Как интегрировать функцию двух переменных
Как интегрировать функцию двух переменных
VI .1. Вычисление двойного интеграла
Эта сумма называется интегральной суммой для функции f ( x , y ) в области D . Если f ≥ 0 в области D , то каждое слагаемое 
геометрически представляет собой объем малого цилиндра с основанием ∆ Si и высотой f ( Pi ). Сумма всех Vi есть сумма объемов указанных элементарных цилинд ров, геометрически – объем некоторого «ступенчатого» тела.
Рассмотрим произвольную последовательность интегральных сумм, составленных с помощью функции f ( x , y ) для данной области D :
Область D при этом называется областью интегрирования.
1. Вычисление двойного интеграла в декартовой система координат
Рассмотрим область D , лежащую в плоскости x 0 y и являющуюся правильной в направлении оси 0 y . Это означает, что всякая прямая, параллельная оси 0 y и проходящая через внутреннюю точку области, пересекает границу области в двух точках N 1 и N 2.
Если область D является правильной как в направлении оси 0 x , так и в направлении оси 0 y , то она называется просто правильной областью.
Пусть функция f ( x , y ) непрерывна в области D . Рассмотрим выражение
которое назовем двукратным интегралом от функции f ( x , y ) по области D . В этом выражении сначала вычисляется внутренний интеграл, стоящий в скобках, причем интегрирование производится по y , а x считается постоянной величиной. В результате интегрирования получится непрерывная функция от x :
.
Эту функцию мы интегрируем по x в пределах от a до b :
В результате получается некоторое постоянное число.
Теорема 6.2. Двойной интеграл от непрерывной функции f ( x , y ) по правильной области D равен двукратному интегралу от этой функции по области, то есть
Очевидно, что в этом случае
Решение. Применим формулу (6.5), считая внутренний интеграл по переменной y :
Если область D является правильной в направлении обеих осей координат, то применимы обе формулы (6.5) и (6.6), следовательно,
Таким образом, повторное интегрирование не зависит от порядка интегрирования. Поэтому при вычислении двойного интеграла следует пользоваться той из двух формул, которая приводит к менее трудоемким выкладкам. Полезно для упражнения в вычислении повторного интегрирования рассматривать задачу о замене порядка интегрирования в двойном интеграле 
. При этом выполняется следующая последовательность действий:
Аналогичные выкладки производят при необходимости замены порядка интегрирования в двойном интеграле : 
Примечание. В случае, когда какая-либо из этих границ состоит из двух или большего числа линий, записанных разными уравнениями, то область D разбивается на части, а интеграл – на сумму интегралов по этим частям 
Пример 6.2. Изменить порядок интегрирования 
.
2. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат
Для вычисления такого двойного интеграла применяют то же правило сведения его к двукратному интегралу. Так, если область D имеет вид, изображенный на рисунке 6.2 (ограничена лучами φ=α и φ=β, где α β, и кривыми 
, т. е. является правильной: луч, выходящий из полюса, пересекает ее границу L не более чем в двух точках), то правую часть формулы (6.7) можно записать в виде:
Переходя к полярной системе координат с помощью (6.8), получаем:
Интегрирование функции двух переменных
Двойной интеграл введем аналогично определению геометрического смысла определенного интеграла функции одного переменного: если функция 
непрерывна и неотрицательна в области 
, тодвойным интегралом 
называетсяобъемпрямого цилиндрического тела (цилиндроида – см. рисунок), построенного на области как на основании и ограниченного сверху поверхностью .
Заметим, что неопределенные двойные интегралы на практике не встречаются, поэтому не будем обсуждать непростое понятие первообразной, которая должна учитывать частные производные.Свойстваже двойного интеграла те же, что и у однократного.
Интегрирование функции двух переменных значительно более трудная и арифметически громоздкая задача по сравнению с задачей для одной переменной. Рассмотрим наиболее распространенную на практике методику вычисления двойного интеграла сведением кповторному интегрированию.
 |
В этой методике ключевым моментом является область интегрирования . Если эта область непрерывна (см. рисунок) и ее границы могут быть четко определены, то для непрерывной в этой области функции справедливаформула
.
Таким образом, двойной интеграл сводится кпоследовательному вычислениюдвух однократных определенных интегралов (повторных интегралов). При этом внутренний интеграл имеетфункциональные(или числовые) пределы интегрирования, а внешний –всегда числовые. Внутренний интеграл (по 
) вычисляется в предположении, что х – постоянная величина (полная аналогия с вычислением частных производных). Расчет производится с помощью двукратного применения обычной формулы Ньютона – Лейбница.
Заметим, что область интегрирования может быть ибесконечнойв одном или в обоих направлениях осей координат. Тогда, при непрерывности функции , имеемнесобственные двойные интегралы первого рода, которые, очевидно, сводятся кнесобственным повторным интегралам.
Наиболее простым будет случай 
, где с и d – константы, т.е.прямоугольник 
. Тогда
.
Для практического вычисления двойного интеграла рекомендуется следующая схема:
1. Сделатьэскизобласти интегрирования ,определитьвсе функциональные и числовые границы;
2. С помощью формулы Ньютона – Лейбница вычислить внутренний интеграл 
(или 
— для прямоугольника). Ответом, как правило, будет некоторая функция одного аргумента 
;
3. С помощью формулы Ньютона – Лейбница вычислить внешний интеграл 
.
Если область интегрирования имеетсложное очертание, то рекомендуется разбить ее насумму простых подобластей, например, 
. Тогда искомый интеграл будет алгебраическойсуммой интеграловпо подобластям, т.е.
В заключение отметим, что двойной интеграл часто используется для вычисления площади плоских фигур. Формула для вычисления площади имеет вид
.
Литература
1. Баврин И.И. Высшая математика: учебник для вузов. М.: Владос, 2003.
2. Бугров Я.С. Высшая математика: учебник для вузов. – М.: Дрофа,2003.
4. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Астрель: АСТ, 2005.
5. Высшая математика для экономистов. Под ред. Кремера Н.Ш. –М.: ЮНИТИ, 2002.
6. Ильин В.А. Высшая математика: учебник для вузов. М.: Проспект, 2005.
Вычисление двойных интегралов: теория и примеры
Что значит вычислить двойной интеграл?
Записывается двойной интеграл так:
.
Случай прямоугольной области:
Случай криволинейной области:
Сведение двойного интеграла к повторному
Случай прямоугольной области
Пусть для такой функции существует двойной интеграл
.
Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид
.
Можно и поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид
.
Пример 1. Вычислить двойной интеграл
,
.
Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу
.
На чертеже строим область интегрирования:
Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая игрек константой. Получаем.
.
Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):
Результат и будет решением данного двойного интеграла.
Пример 2. Вычислить двойной интеграл
,
.
Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу
.
На чертеже строим область интегрирования:
Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.
Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):
Результат и будет решением данного двойного интеграла.
Случай криволинейной или треугольной области
.
Пусть для такой функции также существует двойной интеграл
.
Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид
.
Точно так же можно поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид
.
Пример 3. Вычислить двойной интеграл
,
.
Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу
.
На чертеже строим область интегрирования и видим, что она треугольная:
Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.
Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого). Сначала представляем этот интеграл в виде суммы интегралов:
.
Вычисляем первое слагаемое:
Вычисляем второе слагаемое:
Вычисляем третье слагаемое:
Получаем сумму, которая и будет решением данного двойного интеграла:
.
Пример 4. Вычислить двойной интеграл
,
.
Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу
.
На чертеже строим область интегрирования:
Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.
.
Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):
Результат и будет решением данного двойного интеграла.
Вычислить двойной интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 5. Вычислить двойной интеграл
,
если область D ограничена прямыми
.
Пример 6. Вычислить двойной интеграл
,
если область D ограничена прямыми
.
x-правильная и неправильная, y-правильная и неправильная области интегрирования
Случается, область интегрирования двойного интеграла ограничена такими линиями, что возникает необходимость разбить область интегрирования на части и решать каждый соответствующий повторный интеграл отдельно. Это случаи, когда:
1) область интегрирования представляет собой фигуру, имеющую в виде нижней или верхней (левой или правой) границы две или более двух прямых или кривых линий;
2) область интегрирования представляет собой фигуру, границу которой прямые пересекают более чем в двух точках.
Если вышесказанное относится к левой или правой границе области интегрирования, то есть ограничениях, заданных линиями, выраженными через x, то область интегрирования называется x-неправильной. Если же прямая y = y 0 пересекает соответствующую границу лишь в одной точке и если границей служит лишь одна прямая или кривая, то область интегрирования называется x-правильной
Аналогично, если границу, заданную линиями, выраженными через y, прямая x = x 0 пересекает более чем в одной точке или если границей служат более одной прямой или кривой, то область интегрирования называется y-неправильной. Вывести теперь признаки y-правильной области, надо полагать, совсем просто.
До сих пор мы рассматривали примеры с x-неправильными и y-правильными областями интегрирования. Теперь рассмотрим случаи, когда условие правильности нарушается.
Вычисляется этот двойной интеграл так:
Смена порядка интегрирования
Как уже отмечалось выше, после приведения двойного интеграла к повторному интегралу, можно поменять переменные x и y ролями, или, говоря иначе, поменять порядок интегрирования.
Пример 8. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла
.
(нижний) и 
(верхний).
Таким образом, после смены порядка интегрирования повторный интеграл запишется так:
.
После смены порядка интегрирования в двойном интеграле нередко область интегрирования превращается в y-неправильную или x-неправильную (см. предыдущий параграф). Тогда требуется разбить область интегрирования на части и решать каждый соответствующий повторный интеграл отдельно.
Поскольку разбиение области интегрирования на части представляет определённые трудности для многих студентов, то не ограничимся примером, приведённым в предыдущем параграфе, а разберём ещё пару примеров.
Пример 9. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла
.
Естественно, таким же будет решение двойного интеграла, который сводится к повторному интегралу, данному в условии этого примера.
Пример 10. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла
.
Поэтому разобьём область интегрирования на три части прямыми, которые на рисунке начерчены чёрным. Новые пределы интегрирования вычисляем, находя обратную функцию. Пределы для трёх новых областей интегрирования будут следующими.
Для 
:
Для 
:
Для 
:
Соответственно этому решению повторный интеграл после смены порядка интегрирования будет равным сумме трёх интегралов:
Той же сумме трёх интегралов будет равен и двойной интеграл, который сводится к повторному интегралу, данному в условии этого примера.
Пример 11. Найти пределы интегрирования двойного интеграла, если область интегрирования D задана следующим образом:
Решение. В явном виде (через x и y «без примесей») линии, ограничивающие область интегрирования, не заданы. Так как для икса ими чаще всего оказываются прямые, касающиеся в одной точке верхней и нижней границ, выраженных через игрек, то пойдём именно по этому пути. Тем более, что при смене порядка интегирования мы получим область интегрирования с такой же площадью. Разрешим неравенства относительно игрека и получим:
Теперь данный двойной интеграл можем записать как сумму двух повторных интегралов с правильно расставленными пределами интегрирования:
.
Вычисление площади и объёма с помощью двойных интегралов
Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла имеет более универсальный характер, чем вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определённого интеграла. С помощью двойного интеграла можно вычислять площади не только криволинейной трапеции, но и фигур, расположенных произвольно по отношению к к координатным осям.
.
Вычисляем внутренний (правый) интеграл:
.
Вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):
Расставляя пределы интегрирования, получаем следующий повторный интеграл:
.
Вычисляем внутренний (правый) интеграл:
.
Вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):
Так что же такое двойной интеграл?
,
которую назовём интегральной суммой. Диаметром области D условимся называть наибольшее расстояние между граничными точками этой области. Учитывается также наибольший из диаметров частичных областей.
Определение. Если интегральная сумма при неограниченном возрастании числа n разбиений области D и стремлении наибольшего из диаметров частичных областей к нулю имеет предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D.
Если областью интегрирования является окружность или часть окружности, то двойной интеграл проще вычислить в полярных координатах. Обобщением понятия двойного интеграла для функции трёх переменных является тройной интеграл.