Xor таблица истинности что это

Xor таблица истинности что это

2) Логическое сложение или дизъюнкция:

Таблица истинности для дизъюнкции

3) Логическое отрицание или инверсия:

Таблица истинности для инверсии

4) Логическое следование или импликация:

«A → B» истинно, если из А может следовать B.

Обозначение: F = A → B.

Таблица истинности для импликации

5) Логическая равнозначность или эквивалентность:

Источник

Практика применения XOR в программировании

В данной статье я расскажу о битовой операции XOR (исключающее ИЛИ) и приведу наиболее интересные примеры ее применения на JAVA.

Итак, XOR – операция, которая принимает значение «истина» только если всего один из аргументов имеет значение «истина».

XOR обладает следующими свойствами:

a XOR 0 = a
a XOR a = 0
a XOR b = b XOR a
(a XOR b) XOR b = a

В языке JAVA (а также в С, С++, C#, Ruby, PHP, JavaScript) операция обозначается символом «^».

Обмен значений переменных без использования дополнительной переменной

С использованием операции XOR можно реализовать обмен значений однотипных пременных без использования дополнительной переменной:

или в более короткой записи:

Таким образом можно, например, реализовать реверс текстовой строки:

Следует, однако, заметить, что такой код не дает выигрыша в скорости по сравнению с кодом использующим временную переменную.

Шифрование

Шифрование на основе операций XOR использует свойство:
(a XOR k) XOR k = a
где k – выступает в роли ключа

Простая реализация шифрования строки:

Попробуем зашифровать строку “Съешь ещё этих мягких французских булок, да выпей чаю.” И в качестве ключа возьмем слово “хабра”:

Узким местом такого шифрования является то, что зная часть зашифрованного текста можно с легкостью восстановить ключ и, соответственно, расшифровать весь текст. Поэтому в чистом виде он редко используется на практике, хотя его применяют как часть более сложных алгоритмов шифрования.
Интересно, что в свое время данный алгоритм использовался Microsoft для шифрования содержимого документов в Office 95.

Генератор случайных чисел XORShift

В 2003 году Джордж Марсаглия представил миру быстрый алгоритм генерации случайных чисел с использованием XOR – XORShift.

Одна из возможных его рализаций:

39462749392662495
4596835458788324745
-7932128052244037525
-2502212788642280052
3288035714308340525
-8561046377475020727
-812160615072319265
-3869866974339671508
-7329504029400927428
3890915262874757420

В заключение просьба тем, у кого есть другие красивые примеры применения XOR, не вошедшие в статью, рассказать о них.

Источник

О битовых операциях

В этой статье я расскажу вам о том, как работают битовые операции. С первого взгляда они могут показаться вам чем-то сложным и бесполезным, но на самом деле это совсем не так. В этом я и попытаюсь вас убедить.

Введение

Побитовые операторы проводят операции непосредственно на битах числа, поэтому числа в примерах будут в двоичной системе счисления.

Я расскажу о следующих побитовых операторах:

Битовые операции изучаются в дискретной математике, а также лежат в основе цифровой техники, так как на них основана логика работы логических вентилей — базовых элементов цифровых схем. В дискретной математике, как и в цифровой технике, для описания их работы используются таблицы истинности. Таблицы истинности, как мне кажется, значительно облегчают понимание битовых операций, поэтому я приведу их в этой статье. Их, тем не менее, почти не используют в объяснениях побитовых операторов высокоуровневых языков программирования.

О битовых операторах вам также необходимо знать:

Побитовое ИЛИ (OR)

Побитовое ИЛИ действует эквивалентно логическому ИЛИ, но примененному к каждой паре битов двоичного числа. Двоичный разряд результата равен 0 только тогда, когда оба соответствующих бита в равны 0. Во всех других случаях двоичный результат равен 1. То есть, если у нас есть следующая таблица истинности:

38 | 53 будет таким:

Побитовое И (AND)

Побитовое И — это что-то вроде операции, противоположной побитовому ИЛИ. Двоичный разряд результата равен 1 только тогда, когда оба соответствующих бита операндов равны 1. Другими словами, можно сказать, двоичные разряды получившегося числа — это результат умножения соответствующих битов операнда: 1х1 = 1, 1х0 = 0. Побитовому И соответствует следующая таблица истинности:

Пример работы побитового И на выражении 38 & 53:

Исключающее ИЛИ (XOR)

Разница между исключающим ИЛИ и побитовым ИЛИ в том, что для получения 1 только один бит в паре может быть 1:

Например, выражение 138^43 будет равно…

С помощью ^ можно поменять значения двух переменных (имеющих одинаковый тип данных) без использования временной переменной.

Также с помощью исключающего ИЛИ можно зашифровать текст. Для этого нужно лишь итерировать через все символы, и ^ их с символом-ключом. Для более сложного шифра можно использовать строку символов:

Исключающее ИЛИ не самый надежный способ шифровки, но его можно сделать частью шифровального алгоритма.

Побитовое отрицание (NOT)

Побитовое отрицание инвертирует все биты операнда. То есть, то что было 1 станет 0, и наоборот.

Вот, например, операция

Результатом будет 203₁₀

При использовании побитового отрицания знак результата всегда будет противоположен знаку исходного числа (при работе со знаковыми числами). Почему так происходит, узнаете прямо сейчас.

Дополнительный код

Здесь мне стоит рассказать вам немного о способе представления отрицательных целых чисел в ЭВМ, а именно о дополнительном коде (two’s complement). Не вдаваясь в подробности, он нужен для облегчения арифметики двоичных чисел.

Главное, что вам нужно знать о числах, записанных в дополнительном коде — это то, что старший разряд является знаковым. Если он равен 0, то число положительное и совпадает с представлением этого числа в прямом коде, а если 1 — то оно отрицательное. То есть, 10111101 — отрицательное число, а 01000011 — положительное.

Чтобы преобразовать отрицательное число в дополнительный код, нужно инвертировать все биты числа (то есть, по сути, использовать побитовое отрицание) и добавить к результату 1.

Например, если мы имеем 109:

Побитовый сдвиг влево

Побитовые сдвиги немного отличаются от рассмотренных ранее битовых операций. Побитовый сдвиг влево сдвигает биты своего операнда на N количество битов влево, начиная с младшего бита. Пустые места после сдвига заполняются нулями. Происходит это так:

Побитовый сдвиг вправо

Как вы могли догадаться, >> сдвигает биты операнда на обозначенное количество битов вправо.

Если операнд положительный, то пустые места заполняются нулями. Если же изначально мы работаем с отрицательным числом, то все пустые места слева заполняются единицами. Это делается для сохранения знака в соответствии с дополнительным кодом, объясненным ранее.

Вывод

Итак, теперь вы знаете больше о битовых операциях и не боитесь их. Могу предположить, что вы не будете использовать >>1 при каждом делении на 2. Тем не менее, битовые операции неплохо иметь в своем арсенале, и теперь вы сможете воспользоваться ими в случае надобности или же ответить на каверзный вопрос на собеседовании.

Источник

Трюк с XOR для собеседований и не только

Есть целая куча популярных задач для собеседований, которые можно решить одним из двух способов: или логичным применением стандартных структур данных и алгоритмов, или использованием некоторых свойств XOR сложным для понимания способом.

Хоть и непривычно ожидать решения с XOR на собеседованиях, довольно забавно разбираться, как они работают. Оказывается, все они основаны на одном фундаментальном трюке, который я постепенно раскрою в этом посте. Далее мы рассмотрим множество способов применения этого трюка с XOR, например, при решении популярной задачи с собеседований:

Дан массив из n — 1 целых чисел, находящихся в интервале от 1 до n. Все числа встречаются только один раз, за исключением одного числа, которого нет. Найдите отсутствующее число.

В большинстве языков программирования ^ реализован как побитовый оператор, то есть XOR по отдельности применяется к каждому биту в строке битов (например, в байте).

Благодаря этому мы можем применять XOR к чему угодно, а не только к булевым значениям.

Выявляем полезные свойства

Из представленного выше определения можно вывести несколько свойств. Давайте разберём их по порядку, а затем скомбинируем их для решения задач с собеседований.

XOR и 0: x ^ 0 = x

XOR с одинаковыми аргументами: x ^ x = 0

Это означает, что применив XOR к одинаковым аргументам, мы их взаимно уничтожим.

Коммутативность: x ^ y = y ^ x

Операция XOR коммутативна, то есть мы можем менять порядок применения XOR. Чтобы доказать это, можно взглянуть на таблицу истинности x ^ y и y ^ x :

Как мы видим, x ^ y и y ^ x всегда дают одинаковые значения.

Последовательности операций XOR

Скомбинировав всё это, мы можем вывести главную мысль, стоящую в основе всего дальнейшего:

Давайте разберём пример:

Способ применения 1: перемена значений местами

Прежде чем приступать к задаче поиска отсутствующего числа, давайте начнём с более простой задачи:

Поменяйте местами два значения x и y без использования вспомогательных переменных.

Оказывается, эту задачу можно легко решить при помощи трёх команд XOR:

Это кажется довольно загадочным. Почему при этом x и y поменяются местами?

Чтобы понять, как это происходит, давайте разберёмся пошагово. В комментарии после каждой команды указаны текущие значения (x, y) :

Воспользовавшись выведенными ранее свойствами, мы видим, что это на самом деле так.

Способ применения 2: поиск отсутствующего числа

Давайте наконец решим задачу, представленную в начале поста:

Дан массив A из n — 1 целых чисел, находящихся в интервале от 1 до n. Все числа встречаются в нём ровно один раз, за исключением одного отсутствующего числа. Найти это отсутствующее число.

Разумеется, есть множество прямолинейных решений этой задачи, но мы решили использовать XOR.

Из трюка с XOR мы знаем, что имея последовательность операторов XOR, можно убрать из неё все повторяющиеся аргументы. Однако если мы просто применим XOR ко всем значениям массива, то не сможем воспользоваться этим трюком, потому что в нём нет одинаковых значений:

Так мы получим последовательность операторов XOR, в которой элементы встречаются следующим образом:

В коде это будет выглядеть примерно так:

С первого взгляда на код алгоритм понять сложно. Однако если знать, как работает трюк с XOR, то он становится довольно тривиальным. По-моему, именно поэтому не стоит ждать такого решения на собеседованиях: оно требует знания очень специфичного трюка, но почти никакого алгоритмического мышления.

Прежде чем мы перейдём к следующему способу применения, я сделаю пару замечаний.

Использование этого трюка не только для целых чисел

Хоть мы пока работали только с целыми числами от 1 до n, это необязательно. На самом деле, предыдущий алгоритм работает в любой ситуации, где есть (1) некоторое множество потенциальных элементов и (2) множество действительно встречающихся элементов. Эти множества могут отличаться только одним отсутствующим элементом. Это замечательно сработало для целых чисел, потому что множество потенциальных элементов соответствует элементам от 1 до n.

Можно придумать способы применения, где элементы не являются целыми числами от 1 до n:

Арифметические операции вместо XOR

Если алгоритм по-прежнему кажется вам непостижимым и магическим (надеюсь, это не так), то может быть полезным подумать, как достичь того же результата при помощи арифметических операторов. На самом деле всё довольно просто:

Способ применения 3: поиск повторяющегося числа

И вот здесь всё становится интереснее: мы можем применить точно такое же решение к похожей задаче с собеседования:

Дан массив A из n + 1 целых чисел, находящихся в интервале от 1 до n. Все числа встречаются ровно один раз, за исключением одного числа, которое повторяется. Найти это повторяющееся число.

Давайте подумаем, что произойдёт, если мы просто применим алгоритм из предыдущего решения. Мы получим последовательность операторов XOR, в которой элементы встречаются следующим образом:

Все остальные элементы взаимно уничтожаются, потому что встречаются ровно два раза.

Способ применения 4: поиск двух отсутствующих/повторяющихся чисел

Оказывается, мы можем расширить возможности алгоритма. Рассмотрим чуть более сложную задачу:

Дан массив A из n — 2 целых чисел, находящихся в интервале от 1 до n. Все числа встречаются ровно один раз, за исключением двух отсутствующих чисел. Найти эти два отсутствующих числа.

Как и ранее, задача полностью эквивалентна поиску двух повторяющихся чисел.

Как вы наверно догадались, мы будем придерживаться того, что сработало раньше, и начнём точно так же: рассмотрим, что произойдёт, если использовать предыдущий алгоритм с XOR. Если мы его применим, то получим последовательность операторов XOR, в которой все элементы взаимно уничтожают друг друга, за исключением тех, которые мы ищем.

Разделение при помощи изучения u ^ v

К счастью, мы можем понять, что делать, воспользовавшись изложенным выше. Давайте подумаем:

Упрощаем задачу

Далее мы можем использовать ещё одно сделанное ранее открытие:

Хоть пока мы работали только с целыми числами от 1 до n, это необязательно. На самом деле, предыдущий алгоритм работает в любой ситуации, где есть (1) некоторое множество потенциальных элементов и (2) множество действительно встречающихся элементов. Эти множества могут отличаться только одним отсутствующим (или повторяющимся) элементом.

На самом деле это очень удобный способ решения задачи: по сути, мы сводим данную новую задачу к более общей версии решённой ранее задачи.

Достигнуть предела

Следовательно, задача требует более сложных решений, больше не использующих XOR.

Заключительные мысли

Как говорилось выше, наверно, не стоит давать такие задачи на собеседованиях. Для их решения нужно знать не сразу понятный трюк, но если он известен, то решать больше практически нечего (возможно, за исключением способа применения 4). Едва ли таким образом кандидат продемонстрирует алгоритмическое мышление (кроме навыков упрощения) и здесь не особо получится использовать структуры данных.

Однако здорово было выяснить, как этот трюк работает. Похоже, XOR обладает идеально подходящими для этой задачи свойствами. Кроме того, есть некая красота в том, что нечто столь фундаментальное, как XOR, можно использовать для создания описанных в статье алгоритмов.

На правах рекламы

VDSina предлагает виртуальные серверы на Linux и Windows — выбирайте одну из предустановленных ОС, либо устанавливайте из своего образа.

Источник

Он получает название «исключающее или», потому что значение «или» неоднозначно, когда оба операнда истинны; исключительный оператор or исключает этот случай. Иногда это воспринимается как «одно или другое, но не то и другое одновременно». Это можно было бы записать как «А или В, но не А и В».

СОДЕРЖАНИЕ

Таблица истинности

Таблица истинности A XOR B показывает, что он выводит истину всякий раз, когда входные данные различаются:

Эквивалентности, исключение и введение

Таким образом, в математической и инженерной нотации мы имеем:

Отрицание

Дух законов Де Моргана может быть применен, у нас есть:

Отношение к современной алгебре

Исключительное «или» на естественном языке

Однако дизъюнкцию также можно понимать включительно, даже в сочетании с «либо». Например, первый пример ниже показывает, что «любой» удачно может использоваться в сочетании с прямым утверждением, что оба дизъюнкта истинны. Второй пример показывает, что исключительный вывод исчезает в нисходящих контекстах. Если бы дизъюнкция в этом примере понималась как исключительная, оставалась бы возможность, что некоторые люди ели и рис, и бобы.

2. Мэри либо певица, либо поэт, либо и то, и другое. 3. Никто не ел ни риса, ни бобов.

Альтернативные символы

Символ, используемый для исключительной дизъюнкции, варьируется от одной области приложения к другой и даже зависит от свойств, которые подчеркиваются в данном контексте обсуждения. В дополнение к аббревиатуре «XOR» также может быть виден любой из следующих символов:

Характеристики

A> ⊕ <\ displaystyle

> C <\ displaystyle

C> ⊕ <\ displaystyle

> ⊕ <\ displaystyle

> А <\ displaystyle

> ⊕ <\ displaystyle

Если для истинного (1) и ложного (0) используются двоичные значения, то исключающее или работает точно так же, как сложение по модулю 2.

Информатика

Побитовая операция

Исключительная дизъюнкция часто используется для побитовых операций. Примеры:

В информатике исключительная дизъюнкция имеет несколько применений:

В логических схемах можно сделать простой сумматор с вентилем XOR для сложения чисел и серией вентилей AND, OR и NOT для создания вывода переноса.

На некоторых компьютерных архитектурах более эффективно хранить ноль в регистре, выполняя операцию XOR с регистром с самим собой (биты, объединенные с помощью XOR с самими собой, всегда равны нулю) вместо загрузки и сохранения нулевого значения.

Exclusive-or также широко используется в блочных шифрах, таких как AES (Rijndael) или Serpent, и в реализации блочного шифра (CBC, CFB, OFB или CTR).

XOR также используется для обнаружения переполнения в результате двоичной арифметической операции со знаком. Если крайний левый оставшийся бит результата не совпадает с бесконечным числом цифр слева, это означает, что произошло переполнение. Выполнение XOR этих двух битов даст «1», если произойдет переполнение.

XOR можно использовать для замены двух числовых переменных в компьютерах с помощью алгоритма обмена XOR ; однако это считается скорее любопытством и на практике не поощряется.

В компьютерной графике методы рисования на основе XOR часто используются для управления такими элементами, как ограничивающие прямоугольники и курсоры в системах без альфа-каналов или плоскостей наложения.

Кодировки

Источник