Как искать угловой коэффициент прямой

Уравнение прямой с угловым коэффициентом: теория, примеры, решение задач

Продолжение темы уравнение прямой на плоскости основывается на изучении прямой линии из уроков алгебры. Данная статья дает обобщенную информацию по теме уравнения прямой с угловым коэффициентом. Рассмотрим определения, получим само уравнение, выявим связь с другими видами уравнений. Все будет рассмотрено на примерах решений задач.

Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой

Перед записью такого уравнения необходимо дать определение угла наклона прямой к оси О х с их угловым коэффициентом. Допустим, что задана декартова система координат О х на плоскости.

Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона заданной прямой.

Угловой коэффициент положительный, когда график функции возрастает и наоборот. На рисунке показаны различные вариации расположения прямого угла относительно системы координат со значением коэффициента.

Для нахождения данного угла необходимо применить определение об угловом коэффициенте и произвести вычисление тангенса угла наклона в плоскости.

Уравнение с угловым коэффициентом

Ответ: М 1 принадлежит прямой, а М 2 нет.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку

Решение

Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнений прямой и обратно

Такое уравнение не всегда применимо для решения задач, так как имеет не совсем удобную запись. Для этого необходимо представлять в другом виде. Например, уравнение вида y = k · x + b не позволяет записать координаты направляющего вектора прямой или координаты нормального вектора. Для этого нужно научиться представлять уравнениями другого вида.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом стало каноническим уравнением данной прямой.

Вычислим и представим в виде канонического уравнения прямой. Получим уравнение вида:

Для решения необходимо перейти к другому виду данного уравнения, для этого запишем:

Решим задачу обратную данной.

Исходя из условия, необходимо решить относительно у, тогда получим уравнение вида:

Каноническое уравнение можно привести к виду с угловым коэффициентом. Для этого:

Для решения таких заданий следует приводит параметрические уравнения прямой вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ к каноническому уравнению прямой, только после этого можно переходить к уравнению с угловым коэффициентом.

Необходимо выполнить переход от параметрического вида к угловому коэффициенту. Для этого найдем каноническое уравнение из заданного параметрического:

Источник

Угловой коэффициент.

Угловой коэффициент— коэффициент k в уравнении прямой на плоскости y = kx + b. Он численно равняется тангенсу угла между выбранной прямой и осью 0х. Этот угол отсчитывается от положительного направления оси 0х до прямой против хода часовой стрелки и располагается и пределах от 0 до 180 градусов.

Для обозначения углового коэффициента употребляют латинский символ k. И, основываясь на определении получаем:

Когда прямая параллельна оси 0х или совпадает с ней, то угол ее наклона расценивают, как равный нулю.

Когда прямая параллельна оси 0у, то угловой коэффициент отсутствует и принято указывать, что угловой коэффициент обращается в бесконечность.

Положительный угловой коэффициент прямой свидетельствует о росте графика функции, отрицательный угловой коэффициент – об убывании.

Угловой коэффициент прямой так же есть возможность вычислить, когда установлены координаты двух произвольных точек прямой:

Тогда, в образовавшемся прямоугольном треугольнике M₁РM₂ вычисляем тангенс:

Источник

Угловой коэффициент прямой (и не только)!

Угловой коэффициент прямой. В этой статье мы с вами рассмотрим задачи связанные с координатной плоскостью включённые в ЕГЭ по математике. Это задания на:

— определение углового коэффициента прямой, когда известны две точки через которые она проходит;
— определение абсциссы или ординаты точки пересечения двух прямых на плоскости.

Что такое абсцисса и ордината точки было описано в прошлой статье данной рубрики. В ней мы уже рассмотрели несколько задач связанных с координатной плоскостью. Что необходимо понимать для рассматриваемого типа задач? Немного теории.

Уравнение прямой на координатной плоскости имеет вид:

где k – это и есть угловой коэффициент прямой.

Следующий момент! Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой. Это угол между данной прямой и осью ох.

Он лежит в пределах от 0 до 180 градусов.

То есть, если мы приведём уравнение прямой к виду y = kx + b, то далее всегда сможем определить коэффициент k (угловой коэффициент).

Так же, если мы исходя из условия сможем определить тангенс угла наклона прямой, то тем самым найдём её угловой коэффициент.

Следующий теоретический момент! Уравнение прямой походящей через две данные точки. Формула имеет вид:

Рассмотрим задачи (аналогичные задачам из открытого банка заданий):

Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (–6;0) и (0;6).

В данной задаче самый рациональный путь решения это найти тангенс угла между осью ох и данной прямой. Известно, что он равен угловому коэффициенту. Рассмотрим прямоугольный треугольник образованный прямой и осями ох и оу:

Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике является отношение противолежащего катета к прилежащему:

*Оба катета равны шести (это их длины).

Конечно, данную задачу можно решить используя формулу нахождения уравнения прямой проходящей через две данные точки. Но это будет более длительный путь решения.

Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (5;0) и (0;5).

Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:

Наши точки имеют координаты (5;0) и (0;5). Значит,

Получили, что угловой коэффициент k = – 1.

Прямая a проходит через точки с координатами (0;6) и (8;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0;10) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью оx.

В данной задаче можно найти уравнение прямой a, определить угловой коэффициент для неё. У прямой b угловой коэффициент будет такой же, так как они параллельны. Далее можно найти уравнение прямой b. А затем, подставив в него значение y = 0, найти абсциссу. НО!

В данном случае, проще использовать свойство подобия треугольников.

Прямоугольные треугольники, образованные данными (параллельными) прямыми о осями координат подобны, а это значит, что отношения их соответствующих сторон равны.

Искомая абсцисса равна 40/3.

Прямая a проходит через точки с координатами (0;8) и (–12;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0; –12) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью оx.

Для данной задачи самый рациональный путь решения — это применение свойства подобия треугольников. Но мы решим её другим путём.

Нам известны точки, через которые проходит прямая а. Можем составить уравнение прямой. Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:

По условию точки имеют координаты (0;8) и (–12;0). Значит,

Получили, что угловой k = 2/3.

*Угловой коэффициент можно было найти через тангенс угла в прямоугольном треугольнике с катетами 8 и 12.

Известно, у параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Значит уравнение прямой проходящей через точку (0;-12) имеет вид:

Найти величину b мы можем подставив абсциссу и ординату в уравнение:

Таким образом, прямая имеет вид:

Теперь чтобы найти искомую абсциссу точки пересечения прямой с осью ох, необходимо подставить у = 0:

Найдите ординату точки пересечения оси оy и прямой, проходящей через точку В(10;12) и параллельной прямой, проходящей через начало координат и точку А(10;24).

Найдём уравнение прямой проходящей через точки с координатами (0;0) и (10;24).

Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:

Наши точки имеют координаты (0;0) и (10;24). Значит,

Угловые коэффициенты параллельных прямых равны. Значит, уравнение прямой, проходящей через точку В(10;12) имеет вид:

Значение b найдём подставив в это уравнение координаты точки В(10;12):

Получили уравнение прямой:

Чтобы найти ординату точки пересечения этой прямой с осью оу нужно подставить в найденное уравнение х = 0:

*Самый простой способ решения. При помощи параллельного переноса сдвигаем данную прямую вниз вдоль оси оу до точки (10;12). Сдвиг происходит на 12 единиц, то есть точка А(10;24) «перешла» в точку В(10;12), а точка О(0;0) «перешла» в точку (0;–12). Значит, полученная прямая будет пересекать ось оу в точке (0;–12).

Искомая ордината равна –12.

Найдите ординату точки пересечения прямой, заданной уравнением

Координата точки пересечения заданной прямой с осью оу имеет вид (0;у). Подставим в уравнение абсциссу х = 0, и найдём ординату:

Ордината точки пересечения прямой с осью оу равна 3.

Найдите ординату точки пересечения прямых, заданных уравнениями

Когда заданны две прямые, и стоит вопрос о нахождении координат точки пересечения этих прямых, решается система из данных уравнений:

В первом уравнении подставляем – х вместо у:

Ордината равна минус шести.

Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (–2;0) и (0;2).

Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (2;0) и (0;2).

Прямая a проходит через точки с координатами (0;4) и (6;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0;8) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox.

Прямая a проходит через точки с координатами (0;4) и (–6;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0; –6) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox.

Найдите ординату точки пересечения оси оy и прямой, проходящей через точку B (6;4) и параллельной прямой, проходящей через начало координат и точку A (6;8).

Найдите абсциссу точки пересечения прямой, заданной уравнением 2х + 2у = 6, с осью ох.

Найдите абсциссу точки пересечения прямых, заданных уравнениями 3х + 2у = 6 и у = х.

Конечно, некоторые задачи, которые мы рассмотрели можно было решить более рациональными способами. Но ставилась цель показать разные подходы к решению. Надеюсь, это удалось.

1. Необходимо чётко усвоить, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой. Это поможет вам при решении многих задач данного типа.

2. Формулу нахождения прямой проходящей через две данные точки нужно понимать обязательно. С её помощью всегда найдёте уравнение прямой, если даны координаты двух её точек.

3. Помните о том, что угловые коэффициенты параллельных прямых равны.

4. Как вы поняли, в некоторых задачах удобно использовать признак подобия треугольников. Задачи решаются практически устно.

5. Задачи в которых даны две прямые и требуется найти абсциссу или ординату точки их пересечения можно решить графическим способом. То есть, построить их на координатной плоскости (на листе в клетку) и определить точку пересечения визуально. *Но этот способ применим не всегда.

6. И последнее. Если дана прямая и координаты точек её пересечения с осями координат, то в таких задачах удобно находить угловой коэффициент через нахождение тангенса угла в образованном прямоугольном треугольнике. Как «увидеть» этот треугольник при различных расположениях прямых на плоскости схематично показано ниже:

>> Угол наклона прямой от 0 до 90 градусов

>> Угол наклона прямой от 90 до 180 градусов

В данных двух случаях, по свойству тангенса :

То есть, чтобы найти уголвой коэффициент прямой, необходимо вычислить тангенс бетта в полученном прямоугольном треугольнике и записать результат с отрицательным знаком.

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!

Источник

Угловой коэффициент прямой

Описание презентации по отдельным слайдам:

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

k – угловой коэффициент прямой(секущей)
Секущая стремится занять положение касательной. То есть, касательная есть предельное положение секущей.
Касательная
Секущая
1. Геометрический смысл производной.
Р
Р1

Описание слайда:

Касательная
Угловой коэффициент касательной можно найти как
предел выражения:

Описание слайда:

k – угловой коэффициент прямой(секущей)
Касательная
Секущая
Обозначение:
Опредление производной от функции в данной точке.

Описание слайда:

k – угловой коэффициент прямой(касательной)
Касательная
Геометрический смысл производной
Производная от функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Описание слайда:

k – угловой коэффициент прямой(секущей)
Касательная
А
В
Геометрический смысл производной. Производная от функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
Опредление производной от функции в данной точке.

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Курс повышения квалификации

Охрана труда

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

Курс профессиональной переподготовки

Охрана труда

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Похожие материалы

Как можно заразиться ВИЧ-инфекцией?

Атеросклероз у пожилых людей

Организация работы по профилактике суицида в образовательной среде

Антифосфолипидный синдром

Лечение костномозговой формы лучевой болезни

Методы борьбы с биологическими и компьютерными вирусами

Болезнь почек

Гипоксия плода и асфиксия новорожденного

Не нашли то что искали?

Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5422513 материалов.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Рособрнадзор разрешил провести ВПР по некоторым предметам на компьютерах

Время чтения: 0 минут

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Путин призвал повышать уровень общей подготовки в колледжах

Время чтения: 1 минута

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения создает цифровую психологическую службу для школьников

Время чтения: 1 минута

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Угловой коэффициент прямой

Угловой коэффициент прямой — коэффициент в уравнении прямой на координатной плоскости, численно равен тангенсу угла (составляющего наименьший поворот от оси Ox к оси Оу) между положительным направлением оси абсцисс и данной прямой линией. [1]

Тангенс угла может рассчитываться как отношение противолежащего катета к прилежащему. k всегда равен , то есть производной уравнения прямой по x.

При положительных значениях углового коэффициента k и нулевом значении коэффициента сдвига b прямая будет лежать в первом и третьем квадрантах (в которых x и y одновременно положительны и отрицательны). При этом большим значениям углового коэффициента k будет соответствовать более крутая прямая, а меньшим — более пологая.

Прямые и перпендикулярны, если , а параллельны при .

Примечания

Полезное

Смотреть что такое «Угловой коэффициент прямой» в других словарях:

угловой коэффициент (прямой) — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN slope … Справочник технического переводчика

Угловой коэффициент — (математическое) число k в уравнении прямой линии на плоскости у = kx+b (см. Аналитическая геометрия), характеризующее наклон прямой относительно оси абсцисс. В прямоугольной системе координат У. к. k = tg φ, где φ угол между… … Большая советская энциклопедия

Уравнения прямой — Изображение прямых в прямоугольной системе координат Прямая одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется… … Википедия

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел геометрии, который исследует простейшие геометрические объекты средствами элементарной алгебры на основе метода координат. Создание аналитической геометрии обычно приписывают Р.Декарту, изложившему ее основы в последней главе своего… … Энциклопедия Кольера

Время реакции (reaction time) — Измерение времени реакции (ВР), вероятно, самый почтенный предмет в эмпирической психологии. Оно зародилось в области астрономии, в 1823 г., с измерением индивидуальных различий в скорости восприятия пересечения звездой линии риски телескопа. Эти … Психологическая энциклопедия

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ — раздел математики, дающий методы количественного исследования разных процессов изменения; занимается изучением скорости изменения (дифференциальное исчисление) и определением длин кривых, площадей и объемов фигур, ограниченных кривыми контурами и … Энциклопедия Кольера

Прямая — У этого термина существуют и другие значения, см. Прямая (значения). Прямая одно из основных понятий геометрии, то есть точного универсального определения не имеет. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно… … Википедия

Прямая линия — Изображение прямых в прямоугольной системе координат Прямая одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется… … Википедия

Прямые — Изображение прямых в прямоугольной системе координат Прямая одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется… … Википедия

Малая полуось — Не следует путать с термином «Эллипсис». Эллипс и его фокусы Эллипс (др. греч. ἔλλειψις недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек F1… … Википедия

Источник