Как искать площадь сечения призмы
Как определить площадь сечения цилиндра, конуса, призмы и пирамиды? Формулы
На практике часто возникают задачи, которые требуют умения строить сечения геометрических фигур различной формы и находить площади сечений. В данной статье рассмотрим, как строятся важные сечения призмы, пирамиды, конуса и цилиндра, и как рассчитывать их площади.
Объемные фигуры
Из стереометрии известно, что объемная фигура совершенно любого типа ограничена рядом поверхностей. Например, для таких многогранников, как призма и пирамида, этими поверхностями являются многоугольные стороны. Для цилиндра и конуса речь идет уже о поверхностях вращения цилиндрической и конической фигур.
Вам будет интересно: Что значит слыть: толкование, синонимы
Если взять плоскость и пересечь ею произвольным образом поверхность объемной фигуры, то мы получим сечение. Площадь его равна площади части плоскости, которая будет находиться внутри объема фигуры. Минимальное значение этой площади равно нулю, что реализуется, когда плоскость касается фигуры. Например, сечение, которое образовано единственной точкой, получается, если плоскость проходит через вершину пирамиды или конуса. Максимальное значение площади сечения зависит от взаимного расположения фигуры и плоскости, а также от формы и размеров фигуры.
Ниже рассмотрим, как рассчитывать площади образованных сечений для двух фигур вращения (цилиндр и конус) и двух полиэдров (пирамида и призма).
Цилиндр
Круговой цилиндр является фигурой вращения прямоугольника вокруг любой из его сторон. Цилиндр характеризуется двумя линейными параметрами: радиусом основания r и высотой h. Ниже схематически показано, как выглядит круговой прямой цилиндр.
Для этой фигуры существует три важных типа сечения:
Эллиптическое образуется в результате пересечения плоскостью боковой поверхности фигуры под некоторым углом к ее основанию. Круглое является результатом пересечения секущей плоскости боковой поверхности параллельно основанию цилиндра. Наконец, прямоугольное получается, если секущая плоскость будет параллельна оси цилиндра.
Площадь круглого сечения рассчитывается по формуле:
Площадь осевого сечения, то есть прямоугольного, которое проходит через ось цилиндра, определяется так:
Сечения конуса
Конусом является фигура вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Конус имеет одну вершину и круглое основание. Его параметрами также являются радиус r и высота h. Пример конуса, сделанного из бумаги, показан ниже.
Видов конических сечений существует несколько. Перечислим их:
Они сменяют друг друга, если увеличивать угол наклона секущей плоскости относительно круглого основания. Проще всего записать формулы площади сечения круглого и треугольного.
Круглое сечение образуется в результате пересечения конической поверхности плоскостью, которая параллельна основанию. Для его площади справедлива следующая формула:
Содержание:
Ранее вы уже знакомились с призмой, т. е. многогранником, две грани которого — равные 
Что такое призма
Равные грани-многоугольники призмы лежат в параллельных плоскостях и называются основаниями призмы, а остальные грани-параллелограммы — боковыми гранями. Ребра боковых граней, не принадлежащие основаниям, называют боковыми ребрами. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называют диагональю призмы (рис. 1). Плоскость, проходящая через два боковых ребра призмы, не принадлежащих одной грани, называется диагональной плоскостью, а сечение призмы диагональной плоскостью — диагональным сечением. На рисунке 2 показаны два диагональных сечения призмы.
Призмы разделяют на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон их оснований. Призма, изображенная на рисунке 1, — шестиугольная, а на рисунке 2, — девятиугольная.
Отличают прямые и наклонные призмы в зависимости от того, перпендикулярны или не перпендикулярны боковые ребра призмы ее основаниям. Обычно при изображении прямой призмы ее боковые ребра проводят вертикально.
Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной призмой. В прямой призме все боковые грани — прямоугольники, а в правильной — равные прямоугольники.
Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания призмы к плоскости другого основания, называется высотой призмы. На рисунке 3 показаны две высоты 
и 
призмы 
. У прямой призмы ее высота равна боковому ребру.
Боковые грани составляют боковую поверхность призмы, а боковые грани вместе с основаниями — полную поверхность призмы.
Теорема 1.
Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра ее перпендикулярного сечения и длины бокового ребра:
Доказательство:
Пусть имеется 
-угольная призма 
. Пересечем ее плоскостью 
, перпендикулярной боковому ребру. Получим перпендикулярное сечение 
, стороны которого перпендикулярны сторонам параллелограммов, составляющим боковую поверхность призмы. Поэтому для боковой поверхности 
получим:
При переходе (1) мы учли, что все боковые ребра призмы равны друг другу, при переходе (2) — то, что сумма 
выражает периметр 
перпендикулярного сечения призмы, а множитель 
— длину 
бокового ребра.
Следствие 1.
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания и высоты.
Действительно, перпендикулярное сечение прямой призмы равно ее основанию, а боковое ребро является высотой.
Частным видом призмы является параллелепипед, т. е. призма, основанием которой является параллелограмм. Параллелепипед, как и призма, может быть прямым или наклонным. Прямой параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники, называется прямоугольным параллелепипедом. Прямоугольный параллелепипед, у которого три ребра, выходящие из одной вершины, равны друг другу, называется кубом.
У параллелепипеда все грани — параллелограммы, из которых у прямого параллелепипеда прямоугольниками являются боковые грани, а у прямоугольного параллелепипеда — все грани.
12 ребер параллелепипеда разделяются на три четверки равных ребер (рис. 5), его 6 граней — на три пары равных граней (рис. 6), а 4 диагонали пересекаются в одной точке, являющейся центром симметрии параллелепипеда (рис. 7).
Прямой параллелепипед еще имеет ось симметрии (рис. 8) и плоскость симметрии (рис. 9). Прямоугольный параллелепипед имеет три оси симметрии (рис. 10) и три плоскости симметрии (рис. 11).
Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, называют измерениями прямоугольного параллелепипеда. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (рис. 12), и все его диагонали равны друг другу.
Важной характеристикой плоской фигуры является ее площадь. Подобной характеристикой тела является его объем. Будем считать, что изучаемые нами тела имеют объем.
За единицу объема принимают объем куба с ребром 1. На практике пользуются разными единицами объема: как метрическими — кубический миллиметр, кубический сантиметр, кубический дециметр, кубический метр, кубический километр, так и неметрическими — галлон, барель, бушель, кварта.
Для объема тела выполняются его основные свойства:
При этом равными фигурами называют фигуры, которые преобразуются друг в друга определенным движением. Например, равными являются две шестиугольные правильные призмы, у которых соответственно равны стороны оснований и высоты (рис. 13), или два цилиндра с соответственно равными радиусами оснований и образующими (рис. 14). Тело, изображенное на рисунке 15, можно разделить на цилиндр и конус, и его объем равен сумме объемов этих цилиндра и конуса.
Два тела с равными объемами называют равновеликими телами. Равные тела являются равновеликими, но не наоборот.
Вы знаете, что объем 
прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений 
, 
, 
(рис. 16): 
.
Учитывая, что в формуле 
произведение 
выражает площадь 
основания прямоугольного параллелепипеда, а число 
— его высоту 
, получим, что объем 
прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты: 
.
Теорема 2.
Объем произвольного параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты:
Доказательство:
Пусть имеется произвольный параллелепипед 
(рис. 17). Через ребро 
проведем плоскость, перпендикулярную ребру 
, она отсечет от параллелепипеда треугольную призму 
(рис. 18). После параллельного сдвига этой призмы в направлении отрезка 
получим призму 
. Параллелепипед 
равновелик с данным параллелепипедом 
. Выполненное преобразование параллелепипеда также сохраняет объем параллелепипеда, площадь его основания и высоту.
У параллелепипеда 
его боковые грани 
и 
перпендикулярны плоскости основания. К граням 
и 
, которые не перпендикулярны плоскости основания, применим такое же преобразование, в результате которого получим прямой параллелепипед 
(рис. 19), в котором сохраняются объем, площадь основания и высота.
Наконец, применив еще раз такое преобразование к граням 
и 
прямого параллелепипеда 
, получим прямоугольный параллелепипед 
(рис. 20), сохранив объем параллелепипеда, площадь его основания и высоту.
Множитель 
есть площадь основания параллелепипеда 
, а множитель 
выражает его высоту, так как 
есть перпендикуляр, возведенный из точки 
основания 
к другому основанию 
. Значит, объем произвольного параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты.
Теорема 3.
Объем призмы равен произведению площади ее основания и высоты:
Доказательство:
Рассмотрим сначала треугольную призму 
(рис. 21). Дополним ее до параллелепипеда 
(рис. 22). Точка 
пересечения диагоналей диагонального сечения 
этого параллелепипеда является его центром симметрии. Это означает, что достроенная призма 
симметрична данной призме 
относительно центра , а потому эти призмы равны друг другу. Значит, объем параллелепипеда 
равен удвоенному объему данной призмы.
Объем параллелепипеда 
равен произведению площади его основания 
и высоты. Но площадь его основания 
равна удвоенной площади основания 
данной призмы, а высота параллелепипеда равна высоте призмы.
Отсюда следует, что объем призмы 
равен площади ее основания 
и высоты. Теперь рассмотрим произвольную призму 
(рис. 23).
Учитывая, что сумма в скобках выражает площадь S основания данной призмы, получим:
Следствие 2.
Объем прямой призмы равен произведению площади ее основания и бокового ребра.
Призма и её сечения
С призмой вы уже знакомы. Несмотря на это, мы напомним определение призмы и её свойства.
Если основания прямой призмы являются правильными многоугольниками, то её называют правильной (рис. 24). Боковые грани правильной призмы это равные между собой прямоугольники.
Перпендикуляр, опущенный из некоторой точки одного основания к другому, называют его перпендикуляром (рис. 23.b).
Сечение призмы, проходящее через соответствующие диагонали его оснований, называют диагональным сечением (рис. 24.а) и их число равно числу диагоналей одного из оснований.
Перпендикулярным сечением призмы называют сечение перпендикулярное всем его боковым рёбрам (рис. 25). так как 
число диагоналси выпуклого n-угольника, то число диагональных сeчeний n-угольной призмы также равно .
В каждом диагональном сечении призмы можно провести две диагонали. Следовательно, n-угольная призма имеет 
диагоналей.
Пример:
В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами соответственно равны 7 см, 15 см и 20 см. Найдите расстояние между большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром.
Решение:
Известно, что расстояние между параллельными прямыми равно длине перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной прямой на другую. Тогда длины сторон перпендикулярного сечения ABC (рис. 26). Наибольшая грань призмы проходит через наибольшую сторону АС= 20 см этого сечения. Расстояние от рёбра призмы В2В1 до плоскости грани 
равно высоте BD треугольника ABC.
Тогда по формуле Герона получаем:
,
.
С другой стороны, 
.
Отсюда 
или 
см.
Ответ: 4,2 см.
Параллелепипед и куб
Призма, основаниями которой являются параллелограммы, называют параллелепипедом (рис. 27). Параллелепипеды также как и призмы могут быть прямыми (рис. 27.а) и наклонными (рис. 27.b). 
Грани параллелепипеда, не имеющие общую вершину, называют противоположными гранями.
Прямой параллелепипед, основания которого являются прямоугольники, называют прямоугольным параллелепипедом (рис. 29). Очевидно, что все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.
Прямоугольный параллелепипед имеет три оси симметрии (рис. 30) и три плоскости симметрии (рис. 31).
Длины трех рёбер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда называют его измерениями.
Свойство: В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали d равен сумме квадратов его измерений: а, b и с (рис.32):
.
Прямоугольный параллелепипед, все измерения которого равны, называют кубом. Очевидно, что все грани куба являются равными квадратами. Куб имеет один центр симметрии, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.
Выше были перечислены свойства призмы. Некоторые из них были показаны в 10 классе. Доказательства остальных свойств проще, поэтому их доказательства вы можете провести самостоятельно.
Площади боковой и полной поверхности призмы
На рисунке 33 проведены высоты НН1 DD1 призмы
АВСDЕ—А1В1С1D1Е1. Очевидно, что высоты правильной призмы будут равны её боковому рёбру. 
Боковая поверхность призмы (точнее, площадь боковой поверхности)равна сумме боковых поверхностей ее граней, а полная поверхнасть равна сумме боковой поверхности и площадей двух ее оснований. 
Теорема. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра ее основания на высоту: 
Доказательство. Пусть высота данной прямой призмы равна 
, а периметр основания 
(рис. 34). Известно, что каждая грань прямой призмы является прямоугольником. Основания прямоугольников равны соответствующим сторонам основания призмы, а высоты равны высоте призмы.
Тогда 
Теорема. Боковая поверхность произвольной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения призмы на ее боковое ребро:
Доказательство. Пусть периметр перпендикулярного сечения призмы равен Р (рис. 35). Сечение делит призму на две части (рис. 36.а). Совершим параллельный перенос одной из этих частей так, чтобы основания нашей призмы совпали. В результате мы получим новую прямую призму (рис. 36.b). Очевидно, что, боковая поверхность этой призмы равна боковой поверхности данной. Её основанием является перпендикулярное сечение, а боковое ребро равно 
.
Тогда по доказанной выше теореме:
Объем призмы
Одним из свойств, характеризующих геометрические тела в пространстве, является понятие объема. Каждый предмет (тело) занимает некоторую часть пространства. Например, кирпич по сравнению со спичечным коробком занимает большую часть пространства. Для сравнения этих частей между собой вводится понятие объёма.
Объёмы тел измеряют различными способами или вычисляют. Например, объёмы маленьких предметов можно измерить с помощью сосудов (мензурки) с мелкими делениями (шкалами) (рис. 46). А объём ведра можно измерить с помощью сосуда, имеющего единичный объём, наполнив его водой (рис. 47). Но таким способом мы не можем измерить объёмы всех тел. В таких случаях объём вычисляют различными способами. Ниже рассмотрим их без доказательств. 
Объём параллелепипеда
Теорема. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерeний (рис.48): 
.
Следствие. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту (рис. 49): 
.
Теорема. Объём произвольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту (рис. 50): 
.
Это свойство вытекает из вышеупомянутого следствия. На рисунке 50 показано как данный параллелепипед преобразовать в прямоугольный параллелепипед. Воспользовавшись этим самостоятельно обоснуйте свойство. 
Нахождение объёма призмы
Теорема. Объём прямой призмы равен произведению площади его основания на высоту (рис. 51): 
.
Если объём данной призмы, площадь её основания и высота V, S и h, то объём полученного прямоугольного параллелепипеда, площадь его основания и высота будут соответственно равны 2V, 2S и h.
Следовательно 
или 
Объём данной призмы равен сумме объёмов составляющих её треугольных призм:
или 
Теорема. Объём произвольной призмы равен произведению площади его основания на высоту:
По рисунку 5.3 докажите эту теорему самостоятельно, сначала для треугольной призмы (рис. 5.3.а), затем для любой призмы (рис. 5.3.b).
Пример:
Стороны основания прямого параллелепипеда равны а и b, а угол между ними 30°. Найдите его объём, если площадь его боковой поверхности равна S.
Решение:
Обозначим высоту параллелепипеда h(рис. 54).
Тогда по условию задачи:
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.