В чем заключается проверка теоремы штейнера

Теорема Штейнера или теорема параллельных осей для вычисления момента инерции

При математическом описании вращательного движения важно знать момент инерции системы относительно оси. В общем случае процедура нахождения этой величины предполагает реализацию процесса интегрирования. Облегчить вычисления позволяет так называемая теорема Штейнера. Рассмотрим ее подробнее в статье.

Что такое момент инерции?

До того как привести формулировку теоремы Штейнера, следует разобраться с самим понятием момента инерции. Допустим, имеется некоторое тело определенной массы и произвольной формы. Этим телом может быть, как материальная точка, так и любой двумерный и трехмерный объект (стержень, цилиндр, шар и т.д.). Если рассматриваемый объект совершает круговое движение вокруг некоторой оси с постоянным угловым ускорением α, тогда можно записать следующее уравнение:

Вам будет интересно: Анализ занятия воспитателя детского сада: пример, схема

Момент инерции и теорема Штейнера

Известный швейцарский математик, Якоб Штейнер, доказал теорему о параллельных осях и моменте инерции, которая теперь носит его фамилию. Эта теорема постулирует, что момент инерции для абсолютно любого твердого тела произвольной геометрии относительно некоторой оси вращения равен сумме момента инерции относительно оси, которая пересекает центр масс тела и параллельна первой, и произведения массы тела на квадрат дистанции между этими осями. Математически эта формулировка записывается так:

Теорема позволяет, зная величину IO, рассчитать любой другой момент IZ относительно оси, которая параллельна O.

Доказательство теоремы

Формулу теоремы Штейнера можно легко получить самостоятельно. Для этого рассмотрим произвольное тело на плоскости xy. Пусть начало координат проходит через центр масс этого тела. Рассчитаем момент инерции IO которая проходит через начало координат перпендикулярно плоскости xy. Поскольку расстояние до любой точки тела выражается формулой r = √ (x2 + y2), тогда получаем интеграл:

IO = ∫m (r2*dm) = ∫m ( (x2+y2) *dm)

Теперь переместим параллельно ось вдоль оси x на расстояние l, например, в положительном направлении, тогда расчет для новой оси момента инерции будет выглядеть следующим образом:

Раскроем полный квадрат в скобках и разделим подынтегральные суммы, получим:

IZ = ∫m ( (x2+l2+2*x*l+y2)*dm) = ∫m ( (x2+y2)*dm) + 2*l*∫m (x*dm) + l2*∫mdm

Первое из этих слагаемых является величиной IO, третье слагаемое, после проведения интегрирования, дает член l2*m, а вот второе слагаемое равно нулю. Обнуление указанного интеграла связано с тем, что он берется от произведения иксов на элементы массы dm, что в среднем дает ноль, так как центр масс находится в начале координат. В итоге, получается формула теоремы Штейнера.

Рассмотренный случай на плоскости можно обобщить на объемное тело.

Проверка формулы Штейнера на примере стержня

Приведем простой пример, на котором продемонстрируем, как пользоваться рассмотренной теоремой.

Известно, что для стержня длиной L и массой m момент инерции IO (ось проходит через центр масс) равен m*L2/12, а момент IZ (ось проходит через конец стержня) равен m*L2/3. Проверим эти данные, воспользовавшись теоремой Штейнера. Поскольку расстояние между двумя осями равно L/2, тогда получаем момент IZ:

IZ = IO + m*(L/2)2 = m*L2/12 + m*L2/4 = 4*m*L2/12 = m*L2/3

То есть мы проверили формулу Штейнера и получили такое же значение для IZ, что и в источнике.

Аналогичные вычисления можно проводить и для других тел (цилиндра, шара, диска), получая при этом необходимые моменты инерции, и не производя интегрирования.

Момент инерции и перпендикулярные оси

Рассмотренная теорема касается параллельных осей. Для полноты информации полезно также привести теорему для перпендикулярных осей. Она формулируется так: для плоского объекта произвольной формы момент инерции относительно перпендикулярной ему оси будет равен сумме двух моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных и лежащих в плоскости объекта осей, при этом все три оси должны проходить через одну точку. Математически это записывается так:

Существенное отличие этой теоремы от теоремы Штейнера заключается в том, что она применима только к плоским (двумерным) твердым объектам. Тем не менее на практике ее достаточно широко используют, мысленно разрезая тело на отдельные слои, а затем, складывая полученные моменты инерции.

Источник

Проверка теоремы Штейнера методом крутильных колебаний.

Для однородных и симметричных тел справедлива теорема Штейнера, которая формулируется следующим образом:

момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I₀ ’ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

I=I₀ ’ +md 2 (10)

Справедливость теоремы Штейнера можно проверить при помощи трифилярного подвеса, для чего необходимо иметь два совершенно одинаковых тела. Оба тела располагают симметрично на платформе и определяют их момент инерции при таком расположении. Половина этой величины и будет давать момент инерции одного тела, находящегося на фиксированном расстоянии от оси вращения. Зная это расстояние, массу тела и момент инерции тела, положенного в центре платформы, можно проверить теорему Штейнера

Тела на платформе необходимо класть строго симметрично так, чтобы не было перекоса платформы, для чего на платформе нанесены цилиндрические окружности на определенном расстоянии друг от друга.

Измерения.

При измерениях недопустимо пользоваться амплитудами колебаний, большими 5-6 градусов. Все данные измерений и расчетов свести в таблицу, проверить соотношение (2).

В работе использовать систему единиц СИ.

Период ,. где N = 50.

Контрольные вопросы.

1. Что называется моментом инерции тела? В каких единицах измеряется момент инерции тела?

2. Выведите рабочую формулу. Какие упрощающие предположения следует использовать при выводе?

3. Справедлив ли указанный метод при определении момента инерции, если его центр инерции не лежит на оси вращения системы?

4. Сформулируйте и докажите теорему Штейнера.

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.Г. Наука. 1977.§§ 36-39.

2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.I. Наука. 1974. §§ 52,55-59.

Источник

Лабораторная работа №8 Определение момента инерции диска. Проверка теоремы штейнера

Лабораторная работа №8

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ДИСКА. ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА

ЦЕЛЬ: определить момент инерции диска расчётным и экспериментальным ме­тодами

ОБОРУДОВАНИЕ: специальная установка, набор гирь, штангенциркуль, се­кундомер

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Работа, которую совершает постоянный момент силы М при повороте тела на угол φ (в радианах),

Работа сил трения или сопротивления равна изменению механической энергии системы: А = Е1 – Е2 (2) Кинетическая энергия тела массой m, которое движется поступательно со скоростью υ и одновременно вращается с угловой скоростью ω относительно центра масс,

Екин= (3)

Эта энергия равна кинетической энергии вращательного движения относитель­но мгновенной оси (MOB):

Екин= (4)

Если эти оси параллельны друг другу, то согласно теореме Штейнера

где m — масса тел, а — расстояние между осями.

Диск 1 с резьбовыми отверстиями насажен на ось (рис. 1) и может вращаться с малым трением. На той же оси находится шкив 2 радиусом г, на который на­матывается нить. К другому концу нити привязан груз 4 массой m, под действием которого система приво­дится во вращение.

Путь, пройденный грузом до сво­его нижнего положения (когда нить полностью размо­тается), определяется по шкале 3, вдоль которой груз движется.

В резьбовые отверстия диска могут вворачиваться дополнительные грузы 5 цилиндрической формы (ра­диуса R) и массы m0.

В установке предусмотрено автоматическое из­мерение времени движения груза до нижней точки и расстояния h, на которое поднимается груз по инерции после прохождения нижнего положения.

ОПИСАНИЕ МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ

При движении в подшипниках действует момент сил трения Мтр, для пре­одоления которого на пути h0 = φ0r совершается работа А = Мφ

(6)

Где φ0- угол поворота диска (угловое перемещение).

В соответствии с законом сохранения энергии и равенством (2)

(7)

Момент сил трения Мтр найдём из следующих соображений. После того, как груз опустится до нижней точки, маховик, продолжая вращение по инерции, поднимет груз на высоту h; там его потенциальная энергия mgh меньше, чем начальная, на величину работы, совершенной против сил трения на всём пути (h0+ h) = φr. Из закона сохранения энергии и формулы (2) следует

Решая совместно уравнения (7), (8), получаем расчётную формулу для мо­мента инерции вращающегося тела:

(9)

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Задание 1. Определение момента инерции диска

1. Снимите дополнительные грузы с диска.

2. Измерьте штангенциркулем диаметр шкива d в нескольких местах, записы­вая результаты в табл. 1, и определите его среднее значение.

Источник

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ГЮЙГЕНСА-ШТЕЙНЕРА

МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы

Экспериментальная проверка теоремы Гюйгенса – Штейнера и определение моментов инерции тел простой формы.

Идея эксперимента

В эксперименте используется связь между периодом колебаний крутильного маятника и его моментом инерции. В качестве маятника выбрана круглая платформа, подвешенная в поле тяжести на трех длинных нитях (трифилярный подвес). Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси. На платформу помещаются тела различной формы, измеряются периоды колебаний маятника и определяются значения моментов инерции этих тел. Теорема Гюйгенса – Штейнера проверяется по соответствию между экспериментальной и теоретической зависимостями моментов инерции грузов от их расстояния до центра платформы.

Теория

Основное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси имеет вид

, (3.1)

, (3.2)

Для проверки теоремы Гюйгенса – Штейнера в данной работе исследуются крутильные колебания твердого тела на трифилярном подвесе. Трифилярный подвес представляет собой круглую платформу радиуса R, подвешенную на трех симметрично расположенных нитях одинаковой длины, укрепленных у ее краев (рис. 8). Наверху эти нити также симметрично прикреплены к диску несколько меньшего размера (радиуса r). Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси ОО ¢, перпендикулярной к ее плоскости и проходящей через ее центр. Такое движение платформы приводит к изменению положения ее центра тяжести по высоте.

Если платформа массы m, вращаясь в одном направлении, поднялась на высоту h, то

приращение ее потенциальной энергии будет равно

, (3.3)

где g – ускорение силы тяжести. Вращаясь в другом направлении, платформа придет в положение равновесия (h = 0) с кинетической энергией, равной

, (3.4)

где J – момент инерции платформы, w ₀ – угловая скорость вращения платформы в момент прохождения ею положения равновесия.

Пренебрегая работой сил трения, на основании закона сохранения механической энергии имеем:

. (3.5)

Считая, что платформа совершает гармонические крутильные колебания, можно записать зависимость углового смещения платформы a от времени t в виде

, (3.6)

. (3.7)

В моменты прохождения платформы через положение равновесия (t = 0, 0,5Т, …) величина w ( t ) будет максимальна и равна

. (3.8)

Из выражений (3.5) и (3.8) следует, что

. (3.9)

Если l длина нитей подвеса, R – расстояние от центра платформы до точек крепления нитей на ней, r – радиус верхнего диска (рис. 8), то легко видеть, что

(3.10)

Так как

, (3.11)

а при максимальном отклонении платформы от положения равновесия

, (3.12)

. (3.13)

Измерение времени колебаний может проводиться или с помощью ручного секундомера или с помощью таймера.

Проведение эксперимента

Задание 1. Измерение момента инерции пустой платформы

Дата добавления: 2018-09-22 ; просмотров: 644 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

Работа 17. Проверка теоремы Штейнера

П.В. Потапков, А.Г. Рипп

Цель работы

Целью данной лабораторной работы является знакомство с теоремой Штейнера и её экспериментальная проверка.

Краткая теория

Понятие момента инерции

Одной из важнейших количественных характеристик тела, совершающего вращательное движение, является момент инерции I.

Если тело – это материальная точка массой m, вращающаяся по окружности радиусом r вокруг некоторой оси, то моментом инерции точки называется произведение

. (1.1)

Если тело – это система n материальных точек с массами (m₁, m₂, m₃, …), вращающаяся вокруг некоторой оси, то её моментом инерции относительно этой оси называется сумма моментов инерции точек системы:

, (1.2)

где r_i – радиус вращения точки с номером i. Таким образом, момент инерции является аддитивной физической величиной.

Обобщение формулы (1.2) на сплошное тело, состоящее из бесконечно большого количества материальных точек, означает переход от суммы к интегралу:

, (1.3)

где r – плотность вещества, из которого состоит тело, а интегрирование ведётся по объёму тела V.

Момент инерции тела зависит от оси вращения. Самое маленькое значение момента инерции достигается, если ось вращения проходит через центр инерции тела. Такая ось называется главной осью, а момент инерции тела относительно главной оси тоже называется главным и обозначается буквой I₀. Разумеется, главный момент инерции зависит от ориентации главной оси.

Измерить момент инерции тела можно несколькими способами. Один из них состоит в том, чтобы измерить размеры тела и его плотность, а затем вычислить интеграл (1.3). Оказывается, что вычисление этого интеграла наиболее просто сделать для главных моментов инерции. В таблице 1.1 приведены результаты интегрирования (формулы главных моментов инерции) для тел наиболее простых форм. На рисунках в таблице пунктиром показана главная ось вращения.

Таблица 1.1. Главные моменты инерции некоторых тел

Форма тела	Размеры	Рисунок	Формула
Шар	Радиус R
Цилиндр, диск	Радиус R
Обруч, тонкостенная труба	Внешний радиус R
Стержень	Длина ℓ

Теорема Штейнера

Если требуется узнать момент инерции относительно не главной оси, то вычисление интеграла (1.3) может оказаться довольно трудоёмким делом. Но оказывается эту трудность можно обойти, если использовать следующее правило, которое называется теоремой Штейнера.

Если A и O – две параллельные оси, расстояние между которыми равно b, причём для некоторого тела массой m ось O – главная, то момент инерции данного тела I относительно оси A связан с его главным моментом инерции I₀ относительно оси O формулой:

. (1.4)

Таким образом, интеграл (1.3) надо вычислять только для измерения главных моментов инерции. Как указано выше, целью лабораторной работы является экспериментальная проверка формулы (1.4). Для этого надо, не пользуясь формулами (1.3) и (1.4), измерить моменты инерции некоторого тела относительно некоторой главной оси и нескольких параллельных осей, а затем сравнить полученные результаты с тем, что следует из теоремы Штейнера (1.4). Чтобы придумать альтернативный способ измерения момента инерции, надо выяснить, с какими физическими величинами связан момент инерции, то есть в какие физические законы он входит.

Уравнение моментов

Это уравнение является основным законом динамики вращательного движения твёрдого тела. Оно является аналогом второго закона Ньютона. В случае, если ось вращения твёрдого тела фиксирована (закреплена), уравнение моментов имеет следующий вид.

, (1.5)

где e – угловое ускорение тела, M_i – проекции на ось вращения моментов сил, действующих на тело, I – момент инерции тела. В этом уравнении момент инерции играет ту же роль, что и масса во втором законе Ньютона, потому он и называется моментом инерции: чем больше величина момента инерции, тем меньше при данных моментах сил величина углового ускорения, тем медленнее разгоняется или тормозится тело.

Уравнение моментов можно использовать для измерения момента инерции: измеряя моменты сил и угловое ускорение, которое они создают, можно из формулы (1.5) узнать момент инерции тела.

Источник