В чем заключается правило параллелограмма сложения неколлинеарных векторов
Геометрия. 9 класс
По правилу треугольника вектор (AC) ⃗ равен сумме векторов (AB) ⃗и (BC) ⃗. С другой стороны, вектор (AC) ⃗ равен сумме векторов (AD) ⃗ и (DС) ⃗.
(AC) ⃗ = (AB) ⃗+ (BC) ⃗ = a ⃗ + b ⃗.
(AC) ⃗ = (AD) ⃗ + (DC) ⃗ = b ⃗ +(a) ⃗.
a ⃗ + b ⃗= b ⃗ + (a) ⃗ (переместительный закон)
При доказательстве переместительного закона сложения векторов мы обосновали правило сложения неколлинеарных векторов – правило параллелограмма.
Чтобы сложить неколлинеарные векторы a ⃗ и b ⃗, нужно выбрать произвольную точку и отложить от неё векторы, равные данным. На этих векторах построить параллелограмм. Вектор с началом в выбранной точке и являющийся диагональю параллелограмма, будет суммой данных векторов a ⃗ и b ⃗.
Докажем ещё одно свойство сложения векторов: сочетательный закон.
Выберем произвольную точку А и отложим от неё вектор (AB) ⃗, равный(a) ⃗, от точки В – вектор (BC) ⃗, равный вектору b ⃗, а от точки С – вектор (CD) ⃗, равный вектору c ⃗.
Пользуясь правилом треугольника, найдём значения суммы трёх данных векторов.
(a ⃗ + b ⃗) + c ⃗ = (AB) ⃗+ (BC) ⃗ + (CD) ⃗ = (AC) ⃗ + (CD) ⃗ = (AD) ⃗.
Найдём сумму этих же векторов, изменив порядок действий.
Построим сумму векторов b ⃗ и c ⃗, а затем к вектору a ⃗ прибавим получившийся результат.
a ⃗+ (b ⃗+ c ⃗) = (AB) ⃗+ ((BC) ⃗ + (CD) ⃗) = (AB) ⃗ + (BD) ⃗ = (AD) ⃗.
Мы доказали, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.
При сложении нескольких векторов пользуются правилом многоугольника: при сложении векторов их последовательно откладывают один за другим, так чтобы начало следующего вектора совпадало с концом предыдущего. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, будет суммой данных векторов.
p ⃗ = (a1) ⃗+ (a2) ⃗ + (a3) ⃗ + (a4) ⃗+ (a5) ⃗
Векторы: правила сложения и вычитания
Вектор \(\overrightarrow
\(\blacktriangleright\) Два вектора коллинеарны, если они лежат на одной прямой или на двух параллельных прямых.
В противном случае векторы называются неколлинеарными.
\(\blacktriangleright\) Два коллинеарных вектора называются сонаправленными, если их направления совпадают.
Если их направления противоположны, то они называются противоположно направленными.
Правила сложения коллинеарных векторов:
\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы сложить два сонаправленных вектора, можно отложить второй вектор от конца первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом второго (рис. 1).
\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы сложить два противоположно направленных вектора, можно отложить второй вектор от начала первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом обоих векторов, длина равна разности длин векторов, направление совпадает с направлением большего по длине вектора (рис. 2).
Правила сложения неколлинеарных векторов \(\overrightarrow \) и \(\overrightarrow\) :
\(\blacktriangleright\) Правило треугольника (рис. 3).
\(\blacktriangleright\) Правило параллелограмма (рис. 4).
\[\begin
Старшеклассники, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике и при этом рассчитывают на получение достойных баллов, обязательно должны повторить тему «Правила сложения и вычитания нескольких векторов». Как видно из многолетней практики, подобные задания каждый год включаются в аттестационное испытание. Если у выпускника вызывают трудности задачи из раздела «Геометрия на плоскости», к примеру, в которых требуется применить правила сложения и вычитания векторов, ему обязательно стоит повторить или вновь разобраться в материале, чтобы успешно сдать ЕГЭ.
Образовательный проект «Школково» предлагает новый подход в подготовке к аттестационному испытанию. Наш ресурс выстроен таким образом, чтобы учащиеся смогли выявить наиболее сложные для себя разделы и восполнить пробелы в знаниях. Специалисты «Школково» подготовили и систематизировали весь необходимый материал для подготовки к сдаче аттестационного испытания.
Для того чтобы задачи ЕГЭ, в которых необходимо применить правила сложения и вычитания двух векторов, не вызывали затруднений, мы рекомендуем прежде всего освежить в памяти базовые понятия. Найти этот материал учащиеся смогут в разделе «Теоретическая справка».
Если вы уже вспомнили правило вычитания векторов и основные определения по данной теме, предлагаем закрепить полученные знания, выполнив соответствующие упражнения, которые подобрали специалисты образовательного портала «Школково». Для каждой задачи на сайте представлен алгоритм решения и дан правильный ответ. В теме «Правила сложения векторов» представлены различные упражнения; выполнив два-три сравнительно легких задания, учащиеся могут последовательно переходить к более сложным.
Оттачивать собственные навыки по таким, например, заданиям, как задачи на координатной плоскости, школьники имеют возможность в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России. При необходимости задание можно сохранить в разделе «Избранное». Благодаря этому вы сможете быстро найти интересующие примеры и обсудить алгоритмы нахождения правильного ответа с преподавателем.
В чем заключается правило параллелограмма сложения неколлинеарных векторов
Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту
В алгебре часто при упрощении выражений и различных вычислениях используются переместительный и сочетательный законы.
Эти законы также справедливы для векторов.
Вспомним правило сложения векторов – правило треугольника.
Пусть нам даны два вектора а и b.
От произвольно выбранной точки А отложим вектор АВ, равный вектору а.
Затем от точки В отложим вектор ВС, равный вектору b.
Вектор АС называется суммой векторов а и b.
Воспользуемся этим правилом треугольника для доказательства следующей теоремы.
сумма векторов а и b равна сумме векторов b и а (переместительный закон);
сумма векторов а плюс b и с равна сумме векторов а и b плюс с (сочетательный закон).
Для доказательства переместительного закона рассмотрим случай, когда векторы а и b не коллинеарны, т.е. ненулевые и не лежат на одной или параллельных прямых (случай коллинеарных векторов рассмотрите самостоятельно).
От произвольной точки А отложим вектор АВ, равный вектору а, и вектор АD, равный вектору b.
Основываясь на построенных векторах, достроим параллелограмм АВСD так, что вектор АВ равен вектору DС, а вектор АD равен вектору ВС.
По правилу треугольника сумма векторов АВ и ВС равна вектору АС, т.е. равна сумме векторов а и b.
С другой стороны, сумма векторов AD и DC также равна вектору АС, т.е. сумме векторов b и а.
Таким образом, сумма векторов а и b равна сумме векторов b и а.
Переместительный закон доказан.
Для доказательства сочетательного закона отложим от произвольной точки А вектор АВ, равный вектору а, от точки В вектор ВС, равный вектору b, и от точки С вектор CD, равный вектору с.
Рассмотрим сумму векторов а плюс b и вектора с с точки зрения правила треугольника: сумма векторов а и b равна вектору АС, в свою очередь, сумма вектора АС и вектора с равна вектору АD.
Теперь рассмотрим сумму векторов а и b плюс с: сумма векторов b и с, согласно рисунку, равна вектору ВD, в свою очередь, сумма векторов а и ВD равна вектору АD.
Исходя из этого, сумма векторов а плюс b и с равна сумме векторов а и b плюс с.
Что доказывает сочетательный закон.
Важно отметить, что при доказательстве переместительного закона было обосновано правило параллелограмма сложения неколлинеарных векторов: чтобы сложить неколлинеарные векторы а и b, необходимо от произвольной точки А отложить вектор АВ, равный вектору а, и вектор AD, равный вектору b, затем достроить параллелограмм АВСD, тогда вектор АС равен сумме векторов а и b.
Правило треугольника и правило параллелограмма находят сумму двух векторов, но как сложить несколько векторов?
Чтобы сложить несколько векторов, необходимо сложить первый вектор со вторым, затем сложить их сумму с третьим вектором и так далее.
Из законов сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке происходит сложение.
Рассмотрим рисунок, отражающий сумму векторов а, b и с:
от произвольной точки А отложен вектор АВ, равный вектору а, затем от точки В отложен вектор ВС, равный вектору b, и, наконец, от точки С отложен вектор CD, равный вектору с.
В результате получается вектор АD, равный сумме векторов а, b и с.
Если продолжить процесс откладывания векторов, можно построить сумму четырех, пяти, любого количества векторов.
Правило построения суммы нескольких векторов называется правилом многоугольника: если А1, А2, …,Аn – произвольные точки плоскости, то сумма векторов А1А2, А2А3, …, Аn –1An равна вектору А1Аn.
Это равенство справедливо для всех точек А1, А2, …, Аn, в частности, когда некоторые из них совпадают.
Важно заметить, что если начало первого вектора совпадает с концом последнего вектора, то сумма данных векторов равна нулевому вектору.
Итак, подведем итоги:
– Для любых векторов а, b и с справедливы равенства:
сумма векторов а и b равна сумме векторов b и а;
сумма векторов а плюс b и с равна сумме векторов а и b плюс с.
– Чтобы сложить неколлинеарные векторы а и b, необходимо от точки А отложить вектор АВ, равный вектору а, и вектор AD, равный вектору b, затем достроить параллелограмм АВСD, тогда вектор АС равен сумме векторов а и b (правило параллелограмма).
– Если А1, А2 … An – произвольные точки плоскости, то сумма векторов
А1А2, А2А3. Аn–1An равна вектору А1Аn (правило многоугольника).
Метод параллелограмма: примеры, решенные упражнения
Содержание:
В метод параллелограмма это графический метод сложения двух векторов на плоскости. Он часто используется, чтобы найти равнодействующую двух сил, приложенных к телу, или двух скоростей, как в случае пловца, который пытается пересечь реку перпендикулярно и отклоняется течением.
Чтобы построить параллелограмм, начала добавляемых векторов в масштабе должны совпадать в одной точке.
Затем параллельно каждому вектору проводят вспомогательные линии, доходящие до крайности другого, как показано на рисунке выше.
Сумма или результирующий вектор, также называемый чистой силой, является вектором Fсеть, который получается путем рисования вектора, идущего от общего начала координат F1 Y F2, до точки пересечения вспомогательных параллельных прямых. На схеме рисунка они представлены пунктирными линиями.
Очень важно отметить, что порядок, в котором размещаются слагаемые векторы, вообще не изменяет сумму, так как эта операция между векторами является коммутативной.
Пример пошагового метода параллелограмма
На следующем изображении показаны векторы v Y или в условных единицах. Вектор v измеряет 3,61 единицы и образует угол 56,3 ° с горизонтом, в то время как или он измеряет 6,32 единицы и угол 18.4º относительно указанной опорной линии.
Мы собираемся найти его векторную сумму, используя метод параллелограмма.
Необходимо выбрать соответствующий масштаб, например, показанный на следующем рисунке, в котором плоскость разделена сеткой. Ширина квадрата соответствует одной (1) единице.
Поскольку векторы не изменяются при преобразовании, они располагаются так, чтобы их начало совпадало с началом системы координат (левое изображение).
Теперь давайте выполним следующие шаги:
Результат виден на правом изображении, на котором появляется результирующий вектор. Р.
Если мы хотим узнать величину р, мы можем измерить его длину и сравнить с имеющимся у нас масштабом. Что касается его направления, то в качестве ориентиров можно использовать, например, горизонтальную или вертикальную ось.
При использовании горизонтальной оси или оси x угол, р форма с указанной осью измеряется транспортиром, и таким образом мы знаем направление р.
Кроме того, величина и направление р можно вычислить с помощью теорем косинусов и синусов, так как образовавшийся параллелограмм можно разделить на два равных треугольника, сторонами которых являются модули векторов или, v Y р. См. Рабочий пример 1.
Частный случай: сумма перпендикулярных векторов
Когда векторы перпендикулярны друг другу, образующаяся фигура представляет собой прямоугольник. Модуль полученного вектора соответствует длине диагонали, которую легко вычислить с помощью теоремы Пифагора.
Решенные упражнения
— Упражнение 1
У нас есть вектор v, который имеет размер 3,61 единицы и составляет угол 56,3 ° с горизонтом, а вектор или, размер которого составляет 6,32 единицы и составляет угол 18,4 ° (рисунок 2). Определите модуль результирующего вектора р = или + v и направление, которое указанный вектор образует с горизонтальной осью.
Решение
Метод параллелограмма применяется в соответствии с шагами, описанными выше, для получения вектора р. Как было сказано ранее, если векторы аккуратно нарисованы по шкале и с помощью линейки и транспортира, величина и направление р они измеряются прямо на чертеже.
Их также можно рассчитать напрямую, с помощью тригонометрии и свойств углов. Когда образованный треугольник не правильный, как в этом случае, применяется теорема косинусов, чтобы найти недостающую сторону.
В треугольнике справа стороны измеряют u, v и R. Чтобы применить теорему косинусов, необходимо знать угол между v Y или, который мы можем найти с помощью сетки, адекватно позиционируя углы, указанные в утверждении.
Этот угол равен α и состоит из:
α = (90-56.3º) + 90º +18.4º = 142.1º
Согласно теореме косинусов:
Наконец, угол между р а по горизонтальной оси θ = 18,4 º + γ. Угол γ можно найти с помощью теоремы синусов:
грех α / R = грех γ / u
sin γ = v (sin α / R) = 3,61 x (sin 142,1º / 9,43)
θ = 18.4 º + 13.6 º = 32º
— Упражнение 2.
Пловец собирается пересечь реку, плывя перпендикулярно течению с постоянной скоростью 2,0 м / с. Пловец стартует из точки А, но заканчивается в точке В, расположенной ниже по течению, из-за отклонившего его течения.
Если скорость течения составляет 0,8 м / с, и все скорости предполагаются постоянными, найдите скорость пловца, которую видит наблюдатель, стоящий на берегу.
Решение
Наблюдатель, стоящий на берегу, увидит, как пловец отклоняется в зависимости от полученной скорости. Vр. Чтобы найти ответ, нам нужно векторно сложить скорость пловца относительно воды и скорость течения, которую мы называем V Река:
V р = V пловец + V Река
На рисунке, который не в масштабе, векторы были добавлены для получения V р. В этом случае можно применить теорему Пифагора, чтобы получить его величину:
Vр 2 = 2.0 2 + 0.8 2 = 4.64
Направление, в котором пловец отклоняется от перпендикулярного направления, легко вычислить, учитывая, что:
θ = arctg (2 / 0,8) = 68,2º
Ссылки
Деструктивное поведение: описание, причины и сопутствующие расстройства
Вертикальный план: формулы, уравнения, примеры
Общие сведения
Понятие вектор используется как в физике, так и в математике. С его помощью обозначают действие различных сил, указывают их направление, определяют движение. По сути, это величина, противопоставляемая массе, объёму, плотности, температуре, то есть «скалярам». Согласно определению вектор — это отрезок, имеющий строгое направление. Точку, из которой он выходит, называют начальной, а в которой заканчивается — конечной.
Обозначают отрезок помощью заглавных латинских букв, сверху которых ставится чёрточка. Рисуют же его с помощью прямой ограниченной линии.
Например, запись AB обозначает, что точка A является началом, а B концом. В некоторых случаях для кратности отрезки допустимо обозначать одной маленькой буквой, так: AB = a.
Векторная запись используется тогда, когда невозможно величины описать с помощью одного числа. Численное значение выражение определяется длиной отрезка или его модулем. Эта величина является скалярной. В том случае если начало и конец ограниченной линии совпадают, то говорят о нулевой линии. Обозначают её цифрой 0.
Векторы, расположенные на плоскости или в пространстве, по отношению друг к другу могут быть:
Так как вектора — это выражения, то с ними можно выполнять различные действия. Их возможно складывать, вычитать, умножать на число. При работе с векторными величинами используют декартовую систему координат. В ней прямую замкнутую линию раскладывают по базису и определяют координаты её точек. Другими словами, выполняют проекции отрезков на оси. Непосредственно за базис берут орты.
Если известны начальные координаты и конечные, то текущие вычисляют путём вычитания из последних первые. Существующая возможность записать любое геометрическое свойство, используя координаты, позволяет отойти от геометрии и использовать для вычислений алгебру.
Сложение координат
Существует простое правило применимое для направленных отрезков и позволяющее найти их сумму. Заключается оно в следующем: если необходимо прибавить один вектор к другому описывающийся каждый своими координатами, достаточно сложить соответствующие их орты. Например, предположим есть два вектора a и b. Первый отрезок имеет координаты (ax; ay), а второй (bx;by). При их сложении получится новый вектор c. В результате действия его координаты будут c (ax + bx; ay + by).
Это теорема доказывается просто. Пусть даны отрезки f (x 1; y 1) и g (x 2; y 2). В системе координат относительно рассматриваемых векторов получится: f = x 1 a + y 1 b; g = x 2 a + y 2 b. Тогда искомая сумма будет: f + g = x1a + y1b + x2a + y2b = a (x 1 + x 2) + b (y 1 + y 2). Что и нужно было доказать. Это правило применимо к векторам имеющим любые координаты. Например, пусть есть a (1; 2), b (-3; 1). Нужно найти их сумму. С помощью формулы сложения получится новый направленный отрезок с координатами a + b = (1 — 3; 2 + 1) = (-2; 3).
Как и при операциях с простыми числами при работе с векторными выражениями используют различные их свойства. Существует три правила сложения векторов:
Следует отметить, что при сложении двух противоположных ограниченных прямых сумма будет равняться нуль-вектору: a + (-a) = 0. Это утверждение не требует доказательства, так как здесь используется фундаментальный закон алгебры — правило знаков.
Правило параллелограмма
По сути, все операции с векторными выражениями сводятся к их приращению или уменьшению. Если координаты точек неизвестны, то алгебраический метод складывания не подходит. В таком случае используют геометрические операции. Одним из способов, позволяющих сложить два неколлинеарных вектора, является правило параллелограмма или прямоугольника при перпендикулярном направлении складываемых отрезков.
Сформулировать способ можно следующим образом: если имеются два отрезка не лежащие на параллельной прямой и не принадлежащие ей, то нужно достроить данные вектора до параллелограмма. Для этого необходимо взять произвольную точку и отложить от неё отрезок AB равный первому вектору, и AD совпадающий со вторым. При этом необходимо придерживаться соотношения геометрии наклона. Затем достроить необходимые параллельные прямые таким образом, чтобы образовался параллелограмм ABCD. Если в такой фигуре провести диагональ, то её длина и будет равняться сумме складываемых отрезков.
Доказать правильность утверждения можно следующими доводами. Пусть имеются две ограниченные линии a и b. От точки A можно отложить первый отрезок конец, которого обозначить как B, и второй, с точкой D. Теперь через D и B возможно провести соответственно параллельные прямые AB и AD. Место, в которой они пересекутся, пусть будет обозначено как С. Тогда используя признак параллельности двух пар прямых в фигуре ABCD, можно утверждать, что это параллелограмм. Вектор AC = a + b. Это следует из равенства отрезков AD = BC и теоремы о подобных треугольниках.
Пример задания. Определить, чему равна сумма двух отрезков длиной 2 см и 1 см расположенные друг к другу под углом 45. Для того чтобы воспользоваться правилом, нужно взять листочек в клеточку и построить два вектора, исходящие из одной точки O. Тогда первый отрезок будет OA, а второй OB. Затем достроить прямые таким образом, чтобы на рисунке получился параллелограмм. Новая полученная точка пусть будет D. Теперь с помощью линейки можно измерить диагональ фигуры, длина которой и будет искомой суммой. В ответе должно получиться, что OA + OB = OD = 3 см.
Простыми словами это правило можно рассказать так: сумма двух отрезков будет равняться диагонали параллелограмма, построенного на исходных векторах. Эта теорема чаще используется не в геометрии, а физике, например, при сложении сил.
Альтернативные методы
Операцию по сложению двух векторов можно выполнить и с помощью правила треугольника. Делается это так. Выбирается любая точка на плоскости, от которой откладываются два вектора. При этом необходимо соблюдать их размерность и наклон по отношению друг к другу. Затем две конечные точки соединяют прямой. Её длина и будет искомой величиной. То есть в итоге должна получиться равнобедренная фигура.
Применение метода сложения векторов по правилу треугольника позволяет довольно легко находить сумму для трёх и более отрезков. Для этого сначала вычисляют результат сложения для двух любых линий, а после прибавляют к полученной ограниченной прямой третью и так далее.
При сложении нескольких векторов удобно выполнять следующую последовательность построений:
Этот способ получил название метод многоугольника. Он довольно часто применяется на практике, позволяя, довольно просто выполнить нахождение суммы. Из правила треугольника, а, следовательно, и многоугольника, вытекает следствие, которое подтверждает, что если складывается отрезок с нулевым векторным выражением, то в ответе получится длина, совпадающая со значимым слагаемым.
Следует отметить, что методы используются только, если направление отрезков является сонаправленным.
Если же отрезки неколлинеарные, то от конца одного откладывается другой. Тогда искомая сумма будет равняться длине линии, первой точкой которой будет начало одной векторной прямой, а конец совпадать с точкой, завершающей другую. То есть сумма — это отрезок, начало которого совпадает с началом обеих линий, а длина равна разности их длин, при этом направление его будет совпадать с тем что больше по длине.