В чем заключается правило параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов 9 класс геометрия
Сложение векторов — свойства, правила и примеры решения задач
Отрезок, который имеет направление, называется вектором. По сути, эта линия, характеризующаяся определённой длиной. Так как с математической точки зрения это выражение, то с ним можно выполнять различные операции. Простейшими являются действия вычитания двух и более векторов и их сложение. Выполняются они по правилам геометрии и алгебры.
Общие сведения
Понятие вектор используется как в физике, так и в математике. С его помощью обозначают действие различных сил, указывают их направление, определяют движение. По сути, это величина, противопоставляемая массе, объёму, плотности, температуре, то есть «скалярам». Согласно определению вектор — это отрезок, имеющий строгое направление. Точку, из которой он выходит, называют начальной, а в которой заканчивается — конечной.
Обозначают отрезок помощью заглавных латинских букв, сверху которых ставится чёрточка. Рисуют же его с помощью прямой ограниченной линии.
Например, запись AB обозначает, что точка A является началом, а B концом. В некоторых случаях для кратности отрезки допустимо обозначать одной маленькой буквой, так: AB = a.
Векторная запись используется тогда, когда невозможно величины описать с помощью одного числа. Численное значение выражение определяется длиной отрезка или его модулем. Эта величина является скалярной. В том случае если начало и конец ограниченной линии совпадают, то говорят о нулевой линии. Обозначают её цифрой 0.
Векторы, расположенные на плоскости или в пространстве, по отношению друг к другу могут быть:
Так как вектора — это выражения, то с ними можно выполнять различные действия. Их возможно складывать, вычитать, умножать на число. При работе с векторными величинами используют декартовую систему координат. В ней прямую замкнутую линию раскладывают по базису и определяют координаты её точек. Другими словами, выполняют проекции отрезков на оси. Непосредственно за базис берут орты.
Если известны начальные координаты и конечные, то текущие вычисляют путём вычитания из последних первые. Существующая возможность записать любое геометрическое свойство, используя координаты, позволяет отойти от геометрии и использовать для вычислений алгебру.
Сложение координат
Существует простое правило применимое для направленных отрезков и позволяющее найти их сумму. Заключается оно в следующем: если необходимо прибавить один вектор к другому описывающийся каждый своими координатами, достаточно сложить соответствующие их орты. Например, предположим есть два вектора a и b. Первый отрезок имеет координаты (ax; ay), а второй (bx;by). При их сложении получится новый вектор c. В результате действия его координаты будут c (ax + bx; ay + by).
Это теорема доказывается просто. Пусть даны отрезки f (x 1; y 1) и g (x 2; y 2). В системе координат относительно рассматриваемых векторов получится: f = x 1 a + y 1 b; g = x 2 a + y 2 b. Тогда искомая сумма будет: f + g = x1a + y1b + x2a + y2b = a (x 1 + x 2) + b (y 1 + y 2). Что и нужно было доказать. Это правило применимо к векторам имеющим любые координаты. Например, пусть есть a (1; 2), b (-3; 1). Нужно найти их сумму. С помощью формулы сложения получится новый направленный отрезок с координатами a + b = (1 — 3; 2 + 1) = (-2; 3).
Как и при операциях с простыми числами при работе с векторными выражениями используют различные их свойства. Существует три правила сложения векторов:
Следует отметить, что при сложении двух противоположных ограниченных прямых сумма будет равняться нуль-вектору: a + (-a) = 0. Это утверждение не требует доказательства, так как здесь используется фундаментальный закон алгебры — правило знаков.
Правило параллелограмма
По сути, все операции с векторными выражениями сводятся к их приращению или уменьшению. Если координаты точек неизвестны, то алгебраический метод складывания не подходит. В таком случае используют геометрические операции. Одним из способов, позволяющих сложить два неколлинеарных вектора, является правило параллелограмма или прямоугольника при перпендикулярном направлении складываемых отрезков.
Сформулировать способ можно следующим образом: если имеются два отрезка не лежащие на параллельной прямой и не принадлежащие ей, то нужно достроить данные вектора до параллелограмма. Для этого необходимо взять произвольную точку и отложить от неё отрезок AB равный первому вектору, и AD совпадающий со вторым. При этом необходимо придерживаться соотношения геометрии наклона. Затем достроить необходимые параллельные прямые таким образом, чтобы образовался параллелограмм ABCD. Если в такой фигуре провести диагональ, то её длина и будет равняться сумме складываемых отрезков.
Доказать правильность утверждения можно следующими доводами. Пусть имеются две ограниченные линии a и b. От точки A можно отложить первый отрезок конец, которого обозначить как B, и второй, с точкой D. Теперь через D и B возможно провести соответственно параллельные прямые AB и AD. Место, в которой они пересекутся, пусть будет обозначено как С. Тогда используя признак параллельности двух пар прямых в фигуре ABCD, можно утверждать, что это параллелограмм. Вектор AC = a + b. Это следует из равенства отрезков AD = BC и теоремы о подобных треугольниках.
Пример задания. Определить, чему равна сумма двух отрезков длиной 2 см и 1 см расположенные друг к другу под углом 45. Для того чтобы воспользоваться правилом, нужно взять листочек в клеточку и построить два вектора, исходящие из одной точки O. Тогда первый отрезок будет OA, а второй OB. Затем достроить прямые таким образом, чтобы на рисунке получился параллелограмм. Новая полученная точка пусть будет D. Теперь с помощью линейки можно измерить диагональ фигуры, длина которой и будет искомой суммой. В ответе должно получиться, что OA + OB = OD = 3 см.
Простыми словами это правило можно рассказать так: сумма двух отрезков будет равняться диагонали параллелограмма, построенного на исходных векторах. Эта теорема чаще используется не в геометрии, а физике, например, при сложении сил.
Альтернативные методы
Операцию по сложению двух векторов можно выполнить и с помощью правила треугольника. Делается это так. Выбирается любая точка на плоскости, от которой откладываются два вектора. При этом необходимо соблюдать их размерность и наклон по отношению друг к другу. Затем две конечные точки соединяют прямой. Её длина и будет искомой величиной. То есть в итоге должна получиться равнобедренная фигура.
Применение метода сложения векторов по правилу треугольника позволяет довольно легко находить сумму для трёх и более отрезков. Для этого сначала вычисляют результат сложения для двух любых линий, а после прибавляют к полученной ограниченной прямой третью и так далее.
При сложении нескольких векторов удобно выполнять следующую последовательность построений:
Этот способ получил название метод многоугольника. Он довольно часто применяется на практике, позволяя, довольно просто выполнить нахождение суммы. Из правила треугольника, а, следовательно, и многоугольника, вытекает следствие, которое подтверждает, что если складывается отрезок с нулевым векторным выражением, то в ответе получится длина, совпадающая со значимым слагаемым.
Следует отметить, что методы используются только, если направление отрезков является сонаправленным.
Если же отрезки неколлинеарные, то от конца одного откладывается другой. Тогда искомая сумма будет равняться длине линии, первой точкой которой будет начало одной векторной прямой, а конец совпадать с точкой, завершающей другую. То есть сумма — это отрезок, начало которого совпадает с началом обеих линий, а длина равна разности их длин, при этом направление его будет совпадать с тем что больше по длине.
Геометрия. 9 класс
По правилу треугольника вектор (AC) ⃗ равен сумме векторов (AB) ⃗и (BC) ⃗. С другой стороны, вектор (AC) ⃗ равен сумме векторов (AD) ⃗ и (DС) ⃗.
(AC) ⃗ = (AB) ⃗+ (BC) ⃗ = a ⃗ + b ⃗.
(AC) ⃗ = (AD) ⃗ + (DC) ⃗ = b ⃗ +(a) ⃗.
a ⃗ + b ⃗= b ⃗ + (a) ⃗ (переместительный закон)
При доказательстве переместительного закона сложения векторов мы обосновали правило сложения неколлинеарных векторов – правило параллелограмма.
Чтобы сложить неколлинеарные векторы a ⃗ и b ⃗, нужно выбрать произвольную точку и отложить от неё векторы, равные данным. На этих векторах построить параллелограмм. Вектор с началом в выбранной точке и являющийся диагональю параллелограмма, будет суммой данных векторов a ⃗ и b ⃗.
Докажем ещё одно свойство сложения векторов: сочетательный закон.
Выберем произвольную точку А и отложим от неё вектор (AB) ⃗, равный(a) ⃗, от точки В – вектор (BC) ⃗, равный вектору b ⃗, а от точки С – вектор (CD) ⃗, равный вектору c ⃗.
Пользуясь правилом треугольника, найдём значения суммы трёх данных векторов.
(a ⃗ + b ⃗) + c ⃗ = (AB) ⃗+ (BC) ⃗ + (CD) ⃗ = (AC) ⃗ + (CD) ⃗ = (AD) ⃗.
Найдём сумму этих же векторов, изменив порядок действий.
Построим сумму векторов b ⃗ и c ⃗, а затем к вектору a ⃗ прибавим получившийся результат.
a ⃗+ (b ⃗+ c ⃗) = (AB) ⃗+ ((BC) ⃗ + (CD) ⃗) = (AB) ⃗ + (BD) ⃗ = (AD) ⃗.
Мы доказали, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.
При сложении нескольких векторов пользуются правилом многоугольника: при сложении векторов их последовательно откладывают один за другим, так чтобы начало следующего вектора совпадало с концом предыдущего. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, будет суммой данных векторов.
p ⃗ = (a1) ⃗+ (a2) ⃗ + (a3) ⃗ + (a4) ⃗+ (a5) ⃗
В чем заключается правило параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов 9 класс геометрия
Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту
В алгебре часто при упрощении выражений и различных вычислениях используются переместительный и сочетательный законы.
Эти законы также справедливы для векторов.
Вспомним правило сложения векторов – правило треугольника.
Пусть нам даны два вектора а и b.
От произвольно выбранной точки А отложим вектор АВ, равный вектору а.
Затем от точки В отложим вектор ВС, равный вектору b.
Вектор АС называется суммой векторов а и b.
Воспользуемся этим правилом треугольника для доказательства следующей теоремы.
сумма векторов а и b равна сумме векторов b и а (переместительный закон);
сумма векторов а плюс b и с равна сумме векторов а и b плюс с (сочетательный закон).
Для доказательства переместительного закона рассмотрим случай, когда векторы а и b не коллинеарны, т.е. ненулевые и не лежат на одной или параллельных прямых (случай коллинеарных векторов рассмотрите самостоятельно).
От произвольной точки А отложим вектор АВ, равный вектору а, и вектор АD, равный вектору b.
Основываясь на построенных векторах, достроим параллелограмм АВСD так, что вектор АВ равен вектору DС, а вектор АD равен вектору ВС.
По правилу треугольника сумма векторов АВ и ВС равна вектору АС, т.е. равна сумме векторов а и b.
С другой стороны, сумма векторов AD и DC также равна вектору АС, т.е. сумме векторов b и а.
Таким образом, сумма векторов а и b равна сумме векторов b и а.
Переместительный закон доказан.
Для доказательства сочетательного закона отложим от произвольной точки А вектор АВ, равный вектору а, от точки В вектор ВС, равный вектору b, и от точки С вектор CD, равный вектору с.
Рассмотрим сумму векторов а плюс b и вектора с с точки зрения правила треугольника: сумма векторов а и b равна вектору АС, в свою очередь, сумма вектора АС и вектора с равна вектору АD.
Теперь рассмотрим сумму векторов а и b плюс с: сумма векторов b и с, согласно рисунку, равна вектору ВD, в свою очередь, сумма векторов а и ВD равна вектору АD.
Исходя из этого, сумма векторов а плюс b и с равна сумме векторов а и b плюс с.
Что доказывает сочетательный закон.
Важно отметить, что при доказательстве переместительного закона было обосновано правило параллелограмма сложения неколлинеарных векторов: чтобы сложить неколлинеарные векторы а и b, необходимо от произвольной точки А отложить вектор АВ, равный вектору а, и вектор AD, равный вектору b, затем достроить параллелограмм АВСD, тогда вектор АС равен сумме векторов а и b.
Правило треугольника и правило параллелограмма находят сумму двух векторов, но как сложить несколько векторов?
Чтобы сложить несколько векторов, необходимо сложить первый вектор со вторым, затем сложить их сумму с третьим вектором и так далее.
Из законов сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке происходит сложение.
Рассмотрим рисунок, отражающий сумму векторов а, b и с:
от произвольной точки А отложен вектор АВ, равный вектору а, затем от точки В отложен вектор ВС, равный вектору b, и, наконец, от точки С отложен вектор CD, равный вектору с.
В результате получается вектор АD, равный сумме векторов а, b и с.
Если продолжить процесс откладывания векторов, можно построить сумму четырех, пяти, любого количества векторов.
Правило построения суммы нескольких векторов называется правилом многоугольника: если А1, А2, …,Аn – произвольные точки плоскости, то сумма векторов А1А2, А2А3, …, Аn –1An равна вектору А1Аn.
Это равенство справедливо для всех точек А1, А2, …, Аn, в частности, когда некоторые из них совпадают.
Важно заметить, что если начало первого вектора совпадает с концом последнего вектора, то сумма данных векторов равна нулевому вектору.
Итак, подведем итоги:
– Для любых векторов а, b и с справедливы равенства:
сумма векторов а и b равна сумме векторов b и а;
сумма векторов а плюс b и с равна сумме векторов а и b плюс с.
– Чтобы сложить неколлинеарные векторы а и b, необходимо от точки А отложить вектор АВ, равный вектору а, и вектор AD, равный вектору b, затем достроить параллелограмм АВСD, тогда вектор АС равен сумме векторов а и b (правило параллелограмма).
– Если А1, А2 … An – произвольные точки плоскости, то сумма векторов
А1А2, А2А3. Аn–1An равна вектору А1Аn (правило многоугольника).
Урок № 3 по геометрии на тему «Векторы»(9 класс)
Урок № 3 Дата: 9 класс
Тема: Сумма двух векторов. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма.
· предметные – В вести понятие суммы двух векторов; рассмотреть законы сложения векторов; научить строить сумму двух данных векторов, используя правило треугольника и параллелограмма;
· метапредметные – учить самостоятельно определять пути достижения целей в том числе альтернативные; выбирать наиболее эффективные способы решения задач;
· личностные – воспитывать аккуратность, внимание.
· на основе повторения и обобщения ранее изученного материала и в ходе знакомства с новым выработать навыки правильного построения суммы векторов;
· освоить правила сложения двух векторов: правило треугольника и правило параллелограмма;
· использовать познавательный процесс для воспитания усидчивости и терпения.
Тип урока: Изучение нового материала.
Вид урока: изучение нового материала (лекция) с последующим закреплением через решение задач.
Методы и приемы обучения: объяснительно-иллюстративный; наглядный (демонстрация компьютерной презентации).
Средства обучения: авторская презентация; учебник («Геометрия» АтанасянЛ.С., БутузоваВ.Ф.); технические (компьютер, мультимедийный проектор).
1.Организационный момент. (1 минута)
2. Актуализация знаний. (4 минуты)
3. Изложение нового материала. (13 минут)
4. Физкультминутка. (3 минуты)
5. Первичное закрепление (10 минут)
6. Проверка усвоения новых знаний. (5 минут)
7. Подведение итогов. (2 минуты)
8. Домашнее задание. (2 минуты)
1. Приветствие: Добрый день, ребята!
2. Организация рабочих мест:
— Проверьте ваши рабочие места: учебник, рабочая тетрадь, ручка, линейка, карандаш.
Мы сегодня на уроке
Будем все чертежники:
В руки инструмент возьмем
И попробуем понять как нам векторы слагать…
Мотивационное начало урока
Сегодня на уроке мы продолжаем изучение главы «ВЕКТОРЫ». Тема нашего урока – « Сумма двух векторов. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма».
Цель нашего урока – выяснить, как построить сумму двух векторов.
Для достижения цели нашего урока, мы воспользуемся мультимедийной презентацией (приложение 1)
II . Актуализация знаний
Анализ результатов самостоятельной работы.
а) указать на ошибки, допущенные в самостоятельной работе, проведённой на прошлом уроке;
б) используя готовые ответы, учащиеся выполняют работу над ошибками самостоятельно дома.
Мотивация учебной деятельности
Для дальнейшего изучения векторов нам необходимо научиться находить сумму двух векторов, потому что в практической жизни, где мы сталкиваемся с примерами применения различных сил (а сила, как известно, величина векторная) чтобы узнать результат действия силы мы должны предусмотреть воздействие всех сил, т.е. найти их сумму.
1.Перемещение материальной точки.
2.Понятие суммы двух векторов.
2.Понятие суммы двух векторов. Правило треугольника для суммы векторов
Пусть заданы два ненулевых вектора а и в 
(рис. 1).
3. Правило параллелограмма для суммы векторов
4.Законы сложения векторов
5. Сумма противоположных векторов равна нулевому вектору:
` а + (- ` а) = ` 0.
Сформулируем определение суммы двух векторов и запишем его в тетради: (стр. 195)
Пусть ` а и ` в – два вектора.
1. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки вектор ` АВ, равный вектору ` а.
Работа с учебником
Давайте рассмотрим рис.250 в учебнике. 
-Разобрать доказательство по учебнику и записать в тетради.
-Записать в тетради свойства сложения векторов.
Перед вами алгоритм для проведения физкультминутки. Давайте побудем немного исполнителями и постараемся точно выполнить все команды.
Дружно с вами мы считали и про числа рассуждали,
А теперь мы дружно встали, свои косточки размяли.
На счет три — прижмем к плечам, на 4 — к небесам
Хорошо прогнулись, и друг другу улыбнулись
Про пятерку не забудем — добрыми всегда мы будем.
На счет шесть прошу всех сесть.
Числа, я, и вы, друзья, вместе дружная 7-я.
1. Начертите попарно неколлинеарные векторы ` а, ` в и ` с. Постройте векторы
1) ` а+ ` в, ` 2)в + ` а, ` 3)а + ` с, 4)( ` а + ` в) + ` с, ` 5)а + ( ` в + ` с), 6)( ` а + ` с) + ` в.
-Какие из построенных векторов равны друг другу?
Ответ:1 и 2; 3, 4 и 5.
2. Решите №759(а) без помощи чертежа. Докажите, что
3. Упростите выражения:
А) ` АВ +( ` ВК + ` КМ) = ` АВ + ` ВМ = ` АМ;
Б ) ( ` MN + ` NX) + ` XY = ` MX + ` XY = ` MY.
Каждая группа получает раздаточный материал на карточках.
Постройте сумму данных векторов:
1-я группа – ` a
 |
 |
2-я группа – ` d
3-я группа –
 |
Найти вектор х из условий:
1) ` EF + ( ` FP + ` x ) = ` EM;
2) ` AB + ( ` MA + ` BN) = ` MK + ` x.
Используем законы сложения векторов:
1) (EF + FP) + x = EM; EP + x = EM, тогда x = PM;
2) (AB + BN) + MA = MK + x; AN + MA = MK + x;
MA + AN = MK +x; MN = MK + x или же
MK + x = MN, тогда x = KN.
У вас на парте есть карточки настроения, выберите подходящую карточку и вклейте в тетрадь.
VIII . Домашнее задание.
1. §1изучить материал пунктов 82 и 83; ответить на вопросы №7-10, с.209
2. Решить задачи № 754, 759(б)(без чертежа), 763(б,в).
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.