В чем заключается сущность закона больших чисел в статистике
Сущность закона больших чисел и его значение в статистике и экономике.
Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается совокупность теорем, в которых устанавливается связь между средним арифметическим достаточно большого числа случайных величин и средним арифметическим их математических ожиданий.
В повседневной жизни, бизнесе, научных исследованиях мы постоянно сталкиваемся с событиями и явлениями с неопределённым исходом. Например, торговец не знает, сколько посетителей придёт к нему в магазин, бизнесмен не знает курс доллара через 1 день или год; банкир – вернут ли ему заём в срок; страховые компании – когда и кому придётся выплачивать страховое вознаграждение.
Развитие любой науки предполагает установление основных закономерностей и причинно-следственных связей в виде определений, правил, аксиом, теорем.
Связующим звеном между теорией вероятностей и математической статистикой являются так называемые предельные теоремы, к которым относится закон больших чисел. Закон больших чисел определяет условия, при которых совокупное воздействие множества факторов приводит к результату, не зависящего от случая. В самом общем виде закон больших чисел сформулировал П.Л.Чебышев. Большой вклад в изучение закона больших чисел внесли А.Н.Колмогоров, А.Я.Хинчин, Б.В.Гнеденко, В.И.Гливенко.
К предельным теоремам относится также так называемая Центральная предельная теорема А.Ляпунова, определяющая условия, при которых сумма случайных величин будет стремиться к случайной величине с нормальным законом распределения. Эта теорема позволяет обосновать методы проверки статистических гипотез, корреляционно-регрессионный анализ и другие методы математической статистики.
Дальнейшее развитие центральной предельной теоремы связано с именами Линденберга, С.Н. Бернштейна, А.Я. Хинчина, П.Леви.
Практическое применение методов теории вероятностей и математической статистики основано на двух принципах, фактически основывающихся на предельных теоремах:
принцип невозможности наступления маловероятного события;
принцип достаточной уверенности в наступлении события, вероятность которого близка к 1.
Дата добавления: 2015-08-11 ; просмотров: 2010 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Закон больших чисел
Взаимодействуя ежедневно в работе или учебе с цифрами и числами, многие из нас даже не подозревают о том, что существует очень интересный закон больших чисел, применяемый, например, в статистике, экономике и даже психолого-педагогических исследованиях. Он относится к теории вероятностей и говорит о том, что среднее арифметическое какой-либо большой выборки из фиксированного распределения близко к математическому ожиданию этого распределения.
Вы, наверное, заметили, что понять сущность этого закона непросто, особенно тем, кто не особо дружит с математикой. Исходя из этого, мы бы хотели рассказать о нем простым языком (насколько это возможно, конечно), чтобы каждый мог хотя бы примерно уяснить для себя, что это такое. Эти знания помогут вам лучше разобраться в некоторых математических закономерностях, стать более эрудированным и положительным образом повлиять на развитие мышления.
Понятия закона больших чисел и его трактовка
Помимо рассмотренного нами выше определения закона больших чисел в теории вероятностей, можно привести и его экономическое толкование. В этом случае он представляет собой принцип, согласно которому частоту финансовых потерь конкретного вида можно предсказать с высокой степенью достоверности тогда, когда наблюдается высокий уровень потерь подобных видов вообще.
Помимо этого, в зависимости от уровня сходимости признаков можно выделить слабый и усиленный законы больших чисел. О слабом речь идет, когда сходимость существует по вероятности, а об усиленном – когда сходимость существует практически во всем.
Если интерпретировать несколько иначе, то следует сказать так: всегда можно найти такое конечное число испытаний, где с любой запрограммированной наперед вероятностью меньше единицы относительная частота появления какого-то события будет крайне мало отличаться от его вероятности.
Таким образом, общую суть закона больших чисел можно выразить так: результатом комплексного действия большого количества одинаковых и независимых случайных факторов будет такой результат, который не зависит от случая. А если говорить еще более простым языком, то в законе больших чисел количественные закономерности массовых явлений будут явно проявляться только при большом их числе (поэтому и называется закон законом больших чисел).
Отсюда можно сделать вывод, что сущность закона состоит в том, что в числах, которые получаются при массовом наблюдении, имеются некоторые правильности, обнаружить которые в небольшом количестве фактов невозможно.
Сущность закона больших чисел и его примеры
Закон больших чисел выражает наиболее общие закономерности случайного и необходимого. Когда случайные отклонения «гасят» друг друга, средние показатели, определенные для одной и той же структуры, приобретают форму типичных. Они отражают действия существенных и постоянных фактов в конкретных условиях времени и места.
Определенные посредством закона больших чисел закономерности сильны только тогда, когда представляют массовые тенденции, и они не могут быть законами для отдельных случаев. Так, вступает в силу принцип математической статистики, говорящий, что комплексное действие ряда случайных факторов способно стать причиной неслучайного результата. И наиболее яркий пример действия данного принципа – это сближение частоты наступления случайного события и его вероятности, когда возрастает количество испытаний.
Давайте вспомним обычное бросание монетки. Теоретически орел и решка могут выпасть с одной и той же вероятностью. Это означает, что если, к примеру, бросить монетку 10 раз, 5 из них должна выпасть решка и 5 – орел. Но каждый знает, что так не происходит практически никогда, ведь соотношение частоты выпадения орла и решки может быть и 4 к 6, и 9 к 1, и 2 к 8 и т.д. Однако с увеличением количества подбрасываний монетки, например, до 100, вероятность того, что выпадет орел или решка, достигает 50%. Если же теоретически проводить бесконечное количество подобных опытов, вероятность выпадения монетки обеими сторонами всегда будет стремиться к 50%.
На то, как именно упадет монетка, влияет огромное число случайных факторов. Это и положение монетки на ладони, и сила, с которой совершается бросок, и высота падения, и его скорость и т.д. Но если опытов много, вне зависимости от того, как воздействуют факторы, всегда можно утверждать, что практическая вероятность близка к вероятности теоретической.
А вот еще один пример, который поможет понять сущность закона больших чисел: предположим, что нам нужно оценить уровень заработка людей в каком-то регионе. Если мы будем рассматривать 10 наблюдений, где 9 человек получают 20 тыс. рублей, а 1 человек – 500 тыс. рублей, среднее арифметическое составит 68 тыс. рублей, что, естественно, маловероятно. Но если мы возьмем в расчет 100 наблюдений, где 99 человек получают 20 тыс. рублей, а 1 человек – 500 тыс. рублей, то при расчете среднего арифметического получим 24,8 тыс. рублей, что уже ближе к реальному положению дел. Увеличивая число наблюдений, мы будем заставлять среднее значение стремиться к истинному показателю.
Именно по этой причине для применения закона больших чисел в первую очередь необходимо набрать статистический материал, чтобы получать правдивые результаты, изучая большое число наблюдений. Потому-то и удобно использовать этот закон, опять же, в статистике или социальной экономике.
Подведем итоги
Значение того, что закон больших чисел работает, сложно переоценить для любой области научного знания, и особенно для научных разработок в области теории статистики и методов статистического познания. Действие закона также обладает большим значением и для самих изучаемых объектов с их массовыми закономерностями. На законе больших чисел и принципе математической статистике основываются практически все методы статистического наблюдения.
Но, даже не беря во внимание науку и статистику как таковые, можно смело сделать вывод, что закон больших чисел – это не просто явление из области теории вероятностей, но феномен, с которым мы сталкиваемся практически каждый день в своей жизни.
Надеемся, теперь сущность закона больших чисел стала вам более понятна, и вы сможете легко и просто объяснить его кому-то другому. А если тема математики и теории вероятностей вам интересна в принципе, то рекомендуем почитать о числах Фибоначчи и парадоксе Монти Холла. Также познакомьтесь с приближенными вычислениями в жизненных ситуациях и самыми популярными числами. И, конечно же, обратите внимание на наш курс по когнитивистике, ведь, пройдя его, вы не только овладеете новыми техниками мышления, но и улучшите свои когнитивные способности в целом, в том числе и математические.
Закон больших чисел и то, чем он не является
О законе больших чисел (збч) написано много (например, на английском, тут и тут, также [1]). В этом тексте я попробую рассказать о том, чем закон больших чисел не является – об ошибочном восприятии этого закона и потенциальных ловушках, спрятанных в математических формулировках.
Начнем с того, что же такое закон больших чисел. Неформально, это математическая теорема о том, что «вероятность отклонений среднего по выборке от математческого ожидания мала» и что «эта вероятность стремится к нулю при увеличении выборки». Совсем неформально, теорема утверждает, что с мы можем быть в достаточной степени уверены, что среднее по нашей выборке достаточно близко к «настоящему» среднему и таким образом хорошо его описывает. Разумеется, предполагается наличие традиционного статистического «багажа» — наши наблюдения из выборки должны описывать одно и то же явление, они должны быть независимы, и мысль о том, что есть некоторое «настоящее» распределение с «настоящим» средним, не должна вызывать у нас существенных сомнений.
При формулировке закона мы говорим «среднее по выборке», и все что может быть математически записано как такое среднее, попадает под действие закона. Например, доля событий в общей массе может быть записана как среднее, — нам достаточно записать наличие события как «1» и отсутствие как «0». В итоге среднее будет равно частоте и частота должна быть близка к теоретическому среднему. Именно поэтому по ожидаем, что доля «орлов» при подбрасывании идеальной монеты будет близка к ½.
Рассмотрим теперь ловушки и ошибочные представления об этом законе.
Во-первых, ЗБЧ не всегда верен. Это всего лишь математическая теорема с «входными данными» — предположениями. Если предположения неверны, то и закон не обязан выполняться. Например, это так если наблюдения зависимы, или если нет уверенности в том, что «настоящее» среднее существует и конечно, или если изучаемое явление меняется во времени и мы не можем утверждать, что мы наблюдаем одну и ту же величину. По правде говоря, в определенной степени ЗБЧ верен и в этих случаях, например, для слабокоррелированных наблюдений или даже в том случае когда наблюдаемая величина меняется во времени. Однако, для корректного приложения этого к непосредственной реальности нужен хорошо тренированный специалист-математик.
Во-вторых, кажется верным, что ЗБЧ утверждает «среднее по выборке близко к настоящему среднему». Однако, такое утверждаение остается не полным: надо обязательно добавлять «с высокой долей вероятности; и эта вероятность всегда меньше 100%».
В-третьих, хочется сформулировать ЗБЧ как «среднее по выборке сходится к настоящему среднему при неограниченном росте выборки». Однако, это неверно, потому что среднее по выборке вообще никуда не сходится, так как оно случайное и остается таковым для любого размера выборки. Например, даже если подбросить симметричную монету миллион раз, все равное есть шанс, что доля орлов будет далека от ½ или даже равна нулю. В определенном смысле, всегда есть шанс получить что-то необычное. Надо признать, однако, что наша интуиция все-таки подсказыает нам что ЗБЧ должен описывать какую-то сходимость, и так есть на самом деле. Только «сходится» не среднее, а «вероятность отклонения выборочного среднего от его истинного значения», и сходится к нулю. Так как эта идея интуитивно очень удобна («шансы увидеть что-то необычное стремятся к нулю»), матетматики придумали для этого особый тип сходимости – «сходимость по вероятности».
В-четвертых, ЗБЧ не говорит ничего о том, когда выборочное среднее можно считать достаточно близким к теоретическому. Закон больших чисел только постулирует существование определенного явления, он ничего не говорит о том, когда его можно использовать. Получается, на ключевой вопрос с точки зрения практики — «могу ли я использовать ЗБЧ для моей выборки размера n?», закон больших чисел не отвечает. Ответы на эти вопросы дают другие теоремы, например, Центральная Предельная Теорема. Она дает представление о том, в каких пределах выборочное среднее может отклоняться от своего истинного значения.
В заключение следует отметить центральную роль ЗБЧ в статистике и теории вероятностей. История этого закона началась тогда, когда ученые заметили, что частоты некоторых повторяющихся явлений стабилизируются и перестают существенно меняться, при условии многократного повторения опыта или наблюдения. Поразительным было то, что эта «стабилизация частот» наблюдалась для совершенно несвязаных явления – от бросания игральной кости до урожайности в сельском хозяйстве, указывая на возможное существование «закона природы». Интересно, что этот закон природы оказался частью математики, а не физики, химии или биологии, как обычно бывает с законами природы.
[1] Illustrating the Law of Large Numbers (and Confidence Intervals) Jeffrey D Blume & Richard M Royall
Как работает Закон больших чисел – Примеры в реальной жизни
Как начать торговать на бирже: Инструкции и Примеры, Обучение
Примеры работы закона больших чисел в разных областях и отраслях. Чем отличаются ЗБЧ от Чебышева и Бернулли и как их применять в своей жизни.
Этот термин пришел из теории вероятности, закон больших чисел показывает насколько близким окажется среднее значение выборки к математическому ожиданию для одного и того же распределения.
Звучит несколько непонятно, ниже подробнее остановимся на физическом смысле этого закона и методах его применения в разных сферах человеческой деятельности.
Этот закон применяется и в инвестировании, и в здравоохранении, и в сфере страхования – везде, где нужно анализировать массив информации.
Что такое закон больших чисел
Для начала разберемся с терминами:
Закон больших чисел простыми словами – это закон, позволяющий понять, каким вероятнее всего окажется результат эксперимента, если проводить его неоднократно. Чем большим будет число таких экспериментов, тем ближе будет результат к математическому ожиданию.
Более того, закон больших чисел – это та закономерность, которая позволяет прогнозировать исход случайных событий на длинной дистанции. Это важно в прогнозировании и оценке рисков в любой сфере деятельности человека.
Если заинтересуетесь доказательствами этого, рекомендуем углубиться в теорию вероятности. Так, доказательство закона больших чисел Чебышева показывает, что среднее арифметическое при приближении числа экспериментов к бесконечности практически уравнивается с матожиданием.
Схожее доказательство есть для закона больших чисел Бернулли. В нем доказывается, что при неограниченно большом количестве экспериментов частота проявления определенного события оказывается равной вероятности его появления.
Помимо обычного есть и усиленный закон больших чисел. В обычном матожидание может бесконечное количество раз сильно отличаться от среднего значения результата экспериментов (происходит это бесконечно редко). В усиленном же законе вероятность такого отличие сведена к нулю, то есть со 100%-ной вероятностью матожидание сводится к арифметическому среднему.
Сущность закона больших чисел
Для визуализации закона представьте себе подбрасывание монетки. Вероятность выпадения одной из сторон 50%, если подбросить ее 10 раз, то распределение может оказаться и 70/30 и 20/80.
Но если продолжать эксперимент 10000, 1000000 раз, то распределение будет приближаться к 50/50. То есть частота проявления каждого события на дистанции стремится к вероятности его появления.
Еще один пример – подбрасывание кубиков (вернее одного кубика). В каждом эксперименте может выпасть число от 1 до 6, но закон больших чисел утверждает, что на длинной дистанции среднее арифметическое суммы бросков приближается к 3,5. Результаты эксперимента доказывают это на практике.
Похожую закономерность можно найти, например, при исследовании результатов общения страховых агентов с потенциальными клиентами. При большой выборке окажется, что в среднем на 1000 звонков приходится определенное количество заключенных договоров. Так что важно понимать суть закона больших чисел, он работает в любой сфере.
Без использования этого закона было бы невозможно планировать развитие бизнеса и оценивать эффективность работы в прошлом.
Как использовать закон больших чисел инвестору
Зная, что понимается под законом больших чисел инвестор может прогнозировать результаты вложений.
Работа со статистикой в этом и заключается, инвестиционная стратегия проверяется на истории, рассчитывается математическое ожидание, коэффициент Шарпа, Сортино и прочие характеристики.
Если для исследования взять достаточно продолжительный временной отрезок, то в будущем при использовании этой инвестиционной стратегии результат вероятнее всего окажется близок к полученному на истории.
Простейший пример оценки стстратегии:
Ответьте на вопрос – стоит ли работать при таких условиях?
Например, алгоритмические хедж-фонды работают с сотнями/тысячами стратегий, нацеленных на сотни различных инструментов. Обязательное требование для включения стратегии в пул – положительное математическое ожидание. При работе с инструментами с с максимальной отрицательной корреляции, это делает работу практически безубыточной.
Рядовой инвестор также использует понятие о законе больших чисел (даже если не владеет терминологией из теории вероятности). Вспомните как проводится анализ любого инвестиционного портфеля:
Эта схема – типичное использование закона больших чисел, ей следуют все опытные инвесторы.
Разберем этот метод на примере инвестиций в ETF с тикером SPY.
Для тестирования выберем любой временной промежуток, например, 2010-2016 гг.. В отчете нас интересует математическое ожидание или средний арифметический прирост капитала в год и в месяц.
Есть еще и средний геометрический прирост, он рассчитывается на основании наклона кривой роста депозита, при стабильном росте капитала средний арифметический и геометрический прирост практически совпадают.
Теперь проведем форвард-тест (взяв участок истории после 2016 г.). Если кратко, то по закону больших чисел в будущем должны получить примерно тот же результат.
Ожидания оправдались – рассчитывали на среднюю месячную и годовую доходность на уровне 1,07% и 13,62%, а при форвард-тесте получили 1,20% и 15,42%. Расхождение составило 12,2% и 13,2%, что для не особенно длинной дистанции неплохой результат.
Закон больших чисел просто показывает каким вероятнее всего будет результат случайного события. Но он не гарантирует, что в каждом следующем испытании итог будет строго равен математическому ожиданию.
За период с февраля 1993 г. по конец 2000 г. SPY показал себя отлично. Опираясь на статистику, инвестор мог рассчитывать на средний профит в 17,98% в год или 1,39% в месяц.
Но после 2000 г. начался спад и фонд просел, инвестор получил убыток. На короткой дистанции могло показаться, что закон перестал работать и пора искать новый инструмент для вложений.
В следующие пару лет ETF SPY был убыточным. Вместо роста капитала инвестор получил убыток в среднем 15,19% в год или 1,36% в месяц. Расхождение с ожиданиями порядка 180-200%, на погрешность это списать нельзя.
Причина таких расхождений – работа с небольшими временными промежутками. Здесь уместна аналогия с подбрасыванием монетки:
То же и в инвестировании. Вспомните сущность закона больших чисел, он применим только при достаточном массиве статистики.
Если вернуться к ETF SPY и оценить его показатели за все время существования, то окажется, что рассчитывать можно в среднем на рост в 10,83% за год и 0,86% в месяц.
Этим результатам стоит доверять больше еще и потому, что за выбранный период SPY успел пережить 2 кризиса.
Ровно по такой же схеме закон больших чисел используется и в хедж-фондах, управляющих миллиардами долларов. Отличаются лишь инструменты анализа информации, сам принцип остается тем же.
Как использовать закон больших чисел в бизнесе
Закон больших чисел связан с обработкой статистических данных. Крупный бизнес не сможет работать и прогнозировать развитие без обработки статистики, поэтому этот закон в бизнесе применяется повсеместно.
Ниже – варианты применения закона в различных секторах:
Закон больших чисел в бизнесе применяется повсеместно. Прогнозирование результатов в будущем – не единственное его применение.
Так, закон больших чисел описывает фазы развития бизнеса. В частности, из него следует, что темпы роста бизнеса в процентном соотношении не могут сохраняться постоянными неограниченно долго.
Отсюда следует, что у молодого бизнеса более вероятен резкий рост, чем у компаний с многомиллиардными оборотами. Это следует взять на вооружение инвесторам.
По мере роста происходит насыщение рынка, рост в процентном соотношении падает (при этом в деньгах показатели растут). Чтобы не перейти к стагнации компания выводит новые продукты, выходит на новые рынки.
Применение закона больших чисел в банковской деятельности
Закон больших чисел просто необходим в банковской сфере.
В кредитовании. Например, чтобы обосновать проценты по кредиту. Использовав закон больших чисел банк может спрогнозировать какая доля заемщиков не выплатит займ. В том числе исходя из этого назначается процент за использование кредитных денег.
Для составления профиля благонадежного и неблагонадежного заемщика. На основании этого закона составляется профиль заемщика, который с наибольшей вероятностью вернет займ. Учитываются все составляющие – пол, сфера работы и должность, трудовой стаж, средний месячный доход, назначение займа, кредитная история, семейное положение.
Что касается того, на чем основывается закон больших чисел при его применении в банковской сфере, то это тот же массив статистики.
Эта закономерность используется и другими околофинансовыми учреждениями. Например, БКИ при расчете кредитного рейтинга и прогнозе о возможности займа в банке опираются на анализ статистики. Значит закон больших чисел задействован и здесь.
Как работает закон больших чисел в страховании
Сектор страхования предлагает всем желающим (не только физлицам) защитить себя от убытков при наступлении несчастного случая.
На первый взгляд форс-мажоры спрогнозировать невозможно, но при изучении статистики оказывается, что и они подчиняются математическим закономерностям.
Закон больших чисел в страховании используется для определения минимального страхового взноса, который бы позволил компании перекрыть убытки при наступлении страхового случая.
Пример
Закон больших чисел говорит о том, что в среднем за год вероятность попадания в ДТП/угона (условия наступления страхового случая оговариваются отдельно) составляет 1/200 или 0,5%. То есть ежегодно страховщику придется выплачивать компенсацию 0,5 х 100000/100 = 500 автовладельцам.
Страхование – бизнес, который стал возможным исключительно благодаря закону больших чисел. Без прогнозирования соотношения прибыли и убытка по страховым случаям страховщики не стали бы работать.
Когда закон больших чисел не работает
Сложно найти сферу деятельности человека, где не применяется закон больших чисел. Но сама по себе эта закономерность не является 100%-ной гарантией того, что в будущем события будут развиваться в соответствии с расчетами.
Закон больших чисел может не работать при:
Это не значит, что закон больших чисел нельзя использовать в бизнесе и инвестировании. Просто нужно заранее понимать, что он лишь прогнозирует вероятный результат в будущем на основе статистики.
Заключение
Если дать определение закону больших чисел простым языком, его можно назвать законом, описывающим наиболее вероятный сценарий развития событий в будущем, опираясь на массив исторических данных. При этом он не гарантирует на 100%, что результаты окажутся точно такими же.
Эту закономерность использует любой бизнес без исключения, в инвестировании ей также отведена существенная роль.
Вероятнее всего вы и сами неосознанно пользуетесь этой закономерностью при планировании своих инвестиций. Если же нет – самое время начать это делать.
Трейдер, инвестор, частный предприниматель. «Финансовые рынки объединяют разные интересы, бизнес, континенты. Это то место, где всегда можно найти, чем заняться, что и как сделать или создать.»