В чем заключается принцип возможных перемещений

Обозначая F_i — результирующую активных сил, действующих на точку, R_i — реакцию связи, получим:

Зададим системе возможное перемещение и вычислим элементарную работу всех приложенных к точке сил:

Для всей системы из «n» точек:

Для систем с идеальными связями ( ΣR_i × δS_i=0), получаем

Формула (5) выражает принцип возможных перемещений, который может быть сформулирован так: для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю.

Обратными рассуждениями доказывается достаточность этого принципа.

Принцип возможных перемещений позволяет задачи статики решать методами динамики.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Принцип возможных перемещений

Принцип возможных перемещений

Правила для различных признаков внешне аналогичны соответствующим правилам для дифференцирования признаков. Таким образом, σ (ω) — c-постоянная, δ, γ (±)= Sy, γ — °(j/, γ Людмила Фирмаль

Используя подобие треугольников, построенных на верхнем плече, вы можете написать следующее: 8gd =—og / g как стержень является полностью жестким стержнем, так и ogs = 8g, то есть это жесткий стержень. ФКП = сокр. (1） Исходя из подобия треугольников, построенных на нижнем плече, это выглядит так: b0 = Y. подставляя значение bc из выражения (I), получаем: 4 =(2） Принцип возможного смещения применяется к рычажной системе. То есть возможны смещения точек B и D приложения КРД, а сумма работы заданных сил F и P от b0 равна нулю： FbrB-Pbgv =0.(3） Используя выражение (2) и сжимая выражение (3) na ogv, вы получаете: ’ч’ «=[- А)Р-(4）

Если подставить число, то получится результат: P = 1000 kg. To решите эту задачу, если вы дадите возможное движение RQ к точке B вниз, а не вверх, знак в уравнении (3) изменится противоположно. вместо возможного линейного смещения точки bg можно было дать возможное угловое смещение k = ; * СП、 \ Дж То есть запишите результат и Формулу(4). Задача 378.На рисунке показана ременная передача для соединения шкива A и D. радиус r определяет момент/ 0 силы, приложенной к шкиву a<для уравновешивания нагрузки B весом P4.Груз B привязан к концу троса, обернутого вокруг барабана C радиуса r, связанного со шкивом D радиуса r 3.

Эта задача решается гораздо проще по принципу возможного движения. Значение, полученное для момента rnQ, определяется непосредственно из уравнения равновесия 1. Pj вес шкива a, P. 2-вес барабана C, Pl-вес шкива D. давайте покажем мощность системы на диаграмме. In в этом случае шкив d получает возможное угловое смещение в том же направлении. Если ремень шире и не скользит, напишите следующее: Р, 5?л = РСС ’ Ф3. (Я） Груз в получает возможность вертикального перемещения винта Sr4 Людмила Фирмаль

Bb = r2b. (2） Применяем принцип возможного смещения, то есть сумму работы данной силы к соответствующему возможному смещению точки приложения и делаем пулю равной： /// ОО’.;,- Р. <ОГ = 0.(3） (Гравитация ПБ п. 2 и задача ЛП-это равносильно пули. И это неудивительно, ведь точки их применения не сдвигаются. После сокращения на член выражения (I) и (2) с помощью pas (3)、

Задача 379.Используя принцип возможных перемещений, мы выводим уравнения равновесия свободных твердых тел под действием любых плоских сил. Решение. Нарисуем систему координат xy на рабочей поверхности силы. Указывает установленную силу: F] t Fb …сноска. Если выбрать любую точку а на полюсах рабочей поверхности заданной силы, то возможное движение твердого тела разложится на поступательное движение 6 / ^вместе с относительным вращением оси через точку а перпендикулярно рабочей поверхности силы и силы.

Переходим к выпуску 379. Применяя принцип возможного движения, можно: п- 2£мА (ФК) б> р =0.(1） к-ф. Один Сила FB Подходит…, Записал возможные смещения Fn и LK в разложении по единичному вектору осей x и Y. ПК = Pkx * — Т I7kvJ> ЛКК = bxj-л БЖ Дж、 Вот,£=!2,…вам, формат, (я) Иначе говоря £z7A + Си; / Ф-Ы АФ _ = и К = Л Перевод、 hgk = ГГЛ n, следовательно, bxA> bcn можно взять из знака соответствующей суммы. Часть 2 Fx * + «Ud t F» v + t ’» l нет.) =(2） В » = я к я Л-• Кроме того, & lgl, B> ’ l и o? Является возможность

независимого перемещения. Таким образом, левая часть уравнения (2) также исчезает п п п п п Коэффициент^ Fkxt ^ г] в иностранной валюте,^ ма(ФБ）、 k = > \ k = i b-стоя в этих возможных движениях i равно пуле, т. е. Эф * х = 0. = В ТП (б)=0.(3） k = 1 k = I L-I Как известно из статики, уравнение (3) является уравнением равновесия свободного твердого тела под действием произвольной плоской силы. Аналогично, если существует произвольная пространственная силовая система, то мы можем вывести 6 уравнений равновесия

стрелки/ i — 1 бросьте точку на плоскости М> и М ^ ф / НТИ> ’Направление дуги. Центр этого круга находится на неподвижном конце стержня, а радиус круга равен длине этого стержня. Возможное движение-это виртуальное движение данного момента (то есть фиксированное значение аргумента-времени I).в отличие от этого, фактическое движение СКЛ происходит в определенном направлении под действием системы приложенных сил с непрерывным

Уравнение(3) устанавливает возможную кинетическую зависимость между 1×0 и ss5. Примените принцип возможного смещения к возможным механизмам. То есть сумма работы всех заданных сил на вероятное смещение точки системы будет равна нулю. И затем） Ф= Я \ грех

.с COS один Куда? Проблема 381.На этом рисунке показано коромысло, раскачивающее стол режущего аппарата. Горизонтальная сила F приложена к боковой рамке точки H. определяет значение В положении, показанном на рисунке момента силы, которая должна быть приложена к кривошипу ОА для того, чтобы механизм находился в равновесии. Игнорируйте вес деталей механизма. OA = r, OC = d, CB = L Решение. Оси xy показаны на рисунке. угол,

образованный осью y и кривошипом OA, отсчитывается по часовой стрелке. угол между осью y и кулисой совместного предприятия обозначается через a. Представляет собой совокупность сил: F и некоторых сил момента/ / / 0. Дает кривошипу ОА направление для увеличения угла о, То есть возможное угловое движение по часовой стрелке direction. In в этом случае точка B получает возможное смещение orfv, направленное перпендикулярно CB. Примените принцип возможного смещения и напишите уравнение

и соответствующего возможного смещения до нуля. RAorA-t \ brK-r PjrL-r =0.(2） Используя выражение (I), после сокращения каждого члена в выражении (2) можно увидеть: После того, как номер заменен, он выглядит так: РА = 1.5 / Я Опорные реакции для определения прочности рН, ответы поддержите мысленно отбросить поддержка путем компенсации за потери соединения на прочность рублей. Дайте возможность перемещения шарнира вверх перпендикулярно шарниру C. In в этом случае балка занимает

положение, показанное на рисунке. с. через » oRA «% rt и 1pn обозначают возможные угловые перемещения сил P] t P2 P2 и точек приложения Rr K, L и B, а также возможные угловые перемещения балки CD и выражают взаимосвязь между ними. КУП = г реалов = Дж 8gd = 3Sr А. = 2а 5?。 (3） Применяя принцип возможного движения, пишем: — Prgrk-j-RBlrB-RlgL-mc =0.(4 )） После использования Формулы (3), сокращение на один член Формулы (4) на bc、 После того, как номер заменен, он выглядит так: /^.= 14,5 тонн

Осталось определить силу поддерживающей реакции. Примените принцип еще раз и освободите позвоночник или связь, а мысленно отбросьте опору I), компенсируя ее отсутствие силой реакции опоры RD. Приведем возможное смещение Ln, перпендикулярное точке D, upward. At в то же время, CD луч вращается! Угол pa против часовой стрелки ПГЧ Положение луча динамика не изменяется(см.

Рисунок D).Если записать принцип движения, то он будет выглядеть так: Ррфирн — \ — Мб?= 0.(си） Подставляя числа, используя редукцию каждого члена на brD в выражении (5) и выражении (6), можно увидеть: РП—2 / Вт. Знак минус указывает, что реакция поддержки (RQ) находится вертикально вниз. Задача 384.На нем изображена стремянка, а СВ. вмч.2 идентичные стороны stepladder. AC и CB остро связаны в точке C、 Концы A и B касательны к выступу пола. Вес

мы применяем принцип свободы от вяза, заменяя » выступ пола и точку B опорой на ролик, который может перемещаться вертикально (см. Рисунок L)». Я •БШ 1 Один L ’ 8, и 1- ’Г * 1′ / / 1А & совмещено: центр вращения оси вокруг неподвижной оси、 В точке B, одновременная вспышка cf. iv ПК;: КН! Папа:\ ч Если возможно, отметьте точку B, но по вертикали-Bi’cpx. In в этом случае правая Г10. 0п: совершает плоское движение по странице, а левая половина вращается вокруг оси а, которая перпендикулярна плоскости рисунка. направил возможное движение орка. Для точки C, перпендикулярной L C, найти положение мгновенного центра

горизонтальной составляющей Rm силы реакции. Для этого мы применяем принцип освобождения скрепления, заменяя выступ пола в точке в опорой на валик. Ролики можно перемещать горизонтально (см. Рисунок C). в точке B cooiBerci приложите усилие-реактивную силу Давайте дадим возможное смещение 8r / <точка B к горизонтали right. In в этом случае правая половина стремянки будет совершать плоское движение, а половина стремянки будет

вращаться вокруг точки А. возможное движение 8g перпендикулярно выступающему к точке с, определяет положение мгновенного центра вращения СВ стороны пересечения точек и точек, соответствующих из точки С и В. Следовательно, левая половина АС стремянки вращается вокруг точки А под углом 8°^ ^ по часовой стрелке, а правая половина АС стремянки вращается вокруг точки А под углом Определим зависимость между возможным угловым смещением и Shav. To для этого необходимо учитывать тот факт, что сустав с принадлежит обеим сторонам стремянки、 БГС = А Чо? D, 8gs =С Cr Cr. Так… = Авто + 3′> «>-

Таким образом, эта задача о равновесии твердой системы, состоящей из 2 половин переменного тока и Си лестницы переменного тока, была решена с использованием принципа возможного displacements. In в процессе решения задачи искомые компоненты силы реакции в точке B определялись независимо друг от друга из 1 уравнения.

Таким образом, вертикальная составляющая Rw силы реакции в точке B была найдена по формуле (I). Кроме того, горизонтальная составляющая R) Q найдена из Формулы(3). Чтобы решить эту задачу методом линии, необходимо создать 3 уравнения равновесия для всей стремянки, затем создать 3 уравнения равновесия для правой половины стремянки, а затем решить систему этих уравнений.

По сравнению с методом статики преимущества применения принципа возможного смещения к задаче равновесия системы твердых тел абсолютно неоспоримы. Задача 385.2 балки AB и BC dot/?Он соединен шарнирами. Луч BC зажат разделом D, который прикреплен на петлях к чистосердечному CD на конце C. крен AB зафиксирован с шарниром A на том основании с шарниром A. Определите горизонтальную составляющую силы реакции

R0 и момент реакции rn зажимной части D. Мощность PL и Pi Рассмотрим массу точек на поверхности (рис. 154).можно двигаться с касательной плоскостью поверхности в заданной точке (конечно, направление движения точек в этой плоскости произвольно). Аналогично, если материальная точка находится

на кривой, то она представляет собой соединение, наложенное на точку (рис. 155), и возможные перемещения касательны к кривой в этой точке. Идеальное соединение. Идеальный 154. Связь называется, и сумма работы реактивной силы при возможном смещении точек системы равна нулю, то есть, к = \ Рис. котел а. вес балки игнорируется. BC-CD = 2at BK = KS, CL-LD. Решение. Как определить горизонтальную составляющую силы От соединения. Сообщите стойке CD в секции D о горизонтальной подвижности

и замените опору для точки D на опору в ролике (см. Рисунок B).в точке D примените горизонтальную составляющую силы реакции, соответствующую отброшенному соединению. Разберемся с возможным смещением Lp на точку D вправо по горизонтали side. In в этом случае стойка CD получит возможное поступательное движение. БФ = ВВС = bb0. (1） Луч АВ с возможностью углового перемещения К-и Где Fu-заданная сила, приложенная к точке k — \системы, 0-перпендикуляры,

опущенные с полюсов рабочей линии pp F ’[y мы имеем: Г’п= ^ F’ y, т. е. Fn = = R na измеренная длина 6 сегментов (pa и hf) и их определение Найти коэффициент, искомое значение системы Fn. Если вы измените положение механизма, структура должна повториться.」 Задача 387.Многозвенная артикуляция рисует плоско!! Кривошипно-шатунный механизм приводится в движение силой F t, приложенной к хомуту a перпендикулярно оси OA. При вращении

кривошипа ОА звено BD вибрирует вокруг неподвижной оси С и приводит в движение привод через стержень DB; — g в полном размахе-ползунное колесо перемещается/:.Полезное сопротивление FP горизонтальной силе, приложенной к ползунку. Определим величину силы FE при равновесии механизма в положении, указанном на рисунке. один. Решение. Равновесие такого механизма не следует изучать аналитически, принимая во внимание неизбежные трудности расчетов. Для решения этой задачи используйте

Рисунок). Решение. При решении этой задачи статическим способом необходимо применять принцип невосприимчивости связи, мысленно нарушая тягу переменного тока, заменяя действие рычага соответствующей силой реакции связи, и отдельно рассматривая равновесие верхнего и нижнего рычагов. После исключения реактивной силы тягового усилия переменного тока из уравнения равновесия можно определить вес P поднятого груза K.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.

Принцип возможных перемещений : для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении была равна нулю. или в проекциях: .

Принцип возможных перемещений дает в общей форме условия равновесия для любой механической системы, дает общий метод решения задач статики.

Если система имеет несколько степеней свободы, то уравнение принципа возможных перемещений составляют для каждого из независимого перемещений в отдельности, т.е. будет столько уравнений, сколько система имеет степеней свободы.

Принцип возможных перемещений удобен тем, что при рассмотрении системы с идеальными связями их реакции не учитываются и необходимо оперировать только активными силами.

Принцип возможных перемещений формулируется следующим образом:

Для того, чтобы матер. система, подчиненная идеальным связям находилась в состоянии покоя, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ, производимых активными силами на возможных перемещениях точек системы была положительная

Общее уравнение динамики – при движении системы с идеальными связями в каждый данный момент времен сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю. Уравнение использует принцип возможных перемещений и принцип Даламбера и позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы. Дает общий метод решения задач динамики.

Последовательность составления:

а) к каждому телу прикладывают действующие на него задаваемые силы, а также условно прикладывают силы и моменты пар сил инерции;

б) сообщают системе возможные перемещения;

в) составляют уравнения принципа возможных перемещений, считая систему находящейся в равновесии.

Следует отметить, что общее уравнение динамики можно применять и для систем с неидеальными связями, только в этом случае реакции неидеальных связей, таких, например, как сила трения или момент трения качения, необходимо отнести к категории активных сил.

Работа на возможном перемещении как активных, так и сил инерций, ищется также как и элементарная работа на действительном перемещении:

Возможная работа силы: .

Возможная работа момента (пары сил): .

Обобщенными координатами механической системы называются независимые между собой параметры q₁, q₂, …, q_S любой размерности, однозначно определяющие положение системы в любой момент времени.

Число обобщенных координат равно S – числу степеней свободы механической системы. Положение каждой ν-й точки системы, то есть ее радиус вектор в общем случае всегда можно выразить в виде функции обобщенных координат:

(24)

Общее уравнение динамики в обобщенных координатах выглядит в виде системы S уравнений следующим образом:

;

;

(25)

,

здесь – обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате :

(26)

а – обобщенная сила инерции, соответствующая обобщенной координате :

Число независимых между собою возможных перемещений системы называется числом степеней свободы этой системы. Например. шар на плоскости может перемещаться в любом направлении, но любое его возможное перемещение может быть получено как геометрическая сумма двух перемещений вдоль двух взаимно перпендикулярных осей. Свободное твердое тело имеет 6 степеней свободы.

Обобщенные силы. Каждой обобщенной координате можно вычислить соответствующую ей обобщенную силу Q_k.

Вычисление производится по такому правилу.

Чтобы определить обобщенную силу Q_k, соответствующую обобщенной координате q_k, надо дать этой координате приращение (увеличить координату на эту величину), оставив все другие координаты неизменными, вычислить сумму работ всех сил, приложенных к системе, на соответствующих перемещениях точек и поделить ее на приращение координаты :

(7)

где – перемещение i-той точки системы, полученное за счет изменения k–той обобщенной координаты.

Обобщенная сила определяется с помощью элементарных работ. Поэтому эту силу можно вычислить иначе:

И так как есть приращение радиуса-вектора за счет приращения координаты при остальных неизменных координатах и времени t, отношение можно определять как частную производную . Тогда

(8)

где координаты точек – функции обобщенных координат (5).

Если система консервативная, то есть движение происходит под действием сил потенциального поля, проекции которых , где , а координаты точек – функции обобщенных координат, то

(9)

Обобщенная сила консервативной системы есть частная производная от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате со знаком минус.

Конечно, при вычислении этой обобщенной силы потенциальную энергию следует определять как функцию обобщенных координат

Первое. При вычислении обобщенных сил реакции идеальных связей не учитываются.

Второе. Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты.

Уравнения Лагранжа 2-го рода выводятся из общего уравнения динамики в обобщенных координатах. Число уравнений соответствует числу степеней свободы:

(28)

Для составления уравнения Лагранжа 2-го рода выбираются обобщенные координаты и находятся обобщенные скорости . Находится кинетическая энергия системы, которая является функцией обобщенных скоростей, и, в некоторых случаях, обобщенных координат. Выполняются операции дифференцирования кинетической энергии, предусмотренные левыми частями уравнений Лагранжа.Полученные выражения приравниваются обобщенным силам, для нахождения которых помимо формул (26) часто при решении задач используют следующие:

(29)

В числителе правой части формулы – сумма элементарных работ все активных сил на возможном перемещении системы, соответствующем вариации i-й обобщенной координаты – . При этом возможном перемещении все остальные обобщенные координаты не изменяются. Полученные уравнения являются дифференциальными уравнениями движения механической системы с S степенями свободы.

Источник