму для трёх и более отрезков. Для этого сначала вычисляют результат сложения для двух любых линий, а после прибавляют к полученной ограниченной прямой третью и так далее.

При сложении нескольких векторов удобно выполнять следующую последовательность построений:

Этот способ получил название метод многоугольника. Он довольно часто применяется на практике, позволяя, довольно просто выполнить нахождение суммы. Из правила треугольника, а, следовательно, и многоугольника, вытекает следствие, которое подтверждает, что если складывается отрезок с нулевым векторным выражением, то в ответе получится длина, совпадающая со значимым слагаемым.

Следует отметить, что методы используются только, если направление отрезков является сонаправленным.

Если же отрезки неколлинеарные, то от конца одного откладывается другой. Тогда искомая сумма будет равняться длине линии, первой точкой которой будет начало одной векторной прямой, а конец совпадать с точкой, завершающей другую. То есть сумма — это отрезок, начало которого совпадает с началом обеих линий, а длина равна разности их длин, при этом направление его будет совпадать с тем что больше по длине.

Источник

Операции над векторами и их свойства: сложение и умножение

Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.

Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.

Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.

Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.

Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.

Сложение двух векторов

Геометрически сложение векторов выглядит так:

— для неколлинеарных векторов:

— для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:

Сложение нескольких векторов

Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.

Геометрически оно выглядит следующим образом:

Умножение вектора на число

Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:

Свойства операций над векторами

Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.

Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.

Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.

Источник

К коллинеарным векторам это построение неприменимо.

Основываясь на рассмотренной операции сложения двух векторов, мы можем сложить три вектора и более. В этом случае складываются первые два вектора, к полученному результату прибавляется третий вектор, к получившемуся прибавляется четвертый и так далее.

Сложение нескольких векторов на плоскости таким способом называется правилом многоугольника. Приведем иллюстрацию правила многоугольника.

1.3. Умножение вектора на число k соответствует растяжению вектора в k раз при k > 1 или сжатию в 1/k раз при 0

Числа aij, входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j — номер столбца.

Строка матрицы называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

Если хотя бы один из элементов строки матрицы не равен нулю, то строка называется ненулевой.

Столбец матрицы называется нулевым, если все его элементы равны нулю.

Если хотя бы один из элементов столбца матрицы не равен нулю, то столбец называется ненулевым.

2. Квадратной матрицейназывается матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов (размера n×n), число n называется порядком матрицы.

	-7		— квадратная матрица размера 3×3
-1

Нулевой матрицейназывается матрица, все элементы которой равны нулю, т.е. aij = 0, ∀i, j.

— нулевая матрица

Вектор-строкой называется матрица, состоящая из одной строки.

-5

— вектор-строка

Вектор-столбцом называется матрица, состоящая из одного столбца.

		— вектор-столбец
-7

Диагональной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

— не диагональные элементы равны нулю

Единичной матрицей называется диагональная матрица, диагональные элементы которой равны 1.

E =

— диагональные элементы равны 1

Верхней треугольной матрицей называется матрица, все элементы которой ниже главной диагонали равны нулю.

-6

Нижней треугольной матрицей называется матрица, все элементы которой выше главной диагонали равны нулю.

-2

Ступенчатой матрицей называется матрица, удовлетворяющая следующим условиям:

· если матрица содержит нулевую строку, то все строки, расположенные под нею, также нулевые;

· если первый ненулевой элемент некоторой строки расположен в столбце с номером i, и следующая строка не нулевая, то первый ненулевой элемент следующей строки должен находиться в столбце с номером большим, чем i.

-3

7. Преобразования координат на плоскости. Ориентация плоскости.

R=

Рассмотрим еще один R ̸̸ на той же плоскости R ̸̸ =

Рассмотрим вектор х на той же самой плоскости, возникает вопрос: как будут связаны между собой координаты этого вектора в 1 и во 2 базисе.

Полученные формулы будут называться формулами преобразования координат на плоскости.

Рассмотрим на плоскости точку М относительно старой системы координат, то это будут два числа (х,у)_R М=(х,у)_R

Связь между координатами R₁=xe₁+ye₂ и мы должны найти.

(1)

Если мы рассмотрим вектора нового базиса относительно старого базиса, то

(2)

Эти четыре числа (а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₂₂) либо а_ig, где I,g=1,2 координаты базисных векторов из нового базиса.

А т.к. базисные вектора линейно независимые, значит каждый из них ненулевой вектор и они неколлинеарные, т.е. а₁₁ и а₂₁ ≠ 0 или (1 условие)

То что вектора не коллинеарные означает

Эти условия записываются в виде палочек а внутри типо таблица, это похоже на матрицу:

Таким образом мы получим

Эти формулы называются формулами преобразования координат на плоскости

Для прямоугольной декартовой системы координат эти формулы примут вид:

Источник

Геометрия. 9 класс

По правилу треугольника вектор (AC) ⃗ равен сумме векторов (AB) ⃗и (BC) ⃗. С другой стороны, вектор (AC) ⃗ равен сумме векторов (AD) ⃗ и (DС) ⃗.

(AC) ⃗ = (AB) ⃗+ (BC) ⃗ = a ⃗ + b ⃗.
(AC) ⃗ = (AD) ⃗ + (DC) ⃗ = b ⃗ +(a) ⃗.
a ⃗ + b ⃗= b ⃗ + (a) ⃗ (переместительный закон)
При доказательстве переместительного закона сложения векторов мы обосновали правило сложения неколлинеарных векторов – правило параллелограмма.
Чтобы сложить неколлинеарные векторы a ⃗ и b ⃗, нужно выбрать произвольную точку и отложить от неё векторы, равные данным. На этих векторах построить параллелограмм. Вектор с началом в выбранной точке и являющийся диагональю параллелограмма, будет суммой данных векторов a ⃗ и b ⃗.
Докажем ещё одно свойство сложения векторов: сочетательный закон.
Выберем произвольную точку А и отложим от неё вектор (AB) ⃗, равный(a) ⃗, от точки В – вектор (BC) ⃗, равный вектору b ⃗, а от точки С – вектор (CD) ⃗, равный вектору c ⃗.

Пользуясь правилом треугольника, найдём значения суммы трёх данных векторов.
(a ⃗ + b ⃗) + c ⃗ = (AB) ⃗+ (BC) ⃗ + (CD) ⃗ = (AC) ⃗ + (CD) ⃗ = (AD) ⃗.
Найдём сумму этих же векторов, изменив порядок действий.
Построим сумму векторов b ⃗ и c ⃗, а затем к вектору a ⃗ прибавим получившийся результат.
a ⃗+ (b ⃗+ c ⃗) = (AB) ⃗+ ((BC) ⃗ + (CD) ⃗) = (AB) ⃗ + (BD) ⃗ = (AD) ⃗.
Мы доказали, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.
При сложении нескольких векторов пользуются правилом многоугольника: при сложении векторов их последовательно откладывают один за другим, так чтобы начало следующего вектора совпадало с концом предыдущего. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, будет суммой данных векторов.
p ⃗ = (a₁) ⃗+ (a₂) ⃗ + (a₃) ⃗ + (a₄) ⃗+ (a₅) ⃗

Источник

К коллинеарным векторам это построение неприменимо.

Основываясь на рассмотренной операции сложения двух векторов, мы можем сложить три вектора и более. В этом случае складываются первые два вектора, к полученному результату прибавляется третий вектор, к получившемуся прибавляется четвертый и так далее.

Сложение нескольких векторов на плоскости таким способом называется правилом многоугольника. Приведем иллюстрацию правила многоугольника.

1.3. Умножение вектора на число k соответствует растяжению вектора в k раз при k > 1 или сжатию в 1/k раз при 0

Числа aij, входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j — номер столбца.

Строка матрицы называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

Если хотя бы один из элементов строки матрицы не равен нулю, то строка называется ненулевой.

Столбец матрицы называется нулевым, если все его элементы равны нулю.

Если хотя бы один из элементов столбца матрицы не равен нулю, то столбец называется ненулевым.

2. Квадратной матрицейназывается матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов (размера n×n), число n называется порядком матрицы.

	-7		— квадратная матрица размера 3×3
-1

Нулевой матрицейназывается матрица, все элементы которой равны нулю, т.е. aij = 0, ∀i, j.

— нулевая матрица

Вектор-строкой называется матрица, состоящая из одной строки.

-5

— вектор-строка

Вектор-столбцом называется матрица, состоящая из одного столбца.

		— вектор-столбец
-7

Диагональной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

— не диагональные элементы равны нулю

Единичной матрицей называется диагональная матрица, диагональные элементы которой равны 1.

E =

— диагональные элементы равны 1

Верхней треугольной матрицей называется матрица, все элементы которой ниже главной диагонали равны нулю.

-6

Нижней треугольной матрицей называется матрица, все элементы которой выше главной диагонали равны нулю.

-2

Ступенчатой матрицей называется матрица, удовлетворяющая следующим условиям:

· если матрица содержит нулевую строку, то все строки, расположенные под нею, также нулевые;

· если первый ненулевой элемент некоторой строки расположен в столбце с номером i, и следующая строка не нулевая, то первый ненулевой элемент следующей строки должен находиться в столбце с номером большим, чем i.

-3

7. Преобразования координат на плоскости. Ориентация плоскости.

R=

Рассмотрим еще один R ̸̸ на той же плоскости R ̸̸ =

Рассмотрим вектор х на той же самой плоскости, возникает вопрос: как будут связаны между собой координаты этого вектора в 1 и во 2 базисе.

Полученные формулы будут называться формулами преобразования координат на плоскости.

Рассмотрим на плоскости точку М относительно старой системы координат, то это будут два числа (х,у)_R М=(х,у)_R

Связь между координатами R₁=xe₁+ye₂ и мы должны найти.

(1)

Если мы рассмотрим вектора нового базиса относительно старого базиса, то

(2)

Эти четыре числа (а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₂₂) либо а_ig, где I,g=1,2 координаты базисных векторов из нового базиса.

А т.к. базисные вектора линейно независимые, значит каждый из них ненулевой вектор и они неколлинеарные, т.е. а₁₁ и а₂₁ ≠ 0 или (1 условие)

То что вектора не коллинеарные означает

Эти условия записываются в виде палочек а внутри типо таблица, это похоже на матрицу:

Таким образом мы получим

Эти формулы называются формулами преобразования координат на плоскости

Для прямоугольной декартовой системы координат эти формулы примут вид:

1 случай: Поворот

R и R \ ортонормированы

u

α – угол поворота системы координат

a_ij— координаты новых базисных векторов относительно старого базиса

В нашем случае это

2 случай: Системы координат ортонормированы (перенос системы координат на вектор)

3 случай: Поворот с переносом

4 случай: Смена ориентации. Симметрия относительно оси

Угол идущий по часов стрелке будет отрицательной, стрелки будут отрицательными, если наоборот то положительными

3. Координаты вектора на плоскости. Сложение векторов, умножение вектора на число в координатах.

2. Транспонирование матриц. Свойства транспонирования. Примеры.

11.Применение свойств матриц и их определителей в задачах с экономическим содержанием. Примеры решения задач.

Предприятие производит три типа продукции, используя два вида ресурсов. Норма затрат ресурсов i-ого вида на производство единицы продукции j-ого типа задана матрицей затрат А, выпуск продукции за квартал- матрицей Х, стоимость единицы каждого вида ресурсов задана матрицей Р. Найти

1) Матрицу S полных затрат ресурсов каждого вида

2) Полную стоимость всех затраченных ресурсов

А= Х= Р=

Полная стоимость ресурсов =

Полная стоимость ресурсов =

Завод производит швейные машины. Каждая машина может находиться в одном из двух состояний:

2) Требует регулировки.

В момент изготовления р% машин работают хорошо, (1-р)% требуют регулировки. Статистические исследования показали, что из тех машин, которые сегодня работают хорошо, через месяц 70% будут работать хорошо, а 30% потребуют регулировки. Среди тех машин, которые сегодня требуют регулировки, через месяц 60% будут работать хорошо, 40% потребуют регулировки. Каковы доли машин, которые будут работать хорошо или потребуют регулировки через месяц после их изготовления?

Ответ: через месяц 62% машин будут работать хорошо, а 32% будут требовать регулировки

_________________________________________________________________

Дана матрица прямых затрат А. Найти изменение векторов:

А) конечного продукта при данном изменении вектора валового продукта

Б) валового выпуска при необходимом изменении вектора конечного продукта

А) = , Б)

а)

а)

Найдем обратную матрицу. Для этого приведем матрицу A к единичной, а единичную матрицу теми же операциями к обратной.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Получили обратную матрицу:

Ответ: а) ; б)

Решим систему методом Гаусса:

Оставим в левой части переменные x1 и x2, которые возьмем за основные. Оставшуюся (неосновную) переменную x3 перенесем в правую часть.

Отношения национальных доходов для сбалансированной торговли должно быть равно

Ответ:

8. Уравнение прямой на плоскости

2. Линейная зависимость и независимость векторов. Векторное пространство. Коллинеарность и компланарность векторов.

Свойства линейно зависимых векторов:

Линейное, или векторное пространство над полем — это упорядоченная четвёрка , где

— непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами;

— (алгебраическое) поле, элементы которого называются скалярами;

— операция сложения векторов, сопоставляющая каждой паре элементов множества единственный элемент множества , обозначаемый ;

— операция умножения векторов на скаляры, сопоставляющая каждому элементу поля и каждому элементу множества единственный элемент множества , обозначаемый ;

причём, заданные операции удовлетворяют следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:

1. , для любых (коммутативность сложения);

2. , для любых (ассоциативность сложения);

3. существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности не пусто;

4. для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента относительно сложения).

5. (ассоциативность умножения на скаляр);

6. (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор).

7. (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

8. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Таким образом, операция сложения задаёт на множестве структуру (аддитивной) абелевой группы.

Векторные пространства, заданные на одном и том же множестве элементов, но над различными полями, будут различными векторными пространствами.

В качестве дополнительной (девятой) аксиомы векторного пространства иногда используют следующую: размерность пространства равна некоторому натуральному числу (если существует максимальная линейно независимая система векторов данного пространства или, что то же самое, существует конечная порождающая система векторов данного пространства), и тогда такое пространство называют конечномерным, или говорят, что пространство бесконечномерное (если не существует конечной порождающей системы векторов данного пространства). В соответствии с этим, теория линейных (векторных) пространств разделяется на две различные части: теорию конечномерных пространств, в которой существенным оказывается алгебраический аспект, и теорию бесконечномерных пространств, где главным оказывается аспект анализа — вопрос о разложимости данного элемента по заданной бесконечной системе функций.

6. Алгебраическое дополнение и минор элементов матрицы.

Источник