В чем заключается свойство отношения 6 класс

Отношения

Нам известно, что для ответа на вопрос во сколько раз одно число больше другого (или меньше), или какую часть одно из них составляет от другого надо найти частное данных чисел.

Частное двух чисел и , отличных от нуля, называют отношением чисел и , или отношением числа к числу .

Где и — члены отношения; число — предыдущий член отношения; — последующий член отношения.

— отношение числа к числу ;

Отношение двух чисел показывает, во сколько раз одно число больше другого, или какую часть одно число составляет от другого. То есть отношение чисел и показывает, во сколько раз число больше числа или какую часть число составляет от числа .

Мы помним, что деление можно заменить чертой дроби, значит, отношение чисел и можно записать двумя способами: : и .

Основное свойство отношения:

Запишем отношение числа 3 к числу 10 и найдем его значение:

То есть отношение двух чисел можно выразить в процентах.

Процентное отношение показывает, сколько процентов одно число составляет от другого.

Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо их отношение умножить на 100 и к результату дописать знак процента.

Пример:

Сколько процентов составляет число 5 от числа 10?

Ответ: 50% составляет число 5 от числа 10.

Если значение двух величин выражены одной и той же единицей измерения, то их отношение называют также отношением этих величин. При этом если значения величин выражены разными единицами измерения, то для нахождения отношения этих величин надо сначала перейти к одной единице измерения.

Например:

Дан прямоугольник, длина которого равна 12 см, а ширина 1 м. Найдем отношение длин сторон прямоугольника.

Отношение длины прямоугольника к его ширине равно 12 : 100 = .

Отношение ширины прямоугольника к его длине равно 100 : 12 = .

Дроби и взаимно обратны, поэтому и отношения 12 к 100 и 100 к 12 называют взаимно обратными.

На практике отношение величин используется, например, при составлении планов и географических карт. В этом случае участки земли на бумаге изображают в уменьшенном виде, при этом на карте или плане указывают отношение, которое показывает, во сколько раз длина отрезка на рисунке меньше длины длины соответствующего отрезка на местности.

Пусть на карте задан масштаб , то есть карта сделана в масштабе одна десятитысячная.

Найдем, какой длине на местности соответствует отрезок 5 см на карте.

Для решения обозначим через длину отрезка на местности (в сантиметрах). Тогда отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности: 5 : , данное отношение равно масштабу карты, поэтому получаем уравнение:

5 : = 1 : 10 000;

Решаем данное уравнение:

= 510 000;

= 50 000;

50 000 см = 500 м = 0,5 км.

Ответ: отрезок 5 см на карте соответствует 0,5 км на местности.

Найдем, какой длине на карте соответствует отрезок 9,5 км на карте.

Для решения обозначим через длину отрезка на карте (в километрах). Тогда отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности: : 9,5, данное отношение равно масштабу карты, поэтому получаем уравнение:

: 9,5 = 1 : 10 000;

Решаем данное уравнение:

= 9,5 : 10 000;

= 0,00095;

0,00095 км = 0,95 м = 95 см.

Ответ: отрезок 9,5 км на карте соответствует 95 см на карте.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Урок 21 Бесплатно Отношения

В этом уроке мы узнаем, что такое отношения. Также поймем, что нам показывает отношение двух чисел. И в завершение узнаем, как определить часть одного числа от другого.

Отношение

Начнем с определения:

Отношением двух чисел называют частное этих двух чисел.

Записать отношение числа a к числу b мы можем как \(\mathbf\) или же через дробную черту: \(\mathbf<\frac>\)

У нас получается дробное выражение, поэтому возможны варианты во что оно преобразуется:

Посмотрим на разные примеры.

Пример 1

Найдем отношение чисел 256 и 8

По определению, отношением двух чисел будет являться их частное, что мы и посчитаем.

Ответом будет 32.

Иными словами, 256 относится к 8 как 32 к 1

В последней фразе была как раз упомянута суть отношения, мы акцентируем на этом внимание.

Отношение одного числа к другому показывает, как одно число соотносится с другим, иными словами, во сколько раз оно его больше или меньше:

Пример 2

Найдите отношение 15 к 12

По определению посчитаем частное, а далее посмотрим на полученный результат.

Данный пример иллюстрирует, в каких случая получается смешанное число.

Отношение равняется смешанному числу в тех случаях, когда первое число больше второго, и при этом первое на второе не делится.

Мы можем прочитать результат так: 15 больше 12 в \(\mathbf<1\frac<1><4>>\) раза.

Пример 3

Найдем отношение 16 к 24.

Снова идем по алгоритму: делим первое число на второе.

В этом случае мы получили в ответе правильную дробь.

Нам это говорит о том, что первое число меньше второго.

А если мы хотим сказать, как именно первое число меньше второго, то это можно сделать так: первое число меньше второго в \(\mathbf<\frac<2><3>>\) раза.

Мы можем сформулировать вывод и так: 16 составляет \(\mathbf<\frac<2><3>>\) от 24-х, то есть мы отвечаем на вопрос, какой частью является первое число от второго.

Также важно отметить, что отношение числа a к числу b не всегда равно отношению числа b к числу a.

Пример 4

Есть два числа, 14 и 28

Посчитаем отношение 14 к 28

И посчитаем отношение 28 к 14

Как вы видите, получились разные значения.

Как можно заметить, это взаимно обратные числа.

Отметим еще одно свойство отношений: если есть два числа a и b, то отношение a к b взаимно обратно отношению b к a.

Если дано отношение первого числа ко второму, то мы без труда сможем найти отношение второго к первому, даже не зная самих чисел, просто посчитав обратное к отношению число.

Пример 5

Дано, что отношение числа a к числу b равно \(\mathbf<\frac<2><5>>\), найдем отношение b к a

Для этого надо найти обратное число к \(\mathbf<\frac<2><5>>\)

Значит, отношение b к a равняется \(\mathbf<2\frac<1><2>>\)

В конце этой части добавим еще одно простое, но важное свойство.

Отношение двух чисел не изменится, если каждое из них домножить или разделить на одно и тоже число.

Это легко доказать, показав, что при делении этот множитель сократится.

Пример 6

Отношение числа 10 к числу 30 равно \(\mathbf<\frac<1><3>>\)

Домножим каждое из чисел на 2 и заметим, что отношение 20 к 60 также равно \(\mathbf<\frac<1><3>>\)

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Отношение и часть от числа

Посмотрим, какие еще можно сделать выводы, зная отношение.

Мы знаем, что, чтобы найти часть от числа (другими словами, дробь от числа), надо умножить число на эту дробь.

Так мы получим число, которое будет частью исходного.

Допустим, изначально у нас было число 4, и мы решили найти от него \(\mathbf<\frac<3><8>>\)

Перемножив, мы получим:

А теперь найдите отношение полученного числа к изначальному.

Для этого разделите одно на другое:

То, что вы получили отношение, равное той дроби, которую мы находили, не совпадение.

Действительно, находя дробь от числа мы получаем число, чье отношение к исходному будет равно этой дроби.

Сформулируем еще более коротко и четко: отношение числа a к числу b обратно дроби, которую нужно взять от числа а, чтобы получить число b.

Пример 1

Известно, что некая дробь от числа 10 равна \(\mathbf<2\frac<1><2>>\)

Найдем, какая именно это дробь.

Решение:

Дробь от числа равна отношению полученного числа к изначальному.

Теперь разделим одно на другое и получим ответ.

Ответ: дробь, взяв которую от 10 получили \(\mathbf<2\frac<1><2>>\), равняется \(\mathbf<\frac<1><4>>\)

Пример 2

Отношение первого числа ко второму равно \(\mathbf<1\frac<1><5>>\), также известно, что первое число равно 6.

Найдем второе число.

Решение:

Мы знаем, что отношение обратно дроби.

Найдем обратное число к \(\mathbf<1\frac<1><5>>\)

Теперь можно найти второе число, домножим первое на эту дробь:

Второе число равно 5

Проверка:

Найдем отношение первого числа ко второму, то есть 6 к 5

Получилось то же отношение, что и в условии.

Пример 3

Решим похожую задачу:

Отношение числа а к числу b равно \(\mathbf<1\frac<1><2>>\)

Известно, что число b равняется 8-ми, надо найти число а.

Решение:

Найдем, какую дробь число b составляет от числа a, то есть найдем обратное число от отношения:

Теперь, чтобы найти число по его дроби, надо разделить часть от числа на эту дробь.

В нашем случае на дробь надо делить число b :

Ответ: число a равняется 12

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Отношения в задачах

Теперь научимся находить отношения в задачах.

Сразу перейдем к примерам, чтобы посмотреть, за какими формулировками могут стоять отношения.

Задача 1

Длина улицы составляет 25 километров. Освещено 15 километров улицы.

а) Найдите, какая часть улицы освещена.

б) Во сколько раз вся улица длиннее ее освещенной части?

Решение:

В начале урока мы находили отношение меньшего числа к большему, тем самым определили, какую часть первое число составляет от второго.

Именно это и спрашивается в первом вопросе.

Для нахождения отношения длины освещенного участка к длине всей улицы поделим одну величину на другую:

Значит, длина освещенного участка составляет \(\mathbf<\frac<3><5>>\) от длины всей улицы.

Для нахождения этого отношения необходимо поделить длину всей улицы на длину ее освещенной части:

Что отвечает на вопрос второго пункта.

Также важно помнить, что если подаются какие-либо величины, то всегда надо следить, чтобы мера измерения была одинаковой.

То есть если нам подали что-то в тоннах и килограммах и мы хотим найти отношения этих величин, то надо либо тонны переводить в килограммы, либо наоборот.

Задача 2

Масса груза составляет 2 тонны. Известно, что часть груза- это одежда и ее масса 350 кг.

Найдите, какую часть от массы груза составляет масса одежды.

Решение:

Для начала преобразуем преобразуем тонны в килограммы. Получается, что масса груза равна 2000 кг.

Теперь найдем искомое отношение:

Теперь попробуйте порешать задачи самостоятельно, а если будет сложно, используйте подсказки.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Интересная информация

Сегодня вы узнаете о математических фокусах!

Их идея в том, что можно запутать людей математическими преобразованиями, которые выдадут то, что нужно нам.

Фокус 1

Попросите зрителя загадать число и никому не говорить.

Теперь попросите его умножить это число на 2, прибавить к результату 8, разделить на 2 и вычесть задуманное число.

Теперь вы можете уверенно сказать, что у зрителя получилось число 4.

Так получается за счет того, что в процессе преобразований исходное число вообще уходит из цепочки вычислений и остается только четверка.

Попробуй доказать это на формулах, взяв за задуманное число Х

Фокус 2

В нем вы можете угадать День рождения человека.

Попросите зрителя умножить на 2 число дня его рождения, затем пусть он прибавит к результату 5 и умножит это все на 50, после этого попросите зрителя прибавить к этому числу номер месяца рождения (январь- 1, февраль- 2 и т. д.).

Заключительный тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Конспект урока «Отношения и их свойства», 6 класс

Урок математики – 6 класс, Ткачук Ольга Александровна

Тема: « Отношения. Свойства отношений».

Цель : сформулировать понятие отношения, основные свойства отношений; формирование умения учащихся находить отношения пользуясь основным свойством отношений.

Оборудование: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир «Математика 6 класс»; наглядные пособия; дидактический материал.

Тип урока: усвоение новых знаний.

I Актуализация опорных знаний. (5 мин.)

В математике есть четыре действия. Какие?

Сегодня урок посвящен действию обратному умножению – это действие …

Давайте вспомним всё, что мы знаем о действии деление, а результаты занесём в таблицы, которые лежат у вас на партах.

Вопросы классу: (на магнитной доске учитель вывешивает ответы в таблицу).

1. Дайте определение действию деление.

2. Как обозначается действие деление?

3. Как называются компоненты деления?

4. Как ещё можно записать действие деление? (в виде дроби)

5. Что называется дробью?

6. Назовите компоненты дроби.

7. Что ещё вы знаете о дроби? ( основное свойство) Сформулируйте его.

Учитель подводит итог по таблице.

Итак, делимое это то же самое, что числитель;

делитель это то же самое, что знаменатель;

частное это то же самое, что дробь.

Сложение, вычитание, умножение, деление

Смотри приложение 1.

Деление – это действие обратное умножению

Частное от деления одного натурального числа на другое

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и тоже натуральное число, то получится равная ей дробь или

Значит, записать действие деление мы можем по-разному. В русском языке много синонимов. Например,

думать – мыслить. А в математике: пара –полупрямая –

вторая степень числа –

это уже знакомые вам математические синонимы.

А существует ли синоним действию деление?

Математики считают, что частное и отношение это математические синонимы. Согласны ли вы это доказать?

Что нужно знать, чтобы ответить да или нет?

Сформулируйте тему нашего урока.

Учащиеся называют синонимы

Нужно знать, что такое отношение

Учащиеся называют тему: «Отношения. Свойства отношений»

III Изучение нового материала.(16 мин.)

Итак, что надо первое узнать об отношении ( учитель вывешивает на магнитную доску в третью колонку таблицы)

1. Определение (страница 106, 3 абзац).

2. Обозначение (страница 107, 1-2 абзац).

3. Компоненты( страница 106, 4 абзац).

4. Свойства( страница 107, 6-8 абзац).

С помощью нашего помощника учебника мы этим займёмся.

На поиск каждого пункта 2 минуты.

Итак, можем ли мы исходя, из нашей сравнительной таблицы утверждать, что деление мы можем назвать по-другому. Что мы можем поставить между делимым, числителем, знаменателем?

(В сравнительной таблице учитель маркером ставит знак =)

делимое = числитель = предыдущий член отношения делитель = знаменатель =последующий член отношения

частное = дробь = отношения.

Закрепим материал в группе. Объединились в группы. У каждого есть фишка с номером. Итак, 1 номера – формулируют определение отношения;

2 номера – как обозначается отношения;

3 номера – называют компоненты отношения;

4 номера – формулируют свойство отношения.

Затем вы меняетесь фишками по часовой стрелке. До тех пор пока каждому не вернется его фишка. На эту работу у вас 4 минуты.

Ученики отвечают: определение, обозначение, компоненты, свойства.

Ученики записывают каждый в свою таблицу, затем проверяют друг друга в паре.

Затем проверяем фронтально, если все согласны вывешиваем на магнитную доску.

(смотри приложение 1)

Отвечают на вопрос.

IV Формирование умений. (18 мин.)

П рочита йте отношения:

Н аходи м отношения:

решаем первое задание карточки. ( 4 минуты).

А сможем ли мы найти отношения величин?

Обратите внимание, что отношение величин равно числу. А как найти отношение

Обратите внимание, чтобы найти отношение величин нужно сначала представить их в одинаковых единицах измерения.

выполняем второе задание карточки. На выполнение этого задания у вас 4 минуты. Проверяем фронтально.

Взяли таблицу, которую мы заполняли в начале урока. Давайте повторим основное свойство отношения.

Как отношения дробных чисел заменить отношением натуральных чисел, применив это свойство?

А теперь самостоятельно замените отношение дробных чисел отношением натуральных чисел. Выполняем третье задание карточки. На эту работу 4 минуты. Проверяем фронтально.

Дети проговаривают отношения хором

Дети работают в тетрадях. Результаты озвучивают.

Учащиеся отвечают на вопрос (необходимо сначала выразить в одинаковых единицах измерения)

Смотри карточку – Задание №2

Дети отвечают на вопрос: (каждый член отношения умножим на их общий знаменатель)

Смотри карточку – Задание №3

Итак, сегодня на уроке мы познакомились с новым математическим понятием. Каким?

Что мы о нем узнали?

Ребята, а действительно ли это новое понятие?

Дети отвечают на вопросы.

Определение. Обозначение, свойства.

Само понятие новое, но свойства такие как у деления.

VI Домашнее задание.(1 мин.)

Страница 106, п.19, №600, №605.

Запишем в дневники

1. Деление – это действие обратное умножению

1. Частное от деления одного натурального числа на другое

4. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и тоже натуральное число, то получится равная ей дробь или

1. Определение (страница 106, 3 абзац).

2. Обозначение (страница 107, 1-2 абзац).

3. Компоненты (страница 106, 4 абзац).

4. Свойства (страница 107, 6-8 абзац).

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-790460

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

В России будут создавать школьные театры

Время чтения: 1 минута

В России зарегистрировали вакцину от коронавируса для подростков

Время чтения: 1 минута

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

ОНФ проверит качество охраны в российских школах

Время чтения: 2 минуты

К 2024 году в каждой российской школе должен появиться спортивный клуб

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник