В чем заключается преимущество экспоненциальной формы числа
Экспоненциальная форма записи чисел.
Экспоненциальная форма представления чисел обычно используется для записи очень больших или очень малых чисел, кот в естественной форме содержат большое количество незначащих нулей (1 000 000 = 1·10 6 ). Вещественные числа (конечные и бесконечные десятич. дроби) записываются в формате с плавающей запятой, т.е. положение запятой в числе может меняться.
Формат чисел с плавающей запятой: A = m · q n
m – мантисса числа q – основание системы счисления n – порядок числа
Диапазон изменения чисел определяется количеством разрядов, отведенный для хранения порядка числа, точностьопределяется количеством разрядов, отведенных для хранения мантиссы.
Нормализованная мантисса.
Прежде чем сохранить двоичное значение с плавающей запятой, необходимо нормализовать мантиссу.Этот процесс похож на нормализацию десятичного значения с плавающей запятой. Например, значение 1234.567 будет нормализовано, как 1.234567 x 10 3 путем перемещения десятичной точки до одной цифры.Аналогично, значение 1101.101 нормализуется в 1.101101 x 2 3 путем перемещения десятичной точки и домножения. Вот несколько примеров:
| Двоичное значение | Нормализуется | Экспонента |
| 1101.101 | 1.101101 | 3 |
| .00101 | 1.01 | -3 |
| 1.0001 | 1.0001 | 0 |
| 10000011.0 | 1.0000011 |
Вы наверное заметили, что в нормализованной мантиссе цифра 1 всегда слева от десятичной точки.
При хранении значений, в мантиссе единица не прописывается, а подразумевается.
Экспоненты коротких реальных значений хранятся как 8-разрядные целые числа без знака, с уклоном 127.
Экспоненциальная форма выражения больших и малых чисел
Одной из причин, заставившей ученых настойчиво вводить экспоненциальные числа в практику, явилась необходимость работать с очень большими или очень маленькими числами. Например, масса Земли равна приблизительно 6000000000000000000000000000 грамм, а масса атома водорода — 0,00000000000000000000000166 грамма.
Вы, конечно, заметили, что при такой записи нетрудно потерять один или несколько нулей. В процессе работы ученые разработали метод выражения чисел, когда часть числа является обычным числом, а часть — экспоненциальным. Основой экспоненциальной части является число 10.
Число 10, возведенное в степень, позволяет представить в удобной форме как очень большие, так и очень маленькие числа. Это видно из приведенной ниже таблицы, которую вы можете проверить, произведя самостоятельные расчеты.
Все положения арифметики, которые мы изучали, используя арабские числа, можно легко объяснить при помощи этих степеней, чего обычно не делают в школах.
Мы потратим немного времени на то, чтобы разобраться с экспоненциальными числами, и в будущем это значительно облегчит нам работу с числами.
Экспоненциальная форма выражения больших чисел предоставляет два очевидных преимущества. Во-первых, такая запись очень компактна, а во-вторых, ее проще прочесть — нет необходимости считать огромное количество нулей.
Для обозначения малых чисел используют 10 в отрицательной степени. Как видно из таблицы, число 10, возведенное в отрицательные степени, представляет собой обычные числа, десятичные дроби, состоящие из определенного набора нулей, расположенных правее десятичного знака и заканчивающихся единицей. Численное значение отрицательной экспоненты равно количеству нулей после запятой плюс
Конечно, мы такие числа практически не встречаем в повседневной жизни, их часто можно услышать, только в фантастических или научных фильмах, где говорится о сверхсекретных разработках.
Взгляд со стороны: Стандарт IEEE754
1.ЕСТЕСТВЕННАЯ И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМЫ ЗАПИСИ ЧИСЕЛ
Из математики известно, что любое действительное число F в позиционной системе счисления с основанием q записывается на бумаге в виде последовательности цифр. Вес цифры зависит от ее позиции в числе. Основание системы q равно количеству цифр (знаков ее алфавита) и определяет, во сколько раз различаются значения цифр соседних разрядов числа. Такая запись числа называется естественной и выглядит следующим образом:
F = c_(L-1,) c_(L-2)…c_(0.) d_(0 )…d_(N-2,) d_(N-1,) (1)
Где c_(L-1,) c_(L-2)…c_0- цифры целой части, а d_(0 )…d_(N-2,) d_(N-1) — цифры дробной части числа. Число может состоять из сколь угодно большого количества значащих цифр L целой части и N цифр дробной части.
Если точку в числе F, представленном выражением (1) переместить на h разрядов влево, то мы получим новое число М, которое связано с первоначальным числом формулой, представляющей собой экспоненциальную зависимость:
Значение числа F при этом уменьшится в h раз. Чтобы число не изменилось, его умножают на величину q^h. Таким образом, число, записанное в естественном виде (1), может быть представлено в эквивалентном ему экспоненциальном виде:
Если точку в числе F, представленном выражением (1) переместить на h разрядов вправо, то мы получим новое число М, которое связано с первоначальным числом формулой:
Значение числа F при этом увеличится в h раз. Чтобы число не изменилось, его умножают на величину q^(-h). Таким образом, для рассматриваемого случая, число, записанное в естественном виде (1), может быть представлено в следующем эквивалентном ему экспоненциальном виде:
В общем случае, любое действительное число, записанное в естественной форме (1), может быть записано в эквивалентном ему экспоненциальном виде следующим образом:
где М представляет собой число (1) со смещенной точкой на h позиций в ту или иную сторону. Число М в такой записи принято называть мантиссой числа, а q^(±h) характеристикой числа с порядком ±h, который в литературе еще называют экспонентой. Знак и величина порядка h компенсируют величину смещения точки относительно ее первоначального положения в числе (1). Обе записи (1) и (4) суть записи одного и того же числа различным образом.
Число (1) имеет L + N разрядов. Поскольку в естественном представлении числа (1) число разрядов L целой части и N разрядов дробной части могут иметь сколь угодно большое значение, то число M в (2) также может иметь сколь угодно большое количество разрядов. В общем случае, количество разрядов числа М в (2) может быть бесконечным. Например, когда число представляет собой периодическую дробь, или число иррационально. На практике мы имеем дело с ограниченным количеством разрядов для представления действительного числа в естественной форме. Сколько бы разрядов числа мы ни писали справа, рано или поздно мы должны ограничить количество разрядов представляемого числа. Хотя бы потому, что писать будет уже некуда. В результате, число сначала ограничивают, а затем округляют до приемлемой для данной задачи крайней правой цифры. При этом, конечно, теряется точность представления этого числа. Вопросы точности представления чисел в математике мы здесь не затрагиваем. Этому вопросу посвящено огромное число работ. Отметим только, что точность представления числа выбирается в разумных пределах и поэтому действительное число всегда записывается с ограничением разрядности. Тем самым, строго говоря, оно становится рациональным числом. В компьютерной литературе, числа, имеющие дробную часть, принято называть действительными числами. Мы тоже будем придерживаться этой терминологии.
В математике, как правило, к представлению чисел в экспоненциальном виде прибегают тогда, когда число, записанное в естественном виде (1), имеет незначащие нули. Чтобы сократить запись и не писать повторяющиеся незначащие цифры используют запись числа в экспоненциальной форме (2). Тогда порядок характеристики h указывает на количество незначащих нулей до или после точки. В более общем случае, число h со знаком, как мы видели выше, указывает на количество смещений точки относительно ее первоначального положения в числе. В любом случае, когда указывается число сдвигов h, всегда известна и точка отсчета, относительно которой происходит смещение разделительной точки в числе.
2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В МАШИННОМ СЛОВЕ
В вычислительном устройстве для записи числа отводится ограниченное разрядное пространство. Поэтому на числа, записываемые в машинное слово, накладываются определенные ограничения, которые определяют точность представления чисел и диапазон принимаемых ими значений.
Двоичное число, представленное в экспоненциальном виде, в компьютере записывается в виде машинного слова, разбитого на специальные области. Структура машинного слова может быть схематично представлена следующим образом:
В этом слове К разрядов отводится для записи мантиссы M, R разрядов под запись порядка h характеристики и по одному разряду отводится под запись знака S числа и z знака порядка. Машинное пространство, выделенное под запись мантиссы числа, будем называть областью машинной мантиссы (ОММ), а число, записанное в эту область, машинной мантиссой. Аналогично, пространство, выделенное в машине под запись порядка характеристики, будем называть областью машинного порядка (ОМП) характеристики, а число, записанное в эту область будем называть машинным порядком. Если в ОММ в явном виде содержится точка, то числа, представленные в таком формате, называются числами с фиксированной точкой. Далее мы будем рассматривать числа, записанные в экспоненциальном виде (2). Числа, представленные в таком формате, называют еще числами с плавающей точкой.
3. НОРМАЛИЗАЦИЯ ЧИСЕЛ
Как уже отмечалось выше, при преобразовании числа, записанного в естественном виде, к экспоненциальному виду, точка в числе вида (1) может смещаться на произвольное количество разрядов вправо или влево. А, чтобы значение числа при этом не изменилось, на количество смещений должен быть откорректирован порядок характеристики экспоненциального числа. Очевидно, что при этом возникает множественность представления одного и того же числа, записанного в экспоненциальном виде.
Возьмем двоичное число 0.001001 и запишем его в экспоненциальном виде в машинное слово, в котором ОММ имеет 3 разряда. В том случае, когда предполагается, что машинная мантисса представлена в виде правильной дроби, мы будем иметь следующие возможные варианты записи этого числа: 0.1001•2^(-2)=0.100•2^(-2)=0.010•2^(-1)=0.001•2^0. Во всех этих случаях младший разряд записываемого числа был утерян, поскольку он вышел за пределы разрядной сетки ОММ. Итак, мы получили запись одного и того же числа различными вариантами.
Налицо неоднозначность представления чисел в машинном слове. Мы должны указать машине критерий выбора, по которому отдается предпочтение той или иной форме записи числа в машинном слове. Запись экспоненциального числа в формате, в котором мантисса числа представляется единственным образом, называется нормализацией.
В настоящее время чаще всего рассматриваются два варианта нормализации чисел. В первом варианте [1], перед записью в машинное слово число представляется в виде двоичного дробного числа, в котором единица стоит сразу после точки. При такой нормализации двоичная мантисса в виде правильной дроби лежит в диапазоне 0.1≤М
Экспонента в жизни- 2. Зачем это нужно?
В прошлом посте мы говорили о том, как пролетели австралийцы с экспонентой.
В этом – постараюсь ответить на главный вопрос жизни Вселенной и все такое.
Где математика экспонента может пригодиться в реальной жизни?
Можно, конечно, скорчить серьезную физиономию и сказать, что,мол:
По экспоненте высыхает земля после дождя, по экспоненте падает давление, когда вы поднимаетесь в горы…. но звучит это как-то по-ботански!
Мало, кто считает диаграммы, придя домой.
Открою страшную тайну:
Вряд ли в жизни придется услышать такое:
— Дайте мне (7! – 6^2+3e^0)^1/4 помидоров и (ln (e^3) ) картофеля, пожалуйста.
— Молодой человек, я не понимаю.
— Мне плевать, я учился не напрасно.
Да, сами по себе занятия математикой неплохо качают мозги (об этом в следующих постах)
То экспонента вам в жизни не понадобится…
Вообще-то, есть одна тема, где понимание экспоненты может помочь. Тема, с которой сталкиваются все.
Она может помочь в мегаважном вопросе –
Положили вы в банк 1000 рублей под 10 процентов годовых.
То есть, за год вклад увеличится в 1,1 раза.
Через год будет 1000*1,1 =1100. Небольшая прибыль за то, чтобы отдать кому-то свои кровные.
А если надолго? Тоже мелочь какая-то, вложить лет на 30 и получить что, 3000 сверху? Да нафига?
Вот здесь останавливается большая часть людей которые задумались над тем чтобы как-то преумножать доходы. Но проблема то в том что считается все по-другому!
Но вот тут-то фишка работает по-другому. Ведь в следующий раз проценты начисляются от нового вклада, от 1100
1000*1,1^2 =1221 а не 1200. Вообще, кажется, мелочь, но это не так.
За 30 лет вклад увеличится в 17 раз, а за 40 – в 45!
А если вкладывать под 20 процентов то вклад увеличится в 40 раз уже за 20 лет
Вроде разница не очень велика, но чем дольше вкладываете, тем круче рост.
Не какая-то там примитивная линейная функция или тормознутая парабола, график растет Экспоненциально. Даша, напомни, пожалуйста.
Это ярче всего описывает история, как индейцы продали остров Манхеттен буквально за бусы.
Но, все не так однозначно.
Если бы индейцы положили в банк 30 баксов под 6 процентов годовых, то за 400 лет получили бы почти 400 млрд долларов!
30*1,06^400 = 397 619 212 307
И могли бы скупить весь Манхеттен на корню вместе со всем содержимым.
Есть ощущение, что к этому моменту народ постарше начинает кипеть
Тут есть важный нюанс – все это работает, если экономика и государство находятся в худо-бедно стабильном и рыночном состоянии.
Например, в США частенько были проблемы с финансами и гиперинфляцией. Так в 1865 г., после Гражданской войны, сбережения многих вкладчиков банков резко обесценились и стали мизерными. 150 лет назад.
Ну и по мелочи – 1998, 2014
Но страна-то сменилась. И теперь можно делать стандартные для инвестиций штуки, чтобы минимизировать риски: диверсификация активов, инвестирование в разных валютах и в компании разных стран.
Чтоб, если и профукать все деньги, то только, если вся Земля разом обанкротится.
А вместе оно веселей.
Да,много сложностей- и учиться инвестициям,и опасности- пирамиды, санация банков, падение рынка. Поэтому, кстати и не говорю про проценты более 20 в год- там са-а-а-авсем другие уровни рисков. Но если серьезно сесть и посчитать- 20 процентов в год,если планировать на сколько-нибудь долгий период,очень даже неплохо!
Фонд Уоррена Баффета на протяжении около 50 лет давал среднюю доходность в 20 процентов годовых,. и вот он один из трех самых богатых людей мира, в 2008 и вовсе потеснивший с первого места Билла Гейтса.
Вообще, в европейских странах, не так запуганных этим «Вжух»,
С первой зарплаты народ начинает вкладывать на свадьбу-рождение-обучение детей.
Ну, а что делать, если денег нет? И получить хочется быстрее, чем через 30 лет?
Можно заработать, запустить свое дело.
Но чтобы заработать денег – надо деньги. Стартовый капитал, так его.
Взять его можно у тех, у кого деньги уже есть
Есть более безопасный способ.
Прийти к инвесторам и сказать, дайте денег.
И когда вы пойдете просить денег, вдруг окажется, что права была Марь Петровна, приговаривая
« Учи Сидоров, экспоненту! В жизни пригодится»
Ибо люди, которые дают другим деньги на бизнес, редко когда оказываются совсем уж дебилами.
У дебилов просто не будет много денег. Ну… в теории.
И инвесторов нужно убедить, доказать, что ваш проект – хорошая инвестиция.
И вот тут-то и нужна, оказывается, математика, в том числе, экспонента.
По экспоненте, при хорошей конъюнктуре растут продажи и доход.
Для того, чтобы захватить мир, Макдональдсу оказалось достаточно расти на 15 процентов в год на протяжении 45 лет с 1950 до 1985.
И если бизнес сможет расти по экспоненте хотя бы несколько лет – это уже очень круто.
(то не какая-то абстрактная теория, это вопросы одного из моих взрослых учеников, который запускал новый бизнес. Готовил бизнес-план для представления инвесторам. Математикой занимался «для себя»)
Не всегда это работает, но без четкого плана, как и сколько зарабатывать, денег обычно не дают.
Рост акций Эппл. Похоже?
В общем, экспонента – это классная тема)
Следующий пост – про падающую экспоненту и о том, почему мы не пользуемся искусственным золотом (почти).
*Строго говоря, экспонента – это график e^x, где е
Очень интересно,когда будет про падающую экспоненту?
А какая самая быстрая функция?
Вероятность
Как Пифагор «придумал» музыку и музыку ли он придумал? 😉 Как возникла современная музыкальная система и как в её звуки связаны между собой? Почему нот семь, а на фортепиано семь белых и пять черных клавиш? Где об этом можно прочитать подробнее?
Сколько книг влезет в килограмм флешек?
На флешку можно записать 500 часов непрерывного листания этих книг. (1 ТБ microSD-карта)
Пусть будет 4 байта. В 1 Тб будет:
1 024 Гб = 1 048 576 Мб = 1 099 511 627 776 байт. 1 трлн байт.
Или от 0,25 до 1 трлн символов.
Самая большая в мире библиотека расположена в Вашингтоне. И это библиотека конгресса США. На ее счету более 155 миллионов экземпляров книг на 470 языках!
В Библии 3 172 512 буквы.
Если в книге 1 млн символов, включая знаки препинания и пробелы, тогда на флешку поместится 250 млрд символов или 250 тыс книг.
Вес флешки microSD около 1 грамма.
Кило флешек позволит таскать 250 млн книг, в каждой по 1 млн символов и с учетом самого худших случаев кодирования (4 байта/символ). Для однобайтовой кириллицы 1 млрд книг.
Получается, что даже ребенок может поднять знания, которые хранятся в библиотеке конгресса США.
Средняя скорость чтения взрослого человека около 1500 символов в минуту (200-250 слов в минуту). Данные из сети.
В 1 кг терабайтовых флешек содержится 250-1000 трлн символов или 0,25-1 трлн символов/флешка. Далее считаю для 250-1000 трлн символов:
Взрослый человек потратит на чтение 166-666 млрд минут. 525 960 минут в году.
При 8 часов в день 40 часов в неделю, 50 недель в год (остальное на отпуск), 25 лет стажа будет времени:
40*50*25*60 = 3 000 000 минут.
Понадобится нанять на чтение от 55 556 до 222 222 человек. Чтобы они каждую рабочую минуту просто читали текст с одного кг флешек по одому ТБ каждая.
Или от 56 до 222 человек на чтение одной флешки в один ТБ.
Или просто поставить девять копий Red Dead Redemption 2 — 112 ГБ.
спасибо всем за дополнительную информацию.
К примеру архив библиотеки Либрусек по состоянию на 18 июля 2021 составляет 384.675 книг и весит 250 гб.
250 млрд байт / 384 675 книг = примерно 650 кб занимает средняя книга Либрусека.
Я брал значение от 1 до 4 Мб. Т.е. заранее учел замечание @Drnikeriwera
А если учесть спецсимволы (математику вспомним) и непечатные символы необходимые для редактирования? Не будем же мы читать сплошной текст.
Но автор не учел сжатия, даже простой зип даст огромное сжатие на обычном тексте.
Это информационный пост про моего дедушку, прошу вашей помощи в распространении, комментарии для минусов как всегда прилагаю.
Благодаря силе Пикабу у дедушки не только набралось достаточное количество учеников, но и даже переполнилась группа! Здесь я хочу поблагодарить всех, кто лайкнул, кто прокомментировал тот пост и кто пришел на занятия. Спасибо вам!
(В августе, кстати, новый набор, если кому интересно и нужно. Но сейчас не об этом.)
В комментариях к тому посту многие советовали завести канал и обучать онлайн. Тогда дедушка всячески отнекивался, не до того, не умеет, нет времени и т.д.
А в том году вскоре после начала пандемии я неожиданно узнал, что дедушка резво осваивает ютуб, проходит (зачем-то) курс по фотошопу, читает про продвижение на ютубе и все прочее, на что мой папа ворчит не переставая… 🙂
И вот теперь у него есть свой ютуб-канал. Вот ссылка
Он его ведет сам, жена только немного помогала с обложками для видео.
Все ролики он долго и мучительно монтирует сам, подбирая фото и музыку (на что папа ворчит еще больше). Поэтому не судите строго. Но ему очень важно сделать все самому, самому во всем разобраться и сделать так, как сам видит. И постепенно улучшает качество видео.
В каждом видео дедушка соединяет поэзию и математику, решая математическую задачу с различными персонажами.
«В наше жестокое время, в эпоху резкого расслоения общества автор пытается
рассказать нам не только о математике – отсюда такая, несколько необычная
форма подачи материала и соединение, казалось бы, несоединимого –
математики и поэзии.» (Описание от дедушки)
Как он сам мне писал: «Это не математика, хотя название такое.
Всего лишь Истории, где есть и о математике…»
(А еще недавно деда даже сделал курсовую по межпредметной интеграции математики и поэзии.)
Что касается канала, то он создан для школьников всех возрастов и взрослых. В основном, для 5-7 классов. Поскольку это основная, по мнению автора, беда.
Дедушка очень переживает, поймут ли правильно его и его видео, но хочет вести канал именно в таком формате. Так лежит его душа.
И в заключение привожу его прямую цитату:
«Надо прямо сказать о моём отношении к тому, что случилось с системой образования в целом. Автор считает, что за последние 30 лет, традиционная советская система образования безжалостно уничтожена. Не вдаваясь в детали, и понимая беспомощность одного любого человека в целом, он хочет помочь ТЕМ родителям, бабушкам и дедушкам, которые в буквальном смысле должны не заменить собой существующую школу, но всячески помочь ей. Нужно последовательно, очень медленно и методично помогать ребенку в получении знаний. Сегодня же, в школе приветствуются только, так называемые проектные работы, интегрированное обучения начинается едва ли не с 1 класса. едва ли не с этого же времени начинается подготовка к абсолютно обанкротившейся системе ОГЭ и ЕГЭ.
Дважды в неделю в течение учебного года автор проводит вечерние дистанционные занятия с родителями своих учеников. Занятия бесплатные. На канале НЕСТРАШНАЯ МАТЕМАТИКА и ПЕСНЯ.